Текст книги "Когда приходит ответ"

Автор книги: Юрий Вебер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 28 страниц)

2

Конъюнкция… Дизъюнкция… Одноместный предикат… Логическая равносильность… Операция инверсии… Бог ты мой, как же пробиться ему сквозь строй чуждых терминов и выражений! Докладчики писали на доске непонятные строчки из букв и каких-то знаков, то похожих на галочки и стрелки, а то и вовсе на причудливые нотные ключи. Но из-за одного какого-нибудь значка мог вдруг разгореться долгий спор среди участников семинара, люди вскакивали с места и горячились и писали на доске по-своему другие галочки и крючочки, потому что, оказывается, за таким значком стояла всегда какая-нибудь цепочка рассуждений, которую не так-то просто было выразить словесно.

Мартьянов мало понимал из того, что здесь говорилось и доказывалось. Уловил только, что ряды этих значков, похожие на формулы, помогают спорящим экономнее изъяснять свои доводы, помогают доказывать что-то друг другу без того, чтобы каждый раз пускаться в длинные разглагольствования. Просто какая-нибудь буква алфавита с какой-нибудь закорючкой принимается за определенное понятие. И с ними, с этими буковками, оперируют и так и сяк. Кажется, именно это собравшихся больше всего и интересовало: как разные буквы соединять в группы, переставлять, заменять.

И, главное, он почувствовал, что в этих приемах заключена та сила обобщения, которая и ведет обычно к подлинному научному исследованию, помогает вскрывать основы явлений, их закономерности. Закономерности! За ними он сейчас охотился повсюду.

А суть того, о чем говорилось, все-таки от Мартьянова ускользала. Уж больно туманный, непонятный язык. Ему оставалось только сидеть безучастным зрителем. Это он-то, который не может ни вставить по любому поводу своего мнения или ни сказать свое излюбленное: «Нет, это не так!» Что же ему тогда здесь время проводить? И он уж не раз поглядывал на дверь.

– У нас сегодня еще одна тема, – произнес тихий голос председателя. – Василий Игнатьевич Шестопалов сообщит некоторые выводы своей диссертации. Алгебра двухполюсных схем. Прошу…

Высокий человек в очках, с прямыми, падающими на лоб волосами, которого Мартьянов видел еще в коридоре перед началом семинара, вырос из переднего ряда, в два длинных шага махнул на возвышение, неловко споткнулся и, стирая тряпкой с доски, еще спиной к аудитории быстро заговорил резким тоном, будто сразу вступая с кем-то в полемику.

Мартьянов насторожился. Двухполюсные схемы – это уже что-то по его части. Есть такие электрические схемы, что называют двухполюсниками. Но при чем тут алгебра? Ну-ну, что ты там надумал…

Высокий между тем продолжал так же быстро говорить, стуча мелом по доске, почти не оборачиваясь к аудитории. Следить за его объяснениями было трудно. Опять те же туманности. Логическая равносильность, гармоническое сложение, инверсия… Мартьянов и не пытался следить за всеми подробностями, так сказать за пируэтами доказательств. Все равно не разобраться. Но дело касалось электрических схем. И тут Мартьянов многое схватывал на лету. (Ага, вот к чему ты клонишь!) Важно было не упустить основное. Куда это все ведет?

А вел докладчик к тому, что заставляло Мартьянова прислушиваться все внимательнее.

Смотрите-ка, символическая запись цепей! Электрические узлы в виде букв: иксы и игреки, как в алгебре. И, главное, обозначение соединений между ними в виде алгебраических действий. Докладчик пишет плюс и говорит, что это параллельное соединение. Пишет знак умножения, точку и говорит: соединение последовательное. И еще пишет скобки, чтобы обозначить порядок: что за чем должно следовать. Тоже как в алгебре.

Мелок стучал по доске. Икс-один, умноженный на икс-два, плюс игрек, умноженный на икс-три, берем в скобки и множим на скобку другую… Пожалуйте, электрическая цепь, записанная в виде формулы.

Да, формулы, какие привыкли мы видеть в алгебраических задачках.

Мартьянов глядел на доску, словно прицеливаясь. «Ну-ну…» – подталкивал он мысленно докладчика, не зная еще сам, соглашаться ли с ним или отвергать.

А тот со всей математической пунктуальностью, ступенька за ступенькой, подбирался к выводу.

– Итак, мы можем утверждать…

И он утверждал, шагая туда-сюда перед доской и как бы диктуя, утверждал, что каждая такая формула выражает вполне определенную электрическую схему. И наоборот: всякая схема может быть записана посредством соответствующей формулы.

– Вполне однозначно! – подчеркивал он, замирая вдруг на месте для убедительности.

Ох, уж и любят эти математики свое «однозначно»!

Мартьянов переводил по-своему. Что это все значит практически? Это значит, если верить докладчику, что по чертежу любой схемы можно написать ее алгебраическое выражение. И еще важнее, пожалуй, что по данному выражению можно начертить соответствующую схему. Переводить на алгебру и обратно. Ишь ты!..

Но… У него уже выработалась привычка: если что-нибудь сразу заманивает – сопротивляйся. Сопротивляйся и проверяй. Он столько раз уже загорался надеждой, открывая какие-нибудь обещающие страницы. И… увы! Так что всякое «но» служило ему теперь как бы защитой.

Но докладчик не дал ему времени на отыскивание этих «но». Докладчик выстраивал дальнейшие соображения. Если принять способ алгебраической записи, то… Тут Мартьянов и услышал именно то, что его больше всего поразило. Двухполюсные схемы обладают алгебраическими свойствами. И должны подчиняться законам. Законам алгебры.

На доске вновь замелькали строчки примеров. Закон коммутативности. Закон ассоциативности… Ведь все равно, сложить ли икс с игреком или игрек с иксом. Или какая разница, прибавить ли к ним зет, или сначала сложить этот зет с иксом, а потом прибавить к ним игрек. Ну, в общем, хорошо знакомое из алгебры: от перемены мест слагаемых сумма не меняется, а от порядка умножения нескольких величин результат не зависит. Каждый школьник знает. Первейшие законы, из которых потом все выводится.

Мартьянова словно обожгло. Законы! Сколько он думал о них, вглядываясь все эти годы во всевозможные электрические, релейные схемы: есть ли они, какие-нибудь законы? Как подсмотреть их в паутине элементов и соединений? Он искал их во всех методах, которые предлагали разные авторы. И не находил. Законов-то как раз и не мог никто нащупать. И вдруг он слышит, о чем же? Именно о законах!

Такие законы действительно нащупаны. Но посмотрим, посмотрим… Что он там говорит?

Докладчик покрикивал с возвышения:

– Условимся называть двухполюсник, который может принимать только два значения: либо нуль, либо бесконечность, вырожденным двухполюсником…

Что-что? Вырожденный двухполюсник?.. – запнулся Мартьянов. Что за зверь такой – вырожденный двухполюсник? Проводимость нуль или бесконечность. Ба-а! Да ведь это же реле, электромагнитное реле и его контакты. Либо контакт замкнут, и ток проходит. Либо контакт разомкнут, и ток не проходит, совсем не проходит. Полный нуль. Вот оно что… Так бы и сказал по-человечески: если схема составлена из реле и контактов… А то поди ж ты – «вырожденные»!.. Словно о каких-то выродках. Это о реле-то, о реле, которые… Ну что повторять о том, что на них весь свет клином сошелся.

Едва он понял, что речь зашла о реле, о релейных схемах, он весь приготовился: «Ну, сейчас…»

Но тут снова, как нарочно, снова встала перед ним завеса непонятного языка, на котором изъясняется наука математической логики. Он ждал ответа: какие же тут найдены, по словам докладчика, законы, а услышал: «Множество вырожденных величин является структурой», «Структура дистрибутивна», «Булевская сумма», «Булевское произведение»…

А то, что выводилось сейчас мелом на доске – какие-то несуразные равенства, – никак не сообразовывалось ни с чем из того, чему всю жизнь учился Мартьянов. Здесь почему-то вдруг одна величина, сложенная с такой же другой, не давала удвоения. Или помноженная сама на себя не возводилась в степень. Все классические, вековечные правила, известные каждому еще со школьной скамьи, попирались у него на глазах без стеснения. И никто из сидящих тут записных математиков не остановил, не поправил. И слушали, и кивали головой, будто так и надо.

Нельзя сказать, что он, Мартьянов, уж такой младенец в математическом смысле. Математику, ее труднейшие разделы он знал, пожалуй, и тверже и основательнее, чем обычно полагается инженеру. Всякие математические преобразования – да посложнее! – доставляли ему только удовольствие. Да и теория электротехники, на которой он пробовал свой педагогический путь, была тоже нашпигована всякой математической всячиной. Высший анализ, векторное исчисление…

Но то, что выворачивал сейчас докладчик, было нечто совсем другое. В корне другое. Не то чтобы очень сложно, а просто ни с чем не сообразно. Словно говорят с тобой на каком-то фантастическом птичьем языке.

Вот и еще под конец докладчик преподнес пилюлю:

– Множество вырожденных схем является алгеброй Буля.

Общее движение среди присутствующих. Вывод докладчика им что-то говорил. А Мартьянов сидел, переживая недоумение и досаду. Алгебра Буля… Что это? Первый раз он слышит: алгебра Буля. Какая такая еще алгебра?

Он успел только раскусить, что у этой алгебры какие-то свои, особые законы, что им как будто должны подчиняться соединения реле и что… Трудно даже поверить. Если действительно все так, как говорил докладчик, этот Василий Игнатьевич Шестопалов.

Почему же тогда выступают сейчас и толкуют о докладе так равнодушно, бесстрастно? «Своеобразная интерпретация. Возможная трактовка…» Да знаете ли вы, что тысячи и тысячи людей в технике, в промышленности только и ждут хоть какой-нибудь научной опоры в обращении с этими реле, или, как вы называете, вырожденными величинами? Знаете ли вы, что многие важнейшие задачи автоматики могли бы получить тогда свое решение? Тогда, может быть, и сам Мартьянов справился бы наконец с тем, что ему столько времени никак не удается, – с задачей «одноэтажного дешифратора». Знаете ли вы…

И куда только девались в ту минуту его спасительные «но»! Ему хотелось нарушить академический покой собрания, сказать такое, чтобы всколыхнуть кристальную невозмутимость этих умов. Но он молча сидел, сознавая, что не имеет тут права голоса. Не может даже оценить как следует то, о чем тут говорилось. И прежде всего попросту не знает того главного, что надо знать: что же такое эта самая булева алгебра?

Математики, медленно покидавшие свои места, наверное, были удивлены, с какой стремительностью после доклада вскочил во втором ряду незнакомый им посетитель с большим портфелем и, решительно проталкиваясь, направился к докладчику.

Мартьянов с ходу атаковал его вопросами. Почему булева алгебра? А как с проверкой на опыте?..

Но докладчик отвечал довольно вяло. Ему было сейчас не до разговоров. Не так-то просто все-таки начинающему кандидату выступать со своими идеями перед таким вот сборищем хотя и кристально ясных, но безусловно и остро критических умов. Он устало глядел на Мартьянова сквозь очки. Не лучше бы им отложить разговор. Как-нибудь в другой раз…

Прием прозрачный, но не Мартьянова он мог остановить. А где, когда? – настаивал Мартьянов, загораживая плотно перед собеседником всякий путь к отступлению.

Короче, они условились.

– Принцип указан… – сказал Шестопалов на прощание. – Теперь дело практиков.

И, выскользнув наконец из объятий настойчивого гостя, поспешил скрыться в университетских переходах.

Мартьянов поглядел ему вслед – длинная угловатая фигура, шагающая, как маятник. И что-то вдруг кольнуло. Как же так? Почему он, почему этот университетский затворник, Василий Игнатьевич Шестопалов, совсем никому не известный в области релейных схем, – почему же он сумел подсмотреть то, чего не увидели до сих пор те, кто годами варится в этой области? Законы!

Неужели все это осветила ему наука с двусмысленным названием – математическая логика?

Часы у Манежа показывали около одиннадцати. От сада под кремлевской стеной тянуло прохладцей, и море асфальта вокруг, разгоряченное за день, натруженное шинами, жадно ловило дуновение скупой свежести. Город отходил в ночь, ко сну. Только длинные блестящие машины выскальзывали из манежных ворот и деловито мчались куда-то, где еще бодрствовали и работали…

Долгий сегодня, сбивчивый какой-то день. И все как будто смешалось: большое с малым, будни с историей.

Утром газеты принесли известие: армия Гитлера вломилась в Польшу. Мартьянов вырезал карту, прикрепил к стене, воткнул красные флажки на булавках. Надвигается… И все же по-настоящему не верилось, что надвигается, и он, в общем, с довольно легким сердцем, как бы играючи, развивал перед Наташей свои соображения, изобличая, конечно, воюющие стороны в стратегических ошибках.

Потом лаборатория, где все забылось за действительной ошибкой, прячущейся где-то в незаладившемся макете. И ученый совет института, и очередной спор на нем с «соседушкой» Копыловым, и опять возня над макетом… А вечером еще этот семинар, который вконец его разбередил, затмил все остальное. Сам того не ожидая, Мартьянов заглянул вдруг в такую бездну, как эти математические откровения! Да, человек может в исторический час, когда не так уж далеко проливается кровь и рушится жизнь, может шагать, прогуливаясь, и мучиться вопросом, например, что такое булева алгебра.

За стеной над Кремлем стояло электрическое зарево, светились окна. Как настороже. И верилось: когда нужно будет, кто-то там, кто видит больше других и знает больше других, подаст сигнал им, как это в телемеханике, – нажмет кнопку: началось! А пока… Пока верилось, что можно еще думать о своем, отдаваться своим интересам.

Набережная… Знакомая до каждого изгиба набережная, по которой столько было исхожено в заботах и надеждах. По ту сторону темной реки, высунув свои старые, неуклюжие трубы, мерцала огнями городская электростанция. Тоже бодрствует по-своему. Всегда, день и ночь, день и ночь… Там, на втором этаже пристроенного здания, в комнате с телефонами и дверью, обитой войлоком, там-то у него все и начиналось. Релейные мытарства, которые он все-таки ни на что не променяет.

И вот он опять стоит в сомнениях. Перед чем же? Перед новым порогом? Или перед новым заблуждением? Никто ему не скажет, пока он сам во все не влезет и не переберет до последней ниточки. Сам!..

На другой день все его знакомые библиотекари – эти сыщики книжных полок – получили одну и ту же просьбу: подыскать что-нибудь, где есть про булеву алгебру.

И, едва коснувшись этих страниц, Мартьянов вступил в совсем новый для него мир, в неведомый мир, о котором, пожалуй, самое время теперь рассказать.

3

В летний, ничем не примечательный день 1847 года школьный математик Джордж Буль, что из города Линкольна, ехал вместе со своим приятелем толстяком Чарльзом на пароходике по тихой реке Восточной Англии с единственной целью приятно и безмятежно провести денек. Облокотившись на поручни, любовался он мягкими незатейливыми красотами проплывающих берегов. И энергичное лицо его с высоким открытым лбом, с резко очерченным крупным носом принимало почти восторженное выражение. Он был чувствительной натурой.

Все, кто с чистым намерением

Стремится познать природу.

…Все проникаются друг к другу глубоким сочувствием,—

писал он в своих не очень складных стихах, сменяя вдруг холодную строгость математических занятий на возвышенный пыл домашней поэзии.

Они сошли на маленькой пристани, направились по тропинке, выбирая, где поглуше. Джордж Буль, как более высокий, шел размашистым шагом чуть впереди, а его друг толстяк-коротышка семенил следом. В общем, двое добропорядочных джентльменов, совершающих то, что называется «to take the air» – подышать воздухом.

На ходу перекидывались короткими фразами. Но чем дальше, тем молчаливее становился Буль. Взгляд его уже рассеянно скользил по зеленому лабиринту. Наконец он выбрал себе тень под высоким кустарником и сказал, что хотел бы здесь посидеть, пока спутник еще погуляет. Толстый Чарльз понял: Джордж хочет побыть один. И не в правилах английского джентльмена докучать ближнему.

Оставшись наедине, Буль впал в ленивое оцепенение. Неизвестно, заметил ли даже, как бесцеремонная пичужка, усевшись на ветке над самой головой, усердно и пространно лопотала ему что-то на своем птичьем языке.

Вдруг, словно очнувшись, он извлек из кармана сюртука записную книжку в мягкой коже и стал быстро усеивать ее страницы буквами и значками, будто воспылал намерением записать этот птичий язык.

А это и был особый язык, на котором пробовал сейчас писать Джордж Буль. И если бы посторонний заглянул в тот момент к нему в книжку, она наверняка показалась бы ему сплошной сеткой иероглифов – зашифрованные письмена. Так что лучше уж сразу сказать, что подразумевал Джордж Буль под своими буковками и значками.

Он писал крупно единицу, потом буквы x, y, z, вычитал их из единицы, потом писал знакомое из логики: «Все у суть x» или «Все x суть y»… А подразумевал под этим вот что.

Пусть символ единицы означает весь мир или всякий мыслимый класс предметов, которые действительно существуют. x, y, z… – члены разных классов или понятий. Скажем, x – класс людей, y – класс смертных.

Тогда предложение «Все люди смертны» можно выразить, как x = y.

Он писал символ 1 – x, имея в виду отрицание: класс не-икс, как говорят в логике. Ну, скажем, класс смертных и класс бессмертных. Вместе они образуют весь мир. Но весь мир, как уже условлено, есть единица. Стало быть, класс бессмертных, в противоположность всем смертным, можно обозначить 1 – x. Это неудобное обозначение будет потом заменено. Просто черточка или апостроф над буквой укажут отрицание: не-икс (x¹), не-игрек (y¹)…

Он соединял два каких-нибудь понятия в новое, третье, с помощью обычных для нашей речи связок «и», «или» и убеждался, что эту операцию тоже можно выразить символически. Класс вещей всех твердых (x) и вместе с тем всех стеклянных (у) можно обозначить x – y (умножение!). А класс вещей, принадлежащих к твердым или стеклянным, как x + y (сложение!).

Сложение, умножение. Не правда ли, совсем запахло математикой, алгеброй! Но дальше – больше.

Если мы имеем класс вещей всех твердых и всех стеклянных, то можно сказать и в обратном порядке: класс вещей всех стеклянных и всех твердых. Смысл не меняется! И Буль выводил правило: значит, в логике xy = yx. Позвольте, а ведь это известный алгебраический закон коммутативности.

То же и с понятиями, которые связаны словечком «или» – логическое сложение, как он назвал. Здесь также можно переставлять. Сумма-то не меняется. «Или стеклянный, или твердый» – все равно что «или твердый, или стеклянный». Опять тот же закон, как и в алгебре.

Об этом он задумывался не в первый раз – об отношениях в алгебре и отношениях в логике. Чутье подсказывало ему, что между ними есть что-то общее. И то, что созревало в уме, запросилось сегодня на бумагу как раз во время, казалось бы, самой безмятежной прогулки. Он торопился записать основной прием, который пришел ему в голову. Первые наброски… Может быть, за ними удастся нащупать какую-то систему. Перевод языка логики на язык алгебры.

Сидя в тени кустарника, Буль и пытался выстроить на страницах записной книжки эту своеобразную азбуку. Вначале было как будто просто. Все аналогии между алгеброй и логикой проступали с наглядной очевидностью. Но дальше усмотреть эту непосредственную связь становилось все труднее. Смысл уже прятался за разными операциями над буквами, обозначающими понятия – классы. Как разобраться в том, что класс всех богатых складывается с классом всех пронырливых и оба они помножаются еще на класс всех жадных? Можно ли так с этим обращаться?

И Буль доказывал сейчас; да, можно. Можно понятия заключать в скобки, а общие понятия, как общие множители в алгебре, выносить за скобки.

Удалось ему доказать и то, от чего его душа математика затрепетала в волнении. О боже, оказывается, отношения в логике подвержены и такому алгебраическому закону, как закон дистрибутивности!

Закон говорит: можно сложить две величины и потом помножить на третью, а можно сначала каждую из двух величин порознь помножить на третью и уж потом результаты умножения сложить между собой – получится то же самое. Как это громоздко в словах и как просто в символической записи. И Буль записал короткую строчку: х (u + v) = xu + xv. Один из самых фундаментальных законов, на которых выросла вся алгебра. А он подметил сейчас то же свойство и в логике.

Немалое открытие. Потому-то через сотню лет советский ученый-инженер Григорий Мартьянов и услышит из уст докладчика в университете то же многозначительное выражение: «Эта структура дистрибутивна…»

Но вот что стало вырисовываться в записной книжке Буля. За сходством между алгеброй и логикой последовали различия. Всем известно, одна величина, сложенная с такой же другой, дает удвоение. Коэффициент два. Икс плюс икс равно два икс. Это твердо, как сама земля.

А в логике? В логике Буль обнаруживал другое. Класс всего белого плюс класс всего белого все равно остается белым. Или класс всех мудрецов плюс опять же класс всех мудрецов будет все тем же классом мудрецов, а не то, что в два раза мудрее. Стало быть, в символической логике икс плюс икс уже не два икс, а просто все тот же самый икс. Складывайте хоть до второго пришествия. Отсюда вывод: в логике сложение двух одинаковых величин не дает удвоения. Алгебра, да не совсем та же алгебра. Она не знает коэффициентов.

Ну, а если помножить? Известно, что всякая величина, помноженная сама на себя, дает степень, возводится в квадрат. Дважды два – четыре. Икс на икс – икс в квадрате.

А в логике? В логике этого тоже не получалось. Белое на белое не становится белым в квадрате, а остается все тем же белым. Икс на икс не дает икс квадрат. Просто икс. Быть человеком и человеком все равно что быть человеком. Отсюда вывод: алгебра понятий не знает и возведения в степень. Алгебра без степеней!

Странная алгебра. И похожая и непохожая. Но все же алгебра, потому что в ней соблюдаются основные законы и потому что выражается она языком символов. Сокращенный птичий язык!

Сила алгебры в том и состоит, что она позволяет оперировать разными символами удобно и просто. И освобождает от необходимости думать на каждой ступеньке о том, что мы под этими знаками подразумеваем. Нет надобности разводить словесную канитель.

И лишь в конце цепочки операций мы получаем ответ, подставляя вместо значков их первоначальный смысл: предметы, расстояния, время и всякое такое. Что ни вложить в ее символы, все равно она, алгебра, перемелет, как на мельнице, все по-своему, по своим правилам. Сколько раз приходилось Булю задавать задачки ученикам: о бассейне с двумя трубами, о поездах, идущих навстречу, – и каждый раз за икс или игрек принималось другое. В разных случаях по-разному можно эти буковки толковать. Или, как говорят математики, придавать им различную интерпретацию. Важно только, чтобы подходило и чтобы первоначально обозначения имели определенный, конкретный смысл.

Булю и пришло на ум: а почему бы не истолковать алгебраические знаки как логические понятия и отношения между ними? Этакое своеобразное исчисление классов. Может быть, тогда станет легче решать и логические задачи, как облегчает алгебра решение всяких задач на вычисление. На страничках записной книжки он пробовал представить себе такую алгебру.

Да, это алгебра. Между ней и логикой поразительное сходство. Те же приемы, те же операции. Но есть и то, что отличает. Нет коэффициентов, нет степеней… Что ж, пусть это будет особая алгебра, и он, кажется, стоит на ее пороге. Гм, как же ее назвать?..

Забавной была все-таки фигура этого человека, сидящего в солнечный летний день под тенью кустарника, в светло-коричневом сюртуке, с высоким стоячим воротничком и пышным белым галстуком, повязанным на манер шарфа, с цилиндром, поставленным, как пюпитр, под записную книжку, в которую он уткнулся, забыв о прелестях природы, им же самим воспетой.

В такой позе и застал его приятель Чарльз, когда время подходило уже к тому, что надо было подумывать о возвращении.