Суперфрактал

Текст добавлен: 4 апреля 2026, 21:00

Текст книги "Суперфрактал"

Автор книги: Сергей Деменок

Жанры:

Публицистика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 11 страниц)

Назад к карточке книги

Динамический хаос

Хаотическим режимам присуща нерегулярность и, как следствие, непредсказуемость. Режим динамического хаоса и предопределен, и регулярен, но также непредсказуем. Динамический хаос ассоциируется с наличием странных аттракторов – сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из своего бассейна. Попав в область странного аттрактора, близкие траектории демонстрируют быстрое «разбегание» притом, что фазовый объем динамической системы не увеличивается. Любая сколь угодно малая область фазового пространства, выделенная в начальный момент, со временем «перемешивается», «распыляется» по всей области странного аттрактора. Происходит своего рода стирание памяти о начальном состоянии системы. Обратной стороной этого процесса является невозможность предсказания поведения системы в будущем в силу сверхчувствительной зависимости режима к сколь угодно малым отклонениям начальных условий. Именно это ведет к потере предсказуемости. Поэтому динамическая система, будучи полностью предопределенной, ведет себя непредсказуемо.

Согласно принятым сегодня представлениям такой режим регулярного хаоса наступает при выполнении трех условий:

1. Существует, по крайней мере, одна плотная орбита. Плотная орбита – это такое скопление точек, в любой окрестности каждой из которых со временем появится точка той же орбиты.

2. Имеет место квазипериодическое возвращение траекторий, которому сопутствуют неустойчивость, нелинейность и перемешивание.

3. Наблюдается существенная зависимость поведения траекторий от начальных условий.

Поясним понятие плотной орбиты. Еще Лейбниц утверждал, что линией как паутиной можно покрыть плоскость. В этом случае для любой точки на плоскости найдется сколь угодно близкая точка такой линии. В 1891 году появилась статья немецкого математика-универсала Давида Гильберта, в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Для любой точки этой линии, в любой сколь угодно малой ее окрестности со временем появится точка, принадлежащая той же самой линии. Кривая Гильберта, таким образом, иллюстрирует плотную орбиту.

Построение кривой Гильберта. Шаги 1,2,3,5, 7

Что же такое «квазипериодическое возвращение траекторий»? Рассмотрим поведение нелинейной динамической системы с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения в силу неустойчивости режима. Будь система линейной, возмущение могло бы возрастать до бесконечности. В большинстве реальных диссипативных систем нарастание возмущений имеет предел. При больших отклонениях изменяется характер сил, определяющих поведение системы, и возмущение начинает затухать. Система начинает возвращаться в исходное состояние.

Однако возвращение точно в то же состояние маловероятно, так как система неустойчива. С большей вероятностью система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться.

Например, так. Пусть у нас есть пружина, для которой зависимость амплитуды отклонения φ (х) от исходного состояния х определяется соотношением

φ (х) = kх – bx³,

где k и b – положительные коэффициенты. Пусть х = 0 – точка неустойчивого равновесия. Если x<<1, то Ьх³<<kх и слагаемым Ьх³ можно пренебречь. Тогда

φ (х) = kх.

В этом случае φ (х) линейно возрастает с увеличением х. Если х становится сравнимым с единицей, то членом Ьх³ пренебрегать уже нельзя. Здесь отклонение φ (х) начнет испытывать ограничение. При некоторых х значение φ (х) вновь будет близко к нулю, т. е. система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Это как изюминка в коме теста, которое перемешивает пекарь. В общем случае траектория, испытав действие механизма нелинейного ограничения, возвращается в окрестность исходного состояния. Этот процесс будет длиться и длиться без ограничений и без повторений.

В процессе перемешивания система «забывает» информацию о своем начальном состоянии. Грубо говоря, сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное ее местонахождение становится все более и более плотным множеством. Это означает, что потребуется более высокая точность в ее определении. Так, если мы поместим в стакан с водой капельку чернил и размешаем воду чайной ложкой, то чернила практически равномерно окрасят воду. Частички, первоначально сосредоточенные в капельке чернил, после перемешивания можно обнаружить в любой части стакана. Если до перемешивания чернила можно было зафиксировать координатой капельки чернил, то после перемешивания мы вынуждены говорить о фиксации молекул чернил. Согласитесь, что это совсем другой уровень точности. В этом смысле системе все труднее идентифицировать свое начальное состояние. Система как бы теряет память вследствие локальной неустойчивости, но при этом сохраняет «грубую» структурную устойчивость. Суть «грубой» устойчивости в том, что при малом изменении параметра изменяются детали поведения динамической системы, но принципиально режим поведения системы сохраняет свою грубую структурную идентичность.

Фракталы и случай

Фракталам присущи эффекты, которые часто встречаются в природе: изрезанность, изломанность, комковатость. Вместе с тем, есть существенное отличие между строго самоподобной кривой фон Коха и, например, побережьем Норвегии. Последнее, не являясь строго самоподобным, проявляет подобие в статистическом смысле. Обе кривые при этом изломаны настолько, что ни к одной из их точек вы не сможете провести касательную, или, иными словами, не сможете ее дифференцировать. Такие кривые – своего рода «монстры» среди нормальных евклидовых линий.

В свое время Лагранж в течение десяти лет пытался доказать теорему о том, что любая непрерывная функция является гладкой, или, как говорят математики, – «дифференцируемой». Но у него не получилось. И вот на рубеже XIX и XX веков Карл Вейерштрасс построил парадоксальный пример функции, которая была непрерывной, но не являлась гладкой. Эта функция напоминала по форме пилу. Причем при увеличении перед глазами снова вырастает пила. Оказалось, что очевидные вещи надо доказывать. Очевидность не является критерием истины. И никогда не являлась.

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс первым построил непрерывную функцию, не имеющую касательной ни в одной своей точке. Его работа была представлена Королевской Прусской академии 18 июля 1872 года и опубликована в 1875 году. Вскоре после этого Шарль Эрмит, выдающийся математик своего времени, высказался эмоционально относительно непрерывных функций, не имеющих производных. Он сказал:

«С ужасом и омерзением я отворачиваюсь от зловредной язвы – непрерывных функций, не имеющих производных».

Функции, описанные Вейерштрассом, выглядят подобно шумам, приведенным на рисунке. В то же время между функциями Вейерштрасса и шумами есть существенное различие. Любая точка функции Вейерштрасса строго детерминирована, а точка на графике шума – случайна.

Такие случайные траектории скорее являются правилом, чем исключением.

Посмотрите на графики биржевых бюллетеней, сводку колебаний температуры или давления воздуха – и обнаружите некую регулярную изрезанность. Причем при увеличении масштаба характер изрезанности сохраняется. И это отсылает нас к фрактальной геометрии. Так, анализ траектории броуновского движения на плоскости показывает, что она имеет фрактальную размерность, равную двум, а фрактальная размерность границы броуновского движения частицы равна 1,33...

Броуновское движение – один из самых известных примеров стохастического процесса. В 1926 году Жан Перрен получил Нобелевскую премию за исследование характера броуновского движения. Именно он обратил внимание на самоподобие и недифференцируемость броуновской траектории. Еще в 1828 году шотландский ботаник Роберт Броун (1773-1858) описал, как частички пыльцы самопроизвольно перемещаются в пробирке с водой. Он объяснил свои наблюдения следующим образом:

«Эти чрезвычайно мелкие частицы твердой материи, полученные из органических или неорганических веществ, при растворении в чистой воде или в некоторых других жидкостях демонстрируют движение, для которого я не могу найти объяснения, которое по своей нерегулярности и видимой независимости в большой степени напоминает менее быстрые движения некоторых из простейших микроорганизмов. Эти мельчайшие наблюдаемые частицы перемещаются, я назвал их „активными молекулами", видимо, имеют сферическую или почти таковую форму и размер между 1/20000 и 1/30000 долями дюйма в диаметре; а другие частицы значительно большего и различного размера как подобных, так и очень отличающихся форм также демонстрируют аналогичные движения в подобных обстоятельствах. Я уже заявлял о своей уверенности в том, что эти движения частиц не являются ни результатом течений жидкости, содержащей их, ни внутреннего движения, сопровождающего ее испарение».

Вряд ли уместно пересказывать здесь те презабавные истории, которые породила причудливая пляска частиц цветочной пыльцы под микроскопом. Какие только фантастические интерпретации ни предлагались – от живых молекул, наделенных свободой воли, до прямого вмешательства сверхъестественных сил. Достаточно сказать, что когда Броун кипятил, замораживал и вновь нагревал жидкость, частицы все так же продолжали свою безумную пляску, весьма напоминающую столпотворение. Появилось объяснение: движение происходит из-за случайных колебаний водных молекул, бомбардирующих зерна пыльцы с различных направлений. Это тривиальное толкование скрывает самое интересное – то, что нашел Жан Батист Перрен. В своей известной работе «Les Atomes» он описал эффект самоподобия броуновских траекторий:

«И величина, и направление видимой средней скорости частицы изменяются самым безумным образом, что дает лишь слабое представление об изумительной запутанности реальной траектории. Если бы положения частицы регистрировались в 100 раз чаще, то вместо каждого отрезка прямой мы получили бы ломаную, столь же сложную, как и исходный рисунок, хотя и меньших размеров, и так далее. Нетрудно убедиться, что на практике понятие касательной в применении к таким кривым является полной бессмыслицей».

Масштабное самоподобие! Под микроскопом типичная траектория частицы пыльцы выглядит как изломанная лента из прямых звеньев. Но стоит только увеличить разрешение микроскопа, как каждый прямой участок превратится в новое скопление прямых звеньев. И это новое скопление будет подобно скоплению, зафиксированному на более грубом масштабе.

С появлением компьютеров стало возможным не только фиксировать стохастическое поведение в природе, но и моделировать стохастические процессы. Для этого применяются компьютерные генераторы случайных чисел, которые используют различные алгоритмы. Для примера опишем два.

Генератор случайных чисел RND (от англ. random – случайный, беспорядочный), хотя и подчиняется вполне определенному алгоритму, «вырабатывает» числа, которые можно считать случайными.

На первом этапе выбираем 4 случайных числа, например 1, 2, 3,4, и составляем из них число 4321. На этом все случайное в этом процессе заканчивается. Теперь возведем это число в квадрат, получим 18671041 и отбросим крайние числа. Останется четырехзначное число 6710. Для получения третьего числа в квадрат возводится число, полученное на предыдущем этапе После шестого шага результат – выборка из четырех цифр – подчиняется нормальному закону распределения случайных величин. Заметим, вопреки тому, что весь процесс строго детерминирован, его результат неотличим от случайного выбора или «выбрасывания» числа по случаю.

Другой часто используемый генератор случайных чисел, FRAC (от англ. fraction – доля, дробный), в качестве случайного числа «вырабатывает» дробную часть некоего рекуррентного алгебраического выражения, такого, например, как

х_n+2 = а х_n+1 + с х_n.

Параметр х – выражение вещественного типа. Результат – дробная часть x, то есть

FRAC(x) = X – Int(x).

Как логически следует из принципа действия оператора FRAC, полученное число больше или равно 0 и меньше 1.

Таким образом, очевидно, что числа, полученные нами в результате применения функций RND и FRAC, имеют одинаковый масштаб и ни одно из них не выделяется из ряда других и не выглядит небоскребом «Тайбей 101» в квартале одноэтажных халуп. Согласно центральной предельной теореме, сумма достаточно большого количества полученных случайных или псевдослучайных чисел будет иметь нормальное или близкое к нормальному распределение. На практике достаточно суммы всего шести таких чисел, чтобы получить случайную величину, которая может считаться нормальной.

Заметим, что псевдослучайность не лишена эстетической привлекательности. Так, программа MONDRIAN производит отрезки, положение, длина и ориентация которых задаются генератором случайных чисел. Результат – эскиз a la Mondrian, приведенный на соседней странице.

Компьютерный эскиз a la mondrian и работы Питера Мондриана «Буги-Вуги на Бродвее» (1942-1943), «Победа буги-вуги» (1942-1944).

Обратная связь

Типовая схема петли обратной связи показана на схеме. Она сводится к изменению переменного параметра х по правилу

х → ƒ(x)

при постоянном контролируемом параметре С. Единственное, что при этом требуется, – нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон

x_n+1 = ƒ (х_n)

должен быть более сложным, чем простая пропорциональность

x_n+1 = k х_n.

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения х₀, то его результатом будет последовательность х₁, х₂... Эта последовательность может сходиться к некоторому предельному значению X, стремясь к состоянию стабильности и покоя. Но она же может выйти на некоторый цикл значений, которые будут повторяться вновь и вновь. Наконец, эта последовательность может вести себя непредсказуемо, хотя и предопределенно.

Процессы с обратной связью известны давно. Еще в Вавилоне люди оперировали простыми уравнениями для вычисления площади поля или поголовья стада. Это обыкновенные уравнения. Ньютон открыл технику дифференциальных уравнений.

Логистическое уравнение Ферхюльста

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно описывают при помощи коэффициента прироста, т.е. отношения ежегодного прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например, при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст, сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить существование популяции только определенного максимального размера X и что коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются к X. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным, что коренным образом изменило его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы достичь оптимального значения X, увеличиваясь, когда она меньше его, и уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%, нас ожидают сюрпризы. Собственно, именно на один из этих сюрпризов натолкнулся Лоренц в 1963 году, обнаружив странное поведение турбулентных потоков, когда коэффициент велик. Затем с подобными сюрпризами ученые встретились при исследовании лазера, гидродинамики и кинетики химических реакций.

Но вернемся к процессу Ферхюльста при большом коэффициенте роста. Прежде всего, когда параметры роста превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X. Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению оптимального размера, что вызывает ответную реакцию, в результате чего популяция уменьшается до размеров, значительно меньших X. После этого появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим.

Когда параметр роста превышает 245%, начинается дальнейшее усложнение поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и так далее до тех пор, пока для параметров, больших, чем 257%, не возникает хаос. Попросту говоря, система выходит из-под контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на длительное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз упорно продолжаются и никогда не превратятся в упорядоченную последовательность. Чтобы понять удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой неопределенности не предполагается. Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным значением – и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить процессу развиваться самому по себе.

Эта очень странная ситуация требует некоторого более подробного объяснения. Утверждение о том, что последовательность определена своим начальным значением, подразумевает возможность определения последующих значений с бесконечной точностью. Это является верным только «в принципе». Любое реальное описание начальной величины, например ее представление в компьютере, можно получить только с конечной точностью. Изучаемый процесс можно сравнить с получением информации: чем дольше мы его будем наблюдать, тем лучше будем знать в ретроспективе точную величину начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. В процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность уменьшения длин интервалов изменения параметра роста, при которых происходят бифуркации от колебаний периода 2n к колебаниям периода 2n+1. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем с ростом n множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению (Гроссманн и Томэ, 1977):

δ = 4,669201660910...

Это число появляется снова и снова в разных процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число π для отношения длины окружности к ее диаметру, которое называют теперь «числом Фейгенбаума». Один из пионеров теории хаоса американец Митчелл Фейгенбаум проделал вычисления на своем калькуляторе в Лос-Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он установил универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был один из создателей современной биоматематики биолог Роберт М.Мэй. Еще в 1976 году он писал:

«Я настоятельно советую, чтобы люди знакомились, скажем (с уравнением Ферхюльста), на раннем этапе своего обучения математике. Это уравнение можно изучать феноменологически, итерируя его на калькуляторе или даже вручную. Такое изучение очень обогащало бы интуитивные представления учащегося о нелинейных системах... Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами».