Текст книги "Математика. Поиск истины."

Автор книги: Морис Клайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 25 страниц)

В описанном нами дедуктивном процессе для обоснования рассуждения используется логика. При этом, по существу, мы до сих пор применяем так называемую аристотелеву логику. Естественно спросить, почему заключения, полученные с помощью такой логики, должны иметь какое-то отношение к природе. Почему теоремы, доказанные человеческим разумом в тиши кабинетов, должны быть применимы к реальному миру, как, впрочем, и аксиомы, которые во многих случаях являются не более чем измышлениями того же человеческого разума? К вопросу о том, почему математика столь эффективна, мы вернемся в гл. XII.

Необходимо отметить еще одну важную характерную черту математики: использование специальных обозначений. Хотя страница, испещренная математическими символами, способна отпугнуть непосвященного, нельзя не признать, что без специальных обозначений математики погрязли бы в неразберихе слов. Все мы используем те или иные символы, когда прибегаем к множеству общепризнанных сокращений. Например, мы часто пишем N.Y., вместо New York (Нью-Йорк), и, хотя смысл таких аббревиатур нужно знать заранее, не подлежит сомнению, что краткость символики способствует постижению сути дела, в то время как словесное выражение перегружает разум.

Резюмируя, суть тех средств, которыми математики добывают факты о внешнем мире, можно сформулировать следующим образом: математика строит модели целых классов реальных явлений. Понятия, обычно идеализированные (независимо от того, почерпнуты они из наблюдений природы или являются плодами человеческого разума), аксиомы, которые также могут быть подсказаны физическими фактами или придуманы людьми, процессы идеализации, обобщения и абстракции, а также интуиция – все идет в ход при построении моделей. Доказательство цементирует элементы модели воедино. Наиболее известная модель – евклидова геометрия, но мы познакомимся со многими более изощренными и простыми моделями, рассказывающими нам гораздо больше о менее очевидных явлениях, чем это делает евклидова геометрия.

Наша цель состоит в том, чтобы показать, как прочно входит математика в современный мир не только как метод, позволяющий компенсировать несовершенство наших органов чувств, но и в гораздо большей степени как метод расширения того знания, которое человек способен обрести об окружающем мире. Как сказал Гамлет, «и в небе и в земле сокрыто больше, чем снится вашей мудрости, Горацио». Нам необходимо выйти за пределы знания, добытого чувственным опытом. Суть математики в отличие от чувственного восприятия состоит в том, что, опираясь на человеческий разум и способность человека к рассуждениям, она порождает знание о реальном мире, которое среднему человеку, даже если он воспитан на рациональной западной культуре, кажется полученным исключительно путем чувственного восприятия.

Важность математики для исследования реального мира подчеркивал Алфред Норт Уайтхед в своей книге «Наука и современный мир»:

Ничто не производит столь сильного впечатления, как то обстоятельство, что математика, чем выше она возносится в горные области все более абстрактной мысли, неизменно возвращается на землю, обретая все большее значение для анализа конкретного факта… Парадокс, окончательно установленный ныне, состоит в том, что именно предельные абстракции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.

И как заметил однажды Давид Гильберт, один из самых выдающихся математиков XX в., физика в наше время слишком важна, чтобы оставлять ее физикам.

III
Астрономические миры древних греков

Сократ.Прекрасно сказано. Начнем же хотя бы со следующего вопроса…

Протарх.С какого?

Сократ.Скажем ли мы, Протарх, что совокупность вещей и это так называемое целое управляются неразумной и случайной силой как придется или же, напротив, что целым правит, как говорили наши предшественники, ум и некое изумительное, всюду вносящее лад разумение?

Протарх.Какое же может быть сравнение, любезнейший Сократ, между этими двумя утверждениями! То, что ты сейчас говоришь, кажется мне даже нечестивым. Напротив, сказать, что ум устраняет все, достойно зрелища мирового порядка… {3}3
  [2], с. 33-34.


[Закрыть]

Платон

Известно, что астрономические теории греков оказались нежизнеспособными. Тем не менее они впервые показали, как математика интерпретирует мир чувственных восприятий. Революцию в астрономии, у истоков которой стояли Коперник и Кеплер, мы сможем лучше оценить, обратившись сначала к тому, что ей предшествовало.

Нас интересует, как математика помогает понять явления и процессы реального мира, недоступные нашему чувственному восприятию, а если и доступные, то в неадекватной, сильно искаженной форме. Древние греки весьма преуспели в приложениях математики, создав «математическую астрономию» и проложив дорогу для еще более успешных математических теорий.

Греки придавали столь большое значение астрономии прежде всего по той причине, что именно в небесах они наблюдали самые сложные движения, по крайней мере те из них, которые заметны невооруженному глазу. Телескопов в те времена не существовало, но даже если бы они и были, вряд ли эти инструменты позволили бы древним грекам сколько-нибудь основательно разобраться в сложных и запутанных движениях небесных светил. Звезды и другие небесные тела появлялись, исчезали, возникали вновь, оставаясь непостижимыми и загадочными.

Хотя древние греки не были творцами астрономии в ее современном виде, именно они заложили ее основы и создали предпосылки для последующего развития теории. Греки явили миру образцы первых истинно математических рассуждений и положили начало пониманию космических явлений.

Интерес к небесным телам неизменно проявляли даже народы, стоявшие на самых низких ступенях общественного развития. Свет и тепло, изливаемые на Землю Солнцем, чарующая игра красок на восходе и закате, зыбкие переливы лунного света, яркий блеск планет, возникающих и исчезающих в различные времена года, величественное зрелище Млечного Пути, солнечные и лунные затмения – все это создавало впечатление чуда, рождало восторг, нескончаемые толки, а подчас повергало людей в ужас. Но сведения о периодах обращения Солнца и Луны, моментах появления и исчезновения планет и звезд в догреческие времена были весьма скудными. Информация была явно недостаточной для сколько-нибудь уверенных оценок размеров небесных тел и расстояний до них и тем более для того, чтобы можно было разобраться в хитросплетениях относительного движения планет.

В Древнем Египте и Вавилоне производились наблюдения главным образом Луны и Солнца; их результаты использовались для составления календаря либо предсказания сроков проведения сельскохозяйственных работ. Но ни египтяне, ни вавилоняне, равно как ни одна другая культура до греков, даже не пытались составить общую исчерпывающую картину движения небесных тел. Для этого им недоставало ни соответствующих познаний в математике, ни инструментов, позволявших вести сколько-нибудь точные наблюдения. В сложном поведении небесных тел древние народы догреческого периода не могли усмотреть ни плана, ни порядка, ни определенной закономерности. Природа в их глазах была капризно изменчивой и загадочной.

Древние греки мыслили иначе. Движимые неутолимой жаждой знания и почтением к разуму, они незыблемо верили в то, что наблюдения за небесными светилами позволят обнаружить порядок, скрытый за видимой сложностью движений планет. Мы увидим в дальнейшем, что многие из греческих астрономов выдвигали и отстаивали идеи и представления, которые через много веков вошли в золотой фонд современной космологии. Наша космология – не плод усилий какого-нибудь одного гения. Присущий ей элемент гениальности – результат напряженного труда многих поколений гениев.

Исследование небес началось в Милете, самом южном из двенадцати городов Ионии на западной границе Малой Азии. В VI в. до н.э. в Милете сложилась благоприятная обстановка, позволившая человеческому разуму раскрепоститься и вступить на путь осмысления окружающего мира – путь, сулящий немалые радости, но и нередко таящий в себе опасность. Ремесла и торговля принесли городу процветание. Благосостояние обеспечило гражданам Милета комфорт и досуг, дало возможность совершать далекие путешествия. Бывая в Египте, Вавилоне и других странах древнего мира жители Милета впитывали богатство и достижения восточной мысли. В своем материальном благополучии милетцы видели свидетельство того, что они способны многое свершить, не полагаясь на помощь богов, и постепенно наиболее смелые умы пришли к дерзкой мысли о том, что вся Вселенная в целом познаваема, доступна человеческому разуму.

Фалесу Милетскому выпала честь стать первым естествоиспытателем и философом «западной традиции». Сколь страстно он увлекался наблюдениями звездного неба, свидетельствует дошедшее до нас предание о том, как, неотрывно взирая на небо, Фалес провалился однажды в колодец. Особую известность ему принесло, как гласит легенда, предсказание солнечного затмения в 585 г. до н.э., хотя современные историки науки высказывают сомнения относительно этого.

Последователи Фалеса Милетского Анаксимандр (611-549 до н.э.) и Анаксимен (570-480 до н.э.) продолжали создавать и развивать теории о материальной первооснове Вселенной. Однако математика не играла существенной роли в их теоретических построениях. Не имея инструментов и не владея сколько-нибудь основательной методологией, Анаксимандр и Анаксимен могли лишь высказывать догадки о природе небесных тел и их удаленности от Земли. Анаксимандр даже предполагал, что звезды находятся ближе к нам, чем Солнце и Луна. Ни Анаксимандр, ни Анаксимен не упоминали о планетах как таковых; считалось, что эти «блуждающие светила» (слово «планета» по-гречески означает «бродяга») мало чем отличаются от звезд.

И все же Фалес Милетский и его ионийские коллеги далеко ушли вперед от мышления предшествовавших цивилизаций. Достаточно сказать, что они первыми дерзнули помыслить о Вселенной в целом, не прибегая к помощи богов, духов, дьяволов и прочих таинственных сил. Их материалистические и объективные объяснения и рациональный подход подорвали доверие к фантастическим объяснениям, апеллирующим к поэтическим и мифическим образцам и сверхъестественным силам. Блестящая интуиция позволяла этим мыслителям постигать природу Вселенной, а рациональные аргументы – обосновывать интуитивные прозрения.

Следующей крупной фигурой в философии и естествознании древних греков был Пифагор (VI в. до н.э.). Пифагор родился на острове Самос близ Милета. Он необычайно расширил свои познания за года почти тридцатилетних странствий; бежав с острова Самос от политической тирании, Пифагор в возрасте пятидесяти лет поселился, наконец, в Кротоне (Италия). Своих учеников и последователей Пифагор сплотил в некое братство, в котором научные изыскания сочетались с религиозно-мистическим ритуалом.

В области астрономии пифагорейское учение произвело буквально переворот, провозгласив шарообразность Земли, что по тем временам было дерзким новшеством. Сам Пифагор проповедовал свое учение устно. В письменном виде эта новая идея была изложена Парменидом (около 500 до н.э.). Насколько можно судить, провозглашая шарообразность Земли, оба мыслителя руководствовались мотивами как эстетическими, так и научными. Пифагор считал сферу наиболее совершенным из геометрических тел. Он учил, что Вселенная в целом также сферична, и, по-видимому, склонялся к мысли, что Земля и небо также должны иметь форму сферы. На мысль о сферичности Земли могли наводить (или по крайней мере служить ее косвенным подтверждением) рассказы мореплавателей и наблюдения, проводимые в периоды солнечных и лунных затмений. Постепенно представление о сферичности Земли завоевало всеобщее признание, хотя Аристотель в середине IV в. отмечал, что разногласия по этому поводу не были окончательно преодолены.

Пифагорейцы создали космологию, но космологию чисто умозрительную и не оказавшую особого влияния на последующее развитие астрономической мысли в Греции. Мистика чисел и априорный характер пифагорейской космологии могут показаться совершенно ненаучными, если не вспомнить о зачаточном состоянии наблюдательной астрономии того времени. Как мы увидим в дальнейшем, греческие астрономы остро ощущали неизбежную неточность своих наблюдений и обратились к математике, усматривая в ней гораздо более надежный путь к пониманию незыблемости и совершенства небесного мира.

Внимание астрономов привлекли необычайно сложные и нерегулярные движения, планет. Разумеется, постепенно, шаг за шагом кое-какие загадки были разрешены. Звездочеты поняли, что Венера и Меркурий в отличие от трех остальных известных тогда «блуждающих светил» не удаляются особенно далеко от Солнца и поэтому их можно наблюдать только утром и вечером; они научились отождествлять «утреннюю звезду» с «вечерней». Тогда же астрономы обратили внимание на загадку попятных движений планет и принялись размышлять над ней: «блуждающие светила» иногда странным образом останавливались в своем обычном движении по небосводу с запада на восток, как бы замирая на месте, затем в течение непродолжительного времени двигались вспять, снова останавливались, после чего возобновляла движение на восток. Причудливое и загадочное поведение планет приводило астрономов в недоумение, и греческий дух с его любовью к порядку и регулярности был почти устрашен небесными «бродягами». Но все же древних греков не покидала мысль: а не кроется ли за всем этим видимым хаосом некий порядок?

Но одно дело наблюдать и составлять таблицы движений планет, как это делали на протяжении столетий египтяне и вавилоняне. Эти народы были только наблюдателями. Совсем иное дело – это был огромный шаг вперед – заняться поиском единой теории движений небесных тел, которая позволила бы обнаружить порядок и закономерность за кажущимся беспорядком. Именно такую задачу поставил перед Академией Платон, провозгласив ныне знаменитый призыв «спасти явления». Решение поставленной Платоном задачи было предложено Евдоксом. Ученик Платона, Евдокс сам стал первоклассным мастером своего дела и одним из наиболее выдающихся греческих математиков, создав первую из известных в истории крупных астрономических теорий, которая ознаменовала значительный прогресс в рациональном познании природы.

Евдокс (около 406-355 до н.э.) был родом из Книда, что на западном побережье Турции. В молодости он путешествовал по Италии и Сицилии, где изучал геометрию у Архита. В возрасте двадцати двух лет Евдокс отправился в Афины, где слушал лекции Платона в Академии. Он производил самостоятельные наблюдения, и столетия спустя его «обсерваторию» показывали любознательным путешественникам. Известность Евдоксу принесла его математическая теория мира.

Согласно схеме Евдокса, в центре семейства концентрических сфер находится неподвижная Земля. Сложное движение любого небесного тела (кроме неподвижной Земли) Евдокс объяснял соответствующей комбинацией движений сфер. Схема Евдокса была весьма громоздкой, поскольку для описания движения каждой из планет, Солнца и Луны здесь требовалось три-четыре сферы. Разумеется, сами сферы были чисто математическими, гипотетическими.

Евдокс, по-видимому, довольствовался тем, что ему удалось воспроизвести сложные движения планет. Он не пытался проникнуть в физическую природу придуманных им сфер или взаимосвязей между ними, не стремился выяснить физическую причину их движений. Насколько можно судить, Евдокс видел в своей системе не более чем изящную теорию, не нуждавшуюся в физической проверке и не предполагающую ее. Такой подход, если Евдокс действительно придерживался его, обеспечил ему почетное место основателя традиции, установившейся в древней, средневековой и современной астрономии, – видеть в геометрических моделях движений небесных тел не более чем удобные математические фикции.

Насколько хорошо теория Евдокса отражала наблюдаемые движения небесных тел? Труды самого Евдокса утеряны, и его схема известна нам только в пересказах древних комментаторов, главным образом Аристотеля. Считается, что та или иная комбинация сфер позволяла воспроизводить с достаточной точностью движения всех планет, за исключением Венеры и Марса. Что же касается последних, то здесь система Евдокса «не срабатывала». В рамках ее, несмотря на все ухищрения, не удавалось воспроизвести одну из наиболее поразительных особенностей движения планет – так называемые попятные движения. Однако в античности неприятию гомоцентрических сфер Евдокса в гораздо большей степени способствовало другое обстоятельство. По мнению противников его теории, предположение Евдокса о том, что небесные тела неизменно находятся на одном и том же расстоянии от Земли, не позволяло объяснить изменения в их яркости или видимых размерах, легко обнаруживаемые даже невооруженным глазом. Сам Евдокс видел эти трудности, но считал возможным игнорировать их. Не подлежит сомнению, что Евдокс и его современники отчетливо сознавали наибольшую опасность: отказ от этой теории гомоцентрических сфер мог лишить Землю статуса центра мироздания, а при мысли о столь ужасном исходе нельзя было не содрогнуться.

Хоть пифагорейцы, стоики, эпикурейцы, Платон и Аристотель утверждали, что теории мироздания еще не стали предметом науки, отдельные выдающиеся личности уже в ту далекую эпоху высказывали и развивали идеи, которые впоследствии превратили космологию в теорию, доступную только тем, кто владеет колдовским языком математики. В середине IV в. до н.э. ученик Платона Гераклид, прозванный Понтийским по месту его рождения, выдвинул две гипотезы поистине революционного (по тем временам) характера. Гераклид утверждал, что видимое суточное вращение небосвода не более чем иллюзия. В действительности движется Земля, совершая один оборот вокруг своей оси за двадцать четыре часа. Такое умозаключение звучало дерзко, ибо, подобно большинству величайших прозрений, оно как бы бросало вызов здравому смыслу и чувственному опыту. В действительности мысль о суточном вращении Земли высказал двумя столетиями раньше Гераклида Понтийского малоизвестный философ-пифагореец Гикет. Насколько можно судить, мысль о вращении Земли никогда не умирала окончательно. Люди сознавали, что их наблюдения одинаково хорошо согласуются с любой из двух возможностей: вращением небосвода и вращением Земли. Почему же Гераклид предпочел говорить о суточном вращении Земли? Возможно, разделяя общую уверенность в огромных размерах мироздания по сравнению с размерами Земли, он решил, что легче привести во вращение крохотный земной шар, чем необъятные просторы его космического окружения. Но, несмотря на заключенное в ней рациональное зерно, новая идея не получила немедленного или сколько-нибудь широкого признания.

Еще более далеко идущие последствия влекло за собой второе из нововведений Гераклида, ибо оно затрагивало самое уязвимое место в космологии той эпохи. Как мы уже знаем, предложенная Евдоксом система концентрических сфер была не в состоянии объяснить наблюдаемые изменения в размерах или яркости небесных тел. Но, несмотря на столь явный недостаток, теория Евдокса в течение некоторого времени находила сторонников, ревностно отстаивавших ее.

Однако до Гераклида Понтайского никто не мог предложить разумной альтернативы теории Евдокса. По-видимому, постоянная близость Венеры и Меркурия к Солнцу навела Гераклида на мысль, что эти две планеты обращаются по круговым орбитам, в центре которых находится Солнце. Гераклид полагал, что если такое «гелиоцентрическое» движение накладывается на движение самого Солнца вокруг Земли, то расстояния, отделяющие нас от Венеры и Меркурия, должны меняться, а это в свою очередь повлечет за собой те самые изменения в яркости светил, которые бессильна объяснить теория Евдокса. Новая гипотеза оказала мощное и прочное влияние на последующее развитие астрономии. В чисто математическом плане Гераклид впервые за всю историю умозрительной космологии предложил идею «эпицикла» – окружности, центр которой движется по другой окружности. Этой идее Гераклида была суждена славная и долгая история. Первоначально теория Гераклида распространялась лишь на две из пяти известных тогда планет, и сам Гераклид, по-видимому, не пытался устранить это ограничение. Но мысль о Солнце как о центре движения небесных тел явилась еще одной вехой на длительном пути, приведшем к эрозии представлений об избранном положении Земли, которое отвели ей человеческая наивность и гордыня.

Интерес к количественному знанию и склонность к накоплению этого знания возникли и во второй эллинский период, когда центр цивилизации переместился в Александрию. Для нашего повествования не имеют особого значения те изменения в характере древнегреческой цивилизации, которые происходили в ее александрийский период. Важно другое: в Александрии греки вступили в тесный контакт с египтянами и вавилонянами, благодаря чему им стали более доступны неисчерпаемые сокровища астрономических наблюдений, накопленных в Древнем Египте и Вавилоне на протяжении нескольких тысячелетий. Не менее существенно и то, что правившие Египтом наследники Александра Македонского построили «храм науки», получивший название «Мусейон», или «Музей», и щедрой рукой отпускали средства на развитие знаменитой Александрийской библиотеки. Правители Египта субсидировали изготовление усовершенствованных угломерных инструментов, что позволило более точно измерять углы, под которыми небесные светила видны из различных точек Земли.

В александрийский период изучению географии и астрономии посвятили себя Эратосфен, Аполлоний, Аристарх, Гиппарх, Птолемей и десятки других светил эллинской науки. Все это способствовало тому, что александрийцы создали астрономическую теорию, которая на протяжении пятнадцати столетий оставалась непревзойденной.

Особое место среди достижений астрономов александрийского периода занимает гелиоцентрическая гипотеза, выдвинутая Аристархом. О жизни Аристарха Самосского (около 310-230 до н.э.) сохранились весьма скудные сведения. До нас дошли только его сочинения – единственные незыблемые факты его биографии. Широкая известность гелиоцентрической гипотезы Аристарха затмила другие его достижения, имеющие непреходящее значение. В начале своей деятельности молодой астроном предпринял попытку вычислить размеры небесных тел и расстояния до них. Хотя звезды и планеты были слишком малы и далеки, чтобы осуществить надежные измерения, накопленные наблюдательные данные и быстрое развитие математической науки позволили Аристарху по крайней мере приближенно оценить размеры Солнца и Луны, а также расстояния до них.

Вычисления Аристарха приведены только в одном из дошедших до нас его сочинений, но, к счастью, удалось проследить за ходом его рассуждений во всех подробностях. С современной точки зрения сочинение Аристарха Самосского «О размерах и расстояниях Солнца и Луны» представляет собой несложное упражнение по геометрии. Не следует забывать, однако, что во времена Аристарха еще не существовало тригонометрии и он намеревался установить верхние и нижние пределы для размеров Солнца и Луны, а также расстояний до них, а не вычислить точные значения этих параметров. Основным оружием Аристарха был великолепный труд Евклида – «Начала», написанные несколькими десятилетиями ранее (примерно в 300 до н.э.). Аристарх воспринял достижения Евклида в геометрии и пошел дальше. Остроумно используя новые математические результаты, Аристарх сформулировал в своем сочинении три основные вывода, касающиеся расстояний от Земли до Солнца и Луны и относительных размеров этих трех тел.

Если о значении работы Аристарха судить только по тому, насколько верны его оценки расстояний и размеров по сравнению с измеренными ныне, то нельзя не признать, что полученные им результаты содержат грубые ошибки. Но причиной значительных расхождений с истинными (или по крайней мере значительно более точными) значениями были, не ошибки в вычислениях Аристарха, а низкая точность наблюдений, которую обеспечивали примитивные инструменты того времени. Разумеется, с позиций современной математики предпринятая Аристархом дерзкая попытка «измерить небеса» с помощью немногих теорем Евклида может показаться жалкой. Но Аристарх сделал первый шаг в том направлении, которое впоследствии стало основным в развитии астрономии. Поставив вопросы «На каком расстоянии?» и «Какого размера?», Аристарх впервые предпринял попытку сокрушить два главных препятствия на пути построения человеком реалистической картины мира.

В единственном дошедшем до нас сочинении Аристарха нет ни единого слова о том, что Земля обращается вокруг Солнца. Однако знаменитый отрывок из сочинения Архимеда (бывшего на двадцать пять лет младше Аристарха) «Псаммит» не оставляет сомнений в том, что такая гипотеза была высказана Аристархом.

«Аристарх Самосский написал сочинение, содержащее ряд [новых] допущений… Он принимает, что неподвижные звезды и Солнце остаются неподвижными, а Земля движется вокруг Солнца по окружности круга, в центре которого лежит Солнце…

([9], с. 57.)

Мы не можем с уверенностью сказать, какими мотивами руководствовался Аристарх Самосский, выдвигая идею гелиоцентрической системы. Наводящую мысль он мог почерпнуть у Гераклида Понтийского, учившего, что Венера и Меркурий движутся по орбитам, в центре которых находится Солнце. Собственные оценки размеров Солнца и Луны и расстояний до них в сочетании с интуитивно постигаемыми принципами динамики могли убедить Аристарха в том, что обращение меньшего по размерам тела (Земли) вокруг большего (Солнца) физически разумнее, чем обратная картина. Аристарх Самосский мог рассматривать гелиоцентризм как привлекательную гипотезу, достойную того, чтобы извлечь из нее математические следствия. Как бы то ни было, гипотеза о Земле, обращающейся вокруг Солнца, оказалась слишком смелой для того времени и не получила особой поддержки. Кроме того, обитатели Земли не ощущали ни ее суточного вращения, ни ее годичного обращения, и их уверенность в том, что именно Земля является естественным центром мира, противодействовала признанию гелиоцентрической схемы Аристарха Самосского.

Вскоре после предпринятой Аристархом смелой попытки оценить размеры небесных тел и расстояния до них другой блестящий ученый, работавший в рамках той же традиции, но обративший свои помыслы не столь высоко, как Аристарх, оценил размеры объекта, который никому не удавалось созерцать целиком, – Земли.

Эратосфен родился примерно в 276 г. до н.э. в Кирене (Северная Африка). Не довольствуясь успехами в математике, астрономии и географии, он выступал также на поприще поэзии, истории, грамматики и литературной критики и был удостоен почетного прозвища «Бета» (по названию второй буквы греческого алфавита) за то, что во всех этих областях знания уступал лишь сильнейшим. Такая разносторонность интересов необычна даже для грека. Сведения, которыми мы располагаем ныне, позволяют утверждать, что в своей попытке измерить земной шар Эратосфен имел мало предшественников, причем их оценки были весьма грубы.

Эратосфен заметил, что в день летнего солнцестояния в Сиене (ныне Асуан) предметы не отбрасывают в полдень никакой тени, между тем как в Александрии стержень солнечных часов отбрасывает в полдень тень, длина которой составляет 1/50 окружности (рис. 19).

Рис. 19.

Предположив, что Александрия удалена от Сиены на расстоянии 5000 стадий (греческая единица длины, соответствие которой современным единицам длины точно не установлено), находясь на том же меридиане, и что солнечные лучи, падающие на Землю в Сиене и Александрии параллельны (идея, весьма нетривиальная для того времени), Эратосфен на основании простых геометрических соображений показал, что расстояние между Александрией и Сиеной, измеренное по поверхности земного шара, должно составлять 1/50 окружности Земли. Это означает, что длина самой окружности Земли составляет 250 000 стадий. В своих исходных предположениях Эратосфен допустил две ошибки: 1) Александрия и Сиена в действительности не лежат на одном меридиане; 2) расстояние между двумя городами Эратосфен оценивал по времени, за которое преодолевали расстояние от Александрии до Сиены царские гонцы. Сколь ни преходящим было значение полученного Эратосфеном результата, это первое успешное определение размеров Земли было важно прежде всего тем, что создавало прецедент и вселяло уверенность в осуществимость, казалось бы, немыслимой затеи. Человечество обретало еще одну «мерную линейку», с помощью которой оно могло надеяться распространить свои измерения до самых далеких звезд.

Количественные методы Аристарха и Эратосфена вскоре были настолько расширены и дополнены, что это привело к созданию количественной теории Солнечной системы. Разумеется, все модели небесных движений независимо от того, рассматривались ли они как чисто математические схемы или как отражения физической реальности, преследовали высшую цель – воспроизведение и предсказание траекторий, описываемых небесными телами. В различных усовершенствованиях и модификациях «математической астрономии», предложенных начиная с Евдокса и до мыслителей, к рассказу о которых мы сейчас перейдем, астрономы последующих поколений неизменно использовали те или иные идеи своих предшественников.

Вершиной и бесспорными достижениями греческой астрономии были труды Гиппарха (умер ок. 125 г. до н.э.) и Клавдия Птолемея (умер в 168 г. н.э.). Большую часть своей жизни Гиппарх провел в Родосе. В те времена (примерно в 150 г. до н.э.) Родос был одним из процветающих торговых и культурных центров Греции, соперничавшим с Александрией. Гиппарх хорошо знал о всех научных достижениях александрийцев. Он был знаком, например, с «Географией» Эратосфена и даже посвятил ей критический разбор. В распоряжении Гиппарха находились результаты более старых наблюдений вавилонских астрономов и наблюдений, произведенных в Александрии в период примерно 300-150 гг. до н.э. Разумеется, немало астрономических наблюдений провел и он сам.

Гиппарх сознавал, что схема Евдокса, в которой небесные тела прикреплены к сферам, вращающимся вокруг общего центра – центра Земли, не позволяет истолковать результаты многих его собственных наблюдений и наблюдений других греческих астрономов. Вместо гомоцентрических сфер Евдокса Гиппарх предположил, что планета  P(рис. 20) движется с постоянной скоростью по окружности (эпициклу), центр которой Qперемещается с постоянной скоростью по другой окружности, в центре которой находится Земля. Подбирая радиусы двух окружностей и скорости точек Pи Q,Гиппарху удалось дать точное описание движения многих планет. Движение планет в схеме, предложенной Гиппархом, напоминает движение Луны, каким его описывает современная астрономия. Луна обращается вокруг Земли, в то время как Земля обращается вокруг Солнца. В результате движение Луны воспроизводит движение планеты вокруг Земли в схеме Гиппарха.