Текст книги "Суперфрактал"

Автор книги: Сергей Деменок

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 11 страниц)

Сложность простоты

Мир в целом становился более чувственным и более эмоциональным, оставаясь рациональным. Эмоциональное развивается в сторону все более сложных и тонких эмоций. Рациональное стремится к простоте. Оба тренда согласованы и чудесным образом совместимы:

Простой алгоритм производит сложные формы.

Сложной форме границ сопутствует сложная внутренняя организация фрагментов сложных систем, таких, как многообразие Жюлиа. Разнообразие множеств Жюлиа кажется ошеломляющим. И все же каждое из множеств Жюлиа строго и точно сопряжено со всеми остальными множествами из семейства множеств Жюлиа. Эта согласованность проявляет себя в том, что есть некоторое организующее множество, своего рода путеводитель в мире множеств Жюлиа. Это множество Мандельброта. Каждая точка множества Мандельброта говорит нам о том, какого вида множество Жюлиа следует ожидать для данного значения постоянной С в алгоритме Жюлиа.

Многообразию множеств Жюлия сопутствует «единообразное многообразие» – множество Мандельброта. Оно проявляется снова и снова, различных размеров, но всегда одной и той же формы. Оно не является множеством Жюлиа, а представляет собой структуру организации таких множеств. Оно напоминает геном: каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой точке организма на самом деле проявляется только некоторая малая часть этих форм.

Сам по себе порядок Мандельброта в структуре всех множеств Жюлиа свидетельствует о том, что сложное поддается систематическому изучению. Благодаря вычислительной технике удается привести в порядок огромный массив информации, придав ей вид и смысл.

Например, мы можем раскрасить фрактал. Это есть своего рода кодирование. Выбор цвета, с одной стороны, приводит к некоторой потере информации, с другой стороны – перераспределяет акценты внимания в силу воздействия на наше эмоциональное восприятие. Сложность появляется на границе множества Мандельброта. На простом черно-белом изображении этого не видно (черный цвет соответствует связным, а белый – разрывным множествам Жюлиа). Даже 256 оттенков могут дать только слабый намек на действительную сложность границы множества Мандельброта. Чтобы понять структуру границы, требуется рассматривать ее в динамике – в процессе построения.

Каким образом раскрашивается окрестность множества Мандельброта?

Представим себе, что множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд. Тогда его поверхность имеет постоянный электрический потенциал, скажем, 1000 V. В области, окружающей проводник, потенциал падает до ноля, и мы отмечаем линии постоянного напряжения, так называемые эквипотенциальные линии. Например, линия, соответствующая потенциалу в 1 V, настолько далека от проводника, что выглядит почти окружностью, так как с такого расстояния М кажется почти точечным зарядом. Линия 900 V, напротив, несколько напоминает форму М, а линия 999 V уже довольно точно повторяет его контуры. Раскраска наших рисунков соответствует этим линиям. Все точки, лежащие между двумя такими линиями, окрашиваются одинаково. Разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между границей М и бесконечностью. В 1983 году француз Адриен Дуади и американец Джон Хаббард доказали, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0. Эквипотенциальные линии являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки х₀ = 0.

Множество Мандельброта с эквипотенциальными линиями и силовыми линиями поля

Множество Мандельброта не относится к множествам Жюлиа, но они теснейшим образом связаны и структурно подобны. На это указывает тот факт, что формы отдельных фрагментов множества Мандельброта напоминают формы множества Жюлиа. Множество Мандельброта появилось как следствие исследования границы между сплошными и разрывными множествами Жюлиа. Именно граница множества Мандельброта указывает на изменение природы множеств Жюлиа. Когда параметр С покидает множество Мандельброта, множества Жюлиа теряют свою связность, взрываются и превращаются в пыль.

Этот переход «в пыль» связан с тем, что каждая точка множества Жюлиа одновременно касается областей притяжения всех аттракторов. На определенном удалении от скопления аттракторов такое пересечение границ теряет свою непрерывность.

Переход от непрерывности к дискретности тесно связан с притяжением, а тема притяжения неизбежно притягивает идеи Ньютона.

Фрактальные границы Ньютона

Сэр Исаак Ньютон заложил основы классической механики, оптики, исчисления бесконечно малых. Но кроме того он открыл еще множество менее известных методов, с пользой применяющихся и сегодня. Например, он формализовал алгоритм «проб и ошибок», известный со времен античности. Решение начинается с выбора произвольного числа. Далее итерация этого числа по определенному алгоритму приводит к решению. Процесс обыкновенно идет достаточно быстро, и количество точных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Примером такого итерационного алгоритма служит «метод касательных».

Пусть задана функция ƒ (х), для которой известно приближенное значение ее корня x₁ также значение функции ƒ (x₁) и ее производная ƒ′(x₁). Тогда, проводя касательную к графику функции ƒ (х) в точке х₁ и определяя ее пересечение с осью ОХ, получаем уточненное значение корня, равное х₂. Поскольку уравнение касательной имеет вид

y=ƒ′(x₁)(x-x₁)+ƒ(x₁),

то, приравняв его к нолю, получим формулу для расчета

x₂=x₁-[ƒ(x₁)/ƒ′(x₁)].

Теперь, беря значение х₂ в качестве приближенного значения корня и повторяя этот алгоритм, находим следующее значение х₃ и так далее. Этот процесс быстро сходится к искомому значению корня.

Решения действуют как центры притяжения, а тема притяжения всегда притягивала Ньютона!

Единственный досадный недостаток этого метода в том, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если среди этих корней есть комплексные решения. Какое именно решение будет найдено с помощью метода итераций, зависит от первоначальной догадки и первого шага.

В 1879 году английский математик сэр Артур Кейли (1821-1895) опубликовал работу, в которой рассматривался собственно оператор Ньютона, а не его результаты. Найдя ответ для уравнения 2-й степени, Кейли объявил, что случай многочленов более высокой степени будет представлен в следующей публикации, которая так никогда и не появилась. Лорду Кейли пришлось оставить этот вопрос, поскольку он оказался слишком сложным.

Итерация Ньютона производит две области притяжения. Для квадратичного уравнения:

z²—1 = 0.

Это область в окрестности z = 1 и область в окрестности z = -1. Граница этих областей разбивает комплексную плоскость на два сектора по 180°. Естественно думать, что существуют три области притяжения, которые разбивают комплексную плоскость на три сектора по 120°. Для кубического уравнения:

z³—1 = 0.

Но, как обнаружил Артур Кейли, к своему крайнему изумлению, это не так.

Проблема, с которой он столкнулся, явилась начальной точкой исследований Хаббарда. В 1977 году тогда еще совсем молодому американскому математику Джону Хаббарду, преподававшему математику в Парижском университете Орсей, студенты-первокурсники задали невинный вопрос: как будет сходиться точка, равноудаленная от трех корней кубического уравнения? Как далеко простирается влияние притяжения различных центров и на что похожа граница между ними? Хаббард довольно быстро доказал, что для уравнения второй степени данная последовательность всегда будет сходиться к ближайшему корню. Исключение составляют случаи, когда начальная точка z₀ равноудалена от обоих корней, т. е. лежит на прямой, проведенной через середину отрезка, соединяющего два корня, перпендикулярно ему. В этом случае последовательность итераций все время остается на этой прямой, совершая хаотическое движение. В отличие от Кейли, у Хаббарда в распоряжении был компьютер. Уже к концу семестра им и его студентами было получено несколько важных экспериментальных результатов, описание которых заслуживает внимания.

Рассмотрим простое кубическое уравнение, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы:

z₃-1 = 0.

В случае с действительными числами решение вполне тривиально – единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня:

и

В самом грубом приближении комплексную плоскость можно было, как пирог, разделить на три равные части, каждая из которых являлась областью притяжения соответствующего корня.

Эта была именно та картинка, которую первоначально представлял себе Хаббард (и многие другие до него). Однако более скрупулезное компьютерное исследование выявило, что геометрия границ областей притяжения имеет гораздо более сложную форму.

Нанесенные на комплексную плоскость, три указанных корня образуют равносторонний треугольник. Коль скоро в качестве начальной точки выбрано любое комплексное число, вопрос заключается в том, чтобы увидеть, какое именно из трех решений даст вычисление по методу Ньютона. Это все равно что рассматривать данный метод как динамическую систему, а три решения – как три аттрактора. Метод Ньютона для кубического уравнения z³-1 = 0 сводится к итерационной формуле:

Анализ этой формулы показывает, что решения кубического уравнения ведут себя странно. Представим комплексную плоскость в виде ровной поверхности, спускающейся к трем углублениям, окрашенным для наглядности в разные цвета. Шарик, начав катиться из любой точки на плоскости, приведет в одну из долин: состояние, в котором оказалась динамическая система, зависит от ее начального состояния. Наивное предположение, будто любое z₀ будет сходиться к ближайшему из трех корней, следует отбросить по причине его несостоятельности. Например, начальное значение z₀ = -1 сходится к 1, наиболее удаленному от него корню. Системный расчет показывает, как некоторые расчетные точки быстро приводят к одному из корней, другие словно бы прыгают рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближаясь к решению. Иногда кажется, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться вечно, не достигая ни одного из трех возможных корней (неравновесная устойчивость).

Интересно, что форма этих областей удивительно напоминает множества Жюлиа для многочленов второй степени. Можно сказать, что существуют «хорошие» (по отношению к методу Ньютона) уравнения, для которых почти все начальные точки ведут к какому-либо корню, и «плохие», для которых метод Ньютона иногда приводит к появлению притягивающего цикла.

Линии границ в конце концов открыли Хаббарду особое, фрактальное свойство:

 «между областями притяжения двух центров всегда появляется область притяжения третьего центра».

Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех центров – совершенно безумное лоскутное одеяло. На границе между любыми двумя центрами притяжения всегда расположена гирлянда островков третьего центра притяжения. Границы этих островков, в свою очередь, состоят из гирлянд островков меньшего размера и т. д.

Фрактал Ньютона, полученный методом Ньютона, примененного для поиска решений кубического уравнения Z³ -1 = 0. Один из корней лежит в белой области рисунка. Два других корня – в черной области рисунка. Пограничный слой между этими тремя корнями представляет собой фрактал. Каждая точка спиралеобразных границ соприкасается с тремя областями трех корней кубического уравнения

Границы Ньютона с разрешением 2048 х 2048 пикселей

Такая феерия была бы невозможна, если бы не фрактальная природа границ: непрерывно уменьшаясь в размерах, детали границ постоянно воспроизводят сами себя. В результате оказывается, что каждая точка такой фрактальной границы соседствует сразу с тремя областями притяжения.

Таков естественный результат конкуренции нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки. Между двумя конкурентами порой возникает третий, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет границы в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению, – это, так сказать, «диссиденты». Пайтген и Рихтер в книге «Красота фракталов» поясняют:

 «Простые контуры, отражающие противоборство противоположных принципов, являются исключением. Каждый большой конфликт сопровождают тысячи малых. Таким же образом типичной структуре границы соответствуют аналогичные структуры все меньших и меньших масштабов».

Удивительно, что столь сложная структура границ и чередующихся областей сформировалась в поле всего лишь трех точек притяжения. Траектория в поле притяжения трех тел заслуживает особого внимания.

Будучи предопределенной, она непредсказуема.

Эта непредсказуемость завораживает. Иначе почему же по всему миру продают игрушку – маятник, состоящий из подвешенного на конце нити железного шарика. Под маятником находятся три магнита, притягивающие шарик. Траектория шара выглядит весьма запутанно и очень чувствительна к исходным условиям: начальному положению шара, трению и силе гравитации.

После серии колебаний маятник замрет, а шарик зависнет точно над одним из трех магнитов. Но всегда ли шарик устремится к тому из аттракторов, который окажется ближайшим к его начальному положению? Отнюдь нет! Попробуйте – и убедитесь сами. При различных начальных условиях шарик описывает весьма замысловатую траекторию, а его конечное положение представляется совершенно непредсказуемым, будучи предопределенным. Иначе говоря, траектория шарика в поле притяжения трех магнитов есть траектория на фрактале – фрагмент странного аттрактора.

Существует много вариантов перехода от порядка к хаосу. Но в их разнообразии есть нечто неизменное, нечто типовое – это конкуренция нескольких центров за доминирование. Простые границы в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место филигранно точная и чрезвычайно сложная организация границ в поле притяжения простого фрактального аттрактора.

Существует множество разнообразных фрактальных границ. Это не только фрактальные границы Ньютона. Это, например, гиперболический синус, гиперболический косинус и многие другие. Все они описываются простыми по форме функциями (не сложнее формулы Ньютона), которые занимают ничтожно мало места в памяти компьютера, производят огромное разнообразие форм, для их хранения не хватит памяти даже самого мощного компьютера. И это напоминает генетическую организацию живой материи, принцип которой в том, что ограниченный набор генов определяет неограниченное разнообразие фенотипов организмов, иными словами:

геном контролирует феном.

Исследуя границы Ньютона, Хаббард обнаружил еще одну странную особенность. Независимо от числа аттракторов, расположенных на плоскости, каждая точка границы одновременно касается областей притяжения всех аттракторов.

В случае трех аттракторов каждая точка границы будет местом, в котором встречаются все три области!

Все это звучит неправдоподобно, но «планета» на рисунке, взятом из статьи Хайнца-Отто Пайтгена и Питера Рихтера «Границы хаоса», иллюстрирует такую возможность.

Темным, светлым и серым цветами окрашены определяемые алгоритмом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чтобы образовать границу, две области (например, окрашенные в светлый и темный цвета), третья область (серая) вклинивается между ними. Чтобы эти клинья не сформировали двусторонние границы со своими соседями, они в свою очередь окружаются цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров. Маленькая луна показывает обратную сторону планеты.

Фрактал Мандельброта – метафрактал

В эпистемологии приставка «мета-» означает «о себе». Например, метаданные – данные о данных (кто выдает их, когда, какой формат данных используется и т.п.). Аналогично, метапамять в психологии обозначает интуицию личности о том, сможет ли она вспомнить нечто, если сконцентрируется на воспоминании. Фрактал Мандельброта – это метафрактал, это фрактал-ландшафт для фракталов Жюлиа.

Сложные формы, производимые простыми алгоритмами, появились на экранах мониторов после того, как Бенуа Мандельброт запустил на одном из первых компьютеров IBM итерацию Жюлиа. Описанное Жюлиа еще в 1918 году отображение выглядит крайне просто:

Z → Z² + С.

Берем ноль, возводим его в квадрат и прибавляем к результату комплексную константу С. Полученный результат возводим в квадрат и добавляем ту же константу С. И так можно продолжать до бесконечности. Это отображение может быть применено к комплексным числам Z и С. Использование комплексных чисел усложняет расчеты, но вместе с тем позволяет увидеть весь ландшафт с «высоты птичьего полета». Когда такая возможность была реализована, появилась фрактальная геометрия.

Вычислительные машины стали детонатором фрактальных представлений. В 1977 году появилась техническая возможность рассчитать и визуализировать сложные, многократно повторяющиеся расчетные алгоритмы. Мандельброт тогда работал на фирме IBM и по роду службы имел дело с лучшими на то время компьютерами. На экране его монитора – вдруг, словно по мановению «невидимой руки», – появились узоры, замысловатые и странные.

В 1980 году Мандельброт обнаружил множество, которое мы называем теперь фракталом Мандельброта. Это не просто причудливая фигура. Это еще и принцип перехода от связного и упорядоченного – к разрывному и хаотическому состоянию форм. Множество Мандельброта содержит в себе универсальность Фейгенбаума, но не ограничивается ею.

С самого начала предпринятого им исследования Мандельброт искал пограничную линию между связными и разрывными множествами Жюлиа. Он анализировал комплексное итерационное уравнение Жюлиа:

Выбрав произвольное число Z₀, возведем его в квадрат и прибавим константу С для того, чтобы по лучить Z₁, и т. д.

Z_n+1 = Z_n² + С.

Начнем с простейшего из возможных значений константы С, а именно

С = 0.

Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат исходного числа:

Z₀ → Z₀² → Z₀⁴ → Z₀⁸ → ...

Для этой последовательности в зависимости от Z_Q имеются три возможности:

1. Числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нолю. Мы говорим, что нуль является аттрактором для процесса Z → Z². Все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого аттрактора, движутся к нему.

2. Числа становятся все большими и большими, стремясь к бесконечности. Мы говорим, что бесконечность является аттрактором для такого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от ноля, движутся к бесконечности.

3. Точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от ноля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в ноле.

Ситуация ясна. Плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

Дело обстоит сложнее, когда мы выберем ненулевое значение С, отличное от ноля. Например,

С = -0,12375 + 0,56508i

Здесь для последовательности Z₀ → Z₁ → Z₂ → ... также имеются три из перечисленных выше возможностей, но внутренний аттрактор (отмеченный точкой на рисунке) уже не является нолем, а граница уже не выглядит гладкой. Она сильно изломана. Причем под лупой граница выглядит столь же изломанной, как и без нее. Она фрактальна.

Одной из характерных особенностей этой границы является ее самоподобие. Если взглянуть на любой из ее поворотов или заливов, можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в различных местах и имеет разные размеры.

Если выбрать новое значение С, скажем,

С = -0,12 + 0,74i,

то получим множество, которое представляет собой не единственную деформированную окружность, а состоит из бесконечного числа деформированных окружностей, образующих, однако, связное множество. Внутренние точки этого множества притягиваются не одной неподвижной точкой, а циклом из трех точек, отмеченных на рисунке более крупно. И эти границы также фрактальны.

Множества Жюлиа с одной притягивающей неподвижной точкой С = -0.12375 + 0.56508i и множество Жюлиа с притягивающим циклом периода 3С = -0.12 + 0.74i

Оба эти множества – представители семейства множеств Жюлиа. Во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фату изучили их свойства, но их исследования долгое время оставались малоизвестными даже для большинства математиков. Это не удивительно. Без компьютерной графики было почти невозможно передать их тонкие идеи. Например, Жюлиа и Фату было хорошо известно о самоподобии. Они установили, что всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части, используя конечное число итераций отображения

Z → Z₂ + С.

Еще более трудно представить сложную динамику множеств Жюлиа, не прибегая к компьютерной графике. Не менее сложно предсказать, какой вид будет иметь множество Жюлиа при том или ином значении параметра С.

Исследование Мандельброта позволило преодолеть эти трудности. Ученый нашел и построил границу, внутри которой каждой точке соответствует то или иное связное множество Жюлиа. Любой точке за пределами этой границы соответствует такое множество Жюлиа, которое как бы рассыпается на бесконечное число оторванных друг от друга фрагментов.

Представим себе некоторый путь, начинающийся внутри множества Мандельброта и заканчивающийся вне его. Если менять С, двигаясь вдоль этого пути, то самые драматические изменения происходят с множествами Жюлиа тогда, когда наш путь пересекает границу множества Мандельброта. Здесь, на границе, множества Жюлиа, как будто взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа точек. В этом смысле граница множества Мандельброта определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа.

Эта граница занимает область в диапазонах

-2,25 < Re(0) < 0,75

и

-1,5 < lm(C) < 1,5.

Множество Мандельброта для процесса Z→Z²+C. Показана часть комплексной C-плоскости -2,4 < Re C < 0,8; -1,5< Im C < 1,2

Различным зонам множества Мандельброта отвечают некоторые качественные утверждения о множестве Жюлиа.

Например, кардиоида, очерчивающая главное тело, содержит все значения С, при которых множество Жюлиа будет более или менее деформированной окружностью, охватывающей область притяжения некоторой неподвижной точки.

На действительной оси множества Мандельброта реализуется Ферхюльстов сценарий удвоения периода. Период два будет устойчивым внутри большой почки, которая примыкает к основному телу с левой стороны и размещается в интервале на действительной оси:

-1,25 < С < -0,75.

Точка С = -2 является крайней точкой антенны множества Мандельброта.

Мы видим, что по сравнению с анализом на действительной оси выход в комплексную плоскость дает более полную картину перехода от связного порядка к разрыву и хаосу.

На что же похоже множество Жюлиа для значений С из какой-либо почки множества М, примыкающей к основному телу?

Один из примеров представляет собой параболический бассейн около неподвижной точки при

С = -0,481762 – 0,531657i.

Это значение С соответствует месту прорастания почки, дающей устойчивые циклы периода 5. Все пять точек таких циклов отщепляются от жирной точки, когда С переходит внутрь почки.

Параболический бассейн около неподвижной точки С = -0,481762 – 0,531657i

Помимо точек прорастания почек основное тело множества Мандельброта обладает граничными точками совершенно иных типов. Неподвижная точка будет устойчивой для

С = -0,39054 – 6,58679i.

В отличие от параболического случая, граница не подходит к неподвижной точке, да и остальные точки при движении ее тоже не достигают. Окружности, охватывающие неподвижную точку, являются инвариантными, т. е., выбрав начальную точку на какой-нибудь из этих окружностей, мы ее уже никогда не покинем при последующих итерациях.

Внутри области, ограниченной множеством Жюлиа, процесс протекает следующим образом: сначала точки перескакивают из меньших, периферийных, точек в большие до тех пор, пока не попадут внутрь диска, содержащего неподвижную точку. Этот диск назван диском Зигеля в честь немецкого математика Карла Людвига Зигеля. После того как точки попадают туда, они начинают просто вращаться вокруг неподвижной точки по своим инвариантным окружностям.

Диск Зигеля около неподвижной точки и его прообразы при С = -0,39054 – 6,58679 i

Описанные выше четыре примера иллюстрируют все типичные случаи, когда граница, порожденная отображением Z → Z² + С, охватывает область с внутренними точками.

Итак:

• Если С лежит внутри основного тела множества Мандельброта, то некоторая фрактально деформированная окружность охватывает единственную притягивающую неподвижную точку (пример 1).

• Если С лежит внутри одной из точек, то множество Жюлиа состоит из бесконечного числа фрактально деформированных окружностей, охватывающих точки периодического аттрактора и их прообразы (пример 2).

• Если С является точкой прорастания почки, то имеет место параболический случай; граница имеет усики, дотягивающиеся до маргинально устойчивого аттрактора (пример 3).

• Если С является любой другой точкой границы кардиоиды или точки (имеются некоторые технические условия относительно иррациональности точки), то мы имеем диск Зигеля (пример 4).

В фундаментальной математической работе в 1983 году американец Деннис Салливан показал, что указанные четыре случая описывают все возможные характерные структуры, которыми может обладать область, ограниченная множеством Жюлиа, за исключением одной. Пятая возможность – так называемые кольца Эрмана. Они названы так в честь американского математика Михаила Эрмана, первым построившего этот тип множеств Фату в 1979 году.

Эти примеры отнюдь не исчерпывают список всех возможных структур множеств Жюлиа. Множество Мандельброта окружено шипами и иглами, похожими на антенны. Если мы поместим С на самый конец одной из таких антенн, то получим и множества Жюлиа, по форме подобные иглам. При более внимательном рассмотрении оказывается, что каждая антенна множества Мандельброта содержит множество маленьких копий всего множества Мандельброта. Они как бы нанизаны на нити, и между двумя большими копиями имеется еще одна, меньшая, и так далее без конца. На рисунке показан пример С = i. Такие дендриты не имеют внутренности, но сохраняют связность. До тех пор, пока С принадлежит множеству Мандельброта, множество Жюлиа остается связным. Согласно теореме Адриена Дуади и Джона Хамала Хаббарда множество Мандельброта также связно.

Оператор приближения «zoom», примененный к фракталу Мандельброта

Если взять значение C вне множества Мандельброта, то единственным аттрактором будет бесконечность, но теперь множество Жюлиа распадается в облако точек, называемое «пылью Фату». Эта пыль становится все мельче с удалением точки С от множества Мандельброта. Если С находится вблизи границы множества Мандельброта, то пыль образует завораживающие семейства, такие как дендриты с бусинками и ряды морских коньков.

Выход Мандельброта в комплексную плоскость по сравнению с анализом на действительной оси позволяет сгладить разрывы и сделать картину перехода более плавной, более непрерывной. Иллюстрацией этому служит связь между множеством Мандельброта и сценарием удвоения периода. В первом случае С – комплексное число. Во втором случае С – действительное число. Как видно из рисунка на следующей странице, бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне.

Открытие Мандельбротом универсальной формы, фрактала Мандельброта, радикально изменило отношение между простым и сложным. Теперь сложность стала проявлением простоты, а простота стала необходимым условием сложности.

Типичные множества Жюлиа для процесса Z→ Z² + С:

а) параболический случай; при подходящем произвольно малом изменении С: маргинально устойчивая неподвижная точка превращается в притягивающий цикл периода 20;

б) параболический случай С = -1.25: С > – 1.25: притягивающий цикл периода 2; С < -1.25: притягивающий цикл периода 4;

в) связное множество Жюлиа (притягивающий цикл периода 3) незадолго до превращения в канторово множество (см. рис. е);

г) пыль Фату;

д) дендрит, С = i;

е) Канторово множество, получающееся из рис. 6 при малом изменении параметра С.

Пыль Фату:

а) Дендрит с бусами. Множество Жюлиа для значения С из вторичного множества Мандельброта;

б) Множество Жюлиа при некотором значении С из долины морских коньков.

Связь между множеством Мандельброта и сценарием удвоения периода. Бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне