Текст книги "Математика. Поиск истины."

Автор книги: Морис Клайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 25 страниц)

Даже время и пространство (в отличие от массы и силы) мы не воспринимаем непосредственно. Массу мы «ощущаем» как нечто телесное, о силе судим по испытываемому нами мышечному напряжению. Но время и пространство – всего лишь конструкции. Мы наделены способностью воспринимать на чувственном уровне, что такое «здесь», положение, размеры, у нас есть ощущение простора. Все это – чувственные корни нашего представления о пространстве. Представление о времени также опирается на определенную чувственную основу – последовательность событий. Эти фрагментарные аспекты пространства и времени объединены с помощью абстракции. Пространство и время не обязательно должны быть теми краеугольными камнями, на которых мы должны строить наше знание реального мира. Они играют основополагающую роль в теории относительности, но совсем не подходят в качестве фундаментальных понятий для квантовой теории. Даже определение длины требует абсолютно жесткого мерного стержня, который, однако, вполне может оказаться нежестким. Изменение температуры в какой-то части стержня может привести к неконтролируемому изменению его размеров, о котором мы даже не подозреваем. Аналогичным изменениям подвержены также площадь и объем.

Созданная человеком математическая теория физического мира – это не описание явлений в том виде, в каком мы их воспринимаем, а некая символическая конструкция. Математика, сбросившая с себя оковы чувственного опыта, занимается не описанием реальности, а строит модели реальности, предназначенные для объяснения, вычисления и предсказания.

Если примерно до середины XIX в. математический порядок и гармония рассматривались как неотъемлемые черты плана, положенного в основу мироздания, и математики стремились раскрыть этот план, то, согласно более новой точке зрения, к которой они пришли на основе собственных творений, математикам отводится роль своего рода законодателей, решающих, какими должны быть законы мира. Они принимают любой план или любой порядок, позволяющий им описывать ограниченные классы явлений, которые по необъяснимым причинам продолжают подчиняться выведенным ими законам. Означает ли последнее обстоятельство, что существует некий окончательный, или предельный, закон и порядок, к которым математики неуклонно приближаются? Полного ответа на этот вопрос нет, тем не менее вера в математическую первооснову Вселенной должна уступить место сомнению. Разве стихийные бедствия – землетрясения, падение метеоритов на Землю, извержения вулканов, эпидемии, – не разрешенные вопросы космогонии, наше неведение относительно того, что лежит за пределами ближайшей окрестности в нашей собственной Галактике, не говоря уже о множестве других проблем, стоящих перед человечеством, – разве все это не отрицает даже отдаленное подобие существования высшего порядка во Вселенной? То, чего нам удалось достичь с помощью математического описания и предсказания, напоминает удачу человека, случайно нашедшего стодолларовую купюру.

История физики усеяна обломками отвергнутых теорий. Воскресающие время от времени надежды на то, что всю сложность природы удастся «вогнать» в некую конечную систему законов, по-видимому, малооправданны. Было бы безрассудно полагать, будто эти уроки прошлого не повторятся в будущем и что существующие ныне теории выдержат всесокрушающий напор времени и опыта. Наши столь тщательно возведенные системы – всего лишь более или менее полезные модели того, что мы временно принимаем за истину. Ни одна из математических теорий не может претендовать на абсолютное постижение реальности в самой ее сути. Утверждение о том, что физика объективна, тогда как политика и поэзия не объективны, лишено основания. И физика, и поэзия, и политика стремятся к постижению истины, и в этом отношении физик не имеет ни малейших преимуществ перед политиком или поэтом. Однако ничто не может соперничать с физикой в точности и предсказании. В окружающем нас мире существует нечто такое, что математическая теория способна «схватить» и сохранить.

Наша наука о природе – это наши представления о ней и описание ее. Наука стоит между человечеством и природой. Но в свете квантовой теории элементарные частицы не реальны в том смысле, как реальны камни или деревья, а представляются абстракциями, почерпнутыми из реальных результатов наблюдений. Но коль скоро невозможно приписать элементарным частицам существование в самом «подлинном» смысле, рассматривать материю как подлинно реальную становится труднее.

Хотя Блез Паскаль (1623-1662) был убежден в истинности математических законов природы, он все же так охарактеризовал применимость математики: «Истина – слишком тонкая материя, а наши инструменты слишком тупы, чтобы ими можно было прикоснуться к истине, не повредив ее. Достигнув истины, они сминают ее и отклоняются в сторону, скорее ложную, нежели истинную» ([13], с. 374).

Другие пошли еще дальше. П.У. Бриджмен в книге «Логика современной физики» (1946) утверждал: «Чистейший трюизм, истинность которого становится очевидной при самом поверхностном взгляде, состоит в том, что математика изобретена человеком». Но в таком случае математика, как и все, созданное человеком, подвержена ошибкам. Наши достижения в физической теории сводятся к набору математических соотношений, согласующихся с наблюдаемыми явлениями, и предсказаниям, касающимся физических явлений, часть которых, как, например, электромагнитное излучение, недоступна непосредственному наблюдению. Абстрактные рассуждения позволяют нам выйти за рамки представлений, основанных на чувственном восприятии, хотя это не означает, что мы в состоянии полностью освободиться от своего чувственного опыта.

Различные рассуждения на тему о том, в какой степени математика отражает и представляет истину о реальном физическом мире, следует отличать от многочисленных утверждений об истинности самой математики и ее объективной реальности, но не обязательно касающихся отношения математики к реальному миру. Например, Платон в диалоге «Менон» утверждал, что математические конструкции не зависят от опыта и даже предшествуют ему. В существовании математики Платон видел в действительности доказательство существования бессмертной души, ибо, поскольку теоремы невозможно получить из опыта, они должны сопровождать душу при возвращении к истинному бытию. Формулировка новой теоремы по Платону – это акт воспроизведения того, что хранилось в памяти.

Примерно до начала XIX в. подобных взглядов придерживались практически все математики, а некоторые представители математической науки разделяли их и позднее. Уильям Р. Гамильтон (1805-1865) – хотя именно он изобрел тот самый объект (кватернионы), который поставил под сомнение истинность арифметики, – в своих взглядах во многом сходился с Декартом:

Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являются науками чистого разума, не подкрепляемыми опытом и не получающими от него помощи, изолированными или могущими быть изолированными от всех внешних и случайных явлений… Вместе с тем это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколько-нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявления человеческого начала.

([13], с. 371.)

Один из ведущих алгебраистов XIX в. Артур Кэли, выступая с докладом перед Британской ассоциацией поощрения наук (1883), заявил, что «мы… обладаем априорными познаниями, не зависящими не только от того или иного опыта, но абсолютно от всякого опыта… Эти познания составляют вклад нашего разума в интерпретацию опыта».

В то время как одни ученые, подобно Гамильтону и Кэли, считали математику неотъемлемой частью человеческого разума, другим она представлялась существующей в мире вне человека. До начала XX в. существование единственного объективного мира математических истин, не зависящих от человека, ни у кого не вызвало сомнений, и это вполне понятно. Даже Гаусс, первым оценивший значение неевклидовой геометрии, был убежден в истинности понятий числа и математического анализа. Один из выдающихся французских математиков XX в. Жак Адамар (1865-1963) в книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» утверждал: «Хотя истина еще не известна нам, она предсуществуети неизбежно подсказывает нам путь, которым мы должны следовать». На Международном математическом конгрессе в Болонье (1928) Давид Гильберт вопрошал: «Что было бы с истинностью наших знаний вообще и как обстояло бы дело с существованием и прогрессом науки, если бы даже в математике не было достоверной истины?» ([27], с. 388).

Примерно то же мнение выразил в своей книге «Апология математика» выдающийся аналитик Джефри Г. Харди (1877-1947): «Я убежден в том, что математическая реальность лежит вне нас и наша роль заключается в том, чтобы открывать или наблюдатьее, а теоремы, которые мы доказываем и столь пышно именуем нашими «творениями», в действительности представляют просто записи наших наблюдений». Математики только открывают понятия и их свойства.

Некоторые из приведенных выше высказываний принадлежат мыслителям XX в., не уделявшим особого внимания основаниям математики или вообще не занимавшимся ими. Удивительно, что даже по утверждениям признанных лидеров в области оснований математики, таких как Давид Гильберт, Алонзо Черч и члены группы Бурбаки (см. гл. XII), математические понятия и свойства существуют в некотором смысле объективно и познаваемы человеческим разумом. Таким образом, математическую истину открывают, а не изобретают; поэтому то, что изменяется и эволюционирует, есть не математика, а лишь человеческое знание математики.

Все эти рассуждения о существовании объективного единого «здания» математики ничего не говорят об истинном «местопребывании» ее. Все они сводятся к тому, что эта наука существует в некоем «сверхчеловеческом мире», каком-то воздушном замке, а математики только открывают ее положения. Аксиомы и теоремы не есть лишь творения одного человеческого разума; подобно богатствам, скрытым в земных недрах, их надлежит извлечь на поверхность, терпеливо раскапывая одну за другой. Существование их представляется столь же независящим от человека, как существование планет.

Что же такое математика: россыпь алмазов, скрытых в недрах реального мира и постепенно извлекаемых оттуда, или груда искусственных камней, созданных людьми, столь блестящих, что они своим блеском ослепили иных математиков, которые и без того переполнены гордостью за свои творения?

Другой, восходящей к Аристотелю точки зрения, согласно которой математика всецело является продуктом человеческой мысли, придерживается школа математиков, получивших название интуиционистов. В то время как одни утверждают, что истину гарантирует человеческий разум, другие полагают, что математика – создание склонного к заблуждениям человеческого разума, а не законченный свод знаний.

Герман Ганкель, Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасс считали математику творением человека. В письме к Веберу Дедекинд так говорил о «рукотворности» математики: «По-моему, то, что мы понимаем под числом, само по себе есть не класс, а нечто новое…, созданное нашим разумом. Мы божественная раса и обладаем… способностью творить» ([13], с. 374). Вейерштрасс вторит ему: «Истинный математик всегда поэт» ([13], с. 374). Ученик Рассела, известный философ Людвиг Витгенштейн также считал, что математик – изобретатель, а не открыватель. Эти и многие другие мыслители рассматривали математику как нечто не связанное с эмпирическими открытиями или рациональной дедукцией. Их позиция не лишена оснований: ведь даже такие элементарные понятия, как иррациональные и отрицательные числа, не являются ни дедуктивными следствиями из эмпирически установленных фактов, ни объективными сущностями внешнего мира.

Тех, кто склонен видеть в математике творение человеческого разума, по существу можно отнести к кантианцам, ибо Иммануил Кант видел источник математики в организующей силе человеческого разума. Однако современные философы утверждают, что математика имеет своим истоком не морфологию или физиологию разума, а его активность. Именно активность разума с ее эволюционирующими методами несет в себе организующее начало. Творческая активность разума постоянно рождает новые, высшие формы мысли. На примере математики можно ясно видеть, что человеческий разум не ограничен в своей способности созидать некий объем знания, который он сам считает интересным или полезным. Область такого созидания не замкнута. Творческая активность способна создать понятия, применимые как к существующим, так и к вновь возникающим областям мысли. Человеческий разум наделен способностью изобретать конструкции, включающие в себя результаты опыта, и упорядочивать их. Источник математики – в непрерывном развитии самого разума.

Ныне возникает немало разногласий по поводу природы самой математики и утрате ею своего исключительного положения как общепризнанной бесспорной области знания, и это свидетельствует о том, что математика – творение человеческого разума. Как сказал Эйнштейн, «всякий, кто осмеливается взять на себя роль судьи во всем, что касается Истины и Знания, терпит крушение под смех богов» ([13], с. 375).

Математики «оставили бога», поэтому им не оставалось ничего другого, как обратиться к человеку, что они и сделали. Они продолжали развивать свою науку и искать законы природы, прекрасно понимая, что их открытия отнюдь не замысел божий, а творения человека. Успехи, достигнутые математиками в прошлом, помогли им обрести уверенность в собственной правоте, и, к счастью, немало новых успехов увенчало их усилия. Жизнь математики была спасена благодаря чудодейственному лекарству, также приготовленному людьми: великолепным достижениям в небесной механике, акустике, гидродинамике, оптике, теории электромагнетизма, технике и фантастической точности предсказаний, основанных на математических теориях.

В своей «Загадочной Вселенной» (1930) Джеймс Джинс как бы подводит итог этому развитию математики:

Наши далекие предки пытались интерпретировать природу с помощью ими же созданных антропоморфных понятий и потерпели неудачу. Столь же безуспешными оказались и усилия наших не столь отдаленных предшественников, пытавшихся рассматривать природу как своего рода механизм… Вместе с тем наши усилия познать природу, пользуясь понятиями чистой математики, до сих пор были необычайно успешными. Ныне представляется бесспорным, что природа теснее связана с понятиями чистой математики, чем с понятиями биологии и техники.

Далее Джинс, подчеркивая близкое родство между человеком и физическим миром, замечает: «Во всяком случае, не подлежит сомнению, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам» ([13], с. 398). И далее осторожно добавляет: «Вселенную лучше всего изображать (хотя и этот образ далек от совершенства и неадекватен) как чистую мысль, принадлежащую кому-то, кого за неимением более подходящего слова мы назовем математическим мыслителем». Тем, кто все еще сетует на то, что физические науки достигают успеха ценой математической абстракции, следовало бы поразмыслить и попытаться понять, какие откровения они ожидали найти в самом полном научном изложении природы физического мира.

Независимо от того, что могут поведать о существовании и нашем знании физического мира новейшие философские учения, одно не вызывает сомнений. Современная физика отказалась от механических моделей или даже наглядных картин физической реальности; она все большее значение придает математическому описанию и даже всецело полагается на него. Эта тенденция, насколько можно судить, сохранится и впредь. Возврат к прошлому вряд ли возможен. Новейшие области физики столь далеки от повседневного опыта, от чувственного восприятия, что постичь их по силам только математике.

По словам Джинса, «создание моделей или картин для объяснения математических формул и описываемых ими явлений – шаг не к реальности, а от нее; поступать так все равно, что взять идолов, изображающих бесплотные духи».

Платон в свое время использовал образ пещеры, на стене которой человек видит только тени людей и событий; так и мы, живущие в физическом мире, наблюдаем только тени многих физических явлений, и эти «тени» – математические. Может не быть духов, ведьм или чертей, но физические явления, столь же не доступные нашему восприятию, как и любые другие творения человеческого воображения, заведомо существуют.

Тенденция к толкованию математических закономерностей как самой реальности отчетливо прослеживается в работах многих авторов. Дж. У.Н. Салливен в книге «Ограничения науки» (1933) утверждает, что только количественные аспекты материальных явлений имеют отношение к реальному миру. В частности, современное естествознание не требует понимания природы исследуемых сущностей, оно довольствуется знанием их математической структуры. Джинс в своей «Загадочной Вселенной» назвал Вселенную гигантской мыслью. Разум перестал быть незваным гостем в материальном мире, отныне он – его создатель.

Имея в виду не Вселенную в целом, а лишь круг явлений, изучением которых занимается квантовая механика, физик и философ Генри Маргенау утверждает, что волновые функции Шрёдингера есть подлинная реальность.

Но, быть может, лучше всех позицию большинства современных ученых выразил Эйнштейн в книге «Мир, каким я вижу его» (1934):

Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность.

([7], т. 4, с. 184.)

Наделенные немногими и весьма ограниченными по своим возможностям органами чувств и головным мозгом, люди начали проникать в окружающий их загадочный мир. Используя собственный чувственный опыт и данные, полученные из экспериментов, люди выработали некий набор аксиом, применив к ним мощь своего разума. Целью их поисков было выявление порядка, лежащего в основе мироздания. Они стремились построить системы знания, которые противостояли бы мимолетности ощущений и могли бы служить основой для создания неких схем, способных объяснить окружающий мир и помочь овладеть им. И главным продуктом человеческого разума стала математика. Она отнюдь не безупречно ограненный и идеально отшлифованный драгоценный камень, и даже непрерывная «доводка» не в состоянии устранить всех ее изъянов. И все же именно математика воплощает в себе звено, наиболее эффективно связывающее реальный мир с миром чувственных восприятий, и остается поныне драгоценнейшим сокровищем человеческого разума, которое надлежит всячески оберегать. На протяжении долгого времени математика находилась в авангарде человеческой мысли и, несомненно, сохранит передовые позиции, даже если более тщательные исследования выявят в ней какие-нибудь новые изъяны.

Математическая мысль без устали бьется о скалистый берег, препятствующий ее проникновению на новые территории. Но даже гранитные утесы не выдерживают ее могучего натиска, не ослабевающего на протяжении столетий, и рушатся, открывая перед математикой новые просторы.

XII
Непостижимая эффективность математики

Вечная загадка, мира – его познаваемость. {14}14
  [7], т. 4, с. 201.


[Закрыть]

Альберт Эйнштейн

Жизнь – это искусство делать верные выводы из неверных посылок.

Сэмюэл Батлер

Поскольку природу математики и ее взаимосвязь с физическим миром оценивают по-разному, нередко с взаимоисключающих позиций, мы не можем обойти молчанием вопрос о том, почему математика вообще действенна. Нельзя не признать, что полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физически реальных явлений – будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математическая интерпретация того немногого, что доступно наблюдению на атомном уровне, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, не говоря о сотнях других достижений, – требуют какого-то объяснения.

Итак, человек стоит перед двойной загадкой. Почему в тех случаях, когда физическое явление понято нами и мы приняли соответствующие аксиомы, сотни следствий, полученных из них, оказываются столь же применимыми к реальному миру, как и сами аксиомы? Согласуется ли природа с человеческой логикой? Не менее важен и другой вопрос: почему математика эффективна и при описании тех физических явлений, которые непонятны для нас? От этих вопросов невозможно отмахнуться. Слишком многое в современной науке и технике зависит от математики. Очевидно, в ней скрыты какие-то силы и ресурсы.

В Древней Греции, где математика сводилась в основном к геометрии, а приложения ее были весьма ограничены, мыслители пытались ответить на поставленные выше вопросы, однако по современным стандартам эти ответы чрезмерно упрощены и весьма догматичны. Ученым XVI-XVIII вв. ответ на вопрос, почему математика столь эффективна, также казался простым и ясным. Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен на математических принципах, и принимая средневековые представления, гласившие, что мир был создан на математических принципах не кем иным, как Богом, они видели в математике путь к познанию истин о природе. Иначе говоря, превратив Бога в ревностного и непогрешимого математика, стоящего над всем миром, средневековые мыслители как бы отождествили поиск математических законов природы с религиозными исканиями. Изучение природы стало изучением слова божьего, его деяний и его воли. Гармония мира в их глазах была проявлением математической структуры, которой Бог наделил мир при сотворении. Именно он заложил в мир тот строгий математический порядок, познание которого дается нам с таким трудом. Математическое знание почиталось абсолютной истиной, как любая строка Священного писания. Более того, математическое знание становилось в чем-то выше Священного писания, ибо по поводу толкования тех или иных мест в Священном писании возникало немало разногласий, тогда как относительно математических истин не могло быть ни малейших споров.

Так, католическое вероучение, считавшее сотворение мира рациональным актом Бога, и учение пифагорейцев и Платона, усматривавшее в математике фундаментальную реальность физического мира, слились в программе естественнонаучных поисков, суть которой сводилась к следующему: наука призвана открывать математические соотношения, лежащие в основе всех явлений природы и объясняющие их, и тем способствовать славе и величию божественного творения. Как отмечал в своей книге «Становление человеческого разума» Джон Герман Рэндалл, – «наука родилась из веры в математическую сущность природы, утвердившуюся задолго до того, как это удалось проверить экспериментально».

Из философов, убежденных в том, что математика – верный путь к реальности, наиболее влиятельным был Рене Декарт. И хотя его метод оказался недолговечным, именно Декарт был последним из схоластов и первым из представителей науки нового времени, который провозгласил особое значение математики как инструмента познания мира.

Декарт задумался над тем, почему следует верить, что математические конструкции, созданные человеческим разумом, открывают путь к познанию физического мира. Декарт, как мы уже знаем, опирался при этом на свою веру в Бога. Он считал, что человеческому разуму внутренне присущи идеи пространства, времени, числа и Бога, а также способность распознавать истинность других интуитивно постигаемых понятий. Внутреннее знание незыблемо и неоспоримо. Идею Бога, по мнению Декарта, невозможно почерпнуть в чувственном опыте, ибо вечность, всеведение, всемогущество и совершенство отсутствуют в окружающем нас физическом мире. К числу идей, составляющих достояние разума, – принадлежит и идея внешнего мира. Существует ли то, что мы называем внешним миром? Существует, заявлял Декарт, ибо Бог в силу своей добродетели не стал бы вводить нас в заблуждение. С другой стороны, ощущения, по Декарту, это не более, чем заблуждения, рожденные нашими чувствами. К счастью, из математических истин, постигаемых разумом независимо от опыта, мы можем с помощью чисто умозрительных рассуждений выводить новые истины о физическом мире. Каким образом мы могли бы удостовериться в правильности наших рассуждений? И здесь Декарт опять уповает на Бога, полагая, что именно благодаря промыслу божьему наше мышление согласуется с реальностью.

Убеждение Декарта в том, что природа основана на математических принципах, разделяли и его современники, и на протяжении двух столетий последующие поколения философов и естествоиспытателей. Кеплер также усматривал реальность мира в описывающих его математических соотношениях. По словам Галилея, математические символы – те письмена, которыми Бог начертал великую книгу Природы. Не знающий их не в состоянии понять в ней ни единого слова и обречен вечно блуждать по лабиринту в кромешной тьме. Познаваемы лишь те свойства физического мира, которые могут быть выражены с помощью математических понятий и формул. Вселенная математична по своей структуре и поведению, и природа действует согласно незыблемым и неизменным законам. В одном из писем Галилея содержится весьма откровенное признание: «Что касается меня, то пусть хоть бы все споры по поводу Священного писания пребывали в вечной дреме; ни один астроном или естествоиспытатель, если он в здравом рассудке, не станет вдаваться в такие детали». Разумеется, Галилей был глубоко убежден, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. В приведенном отрывке из письма он имеет в виду лишь то, что для объяснения явлений природы не следует привлекать потусторонние сверхъестественные силы.

Ньютон также считал, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. В его письме к Ричарду Бентли от 10 декабря 1692 г. есть такие строки: «Когда я писал свой трактат о нашей системе [«Математические начала натуральной философии»], мне хотелось найти такие начала, которые были бы совместимы с верой людей в Бога; ничто не может доставить мне большее удовлетворение, чем сознание того, что мой труд оказался не напрасным» ([13], с. 73).

Главную ценность своих научных трудов Ньютон видел в поддержке религиозного вероучения. Он был ученым-теологом, хотя не имел духовного сана. Занятия наукой Ньютон считал делом тяжелым и скучным, но продолжал отдаваться ему, ибо наука позволяла находить все новые подтверждения божественного сотворения мира. Как и его предшественник по кафедре в Кембриджском университете Исаак Барроу, Ньютон в более зрелые годы обратился к богословию. Свято веря, что мироздание построено по божественному плану, Ньютон в отличие от своих предшественников считал, что Бог также призван следить за тем, чтобы все в мире функционировало в соответствии с этим планом. Ньютон сравнивал Вседержителя с часовщиком, следящим за точностью хода часов и устраняющим любые неисправности.

Хотя Готтфрид Вильгельм Лейбниц был человеком разносторонне одаренным и достиг блестящих успехов в математике, главным образом в дифференциальном и интегральном исчислениях, он отнюдь не распространял господство математики на сколько-нибудь широкую область естествознания. Философия науки, развитая Лейбницем (как и философия науки Декарта), стала его наиболее значительным вкладом в учение о математических принципах, заложенных в основе мироздания.

В «Теодицее» Лейбница мы встречаем уже знакомую нам идею: Бог есть тот высший разум, который сотворил наш тщательно спланированный мир. Согласие между реальным миром и миром математическим, а в конечном счете применимость к реальному миру дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц объяснял единством мира и Бога: Cum Deus calculat, fit mundus(Как Бог считает, так мир и делает). Наш мир – самый совершенный из всех миров, какие только можно себе представить, и рациональное мышление открывает его законы – таков был главный тезис Лейбница.

Суть того, во что неколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет предсказывать явления природы. Даже в далеком прошлом такая предпосылка неизменно получала подтверждения, превосходившие самые смелые ожидания.

Математический план природы открывается человеку лишь в неустанном поиске. Пути господни, как говорится, неисповедимы, но, несомненно, они математически совершенны, и человеческий разум со временем открывает все больше подробностей того рационального плана, которым Бог руководствовался при сотворении мира. То, что человек рассуждает так же, как, видимо, рассуждал Бог, обдумывая свой план мироздания, казалось ученым прошлого довольно понятным: ведь правильным, по их мнению, могли быть рассуждения только одного типа.

В своей работе «Прагматизм» (1907) Уильям Джеймс так описывает умонастроение математиков того времени:

Когда были открыты первые математические, логические и физические закономерности, первые законы, проистекавшие из этих открытий, ясность, красота и упрощение настолько захватили людей, что они уверовали в то, будто им удалось доподлинно расшифровать непреходящие мысли Всемогущего. Его разум громыхал громовыми раскатами и эхом отдавался в силлогизмах. Бог мыслил коническими сечениями, квадратами, корнями и отношениями и геометризовал, как Евклид. Бог предначертал законы Кеплера движению планет, заставил скорость падающих тел возрастать пропорционально времени, создал закон синусов, которому свет должен следовать при преломлении… Бог измыслил архетипы всех вещей и придумал их вариации, и когда мы открываем любое из его чудесных творений, то постигаем его замысел в самом точном предназначении. ([13], с. 82.)

С исторической точки зрения можно усмотреть определенную иронию в том, что роль Бога становилась все менее значительной по мере того, как начинали доминировать универсальные законы, охватывающие движения небесных и земных тел, и неизменное согласие между математическими предсказаниями и результатами наблюдений свидетельствовало о совершенстве законов. Бог оказался оттесненным на задний план, и все внимание сосредоточилось на математических законах, царящих во Вселенной. Лейбниц отлично сознавал, какие следствия можно извлечь из ньютоновских «Математических начал», в частности из представления о мире, функционирующем по определенному плану, неважно, с Богом или без оного, и обрушился на сочинение Ньютона, назвав его антихристианским.