Текст книги "Математика. Поиск истины."

Автор книги: Морис Клайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 25 страниц)

Предисловие редакторов перевода

Автор настоящей книги, профессор математики Нью-Йоркского университета Морис Клайн, не нуждается в специальном представлении советскому читателю: четыре года назад в нашей стране была издана его книга «Математика. Утрата определенности» (М.: Мир, 1984). Как и у себя на родине, она вызвала у нас большой интерес, что во многом обусловлено литературным и педагогическим талантом автора, его эрудицией, широтой и несомненной важностью рассматриваемых в книге вопросов, касающихся философии математики в контексте ее исторического развития.

Все эти достоинства в равной мере присущи и второй издаваемой на русском языке книге М. Клайна «Математика. Поиск истины». Как и предыдущая книга, она отличается откровенной полемичностью, проблемной заостренностью. Такая манера повествования может вызвать у иного читателя чувство замешательства и даже протеста. Но именно к этому и стремится автор: его задача состоит в том, чтобы побудить читателя к самостоятельным размышлениям, а не снабжать готовыми ответами на возникающие вопросы. Здесь, пожалуй, было бы уместно привести критерий ценности книги, предложенный известным американским социологом О. Тоффлером, согласно которому о достоинствах книги лучше всего судить по тому, в какой степени она порождает у читателя хорошие вопросы, т.е. насколько стимулирует творческую активность читателя, побуждает его к конструктивному диалогу по существу тех или иных проблем. Думается, что с подобных позиций и подойдет к оценке книги М. Клайна заинтересованный читатель, взявший на себя труд внимательно ознакомиться с ней.

Такого рода фразами обычно и завершаются предисловия. Однако нам бы не хотелось, чтобы читатель воспринял ее просто как некий литературный штамп, уныло кочующий из одного книжного предисловия в другое, и посему мы сочли целесообразным добавить к сказанному ряд замечаний. Дело в том, что, воспринимая содержание книги Клайна фрагментарно, по главам, читатель может впасть в заблуждение относительно подлинных целей ее автора. А эта цель заключается в том, чтобы продемонстрировать, как математика реально действует в качестве исторически развивающегося метода научного познания, определить ее роль в общей системе человеческой культуры. Автор показывает, что математика как метод познания физического мира обладает исключительной мощью и эффективностью, причем эта эффективность столь высока, что вызывает удивление у всякого, кто хоть однажды попытался найти ей какое-то разумное объяснение.

Удивительная, или, как острее выразился Юджин Вигнер, «непостижимая эффективность математики в естественных науках», – вот, собственно, главный вопрос, на котором сосредоточено внимание М. Клайна. И дать однозначный ответ на этот вопрос – очень непростая задача. Общих философских утверждений о том, что существует объективная реальность, а также «приблизительно верно и активно» отражающее ее человеческое сознание, общих рассуждений о диалектике познания и практике, об относительной и абсолютной истинах и т.д. оказывается недостаточно для того, чтобы дать удовлетворительный ответ на вопрос о причинах «непостижимой эффективности» математики. Говоря об удовлетворительном ответе, мы в данном случае имеем в виду тот «социальный заказ», который в настоящее время ставят перед исследованиями в области философских проблем естествознания (в частности, философских проблем физики и математики) практика современного научного познания, прежде всего современные широкомасштабные комплексные исследования междисциплинарного характера. К числу таковых относятся, например, задачи глобального моделирования (с помощью ЭВМ) экологических систем. В рамках этих исследований возрос об эффективности математики приобретает особую остроту, поскольку здесь эта наука призвана выступать в качестве одного из основных объединяющих начал научно-познавательной деятельности крупных коллективов ученых, представителей разных дисциплин, в том числе и таких, которые традиционно принято считать чуждыми математике. Поэтому в настоящее время проблема понимания эффективности математики как метода познания представляет собой не только чисто академический интерес. Но, повторяем, удовлетворительного ответа на те вопросы, которые возникают в связи с этой проблемой, мы пока не имеем. Не претендует на такой ответ и М. Клайн в своей книге «Математика. Поиск истины». Математика для него – это не просто созданное человеком мощное орудие познания, а средство, которое позволяет нам осуществлять надежный контакт с внешней объективной реальностью, в огромной степени расширяя пределы информационных каналов, непосредственно связанных с нашими органами чувств.

Подобный взгляд на математику вполне созвучен с подходом материалистической диалектики. Сказанное, разумеется, не означает, что мы полностью разделяем все утверждения и оценки Клайна, даже с учетом их откровенной полемичности. Понимая и принимая полемическую заостренность как приглашение к разговору, мы все же не можем согласиться с автором, когда он – пусть даже ради остроты полемики – до такой степени превозносит роль математики в физике, что практически все творцы естествознания, начиная с классического периода, эпохи Галилея, и кончая современностью, превращаются у него из физиков и естествоиспытателей в чистых математиков. Вряд ли мы окажем добрую услугу математике, если будем безмерно возвышать ее за счет других научных дисциплин или методов. Здесь мы, конечно, в первую очередь имеем в виду эксперимент, функциональный «симбиоз» которого с математикой в системе научного познания и обеспечил в конечном счете наблюдаемый ныне удивительный прогресс в развитии физики.

И еще. Излагая историю становления и развития математической мысли, автор показывает важную роль религиозных взглядов и духовных исканий ученых в процессе поиска картины мироздания. Еще недавно в нашей литературе, особенно научно-популярной, эта роль рассматривалась преимущественно в негативном плане, что было по сути нарушением диалектико-материалистического принципа историзма в анализе таких сложных явлений культуры, – как наука и религия. Критическое отношение к религиозному мировоззрению ни в коем случае не должно сводиться к его бездумному, нигилистическому отрицанию. Религиозные искания в ряде случаев служили важным стимулирующим фактором научных поисков. Но это не означает, однако, что религия была катализатором научного прогресса. Скорее наоборот – присущие ей авторитаризм и догматическое мышление выступали его тормозом. Короче говоря, отношения науки и религии на протяжении веков были весьма сложными и противоречивыми и вряд ли могут быть правильно осмыслены в прокрустовом ложе черно-белой логики.

В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что полемичность, проблемность книги Мориса Клайна делает ее очень полезной именно в наши дни, когда настоятельно, требуется учиться мыслить по-новому: творчески, непредвзято, нестандартно. Поэтому прежде всего хотелось бы порекомендовать эту книгу нашей научной молодежи. Мы надеемся, что новая работа Мориса Клайна привлечет внимание читателей различных профессий: физиков, математиков, философов, историков науки и всех, кто интересуется ролью математики в процессе познания окружающего мира и в развитии общей культуры человеческого общества.

Читатель, желающий глубже познакомиться с рассматриваемыми в книге вопросами, может обратиться к работам, указанным в списке литературы, представленном в конце книги. Авторский список по вполне понятным причинам ориентирован на англоязычного читателя, хотя некоторые из перечисленных там книг имеются в русском переводе (они соответственно указаны). Список «Цитируемая литература», составленный переводчиком, включает источники, ссылки на которые имеются в тексте (в английском оригинале книги подобные ссылки отсутствуют). Кроме того, мы сочли целесообразным дополнить авторский список рядом работ, преимущественно отечественных авторов, которые названы ниже.

В.И. Аршинов

Ю.В. Сачков

Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты. Сб. статей. – М.: Наука, 1987.

Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. – М.: Наука, 1983.

Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. – М.: Наука, 1984.

Манин Ю.И. Математика и физика. – М.: Знание, 1979.

Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент.– М.: Наука, 1979.

Реньи А. Трилогия о математике. – М.: Мир, 1980.

Методологические проблемы математики. – Новосибирск: Наука (Сибирское отд.), 1979. В этом сборнике читатель найдет также обширную библиографию по методологическим и философским проблемам математики.

Вступление

Как мы познаем окружающий нас реальный мир? Всем нам приходится полагаться на свидетельства наших органов чувств – слуха, зрения, осязания, вкуса, обоняния, – когда мы решаем повседневные проблемы или получаем от чего-то удовольствие. Чувственные восприятия многое говорят нам о реальном мире, но в основном наши органы чувств слишком грубы. Декарт (быть может, с излишней резкостью) назвал ощущения обманом наших чувств. Правда, такие приборы и инструменты для научных исследований, как, например, телескоп, существенно расширяют границы доступного нашему чувственному восприятию, но лишь в определенных пределах.

Многие явления окружающего нас реального мира вообще скрыты от наших органов чувств. Они ничего не говорят нам, о том, что Земля вращается вокруг своей оси и обращается вокруг Солнца. Они умалчивают о природе силы, удерживающей планеты на их орбитах, об электромагнитных волнах, позволяющих нам принимать радио– и телепередачи за сотни и тысячи километров от передающей станции.

Эта книга повествует в основном не о том, что можно было бы назвать «земными» приложениями математики, например о точном определении высоты 50-этажного дома. Читатель сможет почерпнуть кое-какие сведения об ограниченных возможностях наших органов чувств, но главное внимание здесь уделено описанию того, что мы узнаем о реальностях окружающего мира посредством одной лишьматематики. Не вдаваясь в изложение идей и методов самой математики, я постараюсь рассказать о том, какие черты основных явлений современного мира мы постигаем с ее помощью. Разумеется, опыт и экспериментирование играют определенную роль в нашем исследовании природы, но, как станет ясно из дальнейшего, во многих областях знания их вклад незначителен.

В XVII в. Блез Паскаль горько сетовал на беспомощность человека. Ныне созданное нашими усилиями всемогущее оружие – математика – позволяет познавать многое в окружающем нас реальном мире и овладевать им. В 1900 г., обращаясь к участникам II Международного конгресса математиков, один из величайших представителей современной математической науки Давид Гильберт заявил: «Математика – основа всего точного естествознания» ([1], с. 69). С полным основанием можно добавить, что только математика позволила получить то знание о разнообразных жизненно важных явлениях, которыми мы ныне располагаем. Многие науки по существу представляют собой свод математических теорий, скупо приправленных физическими фактами.

Вопреки впечатлению, которое обычно складывается у тех, кому довелось прослушать курс математики в стенах учебного заведения, математика – это не просто набор более или менее хитроумных приемов для решения задач. Математика открывает нам немало такого, о чем мы не знали и даже не подозревали, хотя речь идет о явлениях весьма существенных, и нередко ее выводы противоречат нашему чувственному восприятию. Математика – суть нашего знания о реальном мире. Она не только выходит за пределы чувственного восприятия, но и оказывает на него воздействие.

Благодарности

Я глубоко признателен сотрудникам издательства «Оксфорд юниверсити пресс» за тщательную работу над книгой. Хочу также поблагодарить мою жену Элен и мисс Мэрилин Маневитц, внимательно вычитавших и перепечатавших рукопись этой книги.

М. Клайн.

Бруклин, Нью-Йорк, март 1985 г.

Историческая ретроспектива: существует ли внешний мир?

Философ – это тот, кто знает нечто о том, что никто другой не знает так хорошо.

Декарт

Нет такой нелепости, которую бы не изрекли философы.

Цицерон

Да разве вся философия не похожа на запись, сделанную медом? На первый взгляд она выглядит великолепно. Но стоит взглянуть еще раз – и от нее остается только липкое пятно.

Эйнштейн

Существует ли реальный физический мир независимо от человека? Существуют ли горы, деревья, суша, море и небо независимо от того, есть ли люди, способные воспринимать все эти объекта? Такой вопрос кажется нелепым: разумеется, существуют. Разве мы не наблюдаем окружающий мир постоянно? Разве наши органы чувств не рождают у нас непрерывно ощущения, подтверждающие существование внешнего мира? Но люди мыслящие полагают не лишним подвергнуть сомнению очевидное, даже если это сомнение разрешается еще одним подтверждением.

Обратимся прежде всего к «любомудрам», или любителям мудрости, – философам, которые на протяжении веков размышляли над различными проблемами, связанными с человеком и окружающим его миром (правда, подобно всем любящим без взаимности, философам нередко случалось быть «отвергнутыми»). Многие из величайших философов размышляли и о внешнем мире. Одни отрицали, другие допускали его существование, но испытывали серьезные сомнения относительно того, сколь глубоко мы можем познать этот мир и насколько надежно наше знание. Хотя Бертран Рассел, сам выдающийся философ, заявил в своей книге «Наше знание внешнего мира», что «философия с древнейших времен претендовала на большее, а достигла меньшего, чем любая другая область знания», полезно все же познакомиться с тем, что говорили по этому поводу хотя бы некоторые из философов. Нас будут интересовать в основном мнения тех, кто всерьез ставил под сомнение способность человека постичь окружающий мир.

Первым из древнегреческих философов, размышлявших над проблемой познания внешнего мира, был Гераклит Эфесский, живший в конце VI – начале V в. до н.э. Гераклит не отрицал существования внешнего мира, но утверждал, что все в этом мире непрерывно изменяется. Гераклит учил, что «невозможно дважды вступить в один и тот же поток», поэтому, какие бы факты мы ни собрали об окружающем нас мире, они уже в следующий миг не имеют к нему ни малейшего отношения.

Эпикур (341-270 до н. э) в отличие от Гераклита считал, что наши ощущения указывают безошибочный путь к постижению истины, и усматривал в этом фундаментальный принцип. По мнению Эпикура, именно ощущения говорят нам о том, что материя существует, что происходит движение и что реальность в конечном счете сводится к телам, состоящим из существующих в пустоте атомов. Что же касается самих атомов, то они вечны и не подвержены разрушению. Атомы неделимы и неизменны.

Интересовался проблемой внешнего мира и Платон (427-347 до н.э.), самый влиятельный философ античного периода. Платон допускал существование внешнего мира, но полагал, что мир, воспринимаемый нашими чувствами, пестр, многообразен, непрерывно меняется и ненадежен. Истинный же мир – мир идей – неизменен и непреходящ. Однако мир идей доступен не чувствам, а только разуму. Наблюдения бесполезны. В диалоге «Государство» Платон со всей определенностью утверждает, что реальное, скрывающееся за видимостью вещей, выражающее их внутреннюю сущность, есть математическое; понять реальное – значит обнажить его, отделив от видимости, а не облечь в видимость. Подчеркивая значение математики, Платон считал ее составной частью общей системы абстрактных, нематериальных, идеальных идей. Именно идеи выражают образцы совершенства, к которому стремится все на свете – и материальное, и этическое, и эстетическое. В диалоге «Государство» Платон говорит:

Глядит ли кто, разинув рот, вверх или же, прищурившись, вниз, когда пытается с помощью ощущений что-либо распознать, все равно, утверждаю я, он никогда этого не постигнет, потому что для подобного рода вещей не существует познания и человек при этом смотрит не вверх, а вниз, хотя бы он и лежал навзничь на земле или умел плавать на спине в море.

([2], с. 340.)

Плутарх в «Жизни Марцелла» сообщает, что знаменитые современники Платона Евдокс и Архит прибегали к физическим аргументам при «доказательстве» математических результатов. Платон с негодованием отвергал такого рода доказательства как подрывающие самые основы геометрии, ибо вместо чистого рассуждения они апеллируют к фактам чувственного опыта.

Отношение Платона к знанию, представляющее для нас особый интерес, наиболее наглядно проявляется в его отношении к астрономии. По его утверждению, эта наука занимается не изучением движения наблюдаемых небесных тел. Расположение звезд на небе и их видимые движения – зрелище захватывающее, но далеко не одни лишь наблюдения и объяснения движений составляют предмет истинной астрономии. Прежде чем достичь таковой, необходимо «то, что на небе, оставить в стороне», ибо истинная астрономия занимается изучением законов движения звезд по математическому небу, несовершенным изображением которого является видимое небо. В диалоге «Государство» Платон устами Сократа так говорит о предмете изучения истинной астрономии:

Эти узоры на небе, украшающие область видимого, надо признать самыми прекрасными и совершенными из подобного рода вещей, но все же они сильно уступают вещам истинным с их перемещениями относительно друг друга, происходящими с подлинной быстротой и медленностью, в истинном количестве и всевозможных истинных формах…

Значит, небесным узором надо пользоваться как пособием для изучения подлинного бытия, подобно тому, как если бы нам подвернулись чертежи Дедала или какого-нибудь иного мастера или художника, отлично и старательно вычерченные. Кто сведущ в геометрии, тот, взглянув на них, нашел бы прекрасным их выполнение, но было бы смешно их всерьез рассматривать как источник истинного познания равенства, удвоения или каких-либо отношений.

…Значит, мы будем изучать астрономию так же, как геометрию, с применением общих положений, а то, что на небе, оставим в стороне, раз мы действительно хотим освоить астрономию.

([2], с. 340-341.)

Такая концепция астрономии совершенно неприемлема для современного ума, и ученые без колебаний обвинили Платона в том, что, принизив значение чувственного опыта, он причинил ущерб развитию естествознания. Однако не следует упускать из виду, что подход Платона к астрономии во многом аналогичен методу, которому успешно следует геометр, занимающийся изучением не столько реальных объектов треугольной формы, сколько мысленных идеализаций треугольников. Во времена Платона наблюдательная астрономия практически достигла предела возможного, и Платон вправе был считать, что дальнейший прогресс астрономии требует глубокого осмысления собранных данных и их теоретического обобщения.

К сожалению, платоновская концепция абстрактных идеалов, на века замедлила развитие экспериментального естествознания. Ведь из нее следовало, что истинное знание приобретается только путем философского созерцания абстрактных идей, а не наблюдений случайных и несовершенных явлений реального мира.

Но были (и есть) философы, допускавшие существование реального внешнего мира, убежденные, что наши ощущения дают достаточно точное представление о нем. Аристотель в противоположность Платону не только утверждал существование мира, внешнего по отношению к человеку, но и считал, что наши представления о нем получаются путем абстрагирования из него идей, общих различным классам материальных объектов, которые мы воспринимаем как треугольники, сферы, листву и горы. Аристотель подверг критике потусторонний мир Платона и сведение естествознания к математике. Физик в буквальном смысле слова, Аристотель видел в материальных объектах первичную субстанцию и источник реальности. Физика и естествознание в целом должны заниматься изучением окружающего мира, извлекая в этом процессе истины о нем. Истинное знание по Аристотелю рождается из чувственного опыта с помощью интуиции и абстракции. Абстрактные идеи не существуют независимо от человеческого разума.

В поисках истины Аристотель прибег к так называемым универсалиям – общим качествам, абстрагированным от реальных вещей. По словам Аристотеля, «в науке о природе надо попытаться прежде всего определить то, что относится к началам. Естественный путь к этому ведет от более понятного и явного для нас к более явному и понятному по природе» ([3], с. 61). Взяв обычные чувственно воспринимаемые свойства вещей, Аристотель как бы придал им самостоятельный статус, возвысив до идеальных понятий. В частности, согласно его взглядам, за Землей, пребывавшей в центре мира и содержавшей всю воду, шла область, заполненная воздухом; еще выше, до самой Луны, простиралась область, заполненная субстанцией, которая называлась огнем, хотя в действительности представляла смесь огня и воздуха. Все эти субстанции, по Аристотелю, обязаны своим происхождением четырем началам; теплому, холодному, сухому и влажному (см. гл. V и X). Начала комбинируются в пары шестью возможными способами, но две из шести комбинаций (теплого и холодного, сухого и влажного) несовместны по своей природе, а остальные четыре порождают четыре элемента. Земля – порождение холодного и сухого, вода – холодного и влажного, воздух – теплого и влажного, огонь – теплого и сухого. Элементы не вечны; материя же непрестанно переходит из одной формы в другую. В подлунном мире, простирающемся от Земли до Луны, постоянно происходит изменение, разложение, умирание и распад, о чем убедительно свидетельствуют метеорологические и геологические явления.

Хотя влияние древнегреческих мыслителей на последующее развитие естествознания неоспоримо, некоторые все же склонны недооценивать их взгляды. Действительно, несмотря на то что античная культура всячески подчеркивала значение математики, мир древнегреческих философов с полным основанием можно было бы назвать донаучным. Они не занимались сколько-нибудь серьезно экспериментированием и в целом оставались в стороне от того, что принято ныне понимать под миром науки.

В Средние века проблема внешнего мира отступила на задний план; помыслами всех философов безраздельно завладела теология. Лишь в эпоху Возрождения философы с возросшим интересом вновь обратились к реальному миру. В Западной Европе того времени зарождается современная философия и вместе с ней – интерес к естествознанию.

Основателем современной философии по праву считается Рене Декарт (1596-1650). Его «Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637) с тремя приложениями («Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия») принадлежит к числу классических произведений. Хотя Декарт полагал, что его философские и естественнонаучные теории подрывают учение Аристотеля и схоластику, в глубине души он оставался схоластом и верным последователем аристотелевой традиции. Идя по стопам Аристотеля, Декарт черпал различные утверждения о природе сущего и реальности из собственного разума. Возможно, что именно поэтому его произведения оказывали на естествоиспытателей XVII в. несравненно большее влияние, чем исследования тех ученых, кто начал извлекать истину путем наблюдения и экспериментирования, т.е. обращаться к источникам, столь разительно отличавшимся от традиционных.

Признавая, что он сам может заблуждаться ничуть не менее других, Декарт все же сумел найти прочную основу для возведения здания истины. Он обнаружил один-единственный факт, не вызывавший у него сомнения, – положение Cogito, ergo sum(«Мыслю, следовательно, существую»). Сознавая собственную конечность и несовершенство, Декарт заключил, что из самого ощущения ограниченности его возможностей с необходимостью следует бытие существа бесконечного и совершенного, с которым он, Декарт, мог бы себя соизмерять. Это существо, Бог, должно существовать, ибо без столь важного атрибута – бытия – оно не было бы совершенным. С точки зрения Декарта, вывод о существовании Бога более важен для естествознания, чем для теологии, ибо открывает возможность решения главной проблемы – существования объективного мира.

Поскольку все наше знание о мире, внешнем по отношению к нашему разуму, мы черпаем из чувственного опыта, возникает вопрос: не существует ли чего-нибудь помимо ощущений и не является ли объективная реальность иллюзией? На этот вопрос Декарт отвечает так: Бог, как существо совершенное, не способен на обман и не стал бы вселять в нас уверенность в существовании мира, если бы этот мир не был реальным.

Постичь объективную реальность мы можем прежде всего через такой ее физический атрибут, как протяженность. Он присущ самому понятию материи и невыводим из наших чувственных восприятий. Следовательно, никакое знание материального мира нельзя получить (по крайней мере непосредственно) на основании чувств. Декарт предложил также классификацию наблюдений материальных объектов, разделив качества последних на первичные и вторичные. Например, он считал, что такое качество, как цвет, вторично, ибо воспринимается одним из наших органов чувств, тогда как протяженность и движение – качества первичные.

Для Декарта весь физический мир представлял собой не что иное, как огромную машину, функционирующую по законам, открыть которые человеческий разум может, в частности, путем математических рассуждений. Экспериментирование Декарт как философ отвергал, хотя, выступая как естествоиспытатель, сам ставил опыты.

Непосредственным результатом прогресса знания, достигнутого в математике и естествознании, явилось положение, высказанное философом Томасом Гоббсом (1588-1679) в сочинении «Левиафан, или материя, форма и власть государства церковного и гражданского» (1651); суть его заключалась в том, что вне нас существует только материя в движении. Внешние тела оказывают давление на наши органы чувств и посредством чисто механических процессов вызывают ощущения в нашем мозгу. Все знание проистекает из этих ощущений, рождающих образы в нашем мозгу. Цепочка таких образов вызывает воспоминание о других образах, возникших ранее: например, образ яблока вызывает из памяти образ дерева. Мышление – это построение цепочек образов. В частности, телам и свойствам тел, запечатленным в образах, присваиваются имена, и мышление состоит в установлении связей между именами путем утверждений и в поиске соотношений, которые обязательно существуют между этими утверждениями.

В своем сочинении «Человеческая природа» (1650) Гоббс утверждает, что идеи являются образами или воспоминаниями о воспринятом ранее посредством чувств. Не существует врожденных идей или идеалов, равно как и универсалий или абстрактных идей. Треугольник есть не что иное, как идея (образ) всех ранее воспринятых треугольников. Всякая субстанция, порождающая идеи, материальна. Разум – также субстанция. Язык (например, язык естествознания и математики) состоит из одних лишь символов или имен воспринимаемых ощущений. Всякое знание – не более чем воспоминание, и разум оперирует словами, которые не более чем имена вещей. Истинность и ложность – атрибуты имен, но не вещей. То, что люди – живые существа, истинно, так как то, что называется человеком, называется также живым существом.

Знание возникает, когда мозг, организуя и упорядочивая утверждения о физических объектах, выявляет закономерности. Именно такие закономерности порождает занятие математикой. Следовательно, математическая деятельность мозга приводит к истинному знанию реального мира, и математическое знание есть истина. По существу реальность доступна нам только в форме математики.

Гоббс с таким упорством отстаивал исключительное право математики на истину, что это вызвало возражение даже самих математиков. В письме к одному из самых выдающихся физиков своего времени Христиану Гюйгенсу математик Джон Валлис сообщал:

Наш Левиафан подвергает яростным нападкам и ниспровергает наши (да и не только наши) университеты и особенно священников, клир и всю религию, утверждая, будто христианский мир не достиг глубокого знания, которое не было бы ущербным и достойным осмеяния с точки зрения либо философии, либо религии, и люди не смогут якобы до конца постичь религию, если они не разбираются в философии, и философию, если не разбираются в математике.

То, что Гоббс всячески подчеркивал чисто физическое происхождение ощущений и ограниченные возможности мозга в процессе рассуждения, шокировало многих философов, привыкших видеть в головном мозге нечто большее, нежели массу механически действующей материи. Свое сочинение «Опыт о человеческом разуме» (1690) Джон Локк (1632-1704) начал с положения, близкого по духу Гоббсу, но явно противоречащего Декарту; он утверждал, что у человека нет врожденных идей – люди рождаются с разумом пустым, как чистые грифельные доски. Опыт, накапливаемый с помощью органов чувств, «пишет» на этих досках, порождая простые идеи. Некоторые простые идеи являются точным отражением свойств, присущих телам. Примерами таких свойств (Локк назвал их первичными) могут служить твердость, протяженность, форма (фигура), движение (или покой) и число. Эти свойства существуют независимо от того, воспринимает ли их кто-нибудь другой или не воспринимает. Другие идеи, порождаемые ощущениями, отражают вторичные свойства и представляют собой результат воздействия реальных свойств тел на разум, но не соответствуют последним. К вторичным свойствам относятся цвет, вкус, запах и звук.

Цель, которую поставил перед собой Локк в своем «Опыте», состояла в установлении границы между познаваемым и непознаваемым, «горизонта…, отделяющего освещенные стороны вещей от темных». При этом для Локка были равным образом неприемлемы взгляды и скептиков, «подвергавших сомнению все и ниспровергавших всякое знание потому, что некоторые вещи непознаваемы», и тех чрезмерно самоуверенных резонеров, занимавших противоположную позицию и полагавших, будто весь безбрежный океан бытия является «естественным и неоспоримым владением нашего разума, где все подвластно его решениям и ничто не может избегнуть его проницательности». В более конструктивном плане Локк намеревался установить основы знания и суждения, а также указать пути достижения истины или приближения к ней во всех вещах, доступных пониманию человеческого разума.

Поясняя замысел, или план, своего сочинения, Локк заметил, что видел цель своего «Опыта» в исследовании «происхождения, достоверности и объема человеческого познаниявместе с основаниями и степенями веры, мнений и убежденности» ([4], с. 71). Следуя «историческому, ясному методу», Локк дал объяснение происхождения идей, затем показал, что познание – это понимание посредством этих идей, и, наконец, подверг анализу природу и основания веры и мнений.