Текст книги "Суперфрактал"
Автор книги: Сергей Деменок
Жанры:
Прочая научная литература
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 1 (всего у книги 11 страниц)
Сергей Деменок
Суперфрактал
СЕРИЯ «ПРОСТО»
Санкт-Петербург, 2019
«Фрактальная геометрия изменит ваше представление о мире. Дальше читать опасно. Вы рискуете утратить детское восприятие облаков, пены, галактик, листьев, цветов, скал, водных брызг и многого другого. Никогда вновь ваше впечатление о мире не станет прежним».
Майкл Барнсли, профессор Джорджийского технологического института (США)
«Суперфрактал – это такая модель, которая отражает одновременно оба аспекта реальности – определенность и случайность».
Виктор де Касто
«Позволю себе утверждать, что книга Сергея Деменка—лучший учебник современного типа, пример высочайшей гуманитарной технологии на стыке науки и литературы, истории и химии, искусства и природы».
Лев Московкин
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включал фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.
All rights reserved. No parts of this publication can be reproduced, sold or transmitted by any means without permission of the publisher.
© Деменок С. Л., текст, 2019
© Емельяненкова М., рисунки, 2017
© Ляпунов М., рисунки, 2017
© ООО «Страта», 2019
ISBN 978-5-907127-11-1
Манифест фрактальной интерпретации реальности
Мы живем во Вселенной, которая состоит из кластеров материи, квантов энергии и еще структур. Структуры организуют материю и энергию. Именно структуры придают Вселенной смысл и красоту. Без структур Вселенная представляла бы собой аморфный бульон из флуктуаций вещества и энергии. В ней не было бы места для планет, звезд и черных дыр. К счастью, во Вселенной есть периодические порядки, регулярный хаос и фрактальные закономерности, словом, структуры. Они делают Вселенную красивой и сложной.
Радикальная революция, которая происходит на наших глазах, сводится к признанию невесомых, неизменных, абстрактных, геометрических и цифровых структур фактом физической реальности. Бестелесные структуры образуют каркас любого тела. Будучи неизменными, структуры управляют переменами. И если черные дыры концентрируют материю, а белые карлики – энергию, то такие планеты, как наша Земля, представляют собой плотные скопления структур.
Нас на Земле окружают сложные иерархии структур неживой материи, из которых формируются живые структуры, из которых вырастают социальные структуры, порождающие экономические структуры, словом, каскад структур. У этого каскада структур нет границ и ему не видно завершения.
Структуры как бы упакованы в пакеты, вложенные в пакеты структур наподобие русской матрешки. И весь этот геометрический фейерверк точнее всего напоминает фрактал.
Сеть разнообразных структур есть сложная конструкция. Причина и случайность играют в этой сети одинаково важную роль. Обычные фракталы строят по алгоритму. Если в алгоритм построения фрактала включен генератор случайных чисел, то случайность становится частью алгоритма. Можно пойти дальше и выбирать алгоритм расчета на каждом шаге построения фрактала по случаю или с определенной вероятностью. Такой путь разработал Майкл Барнсли и назвал его «игрой хаоса».
Игра в хаос заключается всего лишь в постепенном нанесении на лист бумаги последовательности точек. Это просто. Достаточно назначить точку в центре экрана точкой отсчета и начать подбрасывать монету. Когда выпадет решка, отметим новую точку на расстоянии в 6 единиц на северо-запад от предыдущей. Когда выпадет орел, новую точку сдвинем на 25% к центру относительно предыдущей. Очевидно, что это построение может повторяться произвольное число раз, и изначально расположение точек будет казаться случайным. Однако после нескольких тысяч бросков на экране непостижимым образом постепенно начнет проявляться лист папоротника.
Папоротник Барнсли в процессе построения
Хаотичное выпадание орла или решки накладывается на алгоритм и поддерживает порядок. Фрактальные структуры – спутники такого порядка, который производится алгоритмом и генератором случайности. Это особый, стохастический порядок. Греческое слово stochastikos означает «умеющий угадывать», распознавать законы и тренды за кажущейся беспорядочностью. За беспорядочностью проступает закон.
Случай позволяет высечь неиссякаемое разнообразие форм из фрактального массива. Такое производство фрактальных фрагментов не сводится к примитивному дроблению, поскольку фрактальная фрагментарность не нарушает фрактальную целостность. Фрактал совмещает раздробленность и целостность. Фрактал соединяет сложность и простоту. Простые правила и операции позволяют генерировать сложные, непредсказуемые формы. Сложные формы, в свою очередь, могут быть сведены к простым правилам. Это хорошо поняли художники-фракталисты. Один из них, Элис Келли, объясняя свое пристрастие к фракталам, пишет:
«Каждый фрактал начинается как хаос, а я нахожу в нем паттерны, и это доставляет мне удовольствие... Столь многое в жизни и Вселенной хаотично, а я могу взять крохотную частичку этого хаоса и создать прекрасное».
Хаос как бы зажат между повторяющимися снова и снова алгоритмами. Мы их называем «законами природы». Абстрактные алгоритмы, или законы, порождают абстрактную структуру реальности, которая неотделима от материальной организации вещества (1), от деятельного повторения законов или алгоритмов (2) и от самой абстрактной символической структуры реальности (3).
Современная наука исходит из того, что физическая реальность «собрана» из таких элементов вещества и таких элементарных взаимодействий, которые допускают замену кванта вещества квантом действия при сохранении свойств и качеств системы в целом. Такое условие по традиции называется суперсимметрией. Структурам, которые подчиняются условию суперсимметрии, естественно, предшествует приставка «супер»: суперструны и суперфракталы.
Суперфракталы описывают новый уровень сложности сетевых структур. Теперь не только алгоритм расчета выбирается на каждом шаге построения фрактала с определенной вероятностью, но и результат расчета оказывается в той или иной ячейке памяти по случаю. Такая модель становится «красивой» при условии, что число алгоритмов равно числу ячеек. Это фактически допускает такое обстоятельство, при котором ячейка может занять место алгоритма, а алгоритм может занять место ячейки. Равноправие ячеек, содержащих результат, и ячеек, содержащих алгоритм, допускает возможность поменять их местами таким образом, что ничего вокруг не изменится. Это позволяет нам сделать вывод о равноправии вещества, действия и символических структур.
Мы утверждаем, что элементы вещества и элементарные воздействия стоят в одном ряду с элементарными структурами. Более того, они не существуют друг без друга, а их происхождение и эволюция есть результат петель обратного влияния.
Фрактал служит геометрической интерпретацией этого утверждения. Фрактал есть геометрическая форма (1), которая проявляется в процессе расчета по алгоритму (2). При этом форма и процесс связаны между собой единым инвариантом – числом, представляющим собой фрактальную размерность (3).
Глава I.
Фрактал как идея
• Фрактал – это магия
• Фрактал – это...
• Фрактальное подобие
• Фрактальный повтор
• Фрактальная размерность
• Пророчество Пифагорейцев
• Симметрия и суперсимметрия
• Фрактал: форма, алгоритм и число
• Фракталы Рона Эглеша
• Фракталы повсюду
• Фрактальная диалектика
Фрактал – это магия
Мир вокруг битком набит фракталами. Фрактальные структуры обнаруживают себя и в контурах горных хребтов, и в контурах леса на фоне неба, и в системах кровеносных сосудов, и в облаках, и в молниях. Снежинки, сталагмиты и сталактиты, подсолнух, папоротник, морские раковины, все они – фракталы. Они построены по правилам, которые моделирует фрактальный алгоритм.
Фрактальный алгоритм производит волшебные непредсказуемые формы. Это – своего рода магия. Привычно думать, что магии не существует. И все же она пропитывает все сущее. Она – в каждой вещи и в каждом движении. Это – факт. Волшебство и неповторимое чудо имеют то основание, что за всякой вещью и всяким действием есть нечто, производящее саму возможность для появления той или иной вещи, того или иного действия. Фраза из Апокалипсиса (1:8), описывающая Иисуса Христа, указывает на источник, порождающий и завершающий возможность вещей и явлений:
«Я есть альфа и омега, начало и конец»
Эта формула означает, что божественный, неизменный и вечный мир есть по ту сторону вещей и по ту сторону явлений. И этот мир есть порядок и красота. Этот мир есть вместилище всех возникающих и исчезающих структур – в чистом виде суперструктура. Те, кто первыми брал в руки вышедшую в середине XIII века «Морализованную Библию», должно быть, представляли мир таким, как он изображен на минитюре «Сотворение мира»: замысловатым многообразием в умелых руках Создателя. Это многообразие по форме более всего напоминает фрактал.
Сотворение мира. Миниатюра (Морализованная Библия, Франция, XIII в. Национальная библиотека Австрии, Вена, рукопись №2554)
Фрактал – это
и форма,
и процесс,
и символ.
Фрактал – это нечто пластичное и одновременно цельное. Словами Бенуа Мандельброта:
Фрактал настолько пластичен, что способен совместить случай и строгий расчет в одном объекте, для которого Майкл Барнсли придумал название «суперфрактал». Тонкая фратальная изменчивость позволяет инкорпорировать в алгоритм построения фрактала генератор случайных возмущений и не разрушить при этом предопределенность фрактальной формы. Это оказывается возможным при том условии, что случайность в алгоритме построения фрактала подчинена строжайшей дисциплине.
Примерами могут служить фракталы Майкла Барнсли, полученные с помощью систем итерированных функций. Они в большинстве случаев построены при помощи вероятностной случайности. В книге «Фрактал: между мифом и ремеслом»[Деменок С. Л. Фрактал: между мифом и ремеслом.– СПб.: ООО «Ринвол: Академия исследования культуры, 2011.] (2011) было впервые описано семейство алеаторных фракталов, построенных по алгоритмам, содержащим «чистую» случайность. Есть еще стохастические фракталы. Стохастические фракталы могут быть строго детерминированными, как функция Вейерштрассе. В процессе построения таких фракталов нет никакой случайности. Но есть природные стохастические фракталы. Они, как правило, случайные. Это, например, броуновское движение.
Есть более сложные конструкции – суперфракталы. В них правила построения (алгоритмы) изменяются спонтанно.
Суперфрактал никогда не повторяется, он все время изменяется, не изменяя только самому себе. СУПЕР! Приставка «супер» стала трендом новейшего естествознания. Достаточно вспомнить суперструны и суперсимметрию. Причина такой тяги к приставке «супер» в том, что современная наука выходит за границу естественных вещей и явлений и смещается в область «сверхъестественного» – supernatural. Суперфрактал – объект этой новой волны.
Фрактал – это...
В середине 1970-х Бенуа Мандельброт изложил основы фрактальной геометрии в трех книгах – «Фрактальные объекты: форма, случай и размерность» (1975), «Фрактальная форма, случай и размерность» (1977) и «Фрактальная геометрия природы» (1977). В 1993 году Мандельброт получил престижную премию Вольфа за «изменение нашего взгляда на мир посредством концепции фрактальной геометрии».
Фрактальная геометрия радикально отличается от геометрии Евклида. Отличие не относится к аксиоме о параллельности, как в геометрии Лобачевского. Отличие – в отказе от принятого Евклидом по умолчанию требования гладкости. Мандельброт обратил внимание на то, что контуры окружающих нас предметов неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюров. Распространенным повсеместно, таким объектам присущи шероховатость, пористость и раздробленность.
Среди смятых, скомканных, изрезанных и рваных фигур есть огромный класс форм, раздробленность и пористость которых имеют «одинаковую степень в любом масштабе». Именно эти формы Мандельброт назвал фракталами. Увеличивая фрагменты фрактальных объектов, замечаем, что изменяются лишь незначительные детали, но форма в целом остается почти неизменной. Прорыв, который совершил Мандельброт, заключается в осознании того, что затейливые зигзаги имеют «код формообразования».
В книге «Фракталы, случай и финансы» Мандельброт дал определение фрактала с акцентом на неизменную «степень пористости» фрактального объекта:
Термин «фрактал» образован от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как «ломать, разламывать», т.е. создавать фрагменты неправильной формы. По созвучию слово «фрактал» указывает на «разрыв» —fracture и нечто дробное – fraction. Помимо значения «фрагментированный» (как, например, в словах «фракция» или «рефракция»), слово fractus несет значение «неправильный по форме». Примером сочетания обоих значений может служить слово «фрагмент». Но, как заметил Жан Бодрийяр в книге «Пароли», —
Фрактал и фрагмент – это не одно и то же. Фрагмент всегда сохраняет просвет между собой и другим фрагментом. Фрактал, состоя из фрагментов, постоянно заполняет просветы между фрагментами. Чем? Своими фрагментами. В этом смысле фрактализация – процесс, обратный фрагментизации, и у Бодрийяра есть все основания говорить о
Наконец, без намерения, быть может, только по наитию Мандельброт встроил в последний слог созданного им термина – фрактал – одну из самых важных ассоциаций – алгоритм:
FRACTionAL.
Фрактальная форма проявляет себя в динамике. Только в процессе построения по алгоритму существует фрактал. Алгоритм построения фрактала не может быть завершен. Точка завершения предыдущего шага построения становится точкой начала следующего. Из этого следует, что построение фрактальной формы не имеет завершения.
Фрактал – это предельная форма. К ней можно стремиться, но поставить точку в построении фрактала невозможно. Любая фрактальная форма перед вами – это стоп-кадр, выхвативший фрагмент из бесконечного фрактального построения. В математике такое «промежуточное» состояние называется «предфракталом». Только их мы и видим на многочисленных картинках фракталов.
Рекурсивный алгоритм есть динамическое основание любого фрактала, причина фрактального подобия. В природе рекурсивный процесс формируется там и тогда, где и когда появляется петля обратной связи. Петля обратной связи уже в момент своего формирования содержит в латентной форме структуру, которая проявляется благодаря повторению. В природе деревья ветвятся, листья растут, береговые линии извиваются. Устойчивый рекурсивный алгоритм в ходе многократных повторений «овеществляется» в той или иной фрактальной форме.
Приметой фрактальной формы служит то, что она выглядит похоже «вблизи или издалека». Когда мы приближаемся, желая что-либо лучше разглядеть, изменяются лишь незначительные детали так, что
(Мандельброт. «Фракталы, случай и финансы»).
То обстоятельство, что мера «изрезанности» одинакова во фрактале для любого масштаба, позволяет поставить в соответствие фракталу в целом и каждому его фрагменту одно и то же кодовое число – фрактальную размерность. Это ключевая идея фрактальный геометрии.
Обыкновенная евклидова геометрия утверждает, что пространство ровное и плоское. Точки, линии, углы, треугольники, кубы, сферы, тетраэдры существуют в нулевом, одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах. Мандельброт замечал, что в реальности тела изрезаны, а поверхности скомканы таким образом, что они не помещаются в пространстве с размерностями 0,1,2 и 3.
Например, посмотрите на тонкий лист бумаги, скомканный в шар. Разве он двумерный? Нет, так как у него есть длина, ширина и высота. Но он не может быть и трехмерным, потому что он сделан из одного бесконечно тонкого листа и, к тому же, он не полностью однородный. Размерность такого предмета явно больше размерности тонкого двухмерного листа, но меньше размерности трехмерного шара. Согласно идеям Мандельброта фрактальная размерность такого объекта может быть дробной. Все фракталы, особенно фрактальные кривые, имеют фрактальные размерности. Мандельброт часто использовал пример того, что береговая линия Британии имеет бесконечную длину.
Позже Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Британии составляет 1,25. И эта величина, в отличие от длины береговой линии, остается одной и той же в любом масштабе и для любого фрагмента береговой линии. Иными словами, фрактальная размерность есть инвариант для всех фрагментов фрактала.
На основании сказанного фрактал можно определить так:
Фракталом называется форма, фрагменты которой почти или точно подобны целому (1), процесс построения которой по рекурсивным алгоритмам не имеет завершения (2) и которая имеет универсальный код (инвариант) – фрактальную размерность (3).
Фрактальное подобие
Обычно самоподобие означает симметрию при любом масштабе. Логарифмическая спираль обладает самоподобием, поскольку, как ее ни увеличивай, выглядит всегда одинаково, как и череда вписанных друг в друга правильных пентаграмм.
Каждый раз, когда вы оказываетесь между двух параллельных зеркал, вы видите бесконечную череду собственных самоподобных отражений в двух параллельных зеркалах.
Пример самоподобной системы представляет собой «золотая последовательность». Чтобы создать ее, будем следовать простому алгоритму. Начнем с числа 1, затем заменим 1 на 10. Далее будем заменять все 1 на 10, а все 0 на 1. Тогда у нас получается следующий результат:
1
10
101
10110
10110101
1011010110110
101101011011010110101
И так далее. Очевидно, что мы начали с «ближнего» правила (простое превращение 0 в 1 и 1 в 10), а получили непериодический «дальний порядок». Обратите внимание, что количество цифр 1 в каждой строчке, как и количество цифр 0, начиная со второй строчки, составляют
1, 1, 2, 3, 5, 8...
Более того, отношение числа единиц к числу 0 по мере удлинения последовательности становится все ближе... «золотому сечению».
«Золотая последовательность» обладает множеством замечательных свойств, но сейчас нас интересует самоподобие. Так вот, «золотая последовательность» самоподобна при любом масштабе. Возьмем последовательность
10110101101101011...
Посмотрим на нее в лупу, конечно, не в буквальном смысле. Начнем слева и каждый раз, когда нам встретится 1, будем помечать группу из трех символов, а когда нам встретится 0 – группу из двух символов, только так, чтобы группы не перекрывались. Например, первая цифра у нас 1, поэтому мы отметим группу из первых трех символов – 101. Вторая цифра в ряду у нас 0, поэтому мы отметим группу из двух символов 10, следующую за первой группой 101. Третья цифра – 1, значит, отмечаем три цифры 101, которые следуют за 10, и т.д. Теперь размеченная последовательность выглядит так:
А теперь оставим первые две цифры из каждой группы по три и первую – из каждой группы по две. И взглянем на получившуюся последовательность из оставшихся цифр:
1011010110...
Видите? Новый ряд идентичен «золотой последовательности»!
Можно проделать другое упражнение. Скажем, в качестве подпоследовательности выберем 10 и будем подчеркивать это сочетание цифр в «золотой последовательности» везде, где оно встретится:
Если теперь мы будем обращаться с каждым сочетанием 10 как с единым символом и обозначим количество мест, на которые надо сдвинуть каждое сочетание 10, чтобы перекрыть его со следующим 10, то получим последовательность 2122121... (первое 10 надо сдвинуть на два места, чтобы оно наложилось на следующее, третье – на одно место и так далее). Если теперь в получившейся последовательности заменить каждую цифру 2 цифрой 1 и каждую 1 – нолем, мы снова получим «золотую последовательность». В общем, если взять любую закономерность в пределах «золотой последовательности», мы обнаружим, что та же закономерность присутствует в последовательности и при любом уменьшении масштаба.
Самоподобие в строгом классическом смысле есть условие того, что часть представляет собой уменьшенную копию целого. Строгое самоподобие редко встречается в природе. Природные формы представляют собой бесконечную последовательность мотивов, повторяющих самих себя внутри других мотивов на разных масштабах с некоторым искажением. Таковы раковина наутилуса или капуста брокколи. Если отламывать от кочана соцветия брокколи, то кусочки будут все меньше и меньше, они до какого-то предела все равно будут подобием целого кочана. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются обычно при увеличении на 2 порядка (макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки – диаметр около 100 макромолекул и т. д.). С изменением масштаба строгое самоподобие нарушается, но сохраняется некоторый лейтмотив, схожесть не совсем точная, но все-таки заметная. Это и есть нестрогое самоподобие. Нестрогое самоподобие, в свою очередь, есть условие того, что часть может представлять собой деформированную копию целого. Мандельброт отказался от строгого формализма и сформулировал условие, согласно которому фрактальное подобие не требует абсолютной идентичности. Енс Федер в книге «Фракталы» (1988) со ссылкой на частную беседу с Мандельбротом привел определение фрактала с акцентом на нестрогое самоподобие:
