Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ГР)"

Графические вычисления

Графи'ческие вычисле'ния, методы получения численных решений различных задач путём графических построений. Г. в. (графическое умножение, графическое решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих с известным приближением соответствующие аналитические операции. Графическое выполнение этих операций требует каждый раз последовательности построений, приводящих в результате к графическому определению искомой величины. При Г. в. используются графики функций. Г. в. находят применение в приложениях математики. Достоинства Г. в. – простота их выполнения и наглядность. Недостаток – малая точность получаемых ответов. Однако в большом числе задач, особенно в инженерной практике, точность Г. в. вполне достаточна. Графические методы с успехом могут быть использованы для получения первых приближении, уточняемых затем аналитически. Иногда Г. в. называются вычисления, производимые при помощи номограмм. Это не совсем правильно, т. к. номограммы являются геометрическими изображениями функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений функции каких-либо построений (см. Номография ).

  Вычисление алгебраических выражений . Числа при Г. в. обычно изображаются направленными отрезками на прямой. Для этого выбирают единичный отрезок (длина его называется масштабом построения). Одно из направлений на прямой принимают за положительное. В этом направлении откладывают отрезки, изображающие положительные числа; отрицательные числа изображаются отрезками, имеющими противоположное направление. На рис. 1 показаны отрезки M _M , A _A и B _B , соответствующие числам 1, 3 и —4 (положительное направление здесь слева направо).

  Для нахождения суммы чисел соответствующие им отрезки откладывают на прямой один за другим так, чтобы начало следующего совпадало с концом предыдущего. Отрезок, началом которого является начало первого отрезка и концом – конец последнего, будет изображать сумму. Разность чисел находят, строя сумму отрезка, изображающего первое число, и отрезка, изображающего число, противоположное второму.

  Умножение и деление осуществляют построением пропорциональных отрезков, которые отсекают на сторонах угла параллельные прямые (MA и BC на рис. 2 ). Так построены отрезки 1, а , б и с , длины которых удовлетворяют соотношению а : 1 = с : b , откуда с = аb или b = с/а ; следовательно, зная два из трёх отрезков a , b и с , всегда можно найти третий, т. е. можно построить произведение или частное двух чисел. При этом построении единичные отрезки на прямых OB и OC могут быть различными.

  Комбинируя действия умножения и сложения, графически вычисляют суммы произведений вида

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n

и взвешенное среднее

(a₁x₁ + ... + a_nx_n )/(a₁ + ... + а₂ ).

  Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения.

  Построение значений многочлена

f (x ) = a_{xⁿ + a1x^n-1 + ... + an-1x + an}

основано на представлении его в виде

f (x ) = {[(a_{x + a1 )х + а2 ]х + ...}х + аn}

и последовательном графическом выполнении действий, начиная с выражения, заключённого во внутренние скобки.

  Графическое решение уравнения f (x ) = 0 заключается в вычерчивании графика функции у = f (x ) и нахождении абсцисс точек пересечения кривой с осью Ox , которые и дают значения корней уравнения. Иногда решение можно значительно упростить, если представить уравнение в виде j₁ (x ) = j₂ (x ) и вычертить кривые y = j₁ (x ) и y = j₂ (x ). Корнями уравнения будут значения абсцисс точек пересечения этих кривых (на рис. 3 показано нахождение корня x _).

  Так, для решения уравнения третьей степени z³ + az² + bz + c = 0 его приводят к виду x³ + px + q = 0 заменой z = х – а /3, затем уравнение представляют в виде x³ = —px – q и вычерчивают кривую у = х³ и прямую у =—px – q . Точки их пересечения определяют корни x₁ , x₂ , x₃ уравнения. Построение удобно тем, что кубическая парабола у = х³ остаётся одной и той же для всех уравнений третьей степени. На рис. 4 решено уравнение x³ – 2,67x – 1 = 0. Его корни x₁ = —1,40, x₂ = — 0,40, x₃ = 1,80. Аналогично решается уравнение четвёртой степени z⁴ + az³ + bz² + cz + d = 0. Подстановкой z = x – a /4 его приводят к виду x⁴ + px³ + qx + s = 0 и затем переходят к системе уравнений: у = х² , (х – х _{)² + (у – у )² = r² , вводя переменное y . Здесь x = —q /2, у = (1 – р )/2 и  Первое уравнение даёт на плоскости параболу, одну и ту же для всех уравнений четвёртой степени, второе – окружность радиуса г , координаты центра x , y которой легко подсчитать по коэффициенту данного уравнения. На рис. 5 решено уравнение x⁴– 2,6x² – 0,8х – 0,6 = 0 (для него x = 0,4; y = 1,8, r = 2). Его корни x1 = — 1,55, x2 = 1,80. Как видно из рис. , уравнение др. действительных корней не имеет.}

  Графическое интегрирование. Вычисление определенного интеграла  основано на замене графика подинтегральной функции y = f (x ) ступенчатой ломаной. На рис. 6 изображена криволинейная трапеция aABb , площадь которой численно равна вычисляемому интегралу. Для построения ломаной криволинейную трапецию разрезают прямыми, параллельными оси Оу , на ряд полос – элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют отрезком, параллельным оси Ox , так, чтобы получающиеся прямоугольники имели примерно ту же площадь, что и соответствующие элементарные криволинейные трапеции (ломаная изображена на рис. 6 жирной линией). Площадь, ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямоугольников, т. е.  Dx_k – длина основания k- гo прямоугольника, y_k — одно из значений функции у = f (x ) на отрезке Dx_k , равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за приближённое значение интеграла  Сумму  вычисляют графически так, как уже было указано. На рис. 7 выполнены все построения, необходимые для вычисления интеграла  где функция y = f (x ) задана графиком AC _{...C4B . После разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходящими через точки A1 , ..., A4 , построены прямоугольники. Высоты их, ординаты точек C , ..., C4 , снесены на ось Оу . Полученные точки P , ..., P4 соединены с точкой Р (OP = 1). Затем, начиная от точки а , построена ломаная aB1 ... B5 , звенья которой параллельны соответствующим отрезкам PP , PP1 , ..., PP4 . Величина интеграла численно равна ординате точки B5 . Для построения графика первообразной функции y = f (x ), т. е.  достаточно соединить плавной кривой вершины ломаной, получаемой при вычислении  (на рис. 7 точки B , B1 , ..., B5 ).}

  Графическое дифференцирование . График производной можно строить по значениям тангенса угла наклона касательной к графику данной функции в различных его точках. Точность такого построения мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных. График производной строят также по секущим, повторяя в обратном порядке процесс графического интегрирования, изображенный на рис. 7 . Для этого график функции (рис. 8 ) разбивают на части прямыми, параллельными оси Оу и проведёнными через равные расстояния Dx. Через точки деления A₁ , A₂ , ... проводят отрезки AB₁ , A₂B₂ , …, параллельные оси Ox . Отрезки B₁A₁ , B₂A₂ , ... равны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси Ox . По полученным точкам  строят ступенчатую ломаную. Затем проводят кривую, следя за тем, чтобы криволинейные треугольники в пределах одной ступени ломаной имели равные площади. Эта кривая и является графиком производной.

  Графическое интегрирование дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение первого порядка dy /dx = f (x , у ) определяет на плоскости поле направлений. Задача интегрирования уравнения заключается в проведении кривых, касательные к которым имеют направления поля. Различные приёмы графического интегрирования состоят в последовательном построении интегральных кривых по касательным, направления которых заданы, и в известной мере повторяют численные методы интегрирования (см. Приближённое решение дифференциальных уравнений).

  Лит.: Головинин Д. Н., Графическая математика, М. – Л., 1931; Рунге К., Графические методы математических вычислений, пер. с нем., М. – Л., 1932.

  М. В. Пентковский.

Графическое решение уравнения j₁ (x ) = j₂ (x ).

Рис. 8. Графическое дифференцирование.

Рис. 1. Изображение чисел 1, 3 и —4 направленными отрезками на прямой.

Рис. 2. Графическое умножение и деление: с = аb , b = с /а .

Рис. 6—7. Графическое интегрирование.

Рис. 4. Графическое решение кубического уравнения x³ – 2,67х – 1 = 0.

Рис. 5. Графическое решение уравнения 4-йстепени: x⁴ – 2,6x² – 0,8x – 0,6 = 0.

Графические методы

Графи'ческие ме'тоды в управлении производством, совокупность способов условного (графического) изображения какого-либо организационного или управленческого явления на производстве. Впервые применены американскими инженерами ф. У. Тейлором и Г. Л. Гантом в начале 20 в. в качестве одного из методов организации руководства производством. В СССР Г. м. в управлении производством начали применять в 20-х гг.

  С помощью Г. м. решаются задачи моделирования процессов управления, выявляются и рационализируются взаимосвязи между различными факторами, определяются расчётные показатели и нормативы, выполняются контроль и учёт, группировка и классификация хозяйственных операций, информация представляется в наглядном виде.

  В управлении производством используются графики иллюстративно-информационные, оперативные, аналитические и расчётные. Иллюстративно-информационные содержат строго подобранные и предварительно проанализированные данные, отражающие фактическое состояние управляемых процессов (рис. 1 , 2 и 8, А); оперативные графики служат для быстрого принятия решений и содержат для этого всю сумму информации на определенный момент (рис. 8 , Б); аналитические графики содержат сведения, полученные после логической и математической обработки данных (рис. 3 ); расчётные графики (например, номограммы ) несут информацию, позволяющую получать функцию, зависящую от большого числа переменных.

  В Г. м. различаются объекты графирования (например, динамика брака) и форма передачи идеи (диаграмма точечная, столбиковая, ломаная кривая и др.). По этим признакам графики, применяемые в управлении производством, можно разделить на следующие группы. 1) Графики, отражающие состав объекта и взаимосвязи его частей. К ним относятся классификационные и структурные схемы (рис. 1 , 2 ), табличные оргасхемы, схемы потоков информации (рис. 3 ) и схемы рабочих процессов (рис. 8 , В). Эта группа графиков используется для анализа различных показателей производства: затрат рабочего времени, производств, брака по причинам и виновникам, документооборота и др. 2) Графики изменения управляемого процесса во времени и пространстве. Эта группа включает гармонограммы, учётно-контрольные и плановые графики (рис. 4 , 5 ), планы объектов на местности, планировки оборудования и рабочих мест (рис. 6 ), циклограммы (рис. 8 , В). Основное назначение графиков этой группы – оперативно-календарное планирование, учёт и организация движения производства. 3) Графики функциональных зависимостей между отдельными параметрами (графики сравнения структур и параметров, рис. 7). Такого рода графики используются, в основном, для разработки нормативов, в статистическом учёте и анализе хода производства в планируемом периоде (квартал, полугодие, год). 4) Расчётные графики (номограммы и шкалограммы) служат для упрощения расчётов трудовых, материальных и календарно-плановых нормативов, а также различных математических расчётов: перевода абсолютных величин в проценты, расчёта размера партий и т.п. 5) Смешанные графики – балансовые (рис. 8 ) и сетевые графики используют для анализа хода производства одновременно по нескольким параметрам, для контроля «узких» мест и оптимизации планирования.

  По форме передачи идеи графики могут иметь разнообразный вид: точечные (рис. 5 ), столбиковые (рис. 8 , Б), прямые, ломаные и кривые линии, круговые диаграммы (рис. 2 ) и др. Графики, применяемые в управлении производством, отличаются усложнённой и комбинированной формой.

  Лит.: Герчук Я. П., Графические методы в статистике, М.. 1968; его же. Графические методы планирования и учета производства, М., 1935; его же. Графические методы управления производством, в кн.: Оргатехника в управлении и планировании производства, М., 1949, с. 102—203; Дейнеко О. А., Графические методы в управлении производством, в кн.: Научные основы управления производством, М., 1966; Организация производства на промышленных предприятиях США. [Справочник], т. 2, пер. с англ., М., 1961 (раздел: Графики Гантта); Шмид К. Ф., Руководство по графическим изображениям, пер. с англ., под ред. Я. П. Герчука, М., 1960; Кнеппель Ч.Э., Графические методы управления предприятием, 2 изд., пер. с англ., Л. – М., 1931; Вызов Л. А., Методы графических изображении. Курс лекций, М. – Л., 1930.

  В. П. Беспалов.

Рис. 8. Балансовый график контроля выполнения плана предприятия. А – учётно-плановый график. Б – собственно балансовый график, В – циклограмма. Балансовый график (Б) показывает степень готовности изделия на начало мая месяца. Плановый процент готовности указан столбиками в контрольных точках циклограммы. Так, на конец апреля для узла Б должно быть изготовлено 72% деталей собственного производства (см. точку 4 на графиках Б и В), а фактически уровень производства достиг 77% Выполнение плана (график А) в целом по изделию оказалось ниже нормы (40% против 56% по плану).

Рис. 1. Структурная схема функциональной организации управления предприятием. Показывает состав подразделений и их взаимосвязи в процессе управления предприятием.

Рис. 2. Удельный вес продукции по типам производства на станкостроительном заводе.

Рис. 6. Схема планировки конвейерной поточной линии: К – конвейер, С – станки, Р – рабочие.

Рис. 5. Карта статистического контроля размера деталей по методу индивидуальных значений; d – поле допуска; а – предупредительные зоны верхней и нижней границ поля допуска. Карта – оперативный документ, с помощью которого прогнозируются отклонения от нормального хода производства (отклонения фактических размеров детали от границ поля допуска).

Рис. 4. Плановый график подготовки производства и изготовления испытательного стенда. Служит основанием для определения исполнителей и сроков выполнения всей номенклатуры работ.

Рис. 7. График зависимости себестоимости продукции от годового выпуска: а – себестоимость годового выпуска, б – одного изделия, при разных вариантах технологического процесса; К_р – критическое количество изделий, при котором оба технологических варианта равноценны. С помощью этого графика устанавливаются условия, при которых каждый из вариантов технологического процесса наиболее экономичен. При плане выпуска, меньшем К, II вариант процесса потребует меньше затрат и даст более низкую себестоимость изделий.

Рис. 3. Схема потока информации по материально-техническому снабжению предприятия.

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (ГР)"