Текст книги "Суперфрактал"

Автор книги: Сергей Деменок

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 11 страниц)

Фрактальный повтор

Когда какое-то действие необходимо повторить большое количество раз, используются циклические процессы и процедуры. Один шаг цикла называется итерацией.

Серийное производство есть «итерация по шаблону», т. е. на каждом шаге вычислений идет возврат к начальному условию. Здесь каждый новый цикл стартует «от печки». «Итерацию по шаблону» использует программист, когда ему нужно вывести сто раз на экран текст «Iteration». Вместо стократного повторения одной и той же команды вывода текста программист создает цикл, который повторяется сто раз, и сто раз выполняет то, что написано в «теле цикла».

Совсем иное дело, когда итерация имеет формат рекурсии. В этом случае результат предыдущего шага итерации становится начальным условием для следующего. Так, например, положение и скорость тела в каждый момент времени определяются через положение и скорость тела в предыдущий момент времени. Визуально рекурсия иллюстрирует рекламный трюк – эффект Дросте.

Эффект Дросте – термин ввел в конце 1970-х годов журналист Нико Схепмакер по названию голландской марки какао фирмы Droste, которая использовала этот эффект на упаковке своей продукции в 1904 году.

Эффект рекурсии достигается таким образом: на фотографии размещается уменьшенный вариант той же фотографии или объекта с этой фотографии, на уменьшенной копии размешается еще более уменьшенная фотография, и так далее

Иллюстрация эффекта Дросте на примере видеоинтерпретации картины Эшера Galeria degrabados, 1956

Хорошей математической иллюстрацией рекурсии являются числа Фибоначчи. Этот термин придумал в XIX веке французский математик и автор многих популярных математических головоломок Эдуард Люка. Числа Фибоначчи – первая известная в Европе рекурсивная последовательность. Многие из тех, кто изучал математику, естественные науки или искусства, слышали о Фибоначчи исключительно благодаря следующей задаче из главы XII его «Liber abaci» («Книга абака», 1202):

«Некий человек поместил пару кроликов в огороженное со всех сторон место. Сколько пар кроликов  произойдет от этой пары за год, если предположить, что каждый месяц каждая пара порождает новую пару, которая еще через месяц становится способна приносить потомство ?»

Суть проста. Сначала у нас одна пара. Проходит первый месяц, первая пара порождает еще пару, их становится две. Проходит второй месяц, взрослая пара порождает еще одну юную пару, а молодая пара тем временем подрастает. Итак, у нас три пары. Проходит третий месяц, каждая из двух взрослых пар порождает еще по паре, а юная пара подрастает; итак, у нас уже пять пар. Проходит четвертый месяц, каждая из трех взрослых пар порождает еще по паре, а две юные пары подрастают, следовательно, у нас уже восемь пар. После пяти месяцев у нас по юной паре от каждой из пяти взрослых пар плюс три подрастающие пары – всего тринадцать пар.

Теперь мы уяснили закономерность и знаем, как получить число взрослых пар и юных пар и общее число пар кроликов в каждый последующий месяц. Предположим, нас интересует только число взрослых пар в каждый конкретный месяц. Это число состоит из числа взрослых пар в предыдущий месяц плюс количество юных пар (к данному моменту успевших повзрослеть) в тот же предыдущий месяц. Однако количество юных пар месяц назад на самом деле равно количеству взрослых пар в позапрошлом месяце. Итак, в каждый конкретный месяц, начиная с третьего, количество взрослых пар просто-напросто равно сумме количества взрослых пар за два предшествующих месяца. Итак, количество взрослых пар подчиняется последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8...

Ничего не напоминает?

Ну конечно, это же самоподобная «золотая последовательность»!

Из рисунка очевидно, что количество юных пар подчиняется в точности той же последовательности со сдвигом на один месяц. То есть количество юных пар равно

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...

Естественно, общее количество пар – сумма этих последовательностей, и оно совпадает с последовательностью для количества взрослых пар без числа за первый месяц:

1, 2, 3, 5, 8.

Последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих чисел, представляет собой ряд Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

Условие, согласно которому каждый член последовательности Фибоначчи равен сумме двух предыдущих членов, математически выражается формулой, которую в 1654 году вывел Альбер Жирар:

u_n+2 = u_n+1 + u_n.

Здесь n – это номер члена последовательности (например, u₃ – это третий член последовательности), u_n+1– это следующий за ним член последовательности (то есть если n = 3, то n+1=4), а u_n+2 – это член последовательности, следующий за u_n+1, то есть пятый член последовательности Фибоначчи.

Рекурсивная функция Фибоначчи применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду чисел, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.

Фрактальная размерность

Во фрактальном мире повторение, встроенное в процесс построения фракталов, производит эффект одинаковой «изрезанности», или «сморщенности» фрактальных фрагментов и фрактала в целом.

Мандельброт задался вопросом: как определить меру изломанности фрактальной структуры?

В мире евклидовой геометрии у любого предмета есть измерения. У точки число измерений – ноль, у прямой – одно, у плоских фигур вроде треугольников и пятиугольников – два, у объемных тел – три. А фрактальные кривые вроде молнии так агрессивно изгибаются, что попадают куда-то между одним и двумя измерениями. Если след молнии относительно гладкий, можно представить себе, что число фрактальных измерений близко к единице, если же он очень извилистый, следует ожидать числа измерений, близкого к двум.

Все эти размышления вылились в вопрос, сделавшийся в наши дни знаменитым:

«Какова длина побережья Британии ?»

Мандельброт дал на это неожиданный ответ:

 «Длина береговой линии, оказывается, зависит от длины линейки, которую возьмет измеряющий».

Представьте себе, что вы начинаете со спутниковой карты Британии со стороной в один фут. Измеряете длину побережья, умножаете на нужный коэффициент, исходя из заданного масштаба карты. При таком методе, разумеется, пропадут всякие мелкие извивы береговой линии, которых на карте не видно. Теперь представьте себе, что вы вооружаетесь палкой метровой длины и начинаете долгое путешествие вдоль берегов Британии, тщательно измеряя береговую линию метр за метром. Результат, несомненно, будет гораздо больше прежнего, поскольку вам удастся зафиксировать куда более мелкие извивы и повороты. Однако вы наверняка заметите, что на более мелких участках вы все равно упустите какие-то подробности. Дело в том, что чем меньше будет наша линейка, тем больше окажется результат измерений, потому что всегда оказывается, что при уменьшении масштаба выявляется подструктура. Из этого следует, что, если имеешь дело с фракталами, в пересмотре нуждается даже концепция длины как средства передачи расстояния. Контуры береговой линии при увеличении не становятся прямыми, изгибы присутствуют при любом масштабе, и общая ее длина возрастает бесконечно – по крайней мере, пока мы не дойдем до атомов.

Зависимость длины фрактальной кривой от масштаба измерения

Прекрасный пример такой ситуации – линия «снежинки Коха». «Снежинка Коха» – кривая, которую первым описал в 1904 году шведский математик Нильс Хельге фон Кох. Начертим равносторонний треугольник со стороной в один сантиметр. Теперь в середине каждой стороны достроим треугольники поменьше – со стороной в одну треть сантиметра. В результате на этом этапе у нас получится звезда Давида. Обратите внимание, что периметр первоначального треугольника составлял три сантиметра, а теперь он состоит из двенадцати сегментов по трети сантиметра каждый, так что общая его длина равняется уже четырем сантиметрам. Теперь будем последовательно повторять эту процедуру – на каждой стороне треугольника будем достраивать новый с длиной стороны в одну треть предыдущей. Каждый раз длина периметра будет возрастать с коэффициентом 4/3, и так до бесконечности, несмотря на то что линия ограничивает замкнутое пространство конечной площади (можно доказать, что площадь стремится к 8/5 площади первоначального треугольника).

Мандельброт сформулировал вопрос:

 «Насколько быстро увеличиваются длина, площадь или объем, если измерять их на непрерывно уменьшающемся масштабе?»

Мандельброт понимал, что эта скорость равна степени извилистости фрактальной структуры. Такое интуитивное представление кажется очевидным. Продолжая поиски степени извилистости фрактальных форм, Мандельброт пришел к идее, которая далеко не очевидна. Он обнаружил, что степень извилистости описывает размерность Хаусдорфа – Безиковича.

Еще в 1919 году Феликс Хаусдорф выдвинул концепцию дробных измерений. Хотя поначалу подобная идея вызывает некоторую оторопь, оказалось, что именно дробные измерения – прекрасный инструмент, позволяющий охарактеризовать степень неправильности, или фрактальную размерность.

Интуитивно мы чувствуем, что кривая Коха занимает больше пространства, чем одномерная линия, но меньше, чем двухмерный квадрат. Но разве так бывает, чтобы у чего-то было дробное измерение? Ведь между 1 и 2 нет никаких целых чисел. Чтобы получить внятное объяснение, возьмем за основу знакомые представления о целочисленных измерениях, так называемой топологической размерности – 1, 2 и 3. Идея Хаусдорфа в интерпретации Марио Левио заключается в том, что одно и то же деление измерений на части в одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах производит разную степень дробления одномерных, двухмерных или трехмерных объектов.

Например, если разделить одномерный отрезок пополам, то получим два сегмента (коэффициент сокращения ƒ = 1/2). Если разделить двухмерный квадрат на «подквадраты» с половинной длиной стороны (коэффициент сокращения опять же ƒ = 1/2), то получим 4 = 2² квадрата. Если же мы возьмем длину стороны в 1/3 первоначальной (ƒ = 1/3), квадратов станет 9 = З². Если же мы поступим так же с трехмерным кубом, то деление ребра пополам (ƒ = 1/2) даст нам 8 = 2³ кубиков, а ребро в 1/3 первоначального – 27 = 3³ кубиков. Если изучить все эти примеры, обнаружим, что между количеством «фрагментов» n, коэффициентом сокращения длины ƒ и измерением D есть определенная взаимосвязь. И вот какая:

n = (1/ƒ)^D.

Если применить эту формулу к «снежинке Коха», получится фрактальное измерение, равное

D = 1,2619.

Ремесленники издавна использовали этот подход на практике. Так, для измерения площади фигуры сложной формы они использовали палетку. Палетка – это прозрачная пластина, на которой нанесена сетка с квадратными ячейками, стороны которых одинаковы и равны некоторой величине δ. Если такую сетку наложить на карту Великобритании и подсчитать количество клеток, попавших в область объекта измерения, то можно оценить его площадь, которая пропорциональна количеству ячеек, попавших в его границы. Точность оценки возрастает с уменьшением шага сетки. Число ячеек, попавших в границы измеряемого объекта N, возрастает с уменьшением стороны ячейки 8. При измерении площади

N ~ 1/δ².

При аналогичном измерении длины извилистой кривой

N ~ 1/δ,

а при аналогичном измерении объема некоторого тела

N ~ 1/δ³.

Степень в этих отношениях указывает на топологическую размерность, не правда ли? Однако эта степень не обязана быть целым числом. Она может быть дробной.

Рассмотрим пример. Пусть подопытная частица помещена в прозрачный раствор. Мысленно представим, что в процессе движения она растворяется, оставляя след, который проецируется на плоскость. Вначале там появится ломаная траектория, размерность которой легко определить с помощью палетки. Как у всякой кривой, она будет равна 1. После продолжительного броуновского блуждания в замкнутом объеме траектория полностью «заштрихует» проекцию – не останется ни одного видимого просвета. Размерность такой заполненной траекторией области будет равна 2. Между этими пределами мы можем зафиксировать промежуточное состояние, в котором траектория броуновской частицы уже перестала напоминать линию, но еще не заполнила плоскость. В этот момент она напоминает паутину, которая постоянно уплотняется. Размерность такой паутины принимает промежуточное значение между 1 и 2.

Именно такое обобщенное понятие размерности предложил Хаусдорф. Результатом работ Хаусдорфа и Безиковича стало новое техническое определение размерности, согласно которому при уменьшении величины δ размерность измеряемого объекта равна отношению логарифма от N к логарифму от 1/δ. По существу это показатель степени q в формуле

N ~ 1/δ^q.

Такое отношение запросто может быть не только целым, но и дробным, притом что топологическая размерность – всегда целое число – 1, 2, 3.

 Суть рассуждений Хаусдорфа и Безиковича заключается в следующем. Пусть у нас есть пластичная универсальная палетка, которая для одномерного объекта трансформируется в отрезок, для двумерного – в квадрат, а для трехмерного – в куб. Мерой ячейки этой палетки будут: для одномерного объекта – длина δ¹, для двумерного – площадь δ², и для трехмерного – объем δ³. В обобщенном случае мерой ячейки является величина δ^d. Мерой объекта, покрытого такими ячейками, является, очевидно, величина N – число ячеек, соприкасающихся с измеряемым объектом. При условии, что размер ячейки 8 уменьшается, стремясь к нолю, величина

N ~ δ^d.

Таким образом, мера N зависит от выбранной наблюдателем размерности палетки – от величины d. Вместе с тем мы видели, что число ячеек N, соприкасающихся с измеряемым объектом, есть величина, обратно пропорциональная размеру ячейки δ в некоторой степени q:

N ~ 1/δ^q.

Величина q при этом характеризует структуру измеряемого объекта и не имеет отношения к палетке наблюдателя. Оба условия совмещаются, если

N ~ (δ^d) x (1/δ^q).

To есть

N ~ δ^d-q.

Знак «~» означает «пропорционально» и может быть заменен знаком равенства при умножении комплекса δ^d-q на некоторую константу – const:

N = const x (δ^d-q).

При δ → 0:

если d – q > 0,

величина N → 0,

а если d – q < 0,

то величина N → ∞. Только при

d = q

мера N принимает конечное значение, равное постоянной const, которое и называется размерностью Хаусдорфа – Безиковича. Это своего рода условие, при котором совпадают меры измеряемого и измеряющего объектов.

В практических расчетах для определения размерности Хаусдорфа – Безиковича используются упрощения, вполне обоснованные для большинства сложных форм. Так, на основании приведенной выше формулы

N ~ δ^d,

размерность d может быть представлена отношением ln(N) к ln(δ). Рассчитать размерность d можно по двум точкам (N₁, δ₁)и (N₂, δ₂):

Алгоритм определения фрактальной размерности обычно сводится к следующему. Строится график зависимости N от δ в логарифмических координатах. Точки на графике обычно ложатся на отрезок прямой, угол наклона которой и равен d (см. рисунок). Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии – 1,52; для Великобритании (линия 1) – 1,25; для Германии (линия 2) – 1,15; для Австралии (линия 3) – 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки (линия 4) – 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности (линия 5) – 1,0.

Размерность Хаусдорфа – Безиковича отличается от евклидовой. Она может принимать нецелые значения. Она неизменна (инвариантна) при рассмотрении объекта «вблизи или издалека». Будучи трансмасштабной, она не имеет отношения к геометрии фрагмента или фрактала в целом. Фрактальная размерность, если она отражает геометрию, то прежде всего геометрию трансформации фрагмента при переходе от одного масштаба к другому.

Обратим внимание на то, что дробная размерность не имеет ничего общего с «дырами» в пространстве. Дробность связана с тем, как сетка наблюдателя соотносится со структурой объекта наблюдения.

Как бы ни приближались друг к другу меры измерения и измеряемого, между ними всегда возможно некоторое различие. Различие проявляет себя в дробной размерности, выраженной рациональными или иррациональными числами. Появление последних говорит о несоразмерности мер измеряющего и измеряемого, но это не исключает их соизмеримости.

Ведь суть иррационального числа – соизмерять несоразмерное.

Греческие мыслители внимательно и тщательно изучали иррациональные числа. Постигая гармонию сфер и правильных фигур, греческая цивилизация сделала следующий шаг. Греки обратили внимание на такое качество окружающих их вещей и явлений, как симметрия. Греческое слово ΣYM-METPIA означает «совместно измеренное». Греки интуитивно угадывали, что такое качество, как иррациональность чисел и такое качество, как симметрия структур, оба имеют отношение к процессу «совместного измерения».

Пророчество пифагорейцев

Пифагорейцы, быть может, первыми осознали силу числа – символа в его самом чистом виде. Пифагорейцам открылось, что число, будучи по существу виртуальным и воображаемым, не менее реально, чем любой существующий предмет или любое имевшее место явление. И пифагорейцы обнаружили числа не только в том, что можно рассмотреть, но и в том, что можно расслышать. Пифагорейцы искали и находили гармонию чисел во всем: в образах, в звуках, в логике и мистике.

Их не могла не тревожить задача о «квадратуре круга». Построить квадрат той же площади, что и круг, с помощью циркуля и линейки пифагорейцам никак не удавалось. Главная причина была в том, что им мешали странные числа, которые не сводятся к отношению двух целых чисел. Эти числа мы называем иррациональными.

Иррациональные числа пугали пифагорейцев. Их древняя мудрость остерегает открывать эти числа неподготовленным, ибо кто коснется тайны этих чисел, тот погрузится в «пучину возникновения и будет обмываемым ее волнами, не знающими покоя». В схолиях к X книге «Начал» Евклида приведена пифагорейская легенда о гибели при кораблекрушении Гиппаса Месопотамского, разгласившего, что отношение диагонали к стороне квадрата не может быть выражено в виде отношения двух натуральных чисел, то есть является иррациональным. И силу этого пророчества через несколько столетий испытал на себе Фидий. Фидий, открывший самое известное иррациональное число sectia aurea – «золотое сечение», – скончался в изгнании, обвиненный противниками Перикла в том, что присвоил часть золота для статуи Афины, а также изобразил на щите Афины среди прочих себя. Все это мистическим образом подтверждало предостережение пифагорейцев.

Что же такое иррациональное число? Величина корня из двух – быть может, простейшее иррациональное число. Оно представляет собой решение простого квадратичного уравнения

X² – 2 = 0.

Мы регулярно сталкиваемся с ним при использовании листов формата А – A3, А4, А5, но мало кто знает, что их соразмерность достигается притом, что их стороны друг с другом несоизмеримы. Нельзя найти такой меры длины, которая укладывалась бы целое число раз по периметру всех известных форматов. И это связано с тем, что соотношение сторон листов формата А равно иррациональному числу 1,4142... Так, для формата А4 это 210х197 мм: 210/197 = 1,4142... Для формата А5 – 197x148 мм: 197/148 = 1,4142... и так далее. При этом, как видно из рисунка, все форматы соразмерно размещаются на листе мастер-формата АО.

Иррациональных чисел существует великое множество. В общем, иррациональное число – это вещественное число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n – целые числа. Многие иррациональные числа нам хорошо знакомы.

Так, если бы «Оскара» стали присуждать иррациональным числам, то, вне сомнений, больше всего их соберет число π – отношение длины окружности к ее диаметру.

И эта вездесущесть числа π связана с тем, что окружность есть самая симметричная из всех симметричных фигур.

Симметрия и суперсимметрия

Вскипятите его, остудите во льду

И немножко припудрите мелом,

Но одно безусловно имейте в виду:

Не нарушить симметрию в целом!

Льюис Кэрролл. Охота на Снарка

(пер. Г. Кружкова)

Симметрии пронизывают все вокруг. Их много. Они разные. По большей части они скрыты от глаз. Человек распознал симметрию, как и красоту, когда стал осознанным, когда австралопитек стал Homo Sapiens. Благодаря шестому чувству – сознанию – человек стал различать символическую структуру вещей и явлений. Это случилось более тридцати тысяч лет тому назад. Появились зарубки на костях бабуина. Появилась пещерная живопись. И вскоре появился орнамент. Он появился уже в палеолите. Геометрическим узором покрыты браслеты, всевозможные фигурки, вырезанные из бивня мамонта. Первые орнаменты – это множества абстрактных зигзагообразных линий. Орнамент радикально отличается от блестящих по реализму пещерных рисунков. Изучив с помощью увеличительных приборов структуру среза бивней мамонта, исследователи заметили, что они по своей природе состоят из зигзагообразных узоров, очень похожих на зигзагообразные орнаменты. Таким образом, человек создал орнамент, когда увидел и распознал структуру, созданную самой природой. Но древние художники не только копировали природу, они вносили в первозданный орнамент новые комбинации и элементы.

Наскальные рисунки. Форсельв. Норвегия

Ваза шумерского царя Энтемены, 2700 г. до н. э. Это зеркально-симметричная симметрия и симметрия при повороте на 180°

Новый уровень понимания симметрии мы обнаруживаем в осколках шумерской цивилизации. Шумеры – древнейшее население Междуречья между реками Тигром и Евфратом. Шумеры изображали не только зеркальную симметрию, но также менее очевидную симметрию, когда один фрагмент переводится в другой не отражением, а поворотом на 180°.

Пифагорейцы изучали выпуклые равносторонние многогранники. На плоскости можно нарисовать равносторонний многоугольник с любым числом сторон. Но в трех измерениях таких фигур, любая из граней которых есть один и тот же правильный многоугольник, существует всего пять. Считается, что пифагорейцы знали только три такие фигуры. Весь набор из пяти фигур впервые был описан древнегреческим математиком Теэтетом, близким к Академии Платона. Эти многогранники называют «Платоновыми телами», поскольку в своем трактате «Тимей» Платон придал им глубокий философский смысл. Четырем из них он сопоставил стихии (землю, воздух, воду и огонь): земля – куб, воздух – октаэдр, вода – икосаэдр, а огонь – тетраэдр. Основанием этому служат эмоциональные ассоциации: жар огня ощущается четко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если ее взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно не похожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. А с пятым элементом – додекаэдром – Платон связывал квинтэссенцию, буквально «пятую сущность».

Слева направо: гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия», додекаэдр и икосаэдр (из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»)

Симметрии тетраэдра: 8 поворотов относительно вершины; 3 поворота относительно середин сторон ребер; 12 отражений.

Итого 24 преобразования

В последней, XIII книге «Начал» Евклид суммировал выводы греческих геометров и дал полное описание симметрий правильных многогранников. Он заметил, что все они «как бы состоят» из тетраэдров. Тетраэдр – простейший элемент. И у него 24 преобразования симметрии. Уже здесь проявилось понимание того, что симметрия не только форма, но и процесс преобразования формы.

Процесс преобразования – существенный элемент симметрии.

Следующий прорыв в понимании симметрии был сделан в эпоху Возрождения. О телах Платона тогда много писали геометры, архитекторы и художники. Например, Пьеро дела Франческо, Дюрер, Лука Пачоли и Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи собирал из дерева каркасные модели Платоновых тел и изучал то, что скрыто по ту сторону от их форм. Его вдохновлял тот факт, что в телах Платона вдруг обнаружились символические числа – «золотая пропорция» и числа Фибоначчи в додекаэдре. Кодовые числа как бы скрываются в тени симметрии.

Симметрия означает форму, процесс преобразования и символическое число.

Идею прекрасного, но скрытого порядка, который можно явить только в числах, формулирует Гален. Гален, пересказывая казной древнегреческого скульптора Поликлета, приходит к выводу:

«Прекрасное мало-помалу возникает из множества чисел».

Симметрия привлекательна для человека тем, что она есть манифестация чисел. И эта идея получила свое развитие в XX веке. В 1910-х годах Феликб Клейн (автор книги об икосаэдре) писал:

«[Платоновы тела] проходят через всю историю  науки. Пифагорейцы видели в них символы некоего  мистического совершенства... Тринадцать книг Евклида служили лишь введением к их построению... А в наши дни они снова вступают в поле зрения математиков».

Речь идет о теории групп, изобретенных французским математиком Эваристом Галуа в XIX веке. Галуа обнаружил, что произведение любых перестановок из списка корней алгебраического уравнения само является перестановкой этого уравнения. Именно такой набор перестановок Галуа назвал «группой».

Так, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях – тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Нахождение того, какие перестановки являются симметриями этого уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть то, в чем можно быть уверенным без всяких вычислений. Набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней. Почему? Предположим, например, что перестановки Р и R сохраняют все алгебраические отношения между корнями. Если к некоторому алгебраическому уравнению применить R, то получится верное соотношение. Если применить Р, то снова получится верное соотношение. Теперь, если применить R, а затем Р, – это то же самое, что применить Р, а затем – R. Следовательно PR = RP, то есть PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым качеством. Все это Эварист Галуа понял в свои двадцать лет. Это, собственно, и есть то, что сделал Галуа. Он открыл, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа симметрии. Такую абстрактную симметрию Эвариста Галуа теперь называют «группой Галуа».

В 1872 году в докладе по случаю вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн предложил рассматривать геометрию как

«изучение свойств пространства, инвариантных  относительно той или иной группы преобразований».

Идею геометрического подобия и геометрической симметрии Клейн соединял с идеей перемещений. При изучении геометрии, утверждал Клейн, нужно рассматривать не только треугольники, окружности, икосаэдры или какие-либо другие фигуры, но и перемещения. Перемещения, которые могут растягивать и скручивать объекты, так же как сдвиг, следует считать геометрическими. Кроме того, соотношения между группой и симметрией намного легче понять в геометрическом контексте. Прежде всего следовало строго определить понятие симметрии. Ученик Давида Гильберта Герман Вейль смог точно и элегантно определить симметрию:

«Вещь считается симметричной, если мы можем  с ней что-то сделать таким образом, что после этого она выглядит так же, как раньше».

До Галуа это понятие было довольно расплывчато. После Галуа симметрия – это специальный вид преобразований. Это некоторый способ «шевелить» объект. Если объект выглядит неизменным после преобразования, то данное преобразование представляет собой симметрию.

Симметрия – это преобразование, которое сохраняет структуру объекта.

В таком определении симметрии есть три ключевых слова: «преобразование», «структура» и «сохраняет». Симметрия есть нечто, что сохраняется в переменчивом мире вещей и явлений. Эта идея стала популярной после того, как в 1918 году Амалия Эмми Нетер, приват-доцент Геттингенского университета, доказала одну из самых известных теорем. Теорема Нетер утверждает, что управляющие энергией законы неизменны (инвариантны) относительно непрерывных изменений или преобразований во времени.

Законы сохранения – это проявления глубинной симметрии природы.

Что же такое «непрерывное преобразование симметрии»? Поясним на примере. Круг симметричен относительно непрерывного вращения, поскольку, на какой бы угол мы его ни повернули, он будет выглядеть не изменившимся. С квадратом такая манипуляция не пройдет. Квадрат симметричен только при повороте на 90°. Применительно к симметрии законов сохранения это означает следующее. Математические уравнения, описывающие динамику энергии в физической системе в какой-то момент времени, будут точно такими же и через бесконечно малый промежуток времени. Это хорошая новость. Вы только представьте себе мир, в котором законы меняются на каждом шагу!

Таким образом, закон сохранения энергии указывает на то, что физические законы неизменны во времени.

Подчеркнем, что речь идет о физических законах, а не о физических событиях. Так, купить акции Россельхозбанка в прошлом квартале – это не то же самое, что купить их год назад. При этом процесс покупки не изменяется, коль скоро сохраняются правила в работе банка. Именно об этом речь. Энергия – величина того уровня реальности, который соответствует правилам поведения, уравнениям движения, но не самому поведению и не фактическому его результату.

Сам факт существования такой величины, как энергия, есть знак того, что существуют в реальности такие символические структуры, которым подчиняется поведение физической реальности.

Симметрия проявляет себя в геометрических формах. Симметричными могут быть аккорды, тексты, уравнения, частицы вещества и кванты действия. Симметрия стала любимицей физиков. Она помогла им разобраться с классификациями кристаллов и элементарных частиц, помогла решать уравнения, вычислять вероятности квантовых переходов и делать фантастические обобщения. Одно из таких обобщений было сделано в Московском математическом институте им. Стеклова доктором Ю.А. Гольфандом и его аспирантом Е. П. Лихтманом в 1970 году и получило название «суперсимметрия». Идея суперсимметрии в том, что элементарные частицы вещества (такие как кварки и электроны) и элементарные взаимодействия (такие как глюоны и фотоны) могут поменяться местами так, что ничего вокруг не изменится. Символично то, что суперсимметрию между веществом и взаимодействием обнаружили математики. Они рассматривали вещество и взаимодействие в символическом плане. Они изучали формулы. Формулы состоят из символов, означающих величины и связывающие их операции. В этом смысле суперсимметрия есть символическая симметрия – симметрия символов.