Текст книги "Софья Васильевна Ковалевская"

Автор книги: Пелагея Полубаринова-Кочина

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 23 страниц)

Не зная мнения своего первого и единственного учителя высшей математики, Вейерштрасс провел в изоляции от научного мира свои лучшие творческие годы, при плохом здоровье, возможно, расстроившемся от сильной перегрузки: напряженная научная работа и большая педагоги-^ ческая.

61

В Германии в пятидесятых годах прошлого столетия объявились вакансии по математике в некоторых университетах, однако претендентов было гораздо больше. Поэтому для Вейерштрасса важное значение имела поддержка таких крупных деятелей, как Крелле, основатель и редактор «Журнала чистой и прикладной математики», Александр фон Гумбольдт, оказавший покровительство многим талантам, а также Дирихле.

Соня Ковалевская и Вейерштрасс

В 1870 г. в размеренную жизнь Вейерштрасса влилась живая струя: у него появилась ученица, Соня Ковалевская.

3 октября 20-летняя Ковалевская пришла к 55-летнему ученому и сказала, что хочет слушать его лекции. Вейерштрасс, получив от Кёнигсбергера хорошую характеристику Ковалевской, писал, что он охотно пополнил бы ею (придав слушательнице соответствующий – очевидно, больший единицы – коэффициент) свою аудиторию, пострадавшую из-за войны Пруссии с Францией: вместо прошлогодних 50 слушателей у него теперь было всего 20. Однако совет университета не разрешил этого, и Вейерштрасс стал заниматься с Ковалевской частным образом.

Ученики Вейерштрасса вспоминали, каким он был для них другом и советчиком; по отношению к Ковалевской эти качества проявились наивысшим образом. Учитель называл свою ученицу единственным настоящим другом и делился с нею раздумьями и сомнениями.

Особенностью курсов, которые читал Вейерштрасс, было то, что они составляли единый цикл, на котором строилось все здание его математики, снизу доверху, начиная от понятия о числе, кончая теорией абелевых функций, шаг за шагом, в течение нескольких семестров.

Когда зимой 1877/78 г. студент Карл Рунге пришел к Вейерштрассу в один из приемных часов, чтобы посоветоваться, стоит ли ему слушать его курс абелевых функций, то профессор, расспросив Рунге о предшествующей подготовке, ответил отрицательно. Рунге огорчится, но когда в следующем семестре Вейерштрасс начал новый цикл, стал посещать лекции и прослушал полный курс Вейерштрасса. Среди слушателей был Адольф Гурвиц, с которым Рунге подружился; во время прогулок друзья могли без конца

62

восхищаться математикой Вейерштрасса и обсуждать различные ее детали [133, с. 35].

Скоро Ковалевская стала любимой ученицей » Вейерштрасса.

Соня с Юлией Лермонтовой, занимавшейся химией в частной лаборатории, поселилась недалеко от Вейерштрасса. Обычно два раза в неделю она приходила на занятия, раз в неделю учитель приходил к ней. На занятиях он повторял ей содержание лекций, прочитанных студентам, рассказывал о своих исследованиях и обсуждал новости науки. С нею он рассматривал вопрос о неевклидовых геометриях, частными случаями которых являются геометрии Римана и Лобачевского, и рассказывал ей о построении своей геометрии конечного мира (о ней сохранилось мало сведений), которой его товарищи-математики мало интересовались.

Сохранилось 88 писем Вейерштрасса к Ковалевской4. Переписка начинается 11 марта 1871 г. запиской, в которой Вейерштрасс говорит, что не смог побывать у Софьи Васильевны накануне и ждет ее завтра к себе [125].

В марте того года сестра Ковалевской Анна Васильевна находилась в Париже. Вести о том, что Анна и Виктор Жаклар стали активными деятелями Парижской Коммуны, докатились до Ковалевских, Соня стала беспокоиться о сестре, находившейся в самой гуще революционных событий в осажденном Париже, и захотела навестить ее. Владимир Онуфриевич решил сопровождать Соню и нашел предлог для поездки – ознакомление с работами парижских палеонтологов.

Ковалевские провели в Париже в самый разгар революции 38 дней – с 4 апреля по 12 мая. Вскоре по возвращении в Берлин они узнали о разгроме Парижской Коммуны и опять поспешили в Париж для оказания помощи Жакла– рам. Анне Васильевне удалось выехать из города, избежав ареста, Виктор же Жаклар был арестован, и Ковалевские вызвали в Париж Василия Васильевича Корвин-Круков– ского. Существуют разные версии того, как был освобожден Жаклар. По одной из них он бежал при переводе из

4       Значительная часть писем была опубликована Миттаг-Леффле– ром [136], все письма полностью, на немецком и русском языках, напечатаны у нас в 1973 г. [125]. Первые 44 письма относятся к периоду обучения Ковалевской у Вейерштрасса, т. е. к 1871—^ 1874 гг. [125].

63

одной тюрьмы в другую. По другой – на его освобождение было дано указание Тьера, которого просил об этом генерал Корвин-Круковский.

В июне Софья Васильевна опять вернулась в Берлин заниматься математикой. Вейерштрасс запиской от 3 июня (суббота) 1871 г. извещает свою ученицу, что завтра после обеда он дома и будет рад видеть ее у себя.

После летних каникул, которые Софья Васильевна провела в России, осенью она опять начала заниматься с Вейерштрассом.

В письме учителя от 6 ноября 1871 г. содержалась записка к заведующему университетской библиотекой с просьбой включить Ковалевскую в число абонентов. К письму от 14 ноября того же года был приложен экземпляр «Минимальных поверхностей» Г. Шварца [125, с. 152].

В письмах 1872 г. Вейерштрасс начинает затрагивать, а иногда и более подробно обсуждать те математические вопросы, которые он рассматривал на занятиях со своей ученицей. Так, в записке 25 марта 1872 г. он просит Софью Васильевну написать к следующей встрече доказательство теоремы, о которой они рассуждали накануне, так как он хочет поделиться им со своим другом [125, с. 153].

В письме от 14 июня 1872 г. Вейерштрасс извещает Соню о своем нездоровье, вследствие которого он не смо* жет завтра ее принять, и посылает свои наброски, относящиеся к тета-функциям.

Приведу целиком следующее письмо Вейерштрасса, направленное утром 26 октября 1872 г.:

Моя дорогая Софья!

Я только что нашел в своих бумагах несколько старых заметок насчет простейшей задачи вариационного исчисления. Несмотря на другой способ обозначений, Вы, как я думаю, сможете хорошо их использовать для проработки, поэтому я их и посылаю, предполагая, что Вы еще не начали Ваш трудовой день.

Сегодня ночью я много думал о Вас; это не могло быть иначе мои мысли блуждали в разных направлениях, но всегда возвращались к одному пункту, о котором я еще сегодня должен поговорить с Вами.

Не бойтесь, что я коснусь вопросов, о которых мы согласились не говорить, по крайней мере в настоящее время.

То, что я хочу Вам сказать, связано главным образом с Вашими научными стремлениями, но я не уверен, что при Вашей милой скромности, с которой Вы судите о том, чего Вы уже и теперь достигли, Вы были бы склонны согласиться с моим планом. Но все это лучше обсудить устно.

Хотя лишь несколько часов протекло после нашей последней

64

Елизавета Федоровна Корвин-Круковская (урожденная Шуберт), 1874 г.

Василии Васильевич Корвин-Круковскнй, 1874 г.

Федор Федорович Шуберт, почетный академик Петербургской Академии наук

Федор Иванович Шуберт, академик

Петербургской Академии наук

Маргарита Францевна Смит

Софья Васильевна в детстве, 1865 г.

Иосиф Игнатьевич Малевич

Александр Николаевич Страннолюбский

Дом в Палибине (после реставрации)

Гейдельберг, вторая половина XIX в.

Автограф письма Софьи КовалевскоЁ Гёсте Миттаг-Леффлеру

Дом Сигне и Гесты Миттаг-Леффлеров в Дьюрсхолме

Софья Васильевна Ковалевская и Юлия Всеволодовна Лермонтова

Анна-Шарлотта Леффлер и Софья Ковалевская

Пафнутий Львович Чебышев

Карл Вейерштрасс (1870) (снимок публикуется впервые)

Владимир Онуфрпевыч Ковалевский

Александр Онуфриевич Ковалевский

Юлия Всеволодовна

Лермонтова

Софья Васильевна Ковалевская, 1885 г.

Мария Викентьевна Янковская (Мендельсон)

Анна Васильевна Корвин-Круковская (Жаклар)

Извещение Института Франции о присуждении С. В. Ковалевской премии Бордена

встречи, которая так сблизила нас, я прошу позволения снова навестить Вас сегодня перед обедом на часок и полностью высказаться.

Шлю сердечный привет Ваш Вейерштрасс [125, с. 154].

Миттаг-Леффлер объясняет это письмо тем, что накануне Соня открыла своему учителю тайну фиктивного брака [136, с. 137].

Вероятно, до Вейерштрасса дошли слухи о необычном характере отношений между Владимиром Онуфриевичем и Софьей Васильевной Ковалевскими. С другой стороны, по-видимому, от него не укрылось то, что Соня находилась в чрезвычайно подавленном настроении. Дело в том, что она в эго время была в разлуке с Владимиром Онуфриевичем и тяжело переживала разрыв со своим фиктивным Мужем, который тянулся больше года. Весной 1873 г, между Ковалевскими возобновилась переписка 5, которая привела их к примирению и к тому, что их союз превратился в фактический брак. Софья Васильевна поняла, что Владимир Онуфриевич ревнует ее к друзьям, к учителю, что у него страдает самолюойе (он заговорил о разводе) и т. д. С чистым сердцем (Зрфья Васильевна могла сказать ему, что его подозрения йй йа чем не основаны, и посмеялась над его предшествующими попытками к примирению, выразившимися в посылке ей из Лондона туфель.

Вейерштрассу захотелось направить мысли своей уче-* ницы на определенную цель – получение диплома доктора. Как мы видели, Софья Васильевна и Владимир Онуфриевич ставили своей целью получение таких дипломов. Вопрос мог быть только в сроках и выборе тем. Очевидно, Вейерштрасс обдумывал вопрос о задачах для Сони.

В последующих письмах, написанных в периоды болезни Вейерштрасса, он переходит в обращении к Соне на «ты». Первое из таких писем, от 4 ноября 1872 г., начинается так:

«Мой дорогой друг!

Пересылаю Тебе при этом один лист, который Ты забыла вчера взять с собою, но должен обратить Твое внимание на некоторые пункты» [125, с. 154]. Он указывает, что посылает ей две теоремы о линейных дифференциальных уравнениях. Далее идет изложение вопроса о вариации определенного интеграла; на следующий день Вейер-

5       В Архиве АН (ф. 603, on. 1, № И) сохранилось шесть писем этого периода Софьи Васильевны Владимиру Онуфриевичу.

3 П. я. Кочина

65

штрасс посылает исправление предыдущего изложения: «Вчера, дорогая Соня, я ошибся в одном пункте, что и спешу исправить, чтобы Ты не оказалась вовлеченной в ошибочные заключения» [125, с. 156].

Следующее письмо написано 22 ноября 1872 г. утром. В нем учитель объясняет, почему он не сразу ответил на ее письмо с математическими вопросами: «Однако Ты меня извинишь, когда услышишь, что я вследствие простуды плохо чувствовал себя вчера и позавчера, и именно вчера находился в совсем не математическом настроении.

Сегодня чувствую себя значительно лучше и могу сообщить Тебе письменно желаемые сведения» [125, с. 159].

Он дает некоторые пояснения относительно свойств тета-функций, указывая, однако, что ей не придется их использовать, так как он придумал другой способ проведения исследования. Он хочет изложить его устно и просит Соню зайти к нему. При этом он добавляет: «Не беспокойся, что можешь прийти некстати, чего вообще не мо* жет случиться с моей милой приятельницей» (Там же) g

В записке 27 декабря 1872 г., на рождественских каникулах, Вейерштрасс приглашает Соню вместе с Юлией Лермонтовой на концерт. По воспоминанйям Юлии, Вейерштрасс и его сестры устраивали для обеих русских де^ вушек елку.

В письме от 25 апреля 1873 г. Вейерштрасс пишет своей ученице: «Ты, насколько Ты от меня чему-нибудь можешь и захочешь научиться, останешься моей ученицей в лучшем значении этого слова; этого бы я так выразительно не подчеркивал, если бы одно место в Твоем письме меня на это не навело бы» [125, с. 164].

Соня высказала мысль, что она может обременить своего учителя, и Вейерштрасс возражает ей: «Будь уверена, я никогда не забуду, что именно благодарности моей ученицы я обязан тем, что обладаю не только моим лучшим, но и моим единственным настоящим другом. Поэтому, если Ты и в будущем сохранишь то расположение ко мне, которое до сих пор проявляла, то можешь твердо рассчитывать на то, что я буду всегда преданно поддерживать Тебя в Твоих научных стремлениях» [Там же].

Цитируемое письмо относится к группе писем, написанных во время болезни Вейерштрасса и Сони, в апреле 1873 г., и последовавшей поездки Сони в Швейцарию для отдыха и свидания с сестрой.

Вейерштрасс советует своей ученице бросить занятия, дока она не окрепнет, и напоминает ей слова одного врача о том, что «кроме чая из ромашки, существует только одно лекарство, про которое твердо известно, что оно действует благотворно – это чистый, мягкий воздух!» [125, с. 161].

Знакомство с Г. Шварцем

Весной 1873 г. Софья Васильевна приехала в Цюрих, где в то время жила ее сестра. Туда же приехали Елизавета Федоровна и Василий Васильевич посмотреть на внука Юрия, сына Анны и Виктора, родившегося 18 марта.

Об       этом периоде жизни Софьи Васильевны писала Е. Ф. Литвинова, использовав свои дневниковые записи [137].

Как раз перед этим Литвинова решила обратиться к известному немецкому математику Г. А. Шварцу, жившему в Цюрихе, с просьбой помочь ей ознакомиться с его работами. Этот совет ей дала Анна Васильевна Жаклар, слышавшая о цюрихском математике от Сони, которая была знакома с его теорией минимальных поверхностей.

Шварц принял,Литвинову очень хорошо, а при имени Ковалевской оживился и сказал: «О, это замечательная женщина; мне так много пишет о ее занятиях наш общий великий учитель профессор Вейерштрасс. Недавно он прислал мне свои лекции об абелевских функциях, составленные ею[ Вы еще не имеете о них понятия. Это труднейший предмет в математике, и немногие мужчины отваживаются им заниматься» [137, с. 37].

Софья Васильевна говорила Литвиновой, что у нее уже есть работа, пригодная для докторской степени, но что она не торопится с этим вопросом, не предвидя для себя возможности профессорской деятельности. Упоминалось о какой-то работе Сони, которую Вейерштрасс собирался послать в математический журнал, но в это время получил от Шварца уже напечатанное исследование по этому же вопросу*

После знакомства со Шварцем у Сони появилось желание работать вместе с ним; у них оказались общие научные интересы.

Шварц с женой отдал визит сестрам Корвин-Круков– ским и еще несколько раз беседовал с Соней о математике. Всякий раз невольно он вызывал у Сони желание остаться в Цюрихе. От Шварца она узнала, что Вейерштрасс наз¬

67

3*

начен ректором Берлинского университета, и думала, что, может быть, теперь'ему будет не до нее. «Как бы в ответ на эти думы проницательный Вейерштрасс написал ей, что на беседы с нею у него при всяких занятиях найдется время», – пишет Литвинова [137, с. 40].

Сохранилось более позднее письмо, от 20 августа 1873 г., в котором Вейерштрасс пишет Соне: «Если Тебе кажется, что следующей зимой Ты будешь меня очень редко видеть, то Ты меня превратно поняла – во всяком случае, мы не откажемся от наших воскресений, да и в другие дни я найду все-таки часочек, который смогу посвятить своему милому другу» [125, с. 166].

С возвращением в Берлин он просит Соню подождать, так как в городе холера; она не должна верить газетным сведениям, но должна ждать от него точных известий о прекращении эпидемии. Это письмо написано было Вей– ерштрассом на острове Рюгене, где он отдыхал. Описав красоту моря и острова, с его ржаными полями, лугами и лесами, Вейерштрасс выражает сожаление, что Сони здесь нет с ним: «Как прекрасно мы оба —Ты с Твоей полной фантазии душой и я, возбужденный и освеженный Твоим энтузиазмом, могли бы мечтать и думать здесь о многих задачах, которые нам предстоит решать – о конечных и бесконечных пространствах, об устойчивости мировых систем и о всех других великих задачах математики и физики будущего. Но я уже давно научился смиряться с тем, что не всякий прекрасный сон осуществляется» [125, с. 167].

Соня отказалась от намерения остаться в Цюрихе. Об этом она разговаривала с Литвиновой, которая так вспоминает слова Ковалевской:

– Итак, значит, мне не судьба остаться здесь, надо ехать в Берлин, да и Юленька уже там.

– Разве Вы ставите Шварца выше Вейерштрасса? – спросила я.

Она сказала:

– Ах, вовсе нет, но с идеями Вейерштрасса я уже освоилась, а здесь, знаете ли, прелесть новизны меня привлекает. Но, разумеется, я всегда сумею с собой справиться и буду жить там, где должна.

И на мой вопрос: чем же обусловливается это «должна», она ответила:

– Моим назначением, или, если хотите, главною целью в жизни, но я больше люблю слово назначение, потому что цель жизни – это во мне самой, а назначение – высшего происхождения. Я чувствую, что предназначена служить истине – науке и прокла¬

дывать новый путь женщинам, потому что это значит – служить справедливости.

Я очень рада, что родилась женщиной, так как это дает мне возможность одновременно служить истине и справедливости. Но не всегда бывает легко не уклоняться от назначения...

Накануне своего отъезда из Цюриха Софья Васильевна, желая доставить удовольствие Шварцу, отправилась со мной к нему на лекцию. Во время лекции глаза Шварца все время светились каким– то внутренним светом, а после лекции он не утерпел -= сказал студентам, с кем они имели честь ее прослушать [137, с. 45, 58].

В мае С. В. Ковалевская вернулась ненадолго в Берлин. Родители упрашивали дочь приехать в Россию для отдыха. По свидетельству Малевича, в каникулщшое время 1873 г. Gohя приезжала на несколько недель в Палибино вместе с Лермонтовой. Начало осени она опять провела в Швейцарии.

Конец занятий в Берлине

В октябре 1873 г. Соня в Берлине возобновила занятия Математикой. Вейерштрасс оказался действительно сильно загруженным, что видно из его писем, например:

Берлин, пятница 14 ноября 73 (утром)

Дорогой друг, я позавчера ошибся, сказав Тебе, что смогу прийти к Тебе вчера или сегодня. Но сегодня (пятница) я определенно с 5 часов дома. Не посетишь ли Ты меня и не принесешь ли c собой некоторый математический материал? Я жду Тебя, если Ты не откажешься. В субботу я снова занят, а в настоящее время еще не могу определить, что будет в воскресенье или понедельник.

Твой К. В. [125, с. 170].

Через несколько дней, 19 ноября, он пишет, что посылает ей еще серию «Песен без слов», которые все относятся к минимальным поверхностям. Г. А. Шварц как раз занимался минимальными поверхностями, следуя идеям своего учителя Вейерштрасса. Возможно, рассказы Ковалевской о беседах со Шварцем содействовали тому, что Вейерштрасс вернулся к теории минимальных поверхностей. Теперь pH собрал отдельные листы записок и просит свою ученицу сохранить их в том порядке, в каком он их разложил. «Я хотел их тотчас же доверить Твоим рукам, чтобы они у меня снова не пришли в беспорядок» [125, с. 171].

Вейерштрасс сообщает Соне о своем плане в дальнейшем заниматься с нею теорией линейных дифференциальных уравнений. После многих дней «безотраднейшей» ра¬

69

боты, 29 ноября, Вейерштрасс просит Соню прийти к нему со всеми записками и захватить то, что она сделала в последнее время [125, с. 173].

В письме от 6 декабря Вейерштрасс просит Соню прийти для занятий пораньше, приблизительно около половины третьего, так как в половине седьмого он должен уйти [125, с. 174].

Математические вопросы, которые рассматривает Вейерштрасс в письмах 1873—1874 гг., относятся к теории целых комплексных чисел с п единицами, к приведению абелевых интегралов и к уравнению теплопроводности. Первая задача очень интересовала Вейерштрасса, и хотя она стояла в стороне от тех задач, которыми занималась Соня, он рассказывал ей об этих особых комплексных числах. Два других вопроса были связаны с задачами, предназначенными для Сониной диссертации. Остановимся на последнем вопросе.

Дальше мы подробнее расскажем о том, как Ковалевская обнаружила, что могут существовать ряды, формально удовлетворяющие уравнению с частными производными, но нигде не сходящиеся. Это побудило Вейерштрасса к дальнейшему исследованию вопроса о структуре решений простейшего уравнения параболического типа, и в письме от 6 мая 1874 г. он высказывает Соне свои соображения н заканчивает письмо словами:

«Обо всем этом и некоторых связанных с этим вопросах мы подробнее поговорим при свидании. Ты видишь, дорогая Соня, что Твое (кажущееся Тебе таким простым) замечание о своеобразии дифференциальных уравнений с частными производными, именно, что бесконечный ряд такому дифференциальному уравнению формально удовлетворяет и тем не менее не сходится ни при какой системе значений переменных, явилось для меня исходной точкой для интересных и многое разъясняющих исследований.

Я желал бы, чтобы моя ученица и в дальнейшем таким же образом выражала благодарность своему учителю и другу» [125, с. 178].

Вейерштрасс возвращается к уравнению теплопроводности в письме от 9 мая:

Вот небольшая задача. Дифференциальное уравнение с частными производными

дер

dt дх*

70

имеет частный интеграл

где Я, р, V обозначают произвольные постоянные, a F (и) должно удовлетворять дифференциальному уравнению

F" (и) + 4" V-uF< (и) + (AvF (и) = 0. (***)

Каково общее решение этого уравнения?

При р=1, v=V2 можно взять

V?

F(u) = f(%)e~.

Тогда из частного интеграла

(Р = МШ– e~ll' [(as-AWq

Vt

получается общий интеграл

оо

Ф= jj -IW-e-V«

–оо ^*

Однако, если при бесконечно больших значениях Я /(Я) становится в больщей степени бесконечным, чем функция е-<*2 дри сколь угодно малой постоянной с, то предыдущее выражение не имеет смысла. Можно ли в этом случае получить более пригодное выражение, применяй общую функцию F (и), удовлетворяющую построенному дифференциальному уравнению при других значениях постоянных р, V? Или же произвольная функция необходимо связана с ограничением, что при Я=з=°° обязательно

[125, с. 178]

Последнее письмо, которое Вейерштрасс написал Соне в ее бытность в Берлине, помечено 18 августа 1874 г. В это время она собиралась на родину, тогда как Юлия Лермонтова думала еще остаться на некоторое время в Берлине. Вейерштрасс предлагает свои услуги: «если я могу быть полезен в каком-нибудь духе сегодня Тебе или Юлии... скажи своей приятельнице, что с 4 октября я во всяком случае буду здесь» [125, с. 187] и что она может обращаться за помощью.

Диплом доктора философии

Вейерштрасс восхищался математическими способностями своей ученицы: «Что касается математического образования Ковалевской, то могу заверить, что я имел очень

71

немногих учеников, которые могли бы сравниться с нею но прилежанию, способностям, усердию и увлечению наукой»,– писал он Фуксу [13, с. 346].

В 1874 г. Вейерштрасс возбудил перед Геттингенским университетом вопрос о присуждении С. В. Ковалевской степени доктора философии in absentia (т. е. заочно) и бед экзаменов. В ряде писем, посланных по этому поводу профессорам Геттингенского университета, Вейерштрасс дает характеристику трех работ, представленных Ковалевской, из которых каждая, по его мнению, была достаточна для получения искомой степени [13, с. 344].

Первая из этих работ, «К теории уравнений в частных производных» [1], содержит доказательство теоремы существования голоморфного решения системы уравнений с частными производными нормального вида. Известно, что Коши в 1842 г. дал теорему существования для линейной системы уравнений с частными производными и указал, как привести к этому случаю нелинейную систему [138, 139]. Однако Ковалевская, как и Вейерштрасс, не знала этих работ Коши.

Заметим, что голоморфной, или аналитической, функцией переменных Xi, х2, ..., хп в окрестности точки яД х%,..., Хп называется функция, разложимая в ряд:

F (Xfo Х%, • • • > #n) === 21 ^SiS2 ... {%1 #i) ^

SA...Sn n

X (хг – 4)Ss ...(xn – 4)®*,

сходящийся при достаточно малых значениях xi—Xi 1, j = 1, 2, ..., п.

Теорема Коши – Ковалевской в настоящее время формулируется следующим образом [140].

Дана система уравнений

д %ui

п, === Fi (t, Х, * * • у хП1 Uiy ••• у Un у.. • dt 1

(1>

диз ...I

dt1''" х^1 . . . дх^п J

(h ] = I» 2,..., N’ ко -|– ki 4– • • • + кп = к^ ге*, ко ^

имеющая нормальную форму. Это значит, что среди прощн водных по t наивысшего порядка щ от каждой функции ии

72

входящих в систему, должна содержаться производная dntUi/dtnti причем система разрешена относительно этих производных.

Пусть теперь при t=t° заданы начальные значения неизвестных функций щ и их производных по t до порядка

П 1 :

|(&=0 соответствует сама функция щ).

При этом все функции

Задачей Коши называется нахождение решения системы (1) при начальных условиях (2). Если все функции Fi аналитичны в некоторой окрестности точки (t°, Xi°,

cp^ № '"к )и все функцииФ^}аналитичны в окрестности точки (t°, xt°,..., хп°), то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки (?°, ...,#п°), и притом единственное в классе аналитических функций. Здесь

При доказательстве Ковалевская пользовалась мажорантными функциями по Вейерштрассу:

а не по Коши:

Доказательство Ковалевской проще доказательства Коши, и, по словам Пуанкаре, она дала теореме ее окончательную форму. Теперь эта теорема входит в основные курсы анализа [141, с. 380]. Особенно же существенно в работе Ковалевской то, что она установила важное значение приведения системы к нормальному виду. Это выясняется на примере, данном Ковалевской, простейшего уравнения (уравнения теплопроводности), для которого задача Коши, если это уравнение написано не в нормальной форме, нё имеет голоморфного решения,– это было значительное

(? = 0, i,...,ni – 1)

(2)

atkodxkl , . . дх*пп ,=(0

73

открытие для того времени. (Бейерштрасс писал, что первоначально Ковалевская показала это для более сложного уравнения.)

Пример Ковалевской. Найти решение уравнения

0ф 02ф

’ dt дх2 5

удовлетворяющее условию ф(я, i) =1/(1—х) при ?=0. Нетрудно видеть, что если есть аналитическое решение, то оно должно представляться рядом по степеням U

со

(2tt)l

п

tn

(1 _ (Г)2П-Ы

который, однако, расходится при всех t?=0. Следовательно, аналитического решения такого рода не существует.

О.       А. Олейник в своем докладе «Теорема С. В. Ковалевской и ее роль в современной теории уравнений с частными Производными», сделанном й Институте проблем механики АН СССР в 1975 г. в связи с 125-летием со дня рождения С. В. Ковалевской, сказала, что теорема Ковалевской находит важные и существенные применения в исследованиях по теории уравнений с частными производными, выполненных вплоть до самого последнего времени, и тонкие современные исследования все в большей степени выявляют ее глубокий и завершенный характер.

Многих занимал вопрос о степени самостоятельности Софьи Ковалевской при разработке темы, поставленной Вейерштрассом. По этому поводу Бейерштрасс пишет Дюбуа-Реймону 25 сентября 1874 г.: «В диссертации, о которой идет речь, я – не считая того, что поправил многочисленные грамматические ошибки,—не принимал другого участия, кроме того, что поставил задачу перед автором. И в этом отношении я тоже должен заметить, что я, собственно, не ожидал другого результата по сравнению с известным из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Я был, чтобы оставаться при простейшем случае, того мнения, что степенной ряд от многих переменных, удовлетворяющий формально уравнению в частных производных, должен также быть всегда сходящимся внутри некоторой области и должен, следовательно, представлять тогда функцию, действительно удовлетворяющую дифференциальному уравнению. Что это не так, как Вы видите из рассмотренного в диссертации примера уравнения d

74

дню, моей ученицей совершенно самостоятельно, – и притом сначала для гораздо более сложных дифференциальных уравнений, чем приведенное,– так что она даже сомневалась в возможности получения общего результата; кажущиеся такими простыми средства, которые она нашла для преодоления возникшего таким образом затруднения, я высоко оценил как доказательство ее правильного математического чутья» [142, с. 204].

Вторая работа, представленная Ковалевской для присуждения степени доктора философии, относится к вопросу о форме кольца Сатурна. Это «Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме кольца Сатурна» [5]* Она посвящена следующей задаче.

Заполненное однородной массой кольцо, происходящее от вращения эллипса вокруг прямой, не пересекающей его, но лежащей в его плоскости и параллельной одной из его главных осей, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг этой прямой; Поверхность кольца покрыта бесконечно тонким слоем однородной жидкости, которая притягивается кольцом и, кроме того, центральным телом, центр тяжести которого совпадает с центром кольца. Спрашивается, могут ли быть определены элементы кольца (полуоси эллипса и расстояние его центра до оси вращения) и его угловая скорость так, чтобы жидкость сохраняла положение равновесия относительно поверхности кольца* Для это-* го необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось уравнение

где п – угловая скорость вращения, V – потенциал кольца в некоторой точке его поверхности, pi – расстояние этой точки до оси вращения, zt – ее расстояние до экваториальной плоскости, М – масса центрального тела, которая принимается сосредоточенной в его центре тяжести, С – постоянная.

Лаплас исследовал эту задачу в предположении, что расстояние центра производящего эллипса от оси вращения очень велико по сравнению с полуосями эллипса [143], что дало ему возможность заменить кольцо эллиптическим цилиндром.

Ковалевская принимает, что линия, производящая кольцо, очень мало отличается от эллипса и обладает осью симметрии, пересекающей при своем продолжении ось кольца под прямым углом, причем каждая прямая, параллельная

(i)

75

оси симметрии, пересекает кривую не более чем в двух точках. Она представляет уравнения поперечного сечения кольца в форме

V х2 + У2 =* 1 – я cos t,

V У (2)

z = a (? sin t + ?i sin 2? + ?2 sin 3? + ...),

где t пробегает значения между нулем и 2я: а, ?, ?i, ?2, постоянные. Таким образом, среднее между наибольшим и наименьшим расстоянием кривой (2) от оси вращения принято за единицу. При этом а считается малой величиной по сравнению с единицей, a ?±, ?2, ... и сумма их абсолютных значений – малыми по сравнению с ?. Ковалевская дает способ определения коэффициентов ?t, ?2, ... так, чтобы левая часть уравнения (1) была всюду отличной от постоянной на малую величину любого порядка относительно а, но ограничивается вычислением приближения второй степени. Она получает поправку к лапласовскому решению, дающую яйцевидные формы поперечного сечения кольца, и находит зависимость между угловой скоростью вращения п, массой тела М и параметрами а и ?. При этом она указывает, что от более точного определения поперечного сечения ее удержало, помимо трудностей вычисления, то обстоятельство, что по исследованиям Максвелла воззрение Лапласа о строении кольца Сатурна является сомнительным. Теперь кольца Сатурна считают состоящими из метеоров [144, с. 894].