Текст книги "Суперфрактал"

Автор книги: Сергей Деменок

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 11 страниц)

Мультифракталы

Мультифракталы – это «составные», «неоднородные» или «комплексные» фракталы, в построении которых задействовано несколько последовательно сменяющих друг друга алгоритмов. Каждый из них генерирует паттерн со своей фрактальной размерностью.

Мультифрактал – обобщение фрактала, для описания которого недостаточно одной размерности. Вместо нее требуется много размерностей.

Чтобы пояснить, что такое мультифрактал, рассмотрим примеры.

Пример 1. Объединенная кривая Коха – Гивена

Если кривая состоит из линии Коха с D = 1,261 и линии Гивена с D =1.465, то из уравнения

R₁^D + R₂^D =R^D

численным решением находим D = 1,226. Интересно, что в данном случае имеем точное решение:

D = In 9/In 6.

Мультифрактальная размерность линии, составленная из кривой Коха и кривой Гивена

Пример 2. Комбинация «ковров Серпинского»

Если двухмерный «ковер Серпинского» на основе квадратов имеет фрактальную размерность D = ln8/ln³ = 1,893..., а двухмерный «ковер Серпинского» на основе треугольников имеет фрактальную размерность D = ln³/ln², то полученная на их основе мультифрактальная фигура будет иметь фрактальную размерность D = 1,4483...

Размерность, вычисляемая по формуле

R₁^D + R₂^D = R^D,

называется мультифрактальной.

«Ковры Серпинского»: а – квадратный; б – треугольный; в – мультифрактальная фигура

Пример 3. Двухмасштабный «стержень Кантора»

Построение двухмасштабного канторовского стержня с l₁ = 1/4 и l₂ = 2/5. Фрактальная размерность такого канторовского множества D = 0,6110

Пример 4. Критический аттрактор Фейгенбаума

В тонком слое между порядком и хаосом, в окрестности критической точки, происходит каскад бифуркаций и формируется фрактальное множество точек бифуркаций – пыль с интересными и нетривиальными свойствами (в литературе используются также термины «критический аттрактор» или «аттрактор Фейгенбаума»). Эта пыль имеет фрактальную размерность. Для критического аттрактора Фейгенбаума она вычислена с высокой точностью и составляет

d = 0,53804514358054991167...

Так как фрактальная размерность критического аттрактора меньше единицы, можно заключить, что он имеет нулевую меру, если ее понимать как предел суммарной длины интервалов, оставляемых на последовательных уровнях построения. В то же время, как и канторово множество, он обладает мощностью континуума. Последнее вытекает из того, что можно построить правило кодирования принадлежащих аттрактору точек в виде мультифрактала с двумя масштабами r и d. Довольно хорошей аппроксимацией критического аттрактора служит двухмасштабное канторово множество.

Тот факт, что результат асимметричен, объясняется присутствием двух характерных масштабов – α и δ. При этом с высокой степенью точности структура фрактала описывается одним параметром – коэффициентом Фейгенбаума:

1/α ~ 0,3995.

Эта универсальность является следствием того обстоятельства, что толщина аттрактора Фейгенбаума исчезающе мала (Δr→0), и, следовательно, масштаб фиксации величины α несоизмерим (много больше) с масштабом фиксации величины δ, так что влияние последней можно в первом приближении игнорировать.

1. Бифуркация Фейгенбаума.

2. График сигма-функции Фейгенбаума.

3. «Дьявольская лестница» Кантора.

4. Двухмасштабное канторово множество, построенное с использованием факторов 1/α и 1/α²

Для критического аттрактора факторы масштабного подобия оказываются разными в разных областях пространства состояний. В частности, вблизи точки экстремума – это константа Фейгенбаума α, а в наиболее удаленной точке – константа α². Чтобы полностью охарактеризовать весь набор масштабных соотношений, Фейгенбаум предложил ввести сигма-функцию σ(t), которая определяет свойства в разных точках траектории. На рисунке показан график этой функции, полученный в результате численного эксперимента. Из рисунка видно, что сигма-функция имеет фрактальную структуру и содержит разрывы во всех точках, представляемых в двоичной системе конечными дробями. Структурно она напоминает фрактал «дьявольская лестница» Кантора. Справедливы предельные соотношения

σ^-1 (1-) = α;

о^-1 (+0) = α².

Эти две величины задают максимальное и минимальное значения из всего набора масштабных факторов и отвечают окрестности, соответственно, экстремума и крайней точки критического аттрактора.

Таким образом, граница между порядком и хаосом представляет собой слой, в котором монофрактальные структуры со стороны порядка трансформируются в мультифрактальные структуры на стороне хаоса.

Пример 5. Мультифрактал Серпинского

Рассмотрим треугольник Серпинского, построенный с помощью СИФ. Система итерируемых функций для этого фрактала состоит из трех преобразований на комплексной плоскости, каждое из которых выбирается с одинаковой вероятностью, равной 1/3. Допустим, однако, что в методе случайных итераций мы теперь по какой-то причине отдали предпочтение одной из вершин треугольника и стали выбирать ее с вероятностью 90%. Две же остальные вершины равноценны, и на их долю приходится по 5%. Точки внутри треугольника распределены теперь крайне неравномерно. Тем не менее основное свойство фрактала – самоподобие – по-прежнему соблюдается, фрактальная размерность сохраняется:

d = ln 3/ln 2.

Такое совпадение заставляет заняться поиском иных количественных характеристик, которые могли бы отличить неравномерное распределение точек от равномерного. Такое обобщение понятия размерности реализовано в обобщенных размерностях Реньи (см. далее), которые в частном случае при равенстве всех размерностей Реньи между собой описывают классический монофрактал, а при их различности – мультифрактал. Рассмотрим некоторую «популяцию», состоящую из «особей», распределенных по объему А с характерным линейным размером L. Распределение ошибок в канале связи может служить примером одномерной популяции. Распределение народонаселения на поверхности Земли – пример двухмерной популяции, а пространственное распределение энергии в турбулентном потоке – пример трехмерной популяции. Точки таких популяций часто подвержены пространственным флуктуациям. Например, золото встречается в высоких концентрациях лишь в немногих местах, в более низких концентрациях – в существенно большем числе мест и в очень низких концентрациях – почти повсюду. С исследованием распределения физических или каких-нибудь других величин на геометрическом носителе связаны мультифрактальные меры.

Треугольник Серпинского, построенный с помощью СИФ

Разобьем всю область A на гиперкубические ячейки со стороной ε и объемом ε^d соответственно. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Обозначим N(ε) число таких ячеек, оно очевидно зависит от ε. Пусть n_i(ε) – число точек в i-й ячейке. Тогда величина

есть вероятность того, что некоторая точка содержится в i-м кубике. То есть эта вероятность характеризует относительную заселенность ячейки.

По правилу нормировки вероятностей:

Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем q:

где -∞ ⩽ q ⩽ +∞.

Выдающийся венгерский математик Альфред Реньи как-то высказался:

 «Математик – это автомат по переработке кофе в теоремы».

Он сам был таким «автоматом». После него осталось более трехсот пятидесяти публикаций по теории вероятностей, математической статистике, теории информации, комбинаторике, теории графов, теории чисел и математическому анализу. С октября 1946-го по июнь 1947 года он проходил докторантуру в Ленинградском отделении Математического института им. В. И. Стеклова. За полгода он овладел русским языком и блестяще защитил диссертацию. С 1950 года и до конца жизни А. Реньи возглавлял созданный им Математический институт Академии наук Венгерской Народной Республики. В начале 1960-х годов он обратился к теории размерностей. Появились и стали общепринятыми такие понятия, как размерности Реньи и энтропия Реньи.

Согласно формальному определению спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области А, называется совокупность величин:

где

Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. Если d_q = const, т. е. не зависит от q, то рассматриваемое множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной – фрактальной размерностью d_H. Напротив, если функция dq как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется нелинейной функцией τ(q), определяющей поведение статистической суммы Z(q, ε) при ε → 0. Следует иметь в виду, что предельный переход при ε→0 надо выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел N→0.

В случае обычного фрактала функция является линейной.

τ(q) = (q-1)d .

Тогда все d_q = d и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности d_q которого совпадают, часто используется термин «монофрактал». Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то перед нами мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей d_q, число которых, в общем случае, бесконечно.

–165

Так, например, при q→∞ основной вклад в обобщенную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц n_i в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения р_i. Наоборот, при q→-∞ основной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения р_i. Таким образом, функция d_q показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек А.

Например, размерность d₀ представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах. Информационная размерность d₁ представляет собой энтропию фрактального множества и показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки ε к нулю. Корреляционная размерность d₂ определяет зависимость вероятности того, что две произвольно выбранные точки из множества А лежат внутри одной ячейки с размером ε.

Важно понимать, что размерности Реньи не являются фрактальными размерностями. При подсчете статистической суммы в спектре Реньи суммируются ячейки с разной запыленностью. Мультифрактальный спектр состоит из ячеек с одинаковой вероятностью запыленности (р_i ~ ε^a). Таким образом,

мультифрактал – это объединение однородных фракталов.

Факт неравномерной структуры заполнения пространства находит свое отражение в понятии «скважности». Еще в «Технической энциклопедии» П. А. Флоренского в статье «Скважность» сказано, что скважность есть общее свойство твердых тел, сводящееся к неравенству локальных значений занимаемого ими объема. И далее Флоренский поясняет:

«Под объемом физического тела разумеется область непроницаемости, обусловленная присутствием этого тела. Понятие объема без признака непроницаемости в отношении физического тела не может быть построено. Но признак непроницаемости соотносит понятие объема с тем приемом, посредством которого устанавливаются границы области, непроницаемой для данного испытания».

«Скважность» есть понятие более глубокое, чем «пористость». Далее у Флоренского мы читаем:

«Скважность принадлежит к числу более глубоких характеристик физического тела, определяющих его свойства не только в количественном, но и в качественном отношении. При этом решающим здесь оказывается топологическое строение скважин, а затем соотношение между собой геометрических размеров как скважин, так и целого тела».

Эти идеи нашли свое техническое воплощение в теории перколяции, которой посвящена следующая глава.

Перколяция: поры и сети

Термин «перколяция» происходит от латинского слова percolare, которое означает «просачиваться» или «протекать». В физике и химии – это процесс протекания жидкостей через пористые материалы, электричества через смесь проводящих и непроводящих частиц и другие подобные процессы.

Перколяция – основной способ производства настоек. Перколяция проводится следующим образом. Подлежащее извлечению измельченное сырье смачивают в отдельном закрытом сосуде (перколяторе) достаточным количеством экстрагента, добавляя его до полного и равномерного смачивания сырья. Оставляют все это на 4 часа, после чего набухший материал плотно укладывают в перколятор и при открытом спускном кране добавляют такое количество экстрагента, чтобы слой его (зеркало) над поверхностью составлял 30-40 мм. Вытекающую из крана жидкость наливают обратно в перколятор, закрывают кран и оставляют на 24 часа, затем медленно перколируют, спуская за 1 час объем жидкости, соответствующий примерно 1/48 используемого объема перколятора, до получения необходимого количества настойки.

Теория перколяции описывает поведение связных структур, состоящих из отдельных элементов – кластеров. Кластер представляет собой дискретную решетку с узлами и связями. Когда все узлы заблокированы или все связи закрыты, то поток через кластер прекращается. Когда они открыты, по связям через узлы идет ток. При каком-то критическом значении «открытости» происходит «перколяционный» переход, являющийся аналогом перехода металл-изолятор. Теория перколяции важна именно в окрестности такого перехода.

Своим появлением теория перколяции обязана работе английских ученых Бродбента и Хаммерсли. В середине пятидесятых годов прошлого века Бродбент занимался разработкой противогазовых масок для шахт по заданию Британского объединения по исследованию применения угля. Столкнувшись с математической проблемой, Бродбент привлек математика Джона Хаммерсли.

Основной элемент маски – это уголь, через который должен проходить газ. В угле есть поры, причудливо соединяющиеся друг с другом, так что образуется нечто вроде запутанного лабиринта. Газ может проникать в эти поры, адсорбируясь (осаждаясь) на их поверхности. Оказалось, что если поры достаточно широки и хорошо связаны друг с другом, то газ проникает в глубь угольного фильтра. В противоположном случае газ не проникает дальше поверхности угля. Движение газа по лабиринту представляет собой процесс нового типа, существенно отличающийся от хорошо известного в физике явления диффузии. Бродбент и Хаммерсли назвали такие явления «процессами протекания» (по-английски percolation processes).

За 25 лет, прошедшие с первой работы Бродбента и Хаммерсли, выяснилось, что теория протекания необходима для понимания широчайшего круга явлений, относящихся, главным образом, к физике и химии. Вероятно, наиболее разработанной в настоящее время областью применения теории протекания являются электрические свойства неупорядоченных систем, таких как аморфные полупроводники, кристаллические полупроводники с примесями или материалы, представляющие собой смесь двух разных веществ – диэлектрика и металла.

Самым существенным в теории перколяций являются так называемые критические явления. Эти явления характеризуются «критической точкой», в которой определенные свойства системы резко меняются. К критическим явлениям относятся также фазовые переходы второго рода (например, переход металла из нормального состояния в сверхпроводящее при понижении температуры). Физика всех критических явлений состоит в том, что

вблизи критической точки система как бы распадается на блоки с отличающимися свойствами, причем размер отдельных блоков неограниченно растет при приближении к критической точке.

Очертания блоков при этом случайны. В некоторых явлениях вся конфигурация хаотически меняется со временем за счет теплового движения, в других явлениях она заморожена, но меняется при переходе от образца к образцу. Блоки расположены беспорядочно, так что, глядя на мгновенную фотографию системы, трудно увидеть какие-либо закономерности. Однако «в среднем» эта геометрия, которую можно назвать «геометрией беспорядка», обладает вполне определенными свойствами.

Физические свойства неразрывно связаны с геометрией.

Например, физические свойства кристаллов определяются геометрией кристаллических решеток. Точно так же ряд свойств системы, находящейся вблизи критической точки, определяется «геометрией беспорядка». Самое интересное то, что благодаря большим размерам блоков эта геометрия фактически не зависит от атомной структуры вещества и потому обладает универсальными свойствами, одинаковыми для многих совершенно разных систем. Отсюда следует универсальность физических свойств, проявляющаяся в окрестности критических точек. Такого рода связь между физикой и геометрией проявляет себя в теории перколяции.

Перколяция – это геометрический фазовый переход.

Основное положение теории перколяции заключается в предположении, что существует порог протекания, вблизи которого все параметры системы степенным образом зависят от близости к этому порогу.

Для иллюстрации рассмотрим «переход через болото». Перепрыгивая с кочки на кочку, иногда удается преодолеть болото. Это возможно, если кочки находятся достаточно близко друг от друга. Может случиться так, что кочки окажутся на далеком расстоянии. И это не даст возможности пересечь болото. Существует критическая плотность n_с расположения кочек, при котором становится возможным преодолеть болото. Такую ситуацию называют порогом протекания. Вблизи порога протекания все параметры системы степенным образом зависят от разности Δn = n – n_с. Когда n >> п_c, кочки расположены достаточно плотно, и путник в конце концов преодолеет болото. Если п < п_с, то кочки расположены далеко друг от друга, и путник не сможет прыгать по ним. Вблизи n ≈ n_с путник может и не пройти болото. Все теперь зависит от размеров путника и от распределения расстояний между кочками на болоте. Сопряжение этих параметров описывается различными фрактальными размерностями.

1. Перколяционный кластер и его остов. Задача узлов на квадратной решетке. Узлы остова отмечены черным цветом; узлы, принадлежащие мертвым концам, – серым.

2. Перколяционный кластер, его полный и внешний периметры.

Перколяционный кластер является фрактальным образованием, в котором можно выделить фрактальные подструктуры. Рассмотрим пример «задачи узлов на квадратной решетке». Типовая решетка состоит из островов и связей (проводящая часть кластера), а также из мертвых концов. Мертвые концы составляют большую часть кластера, однако не участвуют в проводимости. Критические связи – одиночные связи, при разрушении которых перколяционный кластер перестает проводить ток. Скелет кластера – объединение всех кратчайших путей от данного узла до узлов на заданном расстоянии. Эластичный остов – объединение всех кратчайших путей между двумя данными узлами. Оболочка, или внешний периметр, состоит из тех узлов кластера, которые соприкасаются с пустыми узлами и соединены с бесконечностью посредством пустых узлов. Полный периметр включает также пустоты внутри кластера.

Было предложено несколько геометрических моделей, описывающих структуру перколяционного кластера. Первой моделью такого рода была модель Скал – Шкловского – де Жена.

В 1974 году советские физики А. С. Скал и Б. И. Шкловский, а в 1976 году независимо от них французский физик Пьер Жиль де Жен, предложили модель, описывающую структуру остова перколяционного кластера в пренебрежении мертвыми концами. Модель была предложена, чтобы предсказывать и описывать такие свойства, как проводимость и эффект Холла. В этой модели предполагается, что кластер состоит из искривленных связей, соединенных узлами, образуя нерегулярную сверхрешетку с параметром ξ, т. е. ξ является средним геометрическим расстоянием между ближайшими узлами.

Перколяционный кластер в модели капель и связей. Показана только малая часть мертвых концов (тонкие линии). Капли представлены в виде окружностей. Расстояние между каплями и их диаметры имеют величину порядка корреляционной длины

Первые три шага построения иерархической модели

Несмотря на то что модель представляет ограниченный практический интерес, она имеет один важный аспект: является точной мерой плотности проводящих путей в типичном сечении образца. Это следует из того, что главное упрощающее предположение, сделанное в модели, является предположением о том, что в бесконечном кластере имеется только одна петля. Это справедливо только в случае больших размерностей (6 и выше). В случае малых размерностей кластер состоит из петель, находящихся внутри других петель, которые в свою очередь находятся в других петлях, и т. д. Это справедливо во всех размерностях, и среднее расстояние между независимыми проводящими путями равно ξ.

В 1977 году Стенли предложил модель капель и связей. Она подробно исследована в 1982 году Конильо. В этой модели предполагается, что возникающий бесконечный кластер состоит из фрагментов, в которых существуют многочисленные связи (капли), эти фрагменты соединены друг с другом одиночными связями.

Эта модель уже прямо указывает на фрактальную интерпретацию эффектов перколяции. Посмотрите на фрактал Мандельброта – Гивена. В структуре фрактала Мандельброта – Гивена можно обнаружить петли, ветви и мертвые концы всех размеров. Таким образом, фрактал содержит те же элементы, что и перколяционный кластер. Это одна из многочисленных фрактальных структур, которые успешно применяются для моделирования перколяционных кластеров, таких как «ковер Серпинского» или «губка Менгера».

Этапы построения фрактала Мандельброта – Гивена

Перколяция и гидродинамика Вселенной В. И. Арнольд, «Математическое понимание природы»