Текст книги "Суперфрактал"

Автор книги: Сергей Деменок

Алеаторный детерминизм

Когда-то Жан Бодрийяр написал притчу «Смерть в Самарканде». Это история про солдата, встретившего Смерть по пути с базара и вообразившего, будто та подала ему какой-то угрожающий знак. Он спешит во дворец и просит у царя лучшего коня, чтобы ночью бежать куда подальше, в далекий Самарканд. Затем царь, встретив Смерть во дворце, упрекает Ее в угрозах одному из лучших его солдат. Но удивленная Смерть отвечает царю, что вовсе не хотела его напугать. Жест, который так напугал солдата, сложился от неожиданности встречи с тем, кто назавтра должен быть в Самарканде. Конечно: чем отчаянней мы пытаемся избежать своей судьбы, тем вернее она нас настигает. Неисповедимы пути знаков, неисповедимы наши трактовки знаков.

Однако вся интрига заключается в том, что неизбежное свидание солдата со Смертью могло и не состояться. Нет никаких оснований полагать, что солдат явился бы на него, не произойди эта случайная встреча, усугубленная случайностью «наивного жеста» Смерти, который «вопреки ее воле обернулся манящим жестом». Если бы Смерть просто призвала солдата, то история лишилась бы своего магнетизма. Все сводится к интерпретации знака и превращению его в угрожающий символ смертельного приговора. Знак Смерти вступает в игру без всякого ведома игроков (не только солдата, но и самой Смерти). Иначе откуда ей знать, что солдат назавтра будет в Самарканде? Ни сознательной стратегии, ни даже бессознательной уловки в поведении Смерти не заметно, именно это вдруг объясняет суть дела:

случай зажат в «двойной клешне» предрасположенности и преднамеренности.

Все персонажи ведут себя безупречно свободно (Смерть вольна сделать некий жест, солдат волен бежать, царь волен дать коня). Но за этой кажущейся свободой выясняется, что каждый следовал какому-то правилу, которое по-настоящему никому не было известно, и даже Смерти. Самое интригующее во всей этой притче – игра, у которой нет определенных правил, но правила все-таки есть. Точнее, есть набор всевозможных правил, которые выбираются по случаю, но так, что они никогда не нарушают горизонты возможного.

С архаических времен шаманы, волхвы, жрецы, оракулы, конфуцианские монахи и даже христианские пророки делали свои предсказания на основе случайных знаков или знамений. «Книга Перемен» доказывает, что алгоритм предсказаний не нуждается в прозрении. Необходима отражающая поверхность, заслуживающая доверия (например, «Книга перемен», гексограмма типовых 64 ситуаций), и необходим алеаторный акт – бросание монеты или слепой выбор бамбуковой палочки. Дальше происходит «автоматическая сборка» – автореференция интерпретаций дает ответ на вопрос, который вопрошающий обращает, по сути, к самому себе. Интерпретация создает вектор желания и стимулирует эмоцию, энергия которой придает вес желанию. Эмоций нет в прошлом, нет их и в будущем. Эмоция, как и случай, есть качества настоящего состояния. В этом состоянии под влиянием случая стираются границы между порядками и хаосом, а под влиянием эмоций реальное перестает отличаться от иллюзорного.

В свете таких представлений формируется новая парадигма, согласно которой в коллизии предрасположенного и преднамеренного случается то, что становится реальностью.

Было сказано Крезу:

«Если ты перейдешь Галис, ты разрушишь великое царство».

Какое царство? Свое собственное. Но оракул этого не сказал. Крез об этом даже и не думал. Галис перейден. Великое царство Креза разрушено. Акрополь пал под натиском персов. Случилось так, как тому следовало случиться. Оракул ничего не добавил к знанию Креза. Крез сам все решил.

Случай – вот то, что оказывается в центре внимания. Борхес в эссе «Лотерея в Вавилоне» рассказал свою притчу. Я ее коротко перескажу.

Лотерея появилась и стала существенным элементом реальности в Вавилоне. Первоначально то была не более чем плебейская по характеру забава, в которую можно было лишь выиграть. Скоро она наскучила, так как «не была обращена ко всей гамме душевных способностей человека, только к надежде». Тогда игру попытались реформировать: в список счастливых номеров внесли небольшое количество несчастливых, и невезучему жребий присуждал уплату значительного штрафа. Именно это новшество радикально изменило ситуацию, развеяло иллюзию рациональной целесообразности игры. Отныне игра явилась в чистом своем виде, и умопомрачение, завладевшее вавилонским обществом, не знало более границ. Теперь по жребию могло выпасть все что угодно, лотерея сделалась тайной, бесплатной и всеобщей, всякий свободный человек автоматически становился участником священных жеребьевок, совершавшихся каждые шестьдесят ночей и определявших судьбу игроков вплоть до следующего розыгрыша. Счастливый розыгрыш мог сделать любого богачом, магом, даровать обладание желанной женщиной, несчастливый мог накликать на любого увечье или смерть.

Игра вводила случай во все щели социального миропорядка. И даже ошибки лотереи – «правильны», поскольку лишь укрепляют логику случая. Собственно, уже неважны сами правила лотереи, коль скоро они не нарушают алеаторную природу лотереи. Уловки и махинации с правилами никак не устраняют неопределенность. Случай невозможно обмануть.

Реальность не лишена правил, но комбинации правил зависят от случая. Они никому не известны. Они даже не могут быть известны. При таком положении дел любая симуляция, уловка, обман толкают на выбор того или иного мотива и определяют комбинацию законов, реализуемую в тех или иных обстоятельствах. В этом смысле «эффект лотереи универсален». Лотерея встроена в миропорядок. Даже гипотеза о существовании организаторов лотереи ничего не меняет, ведь устанавливаемые ими правила отражают их представления о реальности, которая изменяется тут же по провозглашении правил.

Бодрийяр заметил:

«Реальность, какой симуляция меняет ее внутри нее самой, есть не что иное, как реальность».

Осознание роли алеаторной симуляции – вот что радикально меняет картину мира. Наше бытовое представление признает «игру случая». Игра случая видится по обыкновению не слишком весомой надстройкой в сравнении с надежным базисом, добротной инфраструктурой законов. «Лабиринт» Борхеса все переворачивает «с ног на голову и неопределенность делает определяющей инстанцией». Отныне законы и участь индивидов определяются уже не только объективными условиями (предрасположенностью), не только тотальным индетерминизмом (игрой случайных флуктуаций), но еще и преднамеренными манипуляциями. Это означает, что

 случай в реальности зажат в «двойной клешне» предопределенности и преднамеренности.

Предопределенность и неопределенность запутаны в плотный клубок и представляются одним неделимым актом, производящим реальность. Приходится набраться терпения, чтобы разобраться с запутанным переплетением причин и намерений. Вспомним Фауста во время омоложения в колдовском логове:

 
Готовить вытяжку из трав —
Труд непомерного терпенья.
Необходим спокойный нрав,
Чтоб выждать много лет броженья.
Тут к месту кропотливый дар,
Предмет по-женски щепетилен.
Хоть черт учил варить отвар,
Но сам сварить его бессилен.
 

И. В. Гете

Нам, чтобы не застрять в облаках «высоких» материй, пришло время заняться деталями и обратиться к простым вещам, требующим терпеливого рассмотрения и понимания. Это, прежде всего, такие понятия, как динамическая система, диссипативная система, фазовые портреты, аттракторы, фракталы и случай.

Динамическая система

Когда-то в понятие динамической системы вкладывали чисто механическое содержание, имея в виду набор тел, связанных силовыми взаимодействиями и подчиняющихся системе дифференциальных уравнений, вытекающих из законов Ньютона. Постепенно это понимание изменилось.

Сегодня динамической называется такая система, в которой каждое значение параметра в любой последующий момент времени получается из исходного набора параметров по определенному правилу: вы вводите некоторое число и получаете обратно новое число, которое вы снова вводите в систему. Этот процесс называется «итерацией».

Правила поведения динамической системы могут быть описаны дифференциальным уравнением, если система ведет себя как поток, или рекуррентным отображением, если система ведет себя как каскад.

В первом случае траектория системы есть непрерывная линия в фазовом пространстве. Во втором случае фазовой траекторией динамической системы является дискретная последовательность точек в фазовом пространстве.

Например, траектория броуновского движения частицы. Под микроскопом величина и направление видимой скорости броуновской частицы изменяются самым безумным образом. Но присмотримся внимательнее. На отдельных участках частицы движутся по прямой. Если регистрировать частицу в сто раз чаще, мы получим сто промежуточных положений частицы. Эти новые данные превращают участок прямой траектории в ломаную, сложную кривую, сильно напоминающую исходную. Почти двести лет тому назад французский физик Жан Батист Перен обнаружил удивительное свойство броуновской траектории:

на любом масштабе эта траектория самоподобна.

Самоподобие само по себе – это уже некоторый порядок. Порядок, как и хаос, – это качества поведения динамической системы. В свою очередь, динамическая система – это всего лишь объект, выделенный для наблюдения. Этим объектом может быть луг, на котором живут и размножаются кролики Фибоначчи, состояние атмосферы, которое отражают показания термометров на метеорологических станциях, экономика в той ее форме, которую фиксируют индексы цен на бирже, компьютерная программа, которая симулирует движение Луны на небосводе.

Таким образом, динамическая система – это некоторая абстракция. Никакая абстракция в точности не соответствует реальности. Поэтому, говоря о поведении динамической системы, мы имеем в виду поведение той или иной модели, описывающей выделенный для наблюдения объект реальности.

Диссипативная система

Классическая физика занималась такими динамическими системами, которые можно было не только выделить, но и отделить, изолировать от окружающей среды. В модели изолированной динамической системы ее энергия сохраняется. Такие системы называют консервативными. В частности, маятник, совершающий колебания без трения, представляет собой консервативную динамическую систему. В реальности механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается (диссипирует) и переходит в тепло, т. е. в энергию микроскопического движения молекул, составляющих систему и ее окружение. Такая модель называется диссипативной динамической системой. Строго говоря, в этом случае временная эволюция должна определяться не только состоянием самой системы, но и ее окружением. При этом оператор эволюции может обусловливать деградацию системы и ее «тепловую смерть», но может приводить к усложнению и развитию динамической системы.

Пусть в некотором фазовом пространстве есть кластер динамических систем, которые подчиняются единому оператору эволюции. Динамические системы кластера отличаются друг от друга только начальными параметрами. С течением времени каждая точка кластера перемещается в фазовом пространстве, как предписано оператором системы, так что форма кластера и его размеры будут меняться. Может случиться, что фазовый объем кластера в процессе временной эволюции будет оставаться постоянным. Это характерно для консервативных систем.

Кластер диссипативных систем ведет себя иначе. С течением времени он «съеживается» и концентрируется в итоге на одном или нескольких аттракторах – подмножествах фазового пространства нулевого или ограниченного объема. С точки зрения динамики во времени это означает, что режим, возникающий в системе, предоставленной самой себе, в течение времени «забывает» свое начальное состояние и принимает состояние аттрактора, к которому стремится.

Динамическая система может вести себя устойчиво или неустойчиво. В первом случае траектории, близкие в начальном состоянии, остаются близкими в процессе эволюции динамической системы. Во втором случае траектории, близкие в начальный момент, в процессе эволюции динамической системы быстро удаляются друг от друга. Сколь бы малой ни была погрешность в определении исходного состояния системы, со временем она быстро нарастает, пока не достигнет размера аттрактора. После этого положение динамической системы в фазовом пространстве становится «размытым», и точно предсказать поведение системы практически невозможно. Однако можно говорить о вероятности того, что динамическая система обнаружит себя в той или иной точке аттрактора.

Процесс временной эволюции для консервативных систем

Между теорией динамических систем и теорией вероятности много общего. Так, множеству событий в ограниченном объеме фазового пространства можно приписать некоторое число, аналогичное понятию вероятности. Это число получило название «инвариантной меры». Ее можно интерпретировать как вероятность того, что траектория посетит данное множество. Связь между теорией динамических систем и теорией вероятности оказывается глубже, чем формальная аналогия.

Дело в том, что в основе теории динамических систем лежит понятие фазового пространства, а в основе теории вероятности – «пространство элементарных событий». То и другое исключают только один параметр – время. Пространство элементарных событий подразумевает идею о том, что все возможные исходы случайного процесса можно представить в виде точек в пространстве. В простых случаях это пространство сводится к нескольким точкам, однако в сложных ситуациях может представлять собой их непрерывное множество, совсем как фазовое пространство. В пространстве элементарных событий также существуют области притяжения – аттракторы. Уже в XVI веке Джероламо Кардано в «Трактате об азартных играх» отделял фатум, удачу и примету от манипуляций при играх в карты или в кости. Он, опытный игрок, знал лучше многих, как изменение центра тяжести кости притягивает более частое выпадение одной из ее сторон. Реализацию одного из элементарных событий система притягивает как магнит. И это напоминает области притяжения динамических систем в фазовом пространстве – аттракторы.

Аттракторы

Фазовый портрет

Абстрактное понятие «фазовый портрет» появилось в XX веке. После того как Эйнштейн показал, что по отношению к свету все движется с одинаковой скоростью, идея представления динамического поведения системы в форме застывших линий стала казаться естественной.

Для иллюстрации этой идеи рассмотрим маятник. Простота его колебаний обманчива. Судите сами. Аристотель рассматривал колебания камня на нити, а Галилей наблюдал колебания люстры в Пизанском соборе. При этом первый видел, как конечная точка предопределяет траекторию движения камня, а второй – как, опускаясь в процессе колебаний, люстра приобретала скорость, позволяющую ей подняться на ту же высоту.

Первые опыты с маятником Жан Фуко проводил в 1851 году в погребе, потом в парижской обсерватории, потом под куполом Пантеона. Наконец, в 1855 году маятник Фуко был подвешен под куполом парижской церкви Сен-Мартен-де-Шан (ставшей к этому времени парижским Музеем искусств и ремесел). Длина каната маятника Фуко – 67 м, вес гири – 28 кг. Именно его описывает Умберто Эко в своем романе «Маятник Фуко»:

«И тут я увидел Маятник. Шар, висящий на долгой нити, опущенной с вольты хора, в изохронном величии описывал колебания. Медный шар поигрывал бледными переливчатыми отблесками под последними лучами, шедшими из витража. Если бы, как когда-то, он касался слоя мокрого песка на плитах пола, при каждом из его касаний прочерчивался бы штрих, и эти штрихи, бесконечно мало изменяя каждый раз направление, расходились бы, открывая разломы мистической розы... Если бы я пробыл там долго, я поверил бы, что колебательная плоскость совершила полный оборот и возвратилась в первоначальное положение, описав за тридцать два часа сплюснутый эллипс, эллипс создавался обращением плоскости вокруг собственного центра с постоянной угловой скоростью, пропорциональной синусу географической широты».

И это всего лишь один из возможных режимов колебаний маятника с одного из возможных ракурсов обзора. С огромного расстояния маятник выглядит как точка. Точка всегда неподвижна. Приближаясь, мы различим систему с тремя типовыми траекториями: гармонический осциллятор (sin φ ≈ φ), маятник (колебания назад-вперед), пропеллер (вращение). Там, где локальный наблюдатель видит одну из трех возможных конфигураций движения шара, отстраненный от процесса аналитик может предположить, что шар совершает одно из трех типовых движений. Это не только можно предположить, но даже изобразить на одном плане.

Необходимо условиться, что мы переместим «шар на нити» в абстрактное фазовое пространство, имеющее столько координат, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. В этом случае мы говорим о двух степенях свободы – скорость v и угол наклона нити с шаром к вертикали φ. В координатах φ – v траектория гармонического осциллятора представляет собой систему концентрических окружностей, по мере увеличения угла φ эти окружности становятся овальными, а при φ = ± π теряется замыкание овала. Это означает, что маятник перешел в режим пропеллера: v ≈ const.

В фазовом пространстве нет ни длин, ни длительностей, ни движений.

Здесь любое действие пред-дано, но не всякое действительно. От геометрии остается только топология, вместо мер – параметры, вместо размеров – размерности. Здесь любая динамическая система имеет свой уникальный отпечаток – фазовый портрет. И среди них встречаются фазовые портреты довольно странные: будучи сложными, они определены одним-единственным параметром; будучи соизмеримыми, они несоразмерны; будучи непрерывными, они дискретны. Такие странные фазовые портреты появляются в окрестности странных аттракторов.

Странный аттрактор

Мир полон соблазнов. Соблазны конкурируют между собой. Это создает не столько хаос, сколько свободу выбора. Собственно выбор возможен только при наличии центров притяжения. Парадокс заключается в том, что несводимые друг к другу центры притяжения друг с другом соединены, связаны и, пожалуй, даже есть фрагменты единой сети. В архаические времена этот парадокс был подмечен и сформулирован в «Аватамсака-сутре». В пересказе сэра Чарлза Элиота фрагмент «Аватамсака-сутры» звучит так:

«В небесах Индры есть жемчужная сеть, и жемчужины эти расположены таким образом, что, посмотрев на одну из них, узришь в отражении на ее поверхности все остальные».

Вообразите бриллиантовую сеть, в каждом узле которой находится бриллиант: в его гранях отражаются все бриллианты, и сам он тоже отражается во всех остальных бриллиантах. Бриллианты находятся в движении, но их движение согласовано таким образом, что в любой момент каждый бриллиант отражается во всех остальных. Эта фантастическая бриллиантовая паутина нависает над дворцом бога Индры.

В теории комплексных диссипативных динамических систем сложилось представление, которое в целом напоминает сеть бога Индры. Траектории диссипативной динамической системы, выходящие из различных начальных точек, с течением времени сгущаются в некоторых сравнительно небольших областях фазового пространства. Эти области называют аттракторами. Термин «аттрактор» происходит от английского слова attract, что значит притягивать. Точка или замкнутая линия, притягивающая к себе все возможные траектории поведения системы, есть аттрактор. Аттрактор – это геометрический образ устойчивого поведения динамической системы, который притягивает на свою орбиту поведение других частей системы, первоначальное поведение которых совершенно отлично от поведения систем на аттракторе. Аттрактор – это пространственно-временной объект, охватывающий весь процесс. Аттрактор – это и причина, и следствие. Он формируется лишь системами с ограниченным числом степеней свободы.

Если нет существенных внешних возмущений, то траектории динамических систем, попав в область аттрактора, остаются в ней постоянно. Картина напоминает ситуацию в бассейне реки или моря – потоки воды сливаются в реки, которые впадают в море. Поэтому область притяжения, в которых траектории стремятся к одному или нескольким аттракторам, называют бассейном аттракторов. Попав в бассейн аттрактора, динамическая система не может его покинуть. Аттрактор притягивает к себе динамические системы, как черные дыры притягивают материю, волны и даже свет. Каким бы ни было начальное состояние системы, оно будет «забыто». После поглощения системы аттрактором мы сможем сказать лишь то, что оно «где-то на аттракторе». Можно выделить несколько типовых по своей структуре аттракторов.

Простейшим видом асимптотического поведения является состояние равновесия, которому соответствует неподвижная точка в фазовом пространстве. Такой аттрактор называется точечным. Это, например, точка равновесия для маятника с трением. Более сложным является периодическое поведение, которому соответствует круговой аттрактор. Например, орбита в задаче Ньютона о вращении одного тела относительно другого. Еще более замысловато, чем движение по кругу, выглядит циклическое движение на поверхности тора. Спиралевидные круги после множества оборотов возвращаются в исходную точку, и цикл повторяется. Гораздо более сложными являются квазипериодические колебания, когда в системе наблюдаются две частоты ω₁ и ω₂, причем их отношение ω₁/ω₂ – иррациональное число. Эта ситуация реализуется, только если размерность фазового пространства не меньше трех. Асимптотическое поведение такой системы соответствует заполнению траекторией поверхности двухмерного тора. Так, ни одна весна не походит на другую. Но каждый год возвращается весна. Ни один поворот планеты вокруг Солнца не тождественен другим, ибо отклонения изменяют линию орбиты, изменяется тело планеты, изменяется Солнце, вся планетная система передвигается в мировом пространстве, тем не менее каждая планета вращается вокруг своего Солнца по постоянной орбите.

Далее степень сложности может нарастать при увеличении числа независимых частот. Траектория при этом может заполнять трехмерный, четырехмерный и многомерный тор.

Это довольно сложные траектории, но они много проще тех траекторий, которые производит странный аттрактор. Термин и понятие «странный аттрактор» распространились сразу после появления в 1971 году статьи француза Давида Рюэлля и голландца Флориса Такенса «Природа турбулентности». Эта статья изменила парадигму понимания турбулентности, созданную Ландау и общепринятую на тот момент в научном сообществе.

Странный аттрактор Давида Рюэлля

Суть этой классической парадигмы в том, что турбулентный поток представляет собой суперпозицию вихрей всех возможных масштабов, т. е. число степеней свободы системы бесконечно. Вместо рассмотрения системы перекрывающих друг друга вихрей в 1970-х годах Рюэлль и Такенс предположили, что может существовать аттрактор с набором характеристик турбулентного потока: устойчивостью, ограниченным числом степеней свободы и иррегулярностью. Исходя из математических резонов, Рюэлль и Такенс провозгласили, что описанный феномен должен существовать, хотя они никогда не видели и не изображали его. Упоминание о том, что непрерывный спектр будет ассоциироваться с незначительным числом степеней свободы, многие физики посчитали ересью.

С геометрической точки зрения вопрос казался чистой головоломкой. Какой вид должна иметь орбита, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы она никогда не повторяла и не пересекала саму себя? Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади. Другими словами, ее аттрактор должен быть фракталом. На тот момент фракталов еще не существовало, но геометрические формы с требуемыми свойствами уже были – «пыль Кантора», «снежинка Коха», «ковер Серпинского». Более того, уже в 1963 году Эдвард Лоренц описал подобный объект – устойчивую, иррегулярную траекторию с ограниченным числом степеней свободы – в метеорологии. Траектория Лоренца была устойчивой, непериодической, имела малое число степеней свободы и никогда не пересекала саму себя. Если бы пересечение случилось, то движение в дальнейшем имело бы периодический характер, но такого не происходило.

Именно такой объект Давид Рюэлль назвал «странным аттрактором». Траектории на таком аттракторе ведут себя довольно странно. Если в начальный момент выделить некоторый малый объем – «каплю» – в фазовом пространстве на странном аттракторе, то с течением времени эта «капля» размажется по всему аттрактору. Такое интенсивное перемешивание указывает на то, что любые близкие траектории быстро расходятся, иными словами, они локально неустойчивы. Следствием этого является существенная зависимость от начальных условий: малейшее изменение начальных условий существенно влияет на положение системы в процессе ее эволюции.

Странный аттрактор, по определению Рюэлля, демонстрирует три качества, друг к другу не сводимых, но на практике существующих вместе:

• фрактальность (вложенность, подобие, согласованность);

• детерминированность (зависимость от начальных условий);

• сингулярность (конечное число определяющих параметров).

Поясним эти «странные» признаки аттрактора Рюэлля.

Прежде всего «странный» аттрактор выглядит странно. Он представляет собой бесконечное число петель и спиралей, которые постоянно друг от друга удаляются, отстраняются и никогда друг с другом не пересекаются (неповторимость) в ограниченном пространстве. Он содержит все масштабы, он бесконечен и при этом ограничен. Странные аттракторы фрактальны: ограниченная область заполняется непредсказуемо движущейся точкой, траектория которой порождает фигуру дробной размерности. При этом траектория на странном аттракторе ведет себя довольно странно. Она постоянно изгибается, по случаю перепрыгивает от одного центра притяжения к другому, хаотически мечется взад и вперед. При этом ее поведение очень сильно зависит от начальных условий – той точки, из которой траектория берет свое начало.

Странный аттрактор Клиффорда

Фрагмент траектории хаотичен. Можно было бы предположить, что траектория осциллирует с произвольной частотой между центрами притяжения. Но это не так. Из всех возможных частот избираются только некоторые – так, что формируется система конечной размерности. Рюэлль в своей книге «Регулярная и хаотическая динамика» указывает на то, что колебания температуры в экваториальной зоне Тихого океана за 900 000 лет представляют собой странный аттрактор малой размерности. Локальные температуры являются результатом взаимодействия большого числа переменных, каждая из которых подвержена своему статистическому распределению. Однако небольшого числа независимых переменных достаточно, чтобы описать долговременные вариации климата.

Любая область странного аттрактора в процессе эволюции стягивается. Например, в трехмерном фазовом пространстве размерность аттрактора d < 3. Требование сильной зависимости от начальных условий обеспечивается только для аттракторов с размерностью d > 2. Таким образом, размерность хаотического аттрактора в трехмерном фазовом пространстве определяется неравенством 2 < d < 3. Это чисто техническое условие стягивает объект в ограниченную область.

Траектория динамической системы, попав в область «странного аттрактора», совершает причудливые маневры, ухитряясь никогда не пересекать саму себя, с собой не соприкасаться и при этом не выходить за пределы аттрактора. Траектория динамической системы при этом никакой гладкой поверхности в фазовом пространстве не заполняет. Будучи локализованной в небольшой области фазового пространства, она демонстрирует сложную структуру, определяющую весьма запутанное и одновременно точное и строгое поведение динамической системы. Такая филигранная точность предполагает существенную зависимость поведения траектории от начальных условий.

После появления работ Мандельброта стало ясно, что странный аттрактор есть траектория в поле фрактала. Открытия Мандельброта и Лоренца запустили процесс, в результате которого ученые и инженеры изменяют представление о мире вокруг нас. Физики, биологи, психологи, геологи, химики и механики на всех направлениях применяют фрактальную геометрию и хаотическую динамику для построения моделей, симуляций и манипуляций процессами и явлениями. Феномен настоящего заключается в том, что новые методы позволили вторгнуться на территорию, ранее неизвестную, – в область хаоса, турбулентности и свернутых пространств.