Текст книги "Суперфрактал"

Автор книги: Сергей Деменок

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 11 страниц)

Можно сделать следующий шаг и распространить принцип суперсимметрии на вещество, действие и информацию. По аналогии и по смысловому созвучию с понятием «гиперреальность», введенному философами постмодернизма, мы назовем гиперсимметрией такое обстоятельство, при котором символ может заместить вещь или действие таким образом, что в реальности ничего не изменится.

Эта догадка, высказанная мной в 2015 году в работах «Просто символ» и «Символ и капитал», находит подтверждение в повседневном опыте. Благодаря внедрению цифровых платформ происходит смещение потребления от приобретения вещей и услуг – к совместному пользованию вещами и услугами. Например, миллионы людей через цифровые платформы получают доступ к миллиардам книг в магазине Kindle Store компании Amazon, могут слушать почти любую музыку с помощью Spotify или присоединиться к предприятию по совместному использованию автомобилей. Реальность сама собой раскрывает себя как единство вещей, действий и символов. Это, собственно, и есть гиперреальность. Но вернемся к фракталам.

Открытие фракталов стало открытием еще одной формы преобразований, относительно которой может сохраняться инвариантность формы. Типичное свойство фракталов – самоподобие – заключается в инвариантности формы относительно изменений масштаба. На этом основании самоподобие также называют масштабной симметрией или симметрией подобия. Фрактальное подобие допускает «исчезающе малое искажение». Это значит, что фрактальная симметрия позволяет вносить хаотичность как в процесс построения фрактала, так и в структуру фрактала. Именно такое семейство фракталов сконструировал Майкл Барнсли в 2002 году. Он назвал его суперфракталом. Но об этом позже...

Сейчас заметим только то, что

симметрия есть

форма,

преобразование,

символ,

фрактал есть

форма,

алгоритм

и число.

Фрактал: форма, алгоритм и число

Фрактал – блестящая абстракция, которая отражает форму предметов реального мира. Если оглядеться вокруг, станет понятно, что лишь немногие формы описываются простыми фигурами вроде прямых, окружностей, сфер и кубов. Как и любая фигура, фрактал есть и форма, и процесс построения формы. Однако, в отличие от окружности, построение которой под силу ребенку, алгоритм построения фрактала много сложнее. Он требует филигранной точности. Казалось бы, что форма фрактала однозначно определяется его алгоритмом. Но нет. Алгоритм построения и форма фрактала есть два объекта.

Совершенно разные алгоритмы могут произвести одну и ту же фрактальную форму.

Рассмотрим несколько совершенно разных алгоритмов, которые производят одну и ту же фрактальную форму – «салфетку Серпинского».

Метод вырезания трем

Берем равносторонний треугольник со стороной r. На первом шаге вырезаем в центре него перевернутый вершиной вниз равносторонний треугольник с длиной стороны r₁ = r₀/2. В результате этого шага у нас получаются три равносторонних треугольника с длинами сторон r₁ = r₀/2, располагающиеся в вершинах исходного треугольника.

На втором шаге в каждом из трех образовавшихся треугольников вырезаем перевернутые вписанные треугольники с длиной стороны r₂ = r₁/2 = r₀/4. Результат – 9 треугольников с длиной стороны  r₂ = г/4.

Продолжаем повторять эту операцию, на любом n-м шаге в каждом из имеющихся треугольников вырезая перевернутый треугольник со стороной гn = г₀/2ⁿ = r₀2^-n.

В результате форма «салфетки Серпинского» постепенно становится все более и более определенной.

Алгебраический алгоритм

Поместим равносторонний треугольник с длиной стороны, равной 1, на комплексную плоскость = х + iу (левый треугольник на рисунке). Пусть у нас имеются три оператора t₁, t₂, t₃, каждый из которых переводит исходный равносторонний треугольник в подобный ему, но в два раза меньшего размера.

Применение операторов t₁, t₂, t₃ приводит к тому, что мы получаем треугольник, подобный исходному, но меньшего размера и строго определенного положения по отношению к исходному треугольнику, как показано на рисунке.

Многократное повторение этих операторов позволяет построить «салфетку Серпинского».

Привлекательность этого метода в том, что операторы t₁, t₂, t₃ можно выразить алгебраическими формулами, приведенными в таблице, и запрограммировать.

Здесь реализуется кумулятивная фиксация образа, то есть накопительное пошаговое формирование его так, что фрагмент n-го шага накладывается на образ n-1 шага.

Метод FASS-линии

Данный метод позволяет построить фрактал Серпинского при помощи алгоритма построения так называемых FASS-кривых. Название происходит от английского описания подобных кривых: «space-Filling, self-Avoiding, Simple and self-Similar», что означает «кривые, заполняющие собой всю плоскость, без самопересечений, состоящие из простых и самоподобных фрагментов». Пошаговое построение FASS-линии при многократном повторении может произвести фрактал Серпинского.

Конечно, при фиксации образа последующего шага все предыдущие построения «стираются».

Метод L-систем

Метод L-систем был изобретен в 1968 году не математиком, а венгерским биологом Аристидом Линденмайером, разработавшим метод описания сложных природных систем и процессов с помощью простых составляющих и правил их преобразования.

Линденмайер использовал формальную грамматику, опирающуюся на правила генерации преобразования символов. L-система позволяет получить сложную форму при помощи аксиомы и правил преобразования. Результат этого процесса детерминирован, то есть строго и однозначно определен алгоритмом построения. Однако проблемой метода в общем смысле является то, что предсказать конечный результат невозможно до тех пор, пока алгоритм не будет завершен полностью. При этом каждый шаг вызывает удлинение командной строки, а значит, на ее обработку требуется все больше и больше времени, так что даже для современных компьютеров этот процесс достаточно долог, а в далеком 1968 году на решение задачи потребовалась бы почти вечность.

Рассмотрим алгоритм построения «салфетки Серпинско– го» методом L-систем немного подробнее.

Аксиомой этого процесса служит выражение: FXF – – FF – – FF. Имеются также три правила:

F → FF;

х → – – FXF ++ FXF ++ FXF – —;

угол β = 360°/6 = 60°.

Нулевой шаг процесса имеет вид: FXF – – FF – – FF. Уже первый шаг имеет довольно длинную запись:

FF – – FXF ++ FXF ++ FXF – – FF – – FF FF – – FF FF...

О длине записи на десятом или двадцатом шаге даже говорить не приходится. Впрочем, для вычислительной машины это не проблема. Заметим, что, в отличие от предыдущего алгоритма, при фиксации следующего шага все предыдущие построения не стираются. Поскольку фрактальные алгоритмы сводятся к повтору установленных правил, общей идеей для их вычислений будет организация цикла, в котором по завершении последней операции программа будет возвращаться к исходной операции. Эта операциональная петля не возвращает нас к начальной точке, но каждый раз переопределяет начальные условия. Начальные условия обновляются на каждом такте цикла построения фрактала, и это всякий раз приводит к новому результату в конце цикла. Промежуточные результаты могут «стираться», но могут и накапливаться. Команда «стирать» или «сохранить» – последняя команда в цикле построения фрактала.

Метод систем итерированных функций Барнсли

Метод систем итерированных функций (IFS – Iterates Function System) был разработан Майклом Барнсли на основе сжимающих аффинных преобразований, которые мы рассмотрим подробно в главе III. Пока иллюстрируем этот метод простым примером.

Дано: равносторонний треугольник с координатами углов А (0,0), В (1,0), С (1/2,3^1/2/2),Z₀и произвольная точка внутри этого треугольника – игральная кость, на гранях которой имеется по две буквы A, В и С.

Шаг 1. Бросаем кость. Вероятность выпадения каждой буквы составляет 2/6 = 1/3.

• Если выпала буква А – строим отрезок z₀ – А, на середине которого ставим точку z₁.

• Если выпала буква В – строим отрезок z₀ – В, на середине которого ставим точку z₁.

• Если выпала буква С – строим отрезок z₀ – С, на середине которого ставим точку z₁.

Шаг 2. Бросаем кость еще раз.

• Если выпала буква А – строим отрезок z₁ – А, на середине которого ставим точку z₂.

• Если выпала буква В – строим отрезок z₁ – В, на середине которого ставим точку z₂.

• Если выпала буква С – строим отрезок z₁ – С, на середине которого ставим точку z₂.

Повторяя операцию много раз, мы получим точки z₃, z₄, ..., z_n. Особенность каждой из них в том, что точка находится точно на полпути от предыдущей до произвольно выбранной вершины. Теперь, если отбросить достаточно большое количество точек, например, от z₀ до z₁₀₀, то остальные при достаточно большом их количестве образуют структуру «салфетки Серпинского». Чем больше точек, чем больше итераций, тем явственнее является наблюдателю фрактал Серпинского. И это притом, что процесс идет, казалось бы, случайным путем (благодаря игральной кости). «Салфетка Серпинского» представляет собой своего рода аттрактор процесса, то есть фигуру, к которой стремятся все траектории, построенные в этом процессе при достаточно большом количестве итераций. Фиксация образа при этом представляет собой кумулятивный, накопительный процесс.

Каждая отдельная точка, быть может, никогда и не совпадет с точкой фрактала Серпинского, но каждая следующая точка этого организованного «по случаю» процесса притягивается ближе и ближе к точкам «салфетки Серпинского». При этом радиус попадания каждой следующей точки в окрестность точки фрактала Серпинского уменьшается экспоненциально. Например, так. На 10-м шаге размеры радиуса попадания составляют 2^-10 или 10^-3 метра. Одна тысячная метра – миллиметр. Такое различие вполне различимо невооруженным глазом. Но уже на 30-м шаге получим размеры 2^-30 или 9 х 10^-10 метра. Для тех, кому эти цифры мало что говорят, скажем, что это примерно равно размеру атома, и заметить такое отличие можно только в самый мощный современный электронный микроскоп. Согласитесь, что такое попадание можно считать точным и полным с практической точки зрения.

Неудивительно, что, брызгая краской на холст без строгих и четких правил, вам не повторить полотен Джексона Поллока.

Для повторения необходимо организованное пространство (холст, краски, кисти), алгоритм действий и еще, самое главное, – дух Джексона Поллока. Дух – это абстрактная, нематериальная субстанция. И если она оставляет свой след, то это символический знак, такой как фрактальная размерность.

Слева направо: окружность, вписанная в пятиугольник; остров Коха; побережье Мальдив

Фрактальная размерность есть число, которое не выводится из геометрических пропорций фрактала, и это отличает ее от пифагорейского инварианта окружности – числа π (Пример 1). Фрактальная размерность не выводится из алгоритма построения фрактала, и это иллюстрируют ветвление деревьев и слияния рек, рассмотренные Леонардо да Винчи (Пример 2). Фрактальная размерность выражает и структуру, и алгоритм, как это интерпретирует пример Мандельброта – формирование бронхиальной системы (Пример 3).

Пример 1. Пифагорейский инвариант π

Тот факт, что отношение длины окружности к ее диаметру есть инвариант (число π), был истолкован пифагорейцами как манифест связности и единства мира. Пугала, впрочем, иррациональность этого числа, его несоразмерность, его неповторимость притом, что оператор расчета представлял собой сплошное повторение. Сначала в окружность вписывался правильный треугольник, потом квадрат, потом шестиугольник, и так далее. Чем больше число сторон вписанного многоугольника n→∞, тем ближе результат к пределу

L/D → π,

т.е. длина окружности конечна: L = πD.

Здесь сам инвариант (число π), будучи символом, представляет собой отношение длины к диаметру окружности π = L/D. Фрактальная кривая, например, остров Коха, отличается от окружности тем, что она, будучи ограниченной, не имеет конечной длины. Кривая Коха в целом и любой ее фрагмент имеют бесконечную длину:

L = lim _n→∞ 4ⁿ/3ⁿ → ∞.

Льюис Ричардсон изучал протяженность береговой линии западного побережья Британии. Эксперименты свидетельствовали, что длина береговой линии возрастает с уменьшением масштаба измерения, в пределе – до бесконечности. В процессе измерения мы имеем дело с функционалом. В математике понятием «функционал» обозначают оператор, который отображает многообразие (пространство) функций в числовое множество. Функционал может быть рассчитан, например, интегрированием функции в определенном диапазоне параметров. В этом смысле результат измерения длины береговой линии есть функционал, и он зависит от процесса измерения.

Пример 2. Ветвление деревьев, слияния рек

Леонардо да Винчи открыл, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу ниже их уровня. Рассмотрим ствол дерева диаметром d, который разделяется на две главные ветви с диаметрами d₁ и d₂. Леонардо да Винчи считал, что для беспрепятственного движения соков вверх по дереву поперечные сечения двух главных ветвей в сумме должны быть равны поперечному сечению ствола:

d² = d₁² + d₂².

То же самое соотношение выполняется в месте слияния двух рек, если d – ширина рек. Установлено, что ширина d реки пропорциональна квадратному корню из количества воды Q, переносимого рекой: d ~ Q^0.5. Однако глубина реки t, как правило, изменяется в соответствии с законом t ~ Q^0.4. Возникающая разница восполняется за счет увеличения скорости течения v, которая пропорциональна Q^0.1. Иначе говоря, река, образовавшаяся от слияния двух притоков одинаковой величины и несущая, таким образом, вдвое больший объем воды в секунду, обычно в 1,4 раза шире каждого из своих притоков, но лишь в 1,3 раза глубже их. Скорость же течения реки приблизительно в 1,1 раза больше, чем скорость течения притоков. Разумеется, 1,1 х 1,3 х 1,4 = 2. Таким образом, в обобщенной форме для реки:

dⁿ= d₁ⁿ + d₂ⁿ,

где n=2, выполняется в месте слияния двух рек вследствие наложения нескольких условий.

Ветвление и слияние: точка бифуркации

Пример 3. Бронхиальная система

Бронхи легкого достигают показателя степени n ~ 3, обусловленного требованием минимального сопротивления потоку воздуха во всей бронхиальной системе. Это требование подразумевает существование постоянного «коэффициента ветвления» d/d₁ = d/d₂ = 2^1/3. B этом случае показатель n должен быть равен 3. Мандельброт указал, что показатель степени равен трем, если выполняется определенное функциональное правило (алгоритм) ветвления:

«Рост начинается с почки. Из почки вырастает  трубка, на которой образуются две новых почки, ƒ каждая из которых ведет себя вышеописанным образом».

Структура легких человека Простейшая сетевая структура

Развитие по этим правилам образует структуру легкого. Значение n = 3 получается просто вследствие максимальной поверхности легкого в ограниченном пространстве.

Заметим, что фрактальная размерность бронхиальных путей в легких равна 1,07. Если мы рассмотрим сосудистую систему человека, то обнаружим множество изгибов, ветвлений и скручиваний, позволяющих заполнить все три измерения человеческого тела. При этом фрактальная размерность артерий равна 2,7. Тот факт, что у сложной и разветвленной структуры появляется такая величина, как фрактальная размерность, говорит о некоем принципе организации. Или, если хотите, это своего рода структура самой структуры.

Американский математик Рон Эглеш был поражен, когда в хаотической структуре африканских поселений он вдруг усмотрел фрактальные структуры. С этого момента началось его увлечение поиском фракталов в африканской культуре.

Фракталы Рона Эглеша

«Я математик и я хочу встать на вашу крышу».

Такими словами Рон Эглеш приветствовал многие африканские семьи, которые встречал во время исследования фрактальных узоров, замеченных в деревнях на этом континенте...

А все началось с того, что математик Рон Эглеш в 80-х годах прошлого века обратил внимание на фрактальные структуры африканских деревень. В своей монографии «African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design» Рон Эглеш приводит множество примеров. Некоторые из них мы скопировали. Но наиболее интересно видео, запечатлевшее выступление Рона Эглеша на конференции TED (Technology, Entertainment and Design) в 2007 году, которое можно найти по QR-коду.

Выступление Рона Эглеша, 2007 год

План города Лагун-Бирни (Logone-Birni) в Камеруне (а), первые три итерации фрактальной модели Лагун-Берни (б)

Поселение Бамилек (Bamileke settlement) План поселения в i960 (а), фрактальная симуляция поселения (б), увеличение четвертой итерации (в)

Лаббезанга (Labbezanga) в Мали. Вид с высоты птичьего полета (а), фрактальный аналог (б)

Случилось так, что Рон Эглеш, будучи в Южной Замбии, попал в деревню Ба-йла. Вот его рассказ:

«Когда я добрался туда, то попал во дворец вождя,  а мой французский не был очень хорош; я сказал  что-то вроде: „Я математик и мне бы хотелось встать на вашу крышу“. Но он оказался классным парнем и отвел меня туда, и когда мы говорили о фракталах, он сказал: „О да, да! Мы знали о треугольнике внутри треугольника, мы знаем все об этом“. Оказалось, что королевская эмблема содержит треугольник внутри треугольника внутри треугольника, и что проход через дворец на самом деле спиральный. И пока ты идешь по проходу, становишься все более вежливым и сговорчивым. Так они отображают социальное деление в геометрическом соотношении; это сознательный узор. Это не то, как бессознательно растут деревья или строятся термитники».

Сама деревня Ба-йла имеет 400 метров в диаметре. Это большое кольцо. Кольцо, представляющее границы семьи, становится шире и шире, когда вы идете по направлению к краю, и там находите кольцо вождя, которое тоже направлено к краю, а там – семья вождя в этом кольце. Деревня как целое – кольцо из колец с семейством вождя, с близкими родственниками вождя. Маленькие деревни рядом с большими. Люди живут в деревнях, подобных большой деревне. В маленьких деревнях – совсем маленькие алтари, по форме подобные деревне, но только совсем крошечные. Это потому что они не для людей, но для духов. Это духи предков. Им надо совсем мало места. Но их место в центре.

Аэрофотосъемка деревни Ба-йла (Ba-ila) накануне 1944 года (American Geographic Institute). Фрактальная симуляция структуры Ба-йла

Обычно архитектура имеет в своей основе линейные круговую или квадратную решетки. Такие основания мы видим в египетских и мексиканских пирамидах. Линейные решетки широко распространены по всему миру. Для Африки, однако, характерны нелинейные концентрические круги. Линейные структуры имеют конечное число вложенных элементов в ограниченном пространстве. Аналогичные нелинейные структуры могут иметь бесконечное число уровней в ограниченном пространстве за счет нелинейного уменьшения расстояний между соседними окружностями или квадратами. Различие линейных и нелинейных кривых демонстрируют спираль Архимеда и логарифмическая спираль. Первая – линейная. Расстояния между соседними линиями сохраняется на всем протяжении спирали Архимеда, и в ограниченном пространстве может разместиться только конечное число оборотов спирали Архимеда. В логарифмической спирали расстояние между соседними линиями возрастает по мере удаления от центра и уменьшается по мере приближения к центру. Благодаря этому в ограниченном пространстве может совершаться неограниченное число оборотов по логарифмической спирали.

Линейная спираль Архимеда (а) и нелинейная логарифмическая спираль (6)

Кроме того, в африканской культуре встречаются структуры с множеством центров такие, как, например, круги разных масштабов, помещенные в круге. Эти структуры напоминают фрактал Аполлона.

Типичные линейные архитектурные решетки: круг (а) и квадрат (б). Нелинейные круговые решетки, присущие африканской архитектуре: структура с единым центром (в) и со множеством центров (г)

Доктор Рон Эглеш обнаружил фракталы не только в африканской архитектуре, но и во всех слоях африканской культуры. Идея единства и вложенности пронизывает культуру африканского континента с доисторических времен. Быть может, самое сильное выражение этого принципа мы обнаруживаем в рекурсивных повторах космологических мифов Древнего Египта. Посмотрите на рисунок, заимствованный из работы Фурье 1821 года. Здесь богиня Земли Геба в окружении бога воздуха Шу заключена в оболочку божественного небосвода – Нут.

Космологическая картина мира Древнего Египта: Геба (Земля), окруженная Шу (Воздух), заключена в оболочку Нут (Небо)

Корни этих представлений проистекают из внимательных наблюдений, интуитивных представлений и креативных симуляций структуры окружающей реальности. Не столько геометрия, сколько символическое мировосприятие лежит в основе такого чувственного восприятия реальности. Быть может, самым знаковым выражением такого активного восприятия реальности, облеченного в техническую оболочку, стало древнее гадание на песке в Бамане. Такая система гадания обнаруживается по всей Африке. Суть одна. Вы наугад рисуете линии на песке, а затем считаете их, и если это нечетное число, вы записываете один штрих, а если это четное число, то записываете два штриха. Рон Эглеш пишет:

«Они делали это очень быстро, и я не мог понять, откуда же они все получали – ведь они рисовали наугад  только четыре раза – я не мог понять, откуда они берут другие 12 символов. А они не говорили мне, как. Они говорили: „Нет, нет, я не могу тебе говорить об этом“. И я сказал: „Ну хорошо, я заплачу тебе, ты мог бы быть моим учителем, и я бы, приходя каждый день, платил тебе“. Но они отвечали: „Это не имеет денежной ценности. Это религиозная ценность“. И наконец, в отчаянии, я сказал: „Хорошо, дайте мне объяснить идеи Георга Кантора в 1877 году“. И я начал объяснять, зачем я был там в Африке, и они очень взволновались, когда увидели множество Кантора. И один из них сказал: „Подойди. Я думаю, что могу помочь тебе“. И так он провел меня через ритуал инициации жреца Баманы. Ну конечно, меня интересовала только математика, так что он все время продолжал трясти своей головой: „Ты знаешь, я учился этому иначе“. Но мне пришлось спать, зарывая орех колы рядом с моей кроватью в песок, и дать семь монет семи прокаженным, и так далее. И наконец, он открыл правду значения».

Баманское гадание по линиям на песке: а) линии на песке; б) четность той или иной линии; в) процесс повторяется четыре раза и результаты объединяются; г) результаты четырех сетов объединяются в один, производя седьмой символ

Оказывается, это генератор псевдослучайных чисел с использованием детерминированного хаоса. Когда у вас есть четырехбитный символ, вы составляете его с другим по сторонам. Так четное плюс нечетное дает нечетное. Нечетное плюс четное дает нечетное. Четное плюс четное дает четное. Нечетное плюс нечетное дает четное. Это сложение по модулю 2, прямо как проверка четности бита в вашем компьютере. Затем вы берете этот символ и вводите его снова, так что получается самосоздающееся разнообразие символов.

Генератор псевдослучайных чисел

Новое открытие Рона Эглеша оказалось не таким уж и новым. Уже в XII веке Уго Санталия привез тайное знание от исламских мистиков в Испанию. И там оно вошло в алхимическое сообщество как геомантия: гадание по земле. Карта геомантии нарисована для короля Ричарда Второго в 1390 году.

Африканский метод гаданий в Европе стал известен как «геомантия». Приведенная на рисунке карта геомантии была создана в 1390 году для короля Ричарда Второго.