Текст книги "Суперфрактал"

Автор книги: Сергей Деменок

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 11 страниц)

Фракталы повсюду

Мир вокруг битком набит фрактальными структурами. С помощью фрактальной геометрии можно описать самые разные предметы – от контуров леса на фоне неба до системы кровеносных сосудов. Тот факт, что фрактальные структуры проявляются повсеместно, и то, что существует целый мир фрактальных форм, иногда порождает сдвиг от рассмотрения «вселенной фракталов» к рассмотрению «Вселенной как фрактала». Эту фикцию закрепляют новостные агентства, когда в лентах новостей появляются сообщения, подобные следующему:

«Группа астрономов пришла к выводу, что материя во Вселенной распределена в виде фрактала.  Традиционно считается, что при увеличении масштаба распределение материи во Вселенной становится непрерывным. Опровержение этого постулата может привести к пересмотру существующих моделей Вселенной».

Основанием таких «мировоззренческих» трактовок часто служит одна из моделей Вселенной, которая называется хаотической теорией инфляции. Объясню суть этой концепции в самых общих чертах. Теория космической инфляции, которую выдвинул американский физик и космолог Алан Харви Гут, предполагает, что когда нашей Вселенной была всего доля секунды отроду, наше пространство практически мгновенно раздулось до пределов, далеко превосходящих возможности наших телескопов. Движущая сила, стоявшая за этим колоссальным расширением, – весьма необычное состояние материи под названием «ложный вакуум». Эту ситуацию можно уподобить мячу, лежащему на вершине пологого холма. Дело в том, что пока Вселенная оставалась в состоянии ложного вакуума, то есть мяч лежал на вершине холма, она расширялась очень быстро, вдвое увеличиваясь в размерах за крошечную долю секунды. Стремительное расширение прекратилось, лишь когда мяч скатился с холма в низкоэнергетическую «канаву» у подножия (которая символически отражает тот факт, что ложный вакуум распался).

Согласно инфляционной модели, так называемая наша Вселенная пребывала в состоянии ложного вакуума очень недолго и все это время расширялась в фантастическом темпе. Затем ложный вакуум распался, и наша Вселенная стала расширяться куда более лениво, что мы и наблюдаем сегодня. Вся энергия и субатомные частицы нашей Вселенной были созданы во время осцилляции, последовавшей за распадом. Однако модель космической инфляции предсказывает также, что темп расширения в состоянии ложного вакуума гораздо стремительнее темпа распада. Следовательно, Вселенная начинается с участка ложного вакуума. С течением времени какая-то часть этого участка отделяется и порождает так называемую «карманную вселенную» вроде нашей. Одновременно участки, остающиеся в состоянии ложного вакуума, продолжают расширяться, приобретают те же размеры, что и уже отделившаяся карманная вселенная. Время течет дальше, центральная карманная вселенная продолжает медленно развиваться согласно общепринятой теории Большого взрыва. Однако каждый из двух оставшихся участков ложного вакуума развивается в точности так же, как и первоначальный участок ложного вакуума: часть его распадается, и возникает карманная вселенная. Каждый участок ложного вакуума расширяется и производит свою «карманную вселенную». Таким образом создается бесконечное количество карманных вселенных – и фрактальный узор: одна и та же последовательность участков ложного вакуума и карманных вселенных повторяется в постоянно уменьшающемся масштабе. Если выяснится, что эта модель и в самом деле отражает эволюцию вселенной в целом, значит, наша карманная вселенная – всего лишь одна из бесчисленного множества существующих карманных вселенных.

Фрактальные структуры объективно существуют, и существуют повсеместно. Любая структура сама по себе есть объективная символическая категория реальности, стоящая в одном ряду с такими категориями, как вещество и действие (взаимодействие). В этом смысле «фрактал – один из объектов реальности». Но из этого не следует, что «объективная реальность есть фрактал». На самом деле структура мира не сводится к фракталу. Но фрактальная интерпретация оказывается полезной и конструктивной во многих случаях.

Фрактал, соединив форму, функцию и число (символ), иллюстрирует совмещение дискретности и непрерывности (на формальном уровне), детерминизма и непредсказуемости (на функциональном уровне), предметного и операционального (на символическом уровне).

Фрактальная диалектика

Рассмотрим диалектический принцип «единства противоположностей». Это древняя головоломка, которую великолепно интерпретирует фрактал как модель единства и различия фрагментов. Фрактал демонстрирует соединение различных форм в одной единообразной структуре одновременно двумя путями: взаимопроникновением в процессе построения фрактальной формы (1) и сдвигом на новый масштаб (2).

Рациональное мышление всегда склонялось то в сторону примирения противоположностей (1), то в сторону их комплиментарности (2). Первый путь сводится к поиску ракурса, в котором противоположности представляются единым целым. Второй путь основан на введении ортогональной оси, на которую, как шашлык на шампур, нанизаны комплиментарные планы реальности.

Быть может, наиболее образно сопряжение противоположностей интерпретирует древнекитайский символ тайцзы. Ось времени, на которой разворачиваются события вне плоскости Ян и Инь, им ортогональна. Именно вдоль оси времени Инь, расширяясь, поглощает Ян, но, едва поглощенный, Ян возрождается из самой сердцевины Инь и поглощает Инь; будучи едва поглощенный, Инь возрождается из самой сердцевины Ян и расширяется снова...

Диалектика, истоки которой восходят к Гераклиту, утверждает «вечное становление» как результат взаимодействия противоположных, взаимоисключающих фактов и трендов, которые сталкиваются, пересекаются, конфликтуют. Как борцы на арене, они напряжены, доводя соперника до крайности. Один фрагмент доводит до предела другой, но каждый действует так, чтобы один преодолевал предел другого. Они сжимают друг друга, отстраняясь как можно дальше и отталкивая туда, куда не выйти в одиночку. Во взаимном напряжении различные влияния стимулируют появление самых удаленных гармоний. Всякое созвучие, едва оформившись, тут же диссонирует. И это становится началом повторения борьбы влияний. Повторение за повторением производит поток, который никогда не повторяется. Здесь противоположности совмещаются во времени – во времени они комплиментарны.

Платон видел путь к истине посредством сведения противоречащих сторон в единое целое. Это путь гармоничного примирения. Платон, защищая Бога от обвинений в попустительстве зла, сохранил рациональность, наделив Бога абсолютной «трансцендентностью». Теперь Бог вне пространства наблюдаемой реальности, в пространстве ему ортогональном, его пронизывающем, но от него отделенном. Это допущение обеспечивает комплиментарность Бога и Мира, исключает конфликты и противоречия. Николай Кузанский соединяет противоположности во времени:

«Само Божественное провидение включает равным образом как то, что случается, так и то, что не случается, но может случиться. Я смогу завтра читать или не читать, словом, как бы ни было то, я не ускользну от провидения, ибо оно объемлет противоположности, и все то, что я буду делать, произойдет по предвидению Бога».

От абстрактных положений Николай Кузанский подошел к технике взаимопроникновений противоположностей – coincidentia oppositorum (лат. – совпадение противоположностей). Классическая немецкая философия (И. Кант, И. Фихте, Ф. Шеллинг) делала акцент на комплиментарности противоположностей. Марксистская философия (К. Маркс, Ф. Энгельс, В. И. Ленин) утверждала «принцип единства и борьбы». Энгельс писал:

«...в том, что вещь остается той же самой и в то же время непрерывно изменяется, что она содержит в себе противоположность между пребыванием одной и той же и изменением, уже заключается противоречие».

Маркс продолжил:

«Сосуществование двух взаимно противоречащих сторон, их борьба и слияние в новую категорию составляют сущность диалектического движения».

В начале 1927 года во время отпуска в Норвегии Нильс Бор сформулировал «принцип дополнительности». Формулировка Бора была призвана разрешить корпускулярно-волновой дуализм квантовой механики. При этом Бор с опорой на философов Сёрена Къеркегора, Харальда Гёффдинга и Уильяма Джеймса просто признал допустимым употребление двух языков, каждый из которых базируется на обычной логике. Стоит только допустить дополнительность двух взаимоисключающих интерпретаций – волновую непрерывность и корпускулярную дискретность, – как наблюдаемые квантовые эффекты удается объяснить и интерпретировать. При этом, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, не может возникнуть такой физической ситуации, в которой оба дополнительные аспекта явления проявились бы одновременно и одинаково отчетливо. Сам Гейзенберг распространял этот принцип далеко за рамки квантовой физики. Гейзенберг писал:

«В окончательном состоянии различные культурные традиции, новые и старые, будут сосуществовать, весьма разнородные человеческие устремления могут быть соединены для того, чтобы образовать новое равновесие между мыслями и действием, между созерцательностью и активностью».

Философы постмодернизма (Жак Деррида, Жиль Делёз, Жак Бодрийяр) представляли совмещение противоположностей как умножение дифференциалов до той гомогенной массы, в которой противоположности уже неразличимы и из которой они перманентно произрастают. Постмодернисты указывают, что отторжению противоположностей друг от друга предшествует процесс накопления существенных различий, который предваряется зарождением различий (Даррида). Зарождению различий сопутствует процесс дефиниций и означений. Исходное противопоставление в процессе накопления различий размазывается, диспергируется, распыляется во множестве знаковых смыслов. Однако распыляемое, влияя на процесс распыления, формирует связный кластер вещей, явлений и символических знаков. Последние проявляют себя в информационных структурах и петлях обратного влияния.

Проницательный мистик Раджниш Ошо в книге «Дхаммапада. Из хаоса рождаются звезды» приводит метафору:

«Когда танец тотален, танцора больше нет; есть лишь танец. Когда танец достигнет высшего пика, танцор исчезает. Это не две сущности – танцор и танец. Когда художник действительно сливается со своей картиной, когда он поглощен ею, тогда больше нет художника и картины, лишь процесс написания картины. Художника не осталось; художник исчезает. Лишь когда художник исчезает, картина достигает наивысшей красоты».

Танцор, художник, певец, музыкант, поэт – все они знают эти мгновения, но это лишь мгновения в их жизни: мгновение вдохновения. Посредством медитации – в высшей степени рационально – эти моменты можно продлить настолько, что танцор исчезает навсегда, наступает состояние «нирваны»:

 «Нирвана означает, что ты прекратился; ты – просто бесконечная пустота, подобная небу. И в этот момент, когда ты есть эта бесконечность, ты наполняешься звездами, и начинается совершенно новая жизнь».

Появление звезд – притягательно ярких и ясных символов – вот новое измерение жизни, которое формируется в процессе стирания противоположностей между собой и с самим процессом означивания и дифференцирования. Вещественное, сливаясь с операциональным, указывает на символическое.

На прагматичном техническом языке фрактал геометрически ясно иллюстрирует то же самое – связность формального и операционального планов реальности в ортогональном им символическом пространстве. Фрактальная интерпретация не просто популяризирует новую картину реальности, но стимулирует креативные и экстравагантные решения, которые создают реальность новейшую, в которой плюрализм, уникальность и гетерогенность легко и естественно совмещаются с глобальностью, универсальностью и сплоченностью.

Фрактал примиряет разрыв с непрерывностью, это делает фрактал такой структурой, которая может обеспечить связь между порядком и хаосом. Поэтому фрактальные структуры часто наблюдаются на границе порядка и хаоса – фракталы там, где хаос.

Глава II.

Фракталы и хаос

• Хаос: сдвиг парадигмы

• Алеаторный детерминизм

• Динамическая система

• Диссипативная система

• Фазовый портрет

• Странный аттрактор

• Динамический хаос

• Фракталы и случай

• Обратная связь

• Логистическое уравнение Ферхюльста

Хаос: сдвиг парадигмы

Весь пафос картезианской парадигмы был в том, что по воле Бога все на свете подчинено законам. Картезианский мир напоминает часовой механизм, который работает согласно чертежу Великого Часовщика. Под картезианскими небесами человеческая мысль развивалась почти половину тысячелетия, со времен Возрождения. Но в XX веке картезианская парадигма потеряла свою привлекательность под давлением квантовой механики и теории хаоса.

Если символом квантовой механики стал кот Шредингера, то символом теории хаоса стала бабочка Лоренца.

Под знаками кота и бабочки утверждается новая парадигма. Случайность и Хаос теперь не на периферии, но в самой сердцевине окружающей нас реальности. Случайные флуктуации производятся повсюду. Случай запускает механизмы возникновения порядка из хаоса. Каждый фрагмент порядка проистекает из хаоса и всегда погружен в хаос. Между любыми фрагментами порядка есть область хаоса, в которой непременно найдется фрагмент порядка.

Старая парадигма заключается в том, что хаос превращает предсказания в бесполезное дело. Однако наша способность понять, описать и даже предсказать поведение нестабильных систем значительно расширилась благодаря исследованиям хаоса. Эти исследования выявили, что такие черты поведения хаотических систем, как нестабильность и нелинейность, присущи большому классу детерминированных систем.

По-настоящему хаотическое поведение нестабильных систем предсказать невозможно. Поведение стабильных динамических систем легко предсказуемо. Но есть еще такие динамические системы, которые, на первый взгляд, кажутся предсказуемыми, но предсказать их поведение никак невозможно. Собственно, это и есть так называемый «динамический хаос». В 1927 году сэр Артур Эддингтон так описал существо вопроса:

«Предсказывают, что полное солнечное затмение, которое можно будет увидеть в Корнуолле, произойдет 11 августа 1999 года... Я могу отважиться предсказать, что 2 + 2 будет равняться 4 в 1999 году... Предсказание погоды на этот период следующего года... вероятно, никогда не станет практичным... Нам потребуется очень подробная информация о нынешних условиях, поскольку маленькое местное отклонение может привести ко все усиливающемуся влиянию. Мы должны исследовать состояние солнца... иметь предупреждения об извержениях вулканов, забастовке горняков, зажженной спичке, которую поленились затушить и просто бросили...»

Когда Кеплер и Ньютон, а затем более точно Эйнштейн, объяснили раз и навсегда то, как отдельные планеты движутся вокруг Солнца по своим эллиптическим орбитам, создалось впечатление, что для полного описания движения системы трех или более тел требуется просто увеличить интенсивность вычислений. Наши спутники могут полагаться на ньютоновы законы движения и на то, что современные компьютеры направляют их к нужным целям. Однако по истечении достаточно большого периода времени траектории их движения становятся непредсказуемыми. До сих пор не получен ответ на старый вопрос об устойчивости Солнечной системы.

На рубеже XVIII-XIX вв. считалось, что она должна быть устойчивой. В начале XX в. – после Пуанкаре – имелись основания предполагать обратное. Сегодня мы уже допускаем, что долгосрочный прогноз поведения Солнечной системы (даже если ограничиться только гравитационным взаимодействием) невозможен. Как говорят специалисты, уравнения являются «неинтегрируемыми». Любая самая малая неточность в начальных условиях может позже очень сильно повлиять на последующее движение.

Слева: типичная траектория решения задачи трех тел в небесной механике. Вверху показано начало, а внизу – дальнейшая эволюция хаотического движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой.

Справа: аттрактор Лоренца: хаотическое движение в диссипативной системе. В отличие от движения планет, это движение направляется к аттрактору силой трения. Но «странные аттракторы» допускают существование сложных движений, прыжки вперед и назад между двумя центрами. (Пайтген Х.-О., Рихтер П. X. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. 1989)

В середине XX века фон Нейман создал свой первый компьютер с твердым намерением использовать вычислительную машину для управления погодой. Он полагал, что сложная динамическая система имеет точки неустойчивости – критические моменты, в которые слабый толчок может привести к огромным последствиям, как это происходит с мячиком, балансирующим на вершине холма. Вопрос заключался в том, чтобы определить эти точки, воздействовать на систему в нужный момент и рассчитать на компьютере ее дальнейшее поведение. На практике это должно было выглядеть так: «Центральный комитет» метеорологов принимает решение изменить погоду. В небо поднимаются самолеты, чтобы оставить за собой дымовую завесу или разогнать облака. Прекрасная перспектива! Однако Нейман не учел вероятность хаоса, при котором неустойчива каждая точка.

В каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции любого процесса информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают для событий множество различных исходов, но наш мир имеет одну-единственную историю. К 1970-м годам сформировалось понимание миропорядка не столько сквозь призму порядка, сколько сквозь призму хаоса. Работы Эдварда Лоренца и Ильи Пригожина сыграли в этом процессе решающую роль. Теория утверждала:

Малое вмешательство может вызвать большие перемены, если система находится в состоянии динамического хаоса.

Природа риска неустранима. В режиме хаоса неустойчива каждая точка. Реальность изменяется хаотически. Изменения реальности невозможно предвидеть и невозможно точно предсказать. Неточность в наблюдениях сложным образом сливается с ошибкой в модели, заставляя нас переоценивать то, что считается хорошим прогнозом. Прогноз изменяется в режиме реального времени. Приходится жить в режиме интенсивного настоящего, постоянно сверяя и корректируя модель с реальностью. Такая стратегия поведения есть один из результатов исследования хаоса. Хаос постоянно разрушает порядок. Он же постоянно порядок и производит.

Порядок появляется из хаоса как результат формирования устойчивых петель обратного влияния. Такие петли возникают из «отклика» на случайный «оклик». И если происходит сцепление, то возникает повтор «отклика» на «отклик». Появляется устойчивая петля, которая синхронизирует себя со своим случайным окружением. И если такая синхронизация наступает, то петля встраивается в структуру уже существующих петель обратного влияния.

Случай рвет и склеивает устойчивые связи. Он создает элегантный хаос из строго детерминированных и алеаторных эффектов. Такой хаотический режим называют еще детерминированным, или динамическим, хаосом.

Любой прогноз лежит в области пространства наших представлений, но в равной мере – в поле влияния чужих намерений. И на этом основании мы не можем полностью доверять нашим моделям и расчетам. Как отмечал Альфред Норт Уайтхед,

«опасно интерпретировать расчеты так, словно  они каким-либо образом управляют реальным миром».

В современном мире расчет и реальность, эмпирический факт и виртуальную фантазию разделить почти невозможно. Они, разнообразные и разнонаправленные, сливаются в реальности в одно единое и согласованное целое. Соединение, сопряжения или отторжения предрасположенностей и намерений случаются в коллизии фактов и фикций.

Именно случаются. Случай играет конструктивную роль в процессе становления реальности. В каждый момент времени происходит создание, склеивание и стирание физических объектов и эффектов. Все происходит по случаю, но не как попало.

Научная мысль пытается изучить случай. Во времена Паскаля и Ферма сформировались представления о том, что случай бывает «ручной», а бывает случай «дикий». Первый случай связан с ошибками измерений и с неполнотой наших знаний о поведении динамических систем. Второй случай – это «чистая» случайность. Он – бросок игральной кости на зеленое сукно. Такой случай называют алеаторным.

Таков «клинамен» Лукреция. Иногда, считал Лукреций, в самое неопределенное время и в самых неожиданных местах вечное и всеобщее падение атомов испытывает слабое непроизвольное отклонение – «клинамен» (лат. clinamen – уклонение). Надежда и страх, вера и фатализм, азарт и расчет – все вовлечено в сферу влияния клинамена.

Клинамен – это алеаторная флуктуация. У нее нет причин, но есть ограничения. Случай ничего не может изменить в прошлом, и случай не может изменить горизонт будущих возможностей.

Суть алеаторного детерминизма в том, что случай синхронизирует то, что есть, с тем, что будет, в пределах того, что уже произошло, и того, что может произойти.

Событие зависит от причин, предшествующих событию. Событие также зависит от намерения и цели.

Будущее притягивает настоящее. Настоящее чревато будущим – «сегодня» становится из «вчера», но через «завтра».

Предвестники – будь то голубь или радуга, будь то пророк или провидец, будь то холод или зной – они не предвещают, но предопределяют будущее. При такой трактовке неосведомленность не в прошлом (там все предопределено) и даже не в будущем (сценарии прогнозируемы), но только в настоящем, где выбор определяется случаем. Именно в настоящем в процессе вызова и выбора, которые завершаются актом действия: «alea jacta est» – «жребий брошен». С этого момента судьба зависит от случая.

Все, что есть, возникает по случаю из хаоса шаг за шагом, фрагмент за фрагментом. Древнегреческий поэт Гесиод знал и говорил:

 «Космос возникает из Хаоса».

Айзек Азимов в «Занимательной мифологии» пишет о том, что древние греки сравнивали «хаос» с «морским заливом с широким входом». За Геркулесовыми столпами нет ничего, кроме хаоса. На обширном пространстве может легко затеряться все что угодно, особенно в утренние часы с клубящимся туманом. Так можно представить себе первобытный хаос, в котором пока нет ни звезд, ни планет с определенными очертаниями, а есть нечто подобное клубящемуся туману. Из этого тумана возникает все и может возникнуть все что угодно.