Текст книги "Математика. Поиск истины."

Автор книги: Морис Клайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 25 страниц)

Последующие экспериментальные исследования структуры атомного ядра, производимые главным образом на ускорителях – своего рода «молотах», способных расколоть атомное ядро, – показали, что ядро действительно не является цельным, неделимым образованием, а состоит из множества различных частиц: протонов, нейтронов, пионов, состоящих в свою очередь из кварков. Сообщения об открытии новых частиц продолжают поступать и поныне: анализируя результаты экспериментов, физики приходят к выводу о существовании той или иной частицы. Многие частицы, входящие в состав атомного ядра, определенным образом связаны между собой, но для наших целей вполне достаточно того, что они существуют.

Хотя атомное ядро образуют самые различные частицы, основными «строительными блоками» всякого вещества остаются протоны и нейтроны. Из них на 99,99 % состоят наши тела. Ядра всех элементов, которые тяжелее водорода, помимо протонов содержат нейтроны.

Некоторые структурные единицы атомных ядер, как и электроны, обладают волновыми свойствами. В частности, это относится к ядрам атомов водорода и гелия. Вместе с тем при столкновениях ядра ведут себя как частицы.

Множество частиц, как входящих в состав атомного ядра, так и существующих самостоятельно, обладают еще одним удивительным свойством: они способны претерпевать превращения. Например, протон может превращаться в нейтрон с испусканием нейтрино и позитрона, обладающего такой же массой, как электрон, но имеющего положительный заряд, равный по абсолютной величине заряду электрона. (Существование позитрона предсказал в 1932 г. Поль А.М. Дирак (1902-1984), руководствуясь чисто теоретическими соображениями.) Возможно и обратное превращение: нейтрон, испуская электрон и нейтрино, переходит в протон.

Квант электромагнитного поля, или фотон, – если он обладает достаточной энергией – может, взаимодействуя с электрическим полем атомного ядра, породить пару электрон – позитрон. Существует и обратный процесс, в котором электрон и позитрон при соударении исчезают (аннигилируют), образуя два фотона.

Таким образом, можно сказать, что способность претерпевать разнообразные превращения является основным свойством элементарных частиц, многие из которых нестабильны и получаются в лаборатории или образуются в космическом излучении. Протоны и электроны, насколько это известно в настоящее время, относятся к стабильным частицам, т.е. не распадаются на другие элементарные частицы. Правда, современные гипотетические модели так называемого Великого объединения предполагают, что протон претерпевает распад, но, видимо, не чаще, чем примерно раз за 10 ³⁰лет.

Картина микромира еще более усложняется существованием античастиц. Это группа элементарных частиц, массы и ряд других физических характеристик которых имеют ту же величину, что и у их «двойников», в то же время некоторые их характеристики (например, электрический заряд) противоположны по знаку. Как уже говорилось, при столкновении электрона и позитрона образуются два и более фотонов. Столкновение протона и антипротона приводит к возникновению мезонов. Подобно тому как из частиц строится вещество, из античастиц может быть построено антивещество.

До сих пор мы ни словом не обмолвились о силах, действующих между частицами. Что удерживает протоны в ядре? Ведь, имея одноименные (положительные) заряды, они должны были бы испытывать электростатическое отталкивание. Помимо уже известных нам взаимодействий, гравитационного и электромагнитного, физики постулировали существование слабого и сильного взаимодействий; последнее и удерживает протоны и нейтроны в ядре. Разработанная в 70-е годы теория электрослабого взаимодействия указывает на единую природу электромагнитного и слабого взаимодействий (она получила убедительное экспериментальное подтверждение). Ученые ведут исследования по созданию так называемой теории Великого объединения, унифицирующей сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия.

К чему же мы пришли после многочисленных попыток создать связную картину микроскопического мира? Понятия и выводы квантовой механики ниспровергают все привычные основы. Они ставят наш «здравый смысл» перед неразрешимыми проблемами, отрицают его или по крайней мере бросают ему вызов. Прежде чем пытаться как-то «сгладить» наши первые впечатления, отметим, что к реальности, с которой имеет дело квантовая теория, следует относиться со всей серьезностью. Мы знаем, что теория атомных структур в полном ее объеме позволяет многое объяснить в строении молекул и даже в химических процессах. Однако существуют более ощутимые и наглядные реальности: атомная бомба, принцип действия которой основан на делении атомных ядер, и водородная бомба, основанная на термоядерном синтезе.

При столкновении атома урана с нейтроном, происходит деление атома урана, при этом часть его массы превращается в огромное количество энергии. При определенных условиях процесс деления может протекать как цепная реакция. На этом принципе основано действие атомной бомбы и ядерного реактора. Такого рода реальность мы уже наблюдали.

Противоположный процесс происходит при термоядерном синтезе, которым еще нужно научиться управлять. Если четыре ядра обычных атомов водорода сливаются в один атом гелия, масса которого чуть меньше учетверенной массы водорода (равна 3,97 атомной массы водорода), то огромное количество энергии выделяется в виде света и тепла. Процесс термоядерного синтеза с превращением водорода в гелий непрерывно происходит на Солнце; именно он является источником солнечной энергии. В земных условиях для термоядерного синтеза используют изотопы водорода – дейтерий и тритий, атомные массы которых соответственно в два и три раза больше массы обычного, «легкого», водорода. Осуществление термоядерного синтеза тяжелого водорода требует невероятно высоких температур.

Интересно, что еще в 1920 г. Оливер Лодж высказал поистине пророческую мысль: «Настанет время, когда атомная энергия придет на смену углю… Я надеюсь, что человеческий род начнет применять эту энергию не раньше, чем у него достанет ума использовать ее должным образом». Но Резерфорд еще в 1933 г. считал мысль об использовании атомной энергии абсурдной.

В нашем, по необходимости, беглом обзоре процессов в микромире мы, помимо прочего, отмечали, что материя в виде частиц может превращаться в излучение (волны) и наоборот, в то же время их квантовомеханическое описание исходит из того, что материя в виде частиц в определенных условиях проявляет волноподобные свойства, а излучение – частицеподобные. Но что же в таком случае представляет собой «подлинная» физическая реальность?

Так, фотон не является волной в традиционном смысле. Это волна-частица, единое образование, обладающее двойственной природой: и волны, и частицы. Аналогичным образом электрон не является частицей в традиционном смысле, это волна-частица. Как именно ведет себя фотон или электрон – как волна или как частица, – зависит исключительно от того, какой эксперимент мы производим над ними. Ни электрон, ни фотон не ведут себя только как волна или только как частица. Если мы ставим эксперимент по дифракции света, то фотон ведет себя как волна. Но если с тем же светом мы исследуем фотоэффект, то фотон ведет себя как частица. В электронных лампах или в телевизионных кинескопах электроны ведут себя как частицы. Но стоит лишь пропустить пучок электронов через кристалл, как мы получим интерференционные эффекты – такие же, как в случае световых волн. В своей книге «Физика и философия» Гейзенберг писал: «Мы наблюдаем не природу саму по себе, а природу в том виде, в каком она открывается нашему умению ставить вопросы».

Естественно спросить: есть ли в таком случае сколько-нибудь существенные различия между частицей-волной и волной-частицей? Такие различия имеются, причем их достаточно много. Наиболее фундаментальное различие опять же связано со скоростью света. В то время как волна-частица никогда не достигает скорости света (в противном случае ее масса обратилась бы в бесконечность), частица-волна, будучи световой волной, имеет скорость, в точности равную скорости света. Частица-волна фотон не может иметь отличную от нуля массу покоя (т.е. обладать массой, если фотон не движется), ибо при движении со скоростью света масса фотона была бы бесконечной. Что же касается волны-частицы, то ее масса покоя не равна нулю. Можно назвать и другие различия.

Однако в данном случае нам важно подчеркнуть тот основной вывод, к которому вплотную подводит нас современное развитие физики элементарных частиц в симбиозе с космологией, а именно, что все вещество в наблюдаемой нами Вселенной нестабильно. Атомные ядра могут превращаться в лептоны, например в электроны, позитроны, кванты электромагнитного излучения (фотоны) и т.д. В свою очередь элементарные частицы могут исчезать и возникать, превращаясь друг в друга. К этому еще следует добавить, что мы живем в расширяющейся Вселенной. Естественно возникает вопрос: а есть ли вообще в этой изменчивой картине разнообразных трансформаций нечто вечное, неизменное и стабильное? На этот счет высказываются разные мнения.

Во всяком случае субстанция, в ее традиционном понимании неуничтожимая, делимая, телесная, твердая и протяженная, исчезла из наших рук и более не существует. Мы располагаем лишь некоторой совокупностью массы и энергии. Общая сумма их сохраняется, но любое из ее слагаемых может превращаться в другое. Например, при некоторых взаимодействиях частиц (скажем их столкновения в ускорителях) рождаются новые частицы, но наряду с ними присутствуют и частицы, находившиеся в пучке с самого начала. Как такое возможно? Энергия, сообщаемая частице в ускорителе, превращается в массу. Как известно, энергия и масса связаны между собой формулой Эйнштейна  E = mc ².Всюду, где присутствует энергия, присутствует и масса. Энергия и масса – взаимодополняющие проявления реальности, не поддающиеся наглядной интерпретации. Не всякое макроскопическое описание применимо к микроскопическим явлениям, как и не всякий вопрос, имеющий смысл в рамках ньютоновской физики, имеет разумный ответ в области атомных явлений.

Но коль скоро вся материя состоит из квантов и частиц, то почему мы не замечаем их в повседневной жизни? По той простой причине, что даже пылинка окажется горой по сравнению с любой субатомной частицей. Если бы такие частицы двигались даже с очень малой скоростью (с какой они никогда не движутся), то и тогда длина волны де Бройля была бы слишком незначительна, чтобы заметить эффекты квантования движения. Есть все основания утверждать, что когда мы выходим за рамки мира атомных явлений и приближаемся к миру обычных макроскопических явлений, квантовые понятия переходят в понятия классические. Последние действуют в мире промежуточных масштабов, или мезомасштабов, но не применимы ни к атомному, ни к космологическому мирам.

Квантовая теория с большой точностью предсказывает результаты экспериментов. Но в рамках ее адекватное понимание физических процессов пока не достигнуто. Например, квантовая теория описывает электрон математически, с помощью волновой функции. Электрон «размазан» по пространству. Его волновая функция задает вероятность, с которой электрон может быть обнаружен в любой заданной точке пространства. Но, будучи обнаружен, электрон перестает быть «размазанным»: его положение становится вполне определенным. Можно ли считать такую картину корректной? Квантовая теория правильно предсказывает положения стрелок приборов, но лежащие в основе физические явления остаются неясными. Работают математические правила, а разумная интерпретация квантового мира, как ни печально, отсутствует. По-видимому, для описания реальности нужны и волны, и частицы.

Порядок Вселенной может быть также и порядком нашего разума. Мы не просто наблюдатели реальности, мы – ее активные участники. Природа – не открытая книга, которую мы можем читать как независимые наблюдатели. Такой отказ от привычных требований физического объяснения заставил многих физиков и философов усомниться в том, что мы располагаем адекватным описанием атомных явлений. В частности, вероятностное описание, по их мнению, надлежит рассматривать как временную меру, на смену которой придет описание детерминистическое.

Не следует забывать, однако, о том, что квантовая теория возникла сравнительно недавно. Вполне возможно, что через какие-нибудь пятьдесят лет неуклюжий гибрид корпускулярной и корпускулярно-волновой теорий превратится в простую и ясную теорию. Много из того, что мы знаем о различных частицах, почерпнуто из «пунктирных следов», оставленных ими в различного рода регистрирующих устройствах. Такие следы возникают при бомбардировке частицами мишеней в ускорителях. С другой стороны, в ускорителях бомбардирующие частицы приобретают огромную энергию, и можно было бы заключить, что эта энергия превращается в массу. Можно ли считать рождающуюся таким образом массу подлинной реальностью или перед нами обманчивое ощущение, рожденное нашими ненадежными и поверхностными чувственными восприятиями? Если не вдаваться в подробности, то массу заведомо следует считать статистическим эффектом.

Как видим, понимание структуры атома имеет первостепенное значение для физики, но оно приносит поистине неоценимую пользу и химии, и биологическим исследованиям. Возможно, биохимии удастся раскрыть секреты жизни и наследственности и тем самым укрепить здоровье человека и продлить его жизнь. Как бы то ни было, можно с уверенностью сказать, что исследования природы атома оказались весьма плодотворными.

Для нас наиболее существенно было понять, что наши модели структуры атома не физические. Они от начала и до конца математические. Математика позволяет открыть и установить порядок там, где царил хаос. По словам Дирака и Гейзенберга, непротиворечивое математическое описание природы – путь к истине в физике. Необходимость наглядного представления или физического объяснения – не более чем пережиток классической физики.

XI
Реальность в теоретической физике

Мы находимся в положении, несколько аналогичном положению человека, держащего в руках связку ключей и пытающегося открыть одну за другой несколько дверей. Рано или поздно ему всегда удается подобрать ключ к очередной двери, но сомнения относительно взаимно однозначного соответствия между ключами и дверями у него остаются. {13}13
  Вигнер Ю. Непостижимая эффективность математики в естественных науках (см. [26], с. 183).


[Закрыть]

Юджин Вигнер

Мы начали наше повествование с вопроса: существует ли внешний мир? Несмотря на противоположные утверждения Беркли и различные варианты их, высказанные другими философами, мы отвечаем на этот вопрос утвердительно. Однако наше чувственное восприятие мира не только ограниченно, но и способно вводить в заблуждение. Не многим полезнее оказывается и наша интуиция, даже обостренная опытом. Поэтому при всей искусственности математики мы вынуждены прибегать к ней, чтобы откорректировать и расширить наши представления о внешнем мире.

В свое время люди приняли идею об обращении Земли вокруг Солнца не потому, что гелиоцентрическая теория оказалась точнее предшествующей ей геоцентрической, а потому, что гелеоцентрическая теория математически проще. Если же подходить с точки зрения чувственного восприятия, то гелиоцентрическая теория заведомо менее правдоподобна.

Чтобы объяснить движения планет по их строго эллиптическим орбитам, Исаак Ньютон вывел закон всемирного тяготения – теорию гравитации, физическую природу которой ни ему самому, ни его преемникам на протяжении последующих трехсот лет объяснить так и не удалось. Чувственное восприятие и в этом случае оказалось бесполезным.

Чисто математические соображения привели Джеймса Клерка Максвелла к выводу о существовании электромагнитных волн, не доступных восприятию ни одного из наших пяти органов чувств. Однако в реальности электромагнитных волн вряд ли приходится сомневаться: любой радио– или телевизионный приемник безоговорочно убеждает нас в их существовании. Максвелл утверждал также, что свет представляет собой разновидность электромагнитных волн и в этом случае можно с полным основанием считать, что покров тайны с этого явления сняла математика.

Невозможность найти абсолютную систему отсчета для описания пространства и времени (вопреки убеждению Ньютона в абсолютности пространства и времени) и стремление «примирить» законы механики Ньютона с теорией электромагнитного поля Максвелла привели Эйнштейна к созданию специальной теории относительности. Сущность ее в несколько вольной формулировке сводится к утверждению, что длина, масса, время и одновременность определяемы не абсолютно, а только относительно наблюдателя. Экспериментальные подтверждения специальной теории относительности вынуждают нас принять эти ее выводы как твердо установленные факты. Общей теории относительности удалось объяснить явление тяготения, не прибегая к загадочной гравитации, что побуждает нас с большим доверием относиться к ней. Нашу уверенность в справедливости этой теории укрепляет и экспериментальное подтверждение сделанных на ее основе предсказаний.

Квантовая теория, занимающаяся изучением структуры атома, сама почти провоцирует нас на недоверие к ней. Явления, которые она рассматривает, мы не можем наблюдать непосредственно. Нам остается лишь судить о них по производимым ими эффектам. Разумеется, нелегко поверить, что испускаемые атомами электроны ведут себя не как частицы, а как волны, но вместе с тем их можно интерпретировать и как частицы, поведение которых имеет вероятностный характер: утверждение о том, что электрон в данный момент времени находится в определенной точке пространства, не достоверно, а справедливо лишь с определенной вероятностью. Тот факт, что микромир «населен» множеством частиц и античастиц, практически все из которых обладают отличной от нуля вероятностью распада, приводит нас к заключению, в которое трудно поверить: во внешнем мире не существует абсолютно стабильной, прочной и неразрушимой материальной субстанции.

Главы, в которых мы рассматривали теоретическую (математическую) физику, естественно, не охватывают всех ее достижений. Такая, например, область физической науки, как гидродинамика, также использует математические методы при изучении поведения воды, газов и других жидкостей, но не приводит ни к каким неожиданным выводам относительно реальности. Наша физическая интуиция вполне позволяет нам предвидеть результаты гидродинамических исследований. Иное дело электромагнитные и квантовые явления. Они либо противоречат нашему чувственному опыту, либо обнаруживают зияющий пробел в знаниях, приобретенных на основе этого опыта.

Наше современное понимание реальности разительно отличается от концепций реальности предшествующих поколений, будь то последователи Аристотеля или представители математической физики XVII-XVIII вв. По мере того как законы механики и всемирного тяготения распространялись на все новые явления, а планеты, кометы и звезды продолжали неукоснительно следовать путями, столь точно описанными математикой, мысли Декарта, Галилея и Ньютона о том, что Вселенную можно описать, пользуясь понятиями массы, силы и движения, все глубже проникали в сознание людей и превратились в убеждение почти каждого мыслящего современного человека.

Беркли в свое время охарактеризовал одно из основных понятий математического анализа – понятие производной – как «призрак покинувших нас величин». Многое в современной физической теории свидетельствует о призрачности былых, казавшихся незыблемыми классических представлений о материи. Но, облекая в математические формулировки законы, которые описывают призрачные «поля-духи», не имеющие наглядных аналогий в реальности, и выводя из этих законов следствия, мы приходим к заключениям, которые при надлежащей физической интерпретации допускают проверку с помощью наших чувственных восприятий.

Этот специфически умозрительный элемент современного естествознания неоднократно подчеркивал Эйнштейн, который, в частности, писал ([7], т. 4):

Согласно ньютоновской системе, физическая реальность характеризуется понятиями пространства, времени, материальной точкии силы(взаимодействия материальных точек)…

(с. 136.)

После Максвелла физическая реальность мыслилась в виде непрерывных, не поддающихся механическому объяснению полей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Это изменение понятия реальности является наиболее глубоким и плодотворным из тех, которые испытала физика со времен Ньютона…

(с. 138.)

Кратко обрисованный здесь взгляд, согласно которому основы научной теории имеют умозрительный характер, еще не был господствующим в XVIII и XIX вв. Но постепенно он получает все более прочную почву, по мере того как в мышлении все более отдаляются друг от друга фундаментальные понятия и законы, с одной стороны, и те выводы, которые должны быть сопоставлены с опытом, с другой, по мере того как унифицируется логическая структура, т.е. по мере уменьшения числа логически независимых друг от друга концептуальных элементов, которые оказываются необходимой опорой всей структуры.

(с. 183.)

Современное естествознание (и в первую очередь физика) вменяет себе в заслугу освобождение от духов, дьяволов, потусторонних сил, мистики и анимизма путем рационального объяснения явлений природы. Мы можем добавить, что современная наука постепенно отошла от интуитивного и физического содержания, которое в равной мере апеллирует к чувствам; она все более исключает из системы своих представлений классический образ материи, прибегая к таким чисто синтетическим идеальным понятиям, как «поля» или «электроны», относительно которых нам известно единственное – математические соотношения, которым они удовлетворяют. С чувственным восприятием наука поддерживает лишь весьма ограниченный, хотя и жизненно важный контакт посредством длинной цепочки математических дедуктивных выводов. Естествознание стало рационализированным вымыслом – рационализированным с помощью математики.

В наши дни естествознание имеет дело с динамической реальностью, которая расширяется и меняется по мере того, как растет и изменяется наше понимание ее. Ныне мы вынуждены признавать реальность объектов и явлений, не доступных непосредственно чувственному восприятию. Чувственное подтверждение более не требуется. Природа богаче, чем говорят о ней наши органы чувств. Здравый смысл не в состоянии подсказать нам наглядные аналоги атомов, электронов, искривленного пространства или электрических полей. Недостаток наглядной модели многие, разумеется, считают существенным, в особенности те, чей опыт ограничен обыденным здравым смыслом и кто вполне естественно стремится строить свои умозаключения лишь на основании собственного опыта.

Усилия, предпринимаемые человеком с целью определить, что есть реальность, ныне учитывают новый фактор – роль наблюдателя. В XIX в. природу еще воспринимали как совокупность явлений, при рассмотрении которых фактом существования человека и его вмешательства в природу можно пренебречь, если не на практике, то по крайней мере в принципе. Но в XX в. от прежних взглядов пришлось отказаться, особенно когда речь идет об атомной и субатомной физике. Реальность элементарных частиц далеко не очевидна. Мы узнаем о них лишь по различного рода взаимодействиям их с измерительными приборами, по «следам», оставленным ими в пузырьковых камерах, на фотоэмульсии или запечатленным на экранах осциллографов, и на основании этого судим о поведении элементарных частиц. Такого рода внешние проявления элементарных процессов имеют ничуть не меньшее значение для их понимания, чем лежащие в основе этих проявлений глубинные процессы. Более того, как заметил Гейзенберг, используемые нами измерительные приборы влияют на истинное физическое поведение микрочастиц. К какой бы картине, корпускулярной или волновой, ни апеллировала классическая механика, неизменно существовала объективная реальность, не зависящая от наблюдателя. Ныне законы физики в большей мере характеризуют наше знание, нежели действительные процессы в физическом мире. Мы наблюдаем эти процессы, производя те или иные действия, математизируем их и делаем соответствующие выводы.

Классическая физика допускает возможность ошибок в измерениях и для их коррекции использует методы математической статистики и теории вероятностей. Однако в классической физике измеряемая величина определена однозначно, т.е. имеет точное значение. Иначе обстоит дело в квантовой механике, где наше представление о событиях формируется только на основе статистических данных. В отличие от классической физики в квантовой механике не предполагается измерительных устройств, разрешение которых можно было бы увеличивать. О существовании частиц в пространстве и времени мы судим по косвенным признакам, Классически понимаемая объективная реальность элементарных частиц странным образом теряется не в тумане какой-то новой плохо определенной или еще не нашедшей своего объяснения концепции реальности, а в прозрачности математических выкладок, описывающих не поведение элементарных частиц, а наше представление о нем.

Исходя из этого, мы приходим к выводу, что реальный мир есть не то, о чем говорят наши органы чувств с их ограниченным восприятием внешнего мира, а скорее то, что говорят нам созданные человеком математические теории, охватывающие достаточно широкий круг явлений. В евклидовой геометрии понятия точки, линии, плоскости и тому подобное – идеализации, но идеализации реальных объектов, и поэтому реальные точки, линии и плоскости мы можем воспринимать как реальность. А что нам делать с гравитационным взаимодействием и электромагнитным излучением? Ведь мы наблюдаем не их самих, а лишь производимые ими эффекты. Но какова физическая реальность, лежащая за пределами математики? Мы не располагаем даже воображаемыми физическими картинами, достаточными для объяснения гравитационного взаимодействия и полей. Трудно, если вообще возможно, избежать вывода: математическим знанием исчерпываются все наши знания относительно различных аспектов реальности.

А сколь реальна математика? Реально ли физически то, что она утверждает относительно реального мира? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к некоторым приложениям математики. Иоганн Кеплер провозгласил, что каждая планета движется вокруг Солнца по эллиптической орбите. Но был ли эллипс именно тем,что искал Кеплер? Разумеется, нет. Кеплер на протяжении нескольких лет безуспешно пытался подобрать кривую, наилучшим образом соответствующую результатам астрономических наблюдений траектории движения Марса, и об эллипсе он подумал потому, что эта кривая была известна в математике. И когда Кеплер обнаружил, что эллиптическая орбита достаточно хорошо согласуется с данными наблюдений и отклонения от орбиты лежат в пределах ошибки наблюдений, то решил, что эллипс и есть точная форма орбиты Марса. Однако в действительности планеты движутся вокруг Солнца не по эллипсам. Если бы в Солнечной системе была одна-единственная планета, которая, как и само Солнце, имела идеально шарообразную форму, то она действительно обращалась бы вокруг Солнца по эллиптической орбите. Но в реальности на любую планету действует не только гравитационное притяжение Солнца – на ее движение влияют другие планеты и их естественные спутники. Поэтому орбита планеты по форме отличается от эллипса. К счастью, астрономические наблюдения Тихо Браге, результатами которых пользовался Кеплер, хотя и превосходили по точности все предшествовавшие наблюдения, но все же были достаточно грубы, и это позволило Кеплеру считать эллипс хорошим приближением к истинной орбите.

В качестве другого примера приложения математики можно привести риманову геометрию и тензорный анализ. Были ли риманова геометрия и тензорный анализ совершенно адекватным математическим аппаратом для общей теории относительности? Скорее всего нет. Есть основания считать, что Эйнштейн просто попытался наилучшим образом распорядиться тем математическим аппаратом, который, по его мнению, соответствовал нуждам теории относительности. Сколь ни остроумен замысел теории относительности, она носит несколько искусственный характер. Вследствие своей чрезмерной сложности теория относительности мало применима при решении астрономических задач. Правильность ее пока подтверждается только тем, сколь точно она предсказала три астрономических явления, о которых мы уже говорили. Если из истории науки можно извлекать какие-то уроки, то следует предполагать, что когда-нибудь на смену общей теории относительности придет более совершенная теория.

Как со всей очевидностью показывают приведенные примеры, математика отнюдь не обязательно говорит истину о реальном мире. Природа не предписывает и не запрещает никаких математических теорий. Теоретическая физика не может не опираться на физические аксиомы (скажем, такие, как закон всемирного тяготения Ньютона). Эти аксиомы могут рассматриваться в качестве обобщения опыта, но подобные обобщения не свободны от ошибок. Различного рода допущения, пусть даже подтвержденные экспериментально, следует осмотрительно использовать для обоснования математических и физических аксиом. Бертран Рассел, подчеркивая это в своей книге «Научное мировоззрение» (1931), приводит следующий пример. Если принять за исходное предположение о том, что хлеб делается из камня и камень съедобен, то, рассуждая логически, можно прийти к выводу, что хлеб съедобен. Полученный вывод подтверждается экспериментально. Однако исходные допущения не становятся от этого менее абсурдными.

С другой стороны, математический аппарат нередко гораздо лучше выдерживает испытание временем, нежели те физические представления, которые он изначально выражал. Жозеф Фурье (1768-1830) разработал полную и подробную математическую теорию теплопроводности (получившую название калорической теории теплоты), в которой теплота рассматривалась как некий флюид. Калорическая теория давно отброшена и забыта. Как сказал Эдмунд Верк, «рациональная гипотеза слишком часто отличается от печального факта». Но предложенный Фурье математический аппарат и поныне находит широкое применение в акустике и других областях физики.

Есть основания сомневаться относительно соответствия того, что говорит нам математика о реальности. Скажем, ученые решают какую-то проблему, но решение не единственно. Пытаясь построить теорию, они хватаются за любой математический аппарат, который позволяет им продвинуться к желанной цели. При этом они используют то, что есть под рукой, подобно тому как человек, взяв топор вместо молотка, может выполнить какую-то работу достаточно хорошо. Вся история физики говорит о том, что на смену старым теориям приходят новые, как, например, на смену ньютоновской механике пришла специальная теория относительности, а старую теорию строения атома заменила квантовая теория. Но теория относительности до сих пор не принесла особой пользы при исследовании Вселенной за пределами Солнечной системы. Несмотря на столь замечательные успехи, как высадка людей на Луну и фотографирование Сатурна, мы не можем утверждать, что все, о чем говорит нам теоретическая физика, опирающаяся преимущественно на математические методы, истинно.