Текст книги "Суперфрактал"

Автор книги: Сергей Деменок

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 11 страниц)

Аффинное преобразование

В 1981 году вышла книга британского ботаника Джона Хатчинсона «Фракталы и самоподобие», в которой рассматривался новый метод преобразования изображений. В 1985 году Майкл Барнсли, ведущий исследователь компании «Georgia Tech», опубликовал работу, в которой он ввел в математику понятие системы итерируемых функций (СИФ). Преобразование образов с помощью систем итерируемых функций стало одним из наиболее замечательных и глубоких достижений в теории фракталов. С легкой руки Майкла Барнсли этот метод приобрел броское, почти рекламное обозначение. Его стали называть «игрой хаоса».

Прежде чем перейти к «игре хаоса», договоримся о понятии аффинного преобразования. Преобразования сжатия, растяжения, переноса и поворота объекта называются аффинными преобразованиями. Аффинные преобразования есть линейные преобразования в том смысле, что они могут быть представлены в виде линейной функции:

ƒ(x) = A • x + B,

где параметр А задает аффинное преобразование, а В – перенос, или так называемую трансляцию образа.

Действие аффинного отображения на единичный квадрат ABCD

Аффинное преобразование на комплексной плоскости можно задать системой уравнений:

x_n+1 = a_xn + b_yn + e,

y_n+1 = c_xn + d_yn + ƒ

или матрицей:

В общем случае аффинное преобразование на плоскости определяется шестью независимыми действительными числами. Два числа е и ƒ описывают обычную трансляцию, а четыре числа а, b, с, d задают произвольное линейное преобразование при неизменном положении начала координат (0,0). Коэффициенты а, b, с, d, e, f можно считать символическим кодом некоторого аффинного преобразования. Каждая точка образа переводится посредством аффинной трансформации в новую точку на той же плоскости. Обычно преобразование образа сводится к нескольким аффинным преобразованиям, выполненным одно за другим. Коды всех преобразований можно представить в форме матрицы С:

Для примера рассмотрим треугольник Серпинского. Построение треугольника Серпинского можно описать простым геометрическим алгоритмом. Для начала из правильного треугольника удалим среднюю четверть в виде подобного ему правильного треугольника. С оставшимися тремя треугольниками повторим ту же процедуру. И так далее – с остающимися на каждом шаге треугольниками поступают аналогично.

Этот алгоритм можно формализовать с помощью трех аффинных преобразований:

Исходный блок может быть треугольником, но может иметь и любую другую форму. Форма блока не имеет значения. Пусть это будет квадрат. Преобразования ω будут смещать и уменьшать исходный квадрат:

Первые несколько итераций изображены на рисунке.

Теперь мы готовы рассмотреть «игру хаоса».

Игра хаоса

Суть предложенной Барнсли «игры» в том, что каждая строка матрицы С и, следовательно, каждое преобразование будет выбираться случайным образом с вероятностью р. Причем сумма вероятностей всех строк равна единице.

Для иллюстрации выберем на листе начальную точку – неважно, где именно. Придумываем два правила – для орла и для решки. Правила указывают, каким образом надо перемещать фишки, например: «переместиться на два дюйма на восток» или «приблизиться на 25% к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки на игровом поле. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки – когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, то обнаружим, что точки на плоскости формируют фигуру, обычно – фрактал. Форма этой фигуры зависит только от установленных нами правил!

Рассмотрим еще один способ применения системы итерируемых функций. Возьмем кость. Вместо цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 на шести гранях нанесем всего три буквы х, у, z. Каждая из них будет повторяться дважды. На листе бумаги нарисуем треугольник, вершины которого обозначим теми же буквами х, у, z. Перед началом игры внутри треугольника отмечают произвольную начальную точку. После первого броска расстояние от исходной точки до вершины треугольника, обозначенной буквой, выпавшей при бросании кости, делят пополам и наносят первую точку. Далее алгоритм повторяется от этой точки и т. д. Постепенно на листе бумаги появляется известный фрактал Серпинского. Разумеется, для этой игры совершенно несущественно, чтобы исходный треугольник был равносторонним. С равным успехом «играть в хаос» можно с треугольником любой формы. Дело в том, что фрактал Серпинского является аттрактором для данного алгоритма.

Изменим правила игры. Станем фиксировать точки не на середине отрезка, а на расстоянии в 1/3 от соответствующей вершины. Результат показан на рисунке. Получившееся множество точек – «пыль Серпинского» аналогично множеству «пыль Кантора». Фрактальная размерность такого множества равна единице.

В качестве исходной фигуры можно выбрать и любой другой многоугольник. Например, квадрат. Однако в случае квадрата нас ожидает сюрприз. Если проводить игру по тем же правилам, что и для треугольника Серпинского (т. е. ставить новую точку на середине отрезка), то точки равномерно заполнят весь квадрат. Но если, например, взять правильный шестиугольник и ставить точку не в середине отрезка, а на расстоянии в 1/3 от соответствующей вершины, то эти точки в процессе итераций образуют множество, которое условно можно назвать шестиугольником Серпинского.

Шестиугольник Серпинского состоит из шести одинаковых частей, каждая из которых подобна целому, но имеет размер в три раза меньше исходного. Поэтому его фрактальная размерность D = ln6/lnЗ = 1,6309... Кстати, именно в этом случае игра в хаос будет подобна настоящей игре в кости: на шести гранях игрального кубика можно поставить цифры от одного до шести, соответствующие каждой из вершин шестиугольника.

Заметьте также, что внутренняя граница этой фигуры представляет собой уже известный нам фрактал – «снежинку Коха».

В книге «Фракталы: между мифом и ремеслом» я привел множество фракталов, полученных с помощью систем итерируемых функций. Одним из наиболее известных примеров, несомненно, является открытая Барнсли система из четырех сжимающих аффинных преобразований, аттрактором для которой является множество точек, поразительно напоминающее по форме изображение листа папоротника. Эти аффинные преобразования можно представить в виде матрицы:

Каждая строчка этой матрицы соответствует одному аффинному преобразованию с коэффициентами а, b, с, d, e, f. В последнем столбце таблицы приведены вероятности р, в соответствии с которыми выбирается то или иное преобразование. Результат действия этой системы итерируемых функций на некоторую начальную точку для разного числа итераций показан на рисунке.

Лист папоротника. Слева направо показаны 2000, 4000, 10000, 50000 и 200000 итераций

Видно, как с ростом числа итераций действительно возникает все более и более четкое изображение листа папоротника, удивительным образом напоминающее существующее в природе растение. Это множество точек бесконечно самоподобно, как и полагается всякому фракталу. Кроме того, разрешение образа достигается не за счет увеличения числа исходных данных, но за счет увеличения числа итераций. Всего лишь увеличив количество итераций – звучит здорово, пока не попробуешь проделать это на практике. Но труды стоят того: исходные 28 чисел содержат всю необходимую информацию о листе папоротника и о любом сколь угодно маленьком фрагменте этого листа.

Еще один пример – кленовый лист. Он может быть закодирован следующей матрицей:

На нижнем рисунке показан образ кленового листа и также выделены зоны листа, произведенные каждым из четырех преобразований. Мы видим, что образ кленового листа формируется по большей части тремя фрагментами, похожими на кленовый лист в целом. Этот эффект есть следствие фрактального самоподобия.

Изображение кленового листа может быть воспроизведено с помощью относительно простой системы итерируемых функций, так как этот вид изображений обладает высокой степенью самоподобия. Это значит, что целое изображение состоит из уменьшенных копий его самого. Увеличивая такое изображение, мы будем наблюдать одну и ту же степень детализации независимо от разрешения. Реальные изображения не обладают высоким уровнем самоподобия, которое присутствует в изображениях, полученных с помощью систем итерируемых функций. Более того, реальные изображения могут быть представлены различной глубиной цвета от битовых– 1 bit/px (черный/белый) до TrueColor– 24 bit/px и более качественных. Если мы хотим представить такое изображение как результат действия системы итерируемых функций, то, очевидно, нам понадобятся разные системы итерируемых функций для разных фрагментов изображения.

В то же время совершенно очевидно, что изображение можно закодировать в виде систем уравнений. При этом нет необходимости запоминать изображение в высоком разрешении. Достаточно помнить алгоритм, который почти не требует сколько-нибудь значимого объема памяти. В 1985 году Барнсли разработал метод фрактального сжатия изображений, на который им был получен патент. Этот метод давал потрясающие результаты.

Фрактальное сжатие позволяет сократить требуемый объем памяти для хранения изображения в 200 раз – больше, чем это позволял сделать популярный формат JPEG.

Фрактальное кодирование

Цифровые изображения занимают все большую часть медийного мира. Развитие Интернета, наряду с доступностью все более мощных компьютеров и прогрессом в технологии производства цифровых камер, сканеров и принтеров, привело к широкому использованию цифровых изображений. Отсюда постоянный интерес к улучшению алгоритмов сжатия изображений. Это важно как для скорости передачи, так и эффективности хранения. Кроме многих видов коммерческого использования, технологии сжатия представляют также интерес для военных, например, приложения обработки данных телеметрии, полученных от перехватчиков ракет, или для архивного хранения данных об изображении местности для моделирования оборонительных действий. Решение проблемы сжатия изображения, или, в более общем смысле, кодирования изображения, использовало достижения и стимулировало развитие многих областей техники и математики.

Выявление структуры данных – ключевой аспект эффективного представления и хранения этих данных.

Широко распространено кодирование образов JPEG. Конкуренцию алгоритму сжатия JPEG составляет фрактальное кодирование изображений. Барнсли и Слоун впервые увидели возможность применения фрактального кодирования в середине 1980-х годов. В 1987 году они основали компанию «Iterated Systems Inc.». Оборот компании составил $1,5 млн в 1991 г., $4,5 млн– в 1992-м, $10,5 млн– в 1993-м и $10,5 млн – в 1994 г. В 2001 г. «Iterated Systems Inc.» была переименована в «MediaBin Inc.», а в 2003 г.– куплена компанией «Interwoven Inc.».

Для продвижения бизнеса Барнсли и его коллеги провели блестящую рекламную кампанию. Они опубликовали несколько искусственно созданных картин со сжатием 10 000:1, что значительно превосходит типовой коэффициент сжатия изображений по стандарту JPEG (50:1). Более того, обратный процесс извлечения изображения из фрактального кода – один из самых простых и быстрых. Как и в случае сжатия JPEG, фрактальное сжатие не исключает потери в том смысле, что восстановленное изображение может не соответствовать исходному изображению «точка в точку».

Еще в начале 1990-х годов этот растущий бизнес был защищен патентами: U.S. Patent 5065447 (англ), U.S. Patent 4941193, 5065447, 5384867, 5416856 и 5430812. Патенты покрывают широкий спектр возможных изменений фрактального сжатия и серьезно сдерживают его развитие. Сегодня срок действия большинства патентов истек или истекает в ближайшем будущем. Это, возможно, приведет к ренессансу фрактального метода сжатия изображений.

Суть фрактального кодирования состоит в том, что на изображении обнаруживаются самоподобные участки, а затем осуществляется полное покрытие всего исходного изображения множеством уменьшенных трансформированных его копий.

Таким образом, перед нами задача, обратная той, в которой для данной системы итерируемых функций мы находим соответствующую этой системе геометрическую форму. Теперь требуется для данной формы найти наиболее подходящую систему итерируемых функций. Первым шагом в этом направлении стала теорема коллажа, которую Барнсли сформулировал в 1985 году.

Суть теоремы в том, что исходное изображение искажается, затем искаженные изображения накладываются друг на друга. Отличие между полученным и исходным образами говорит нам о том, сколь сильно отличается аттрактор этих искажающих преобразований от исходного образа. Возьмем кленовый лист. С помощью системы трех итерируемых функций мы можем получить три отображения, напоминающих исходный кленовый лист. Составим коллаж из этих отображений так, чтобы получился образ, более всего напоминающий исходный лист. Отличие полученного изображения от исходного образа кленового листа укажет, насколько изображение, соответствующее данной системе итерируемых функций, отличается от исходного изображения.

Теорема коллажа ничего не говорит о системе итерируемых функций, которые используются при формировании коллажа. Произвольные изображения, в отличие от фракталов, не самоподобны, так что это не так просто – разбить его на повторяющиеся фрагменты.

В 1992 году Арнольд Джеквин (в то время он был аспирантом Майкла Барнсли) придумал, как это сделать. Прежде всего необходимо найти самоподобие фрагментов данного изображения. Самоподобие необходимо, иначе ограниченные в своих возможностях аффинные преобразования не смогут верно описать изображение. Если подобия не прослеживается между частью и целым, то можно поискать его между частью и частью.

Упрощенная схема кодирования выглядит так. Изображение делится на небольшие квадратные области – блоки. Параллельно покрываем изображение доменами. Каждый из доменов в четыре раза больше блока. Домены могут пересекаться, их пул покрывает все изображение.

Для каждого блока по очереди подбираем доменный блок: ищем такое преобразование, которое делает домен наиболее похожим на текущий блок. Пара «преобразование – домен», которая приблизилась к идеалу, ставится в соответствие блоку. В закодированном изображении для каждого блока сохраняются коэффициенты преобразования и координаты домена.

Затем находим преобразование, которое переводит домены в ранговые области. Домены могут перекрываться, а ранговые области – нет, и притом обязательно покрывают единичный квадрат.

Получение оптимального преобразования – отдельная тема, однако большого труда оно не составляет. Но другой недостаток схемы виден невооруженным глазом. Двухмегапиксельное изображение будет содержать огромное число доменных блоков размером 32 х 32. Полный их перебор для каждой ранговой области и есть основная проблема такого вида сжатия – кодирование занимает очень много времени. С этим борются при помощи различных ухищрений, вроде сужения области поиска или предварительной классификации доменных блоков.

Декодирование же производится просто и довольно быстро. Берем любое изображение, делим на ранговые области, последовательно заменяем их результатом применения соответствующего преобразования к соответствующей доменной области (что бы она ни содержала в данный момент). После нескольких итераций исходное изображение станет похоже на себя.

Фрактальное кодирование и «игра хаоса» стоят в одном ряду с теорией цепей Маркова и методом Монте Карло. Цепь Маркова, говоря нестрого, есть последовательность особых случайных событий. Их особенность в том, что при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Это замечательная идея! Мы с ней живем. Будущее зависит от нашего поведения в настоящем. Наше поведение в настоящем может идти вразрез с прошлыми намерениями и линиями поведения. В каждой точке настоящего совершается разрыв с прошлым. Но и от прошлого мы не можем отказаться.

В русле этой модели американский математик польского происхождения Станислав Улам разработал метод, названный им «методом Монте Карло». Во время долгого выздоровления после болезни Улам раскладывал пасьянсы и задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, Улам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность. Эти идеи легли в основу развития теории суперфракталов.

Суперфракталы

Обычные фракталы, которые мы строим по строго определенным правилам, не способны описать природное разнообразие. В книге «Суперфракталы» Майкл Барнсли пишет:

  «Никогда два облака не будут одинаковыми, не так ли? Вы различаете листья на березе и листья на дубе благодаря тому, что вы можете различить некую идентифицирующую их структуру, несмотря на случайность формы каждого листа. Нам нужна модель, которая отражает одновременно оба аспекта реальности – определенность и случайность».

Такая модель появилась в 2002 году в процессе интенсивного сотрудничества Майкла Барнсли, Джона Хатчинсона и Оржана Стенфло в Австралийском Национальном университете (Камберра).

Традиционно математические пространства и множества содержат в себе точки. Сжимающие отображения уменьшают расстояния между точками. Если взять любую точку и начать последовательно применять к ней одно и то же сжимающее отображение ƒ(x), то результатом будет всегда одна и та же точка на множестве X – точечный аттрактор данного отображения.

Аттрактор системы итерированных функций представляет собой не точку, но фигуру, форма которой часто представляет собой фрактал – некое предельное множество точек Н (х). Если мы станем применять ту же систему итерируемых функций для точек множества Н (X), то аттрактором таких преобразований будет то же самое множество Н (X).

Если бы реальные динамические системы можно было описать системой итерируемых функций на фрактале, то разнообразие организованных форм давно бы себя исчерпало. Однако этого не происходит. Происходит то, что еще Чарльз Дарвин заметил и описал в последнем параграфе «Происхождения видов»:

«Любопытно созерцать густо заросший берег, покрытый многочисленными, разнообразными растениями с поющими в кустах птицами, порхающими вокруг насекомыми, ползающими в сырой земле червями, и думать, что все эти прекрасно построенные формы, столь отличающиеся одна от другой и так сложно одна от другой зависящие, были созданы благодаря законам, еще и теперь действующим вокруг нас... Есть величие в этом воззрении, по которому жизнь с ее различными проявлениями Творец первоначально вдохнул в одну или ограниченное число форм; и между тем как наша планета продолжает вращаться согласно неизменным законам тяготения, из такого простого начала развилось и продолжает развиваться бесконечное число самых прекрасных и самых изумительных форм».

«Цветущая сложность бытия» есть манифест того, что реальность обладает потенциалом креативности новых форм. Опыт показывает, что природа расточительна на производство материальных форм и экономна на создание операций для их производства. Идея суперфракталов позволяет смоделировать экономную расточительность природы.

Суперфракталы имеют неограниченное разнообразие форм при ограниченном наборе операций.

Для иллюстрации этих идей представим себе дерево, которое растет таким образом, что в каждом поколении его ветви расщепляются на V ветвей. Этот алгоритм роста назовем «V-изменчивым» (V-variability). Комбинаторика типовых ветвей может изменяться от поколения к поколению, но число типовых ветвей не изменяется и равно V (своего рода «ген»).

Обыкновенный детерминированный фрактал генерируется одной системой итерируемых функций. Более сложный фрактал генерирует еще более сложный составной фрактал – семейство систем итерируемых функций. Он состоит из отдельных фракталов, как бы сложенных вместе. Каждый из этих составных фракталов генерируется одной из систем семейства систем итерируемых функций.

Естественным логическим шагом является случайное перемешивание действия систем итерируемых функций. В результате получается некоторый стохастический гомогенный фрактал с двумя уровнями выбора операций. Сначала мы выбираем с определенной вероятностью систему итерируемых функций, а затем выбираем с определенной вероятностью саму функцию. Далее эту процедуру усложнения можно продолжать, добавляя уровни сложности, соединяя один гомогенный фрактал с другим гомогенным фракталом.

Получается своего рода операциональная матрешка, в которой системы операций внутреннего уровня встроены в семейства операций внешнего уровня благодаря вероятностному выбору. Операторы вероятностного выбора выполняют функцию клея. Они слаженно связывают действие функций одной системы между собой и между семействами систем итерируемых функций и далее между семействами семейств систем итерируемых функций.

В окружающем нас мире вероятность выполняет, быть может, самую конструктивную функцию. Вероятность «склеивает» любые логически не связанные между собой процессы и операции. Вероятностная случайность соединяет несоединимое.

Идея V-изменчивого фрактала радикально отличается от описанного выше сложного гомогенного фрактала тем, что применяет склеивающее свойство вероятностного выбора не только к итерируемым функциям, но и к состояниям, в которых фиксируется результат. И если раньше операциональным элементом являлась функция в семействах систем итерируемых функций, то теперь вводится квант состояния – ячейка, в которую попадает результат после расчета на каждом шаге итерационного процесса.

V-изменчивый фрактал, как и гомогенный фрактал, генерируется семейством систем итерируемых функций с наложенной на них вероятностью выбора одной из систем на каждом шаге итерации. Однако при записи результата в одно из V состояний выбор этого состояния для записи также реализуется по случаю с определенной вероятностью. В общем случае мы можем иметь N систем и V состояний записи результата.

Между тем из условия суперсимметрии число систем итерированных функций должно совпадать с числом состояний N=V. Вероятность выбора на каждом шаге итераций семейства систем итерированных функций и состояния записи результата определяется V x V матрицей вероятности.

Представим себе, что правила преобразования V типовых «генов» описывают V систем итерируемых функций. В первом поколении возникнет V типов ветвей – аттракторов. На втором шаге мы будем применять те же V систем итерируемых функций к точкам сформировавшихся аттракторов. Если каждую из V систем итерируемых функций применить к точкам аттракторов, образованных этой системой на предыдущем шаге, то второе поколение будет повторять первое поколение. Однако, если мы случайным образом перетасуем системы итерируемых функций и применим их к «чужим» аттракторам, то получим новое разнообразие из V типов аттракторов. Однако самое замечательное то, что после многочисленных итераций вне зависимости от набора типовых «генов» мы получим своего рода аттрактор аттракторов – суперфрактал.

Графическое представление четырех уровней «2-изменчивого» дерева

Для иллюстрации рассмотрим простой случай, когда V = 2. Поставим следующий компьютерный эксперимент. Зарезервируем два буфера памяти – левый L и правый – R, в которых разместим аттракторы первого поколения, полученные вследствие многократного повторения расчета систем итерируемых функций F и G.

Далее случайным образом выберем одну из систем итерированных функций F или G. Затем выберем случайным образом буфер (L или R) и запишем результат применения выбранной системы итерированных функций. Снова выберем буфер случайным образом (это может оказаться буфер, выбранный шагом ранее) и поместим в него аттрактор после второй трансформации. Объединим результаты двух трансформаций в новый буфер L′. Снова выберем случайным образом систему итерируемых функций. Снова выберем буфер L или R и поместим туда трансформированный аттрактор. Возьмем вторую систему итерированных функций и выберем случайным образом буфер L или R. Поместим в него очередной трансформированный аттрактор. Объединим результаты и поместим их в новый буфер R′. Далее содержимое буфера L′  поместим в буфер L, а содержимое буфера R′  поместим в буфер R.

Продолжим все сначала. Вероятность выбора того или иного буфера и вероятность выбора той или иной системы итерируемых функций установим равными 1/2. После нескольких повторений этого цикла аттракторы в обоих буферах станут совершенно независимыми от начальных условий. Суперпозиция полученных аттракторов представляет собой совершенно новую фрактальную форму, называемую суперфракталом.

Для определенности возьмем две системы итерируемых функций F={ƒ₁,ƒ₂} и G={g₁,g₂}, где:

Аттракторы этих функций показаны на рисунке.

Аттракторы функций F = {ƒ₁, ƒ₂} (верхняя часть узора) u G = (g₁, g₂) (нижняя часть узора)

Далее реализуем процедуру построения 2-изменчивой системы. Эта реализация показана на следующей странице. После многочисленных итераций каждый следующий образ приближается к некоторому аттрактору, который и называется суперфракталом.

Барнсли заменил исходное изображение – линию – на образ «прыгающей рыбы». Он показал, что форма суперфрактала не зависит от формы исходного образа.

Фактически суперфрактал есть отображение системы итерируемых функций на систему итерируемых функций. Суперфракталы представляют своего рода математический мост между детерминистскими и стохастическими фракталами. При V = 1 суперфрактал совпадает с детерминистским фракталом, а при V → ∞ суперфрактал совпадает со стохастическим фракталом.

Напомним алгоритм построения «салфетки Серпинского» с помощью системы итерируемых функций в его графической форме.

Представленная на рисунке система итерированных функций основана на отношении 1/2. Назовем ее системой F.

Добавим вторую систему итерированных функций, точно такую, как и первая, но основанную на отношении 1/3. Обозначим эту систему как G. Пусть обе системы имеют одни и те же фиксированные точки исходного треугольника. Их аттракторы S_F:F (1/2) и S_g: G (1/3) показаны на рисунке.

На следующем рисунке показаны первые три поколения формирования суперфракталов с V = 1, V = 2 и V = 3. Там же приведены соответствующие им символические «деревья»...

Фракталы, построенные на базе систем итерируемых функций F и G c V=1, V=2 u V→∞ соответственно. (Источник: Robert Scealy. V-variable fractals and interpolation. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy of the Australian National University. April 20,2009, 93 p.)

Теперь рассмотрим аттрактор подобных форм при многократной трансформации «салфетки Серпинского» двумя системами итерируемых функций F и G при степени изменчивости V = 2. Результат таких трансформаций показан на рисунке.

Суперфрактал «салфетка Серпинского». (Источник: Notices of the AMS Volume 57, Number I)

Фрагмент суперфрактала, построенного на основе систем итерируемых функций «салфетки Серпинского» с V = 2, показан слева. Присмотревшись к этому фрагменту, вы замечаете, что он состоит из двух симметричных субфрагментов. Если присмотреться еще более внимательно, то обнаружится, что субфрагменты состоят из симметричных подфрагментов и так далее.

Из рисунка мы видим, что суперфракталы обладают локальной симметрией и масштабным подобием. Они не зависят от структуры исходных объектов. Их форма есть сложный аттрактор систем итерируемых функций, «склеенный» посредством вероятностного распределения случайного выбора операций.

В методе Барнсли вероятность управляет последовательностью применения того или иного оператора. При таком подходе случайные величины, проходя через организованную матрицу операций, производят предопределенную форму, точки которой, вновь пропущенные через ту же матрицу, произведут то же множество. Совсем иной алгоритм использован при построении алеаторных фракталов.