Текст книги "Под знаком кванта"

Автор книги: Леонид Пономарев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 31 страниц)

Дуализм и неопределенность

ВОКРУГ КВАНТА

В пору становления квантовой механики даже хорошие физики с горечью шутили, что теперь им приходится по понедельникам, средам и пятницам представлять электрон частицей, а в остальные дни – волной. Нильс Бор с присущим ему юмором в 1924 г. говорил: «Даже если Эйнштейн пришлет мне телеграмму с сообщением об окончательном доказательстве реальности световых квантов, то и тогда она дойдет до меня только благодаря существованию радиоволн».

«Это в высшей степени парадоксально и способно привести в замешательство,– писал Дэвиссон в своей знаменитой статье 1928 г. с характерным названием «Существуют ли электронные волны?» – Мы должны поверить не только в то, что в определенном смысле кролики суть кошки, но также в то, что в неком смысле кошки суть кролики».

Такой способ мышления приводил к множеству парадоксов, от которых мы будем избавлены, если сразу же заставим себя не разделять в электроне свойства «волна – частица». Только после этого соотношение неопределенностей Гейзенберга перестанет быть чем-то странным и превратится в простое следствие корпускулярно-волнового дуализма.

В волновой оптике давно знали, что ни в какой микроскоп нельзя разглядеть частицу, если ее размеры меньше чем половина длины волны света, которым она освещена. В этом не видели ничего странного: волны света существуют сами по себе, частица – сама по себе. Но когда выяснилось, что частице тоже можно приписать длину волны, тогда это утверждение волновой оптики превратилось в соотношение неопределенностей: не может частица сама себя локализовать точнее, чем на половине длины своей волны.

Поэты и принцип дополнительности

Сам по себе принцип дополнительности, взятый вне физики,– изобретение древнее. По существу, он – довольно известная категория диалектической логики и в разных видах неоднократно высказывался различными философами во все времена. Аристотель говорил, например, что «гармония – это смешение и сочетание противоположностей», а за тысячу лет до него в Древнем Китае возникла философия Тао, целиком основанная на принципе дополнительности (ее символ «инь-янь» помещен вверху предыдущей страницы). Любопытно вспомнить, как принцип дополнительности переоткрыли для себя поэты. В 1901 г. Валерий Брюсов написал статью под названием «Истины», в которой мы читаем следующее: «Для мышления нужна множественность,– независимо от того, будет ли она дроблением я или предстанет как что-то внешнее. Мысль, и общее – жизнь, возникает из сопоставления по меньшей мере двух начал. Единое начало есть небытие, единство истины есть безмыслие. Не было бы пространства, не будь правого и левого; не было бы нравственности, не будь добра и зла...»

«В истине ценно лишь то, в чем можно сомневаться. «Солнце есть» – в этом нельзя сомневаться... Это истина, но в ней нет самостоятельной ценности. Она никому не нужна. За нее никто не пойдет на костер. Даже, говоря яснее, это не истина, а определение. «Солнце есть» – только особое выражение вместо: такой-то предмет я называю солнцем».

«Истина получает ценность, лишь когда становится частью возможного миросозерцания. Но в то же время она становится оспоримой, по крайней мере является возможным спорить о ней... Мало того, ценная истина непременно имеет прямо противоположную, соответствующую ей истину; иначе сказать – суждение, прямо противоположное истине, в свою очередь истинно...»

Уместно вспомнить здесь и Паскаля, который в свое время писал: «Все принципы пирронистов, стоиков, атеистов и т. д. истинны, но их заключения ложны, потому что и противоположные принципы тоже истинны».

Знаменательно, что многие из этих утверждений почти дословно предвосхищают формулировки Бора. Не все знают, что и Бор пришел к своему принципу дополнительности не «от физики», а «от философии». Идея дополнительности созрела в нем еще в юношеские годы под влиянием философии Кьеркегора. В дальнейшем она крепла и уточнялась, пока не нашла, наконец, достойного применения в квантовой физике.

ГЛАВА 10

Куй

Представьте себе, что где-то в поезде между Новосибирском и Красноярском вы познакомились с хорошим человеком. Теперь вообразите, что год спустя случайно встречаете его в Москве у кинотеатра «Россия». Как бы вы ни были рады встрече – прежде всего она вызовет у вас удивление: вы ведь знаете, насколько такое событие маловероятно.

Мы постоянно употребляем слова «вероятно», «вероятнее всего», «по всей вероятности», «невероятно», не отдавая себе отчета, насколько строго определены понятия, им соответствующие. В науке такое положение недопустимо, поэтому там понятие «вероятность» имеет смысл лишь в том случае, если мы можем ее вычислить.

Это не всегда просто. Например, предсказать вероятность возможной встречи с вашим случайным знакомым в гавани Сингапура довольно трудно: слишком сложны законы, управляющие действиями людей. Поэтому во всех учебниках с завидным постоянством объясняют законы случая на примере бросания монеты.

ИГРА В «ОРЕЛ – РЕШКУ» И СТРЕЛЬБА В ТИРЕ

Любое событие, вероятность которого можно вычислить, является одним из исходов некоторой серии испытаний.

Условимся: если какое-либо испытание имеет несколько исходов, то полная вероятность произойти хоть какому-то событию равна единице. Это условие ниоткуда не следует, но оно общепринято, и мы тоже не станем изменять традиции. Поэтому слова «событие произойдет с вероятностью единица» означают, что оно произойдет наверняка.

Отсюда ясно также, что вероятность какого-то одного исхода всегда меньше единицы. В примере с монетой каждое испытание – бросание монеты – имеет только два исхода:

она может упасть либо гербом вверх, либо гербом вниз. (Мы исключаем неправдоподобно редкие случаи, когда монета при падении останется стоять на ребре.) Если монета сделана без хитростей, то оба исхода бросания равновероятны. Отсюда просто заключить, что вероятность монете упасть гербом вверх равна 1/2. Столь же легко вычислить вероятность появления, скажем, 3 очков при бросании игральной кости: очевидно, она равна 1/6.

Число аналогичных примеров каждый легко умножит сам, но все они во многом похожи.

Во-первых, каждое последующее испытание (бросание кости или монеты) не зависит от предыдущего.

Во-вторых, результат каждого испытания есть случайное событие, то есть мы не знаем (или не можем учесть) всех причин, которые приводят к тому или иному исходу события.

Последнее особенно важно. В самом деле, монета – не атом и ее движение подчиняется хорошо известным законам классической механики. Используя их, мы можем заранее предвидеть все детали движения монеты и предсказать, как она упадет: гербом вверх или вниз. Мы можем даже нарисовать ее траекторию движения. Конечно, это очень трудно: нужно принять во внимание сопротивление воздуха, форму монеты, упругость пола, на который она упадет, и еще много других важных мелочей. И – самое главное – для этого необходимо точно задать начальное положение и скорость монеты.

Однако учесть все мыслимые причины, влияющие на исход испытания, не всегда возможно. Например, в случае с монетой мы никогда не знаем достаточно точно ее начального положения и скорости. А всякое, даже очень небольшое, их нарушение может изменить результат бросания на противоположный. И тогда уже нельзя быть уверенным, что при этом бросании монета упадет гербом вверх. Можно только сказать: при любом бросании вероятность появления герба равна 1/2.

Простые примеры, которые мы привели, не объясняют пока, почему так важно понятие вероятности в квантовой механике. Но прежде чем это станет ясным, познакомимся хотя бы бегло с основными законами теории вероятностей. Законы случая (несмотря на странное сочетание этих слов) такие же строгие, как и все другие законы математики. Однако они имеют некоторые непривычные особенности и вполне определенную область применимости. Например, легко можно проверить, что при большом числе бросаний герб выпа-

/67 дет примерно в половине случаев и закон этот выполняется тем точнее, чем больше испытаний мы проведем. Тем не менее это знание не поможет нам предсказать исход каждого отдельного бросания монеты. В этом и состоит главная особенность законов случая: понятие вероятности применимо к отдельному событию и мы можем вычислить заранее число, которое этому понятию соответствует. Однако измерить его можно только при многократном повторении однотипных испытаний.

Очень важно, чтобы испытания были действительно однотипными, то есть полностью неразличимыми, поскольку только тогда измеренное число-вероятность можно использовать для характеристики каждого отдельного случайного события, которое является одним из возможных исходов испытания.

Непривычные особенности законов случая имеют естественное объяснение. В самом деле, бросание монеты – очень непростой процесс. Мы не хотим или не умеем изучать его во всей сложности и стремимся узнать только конечный результат испытания. Такое пренебрежение к деталям процесса не проходит даром – теперь достоверно мы можем предсказать только усредненный результат многочисленных однотипных испытаний, а для каждого отдельного случайного события мы в состоянии указать лишь вероятный его исход.

Широко бытует заблуждение, что вероятностное описание движения менее полно, чем строго причинное, классическое, с его понятием траектории. С точки зрения классической механики это действительно так. Однако, если мы откажемся от части ее жестких требований (например, от знания начальных координат и импульсов частиц), тогда классическое описание становится сразу же бесполезным. На смену ему приходит вероятностное описание, и в новых условиях оно будет столь же исчерпывающим, поскольку сообщает нам все сведения о системе, которые можно узнать о ней с помощью опыта.

При игре в «орел – решку» мы намеренно не хотим знать начальные положение и скорость монеты и целиком полагаемся на волю случая. Наоборот, приходя в тир, мы всегда стремимся попасть в центр мишени. Но, несмотря на это – достаточно сильное – желание, мы никогда заранее не знаем, в какое место мишени попадет каждая из пуль. После стрельбы отверстия в мишени группируются в довольно правильный овал, который принято называть «эллипсом рассеяния». Его форма зависит от многих причин.

Для того чтобы все пули, вылетающие из винтовки, попадали всегда в одну и ту же точку мишени, необходимо им 168

всем в момент вылета иметь одни и те же начальные координаты Xq и скорости V0 (или импульсы Ро). А это возможно лишь в том случае, если вы целитесь безошибочно и, кроме того, заряд пороха во всех патронах в точности одинаков. Ни то, ни другое обычно не достижимо. Поэтому распределение отверстий от пуль на мишени всегда подчиняется законам случая, и можно говорить лишь о вероятности попадания в «десятку» или «девятку» мишени, но никогда нельзя быть уверенным в этом заранее.

Как и при игре в «орел – решку», эту вероятность можно измерить. Допустим, мы произвели 100 выстрелов и 40 раз попали в «десятку», 30 раз – в «девятку», 15 – в «восьмерку» и так далее – до нуля. Тогда вероятность попадания в «десятку», «девятку», «восьмерку» и т. д. соответственно

IFio = 4O/1OO = O,4,

№₉ = 0,3, 1^8 = 0,15 и т. д.

Можно даже построить диаграмму эллипса рассеяния, отложив по горизонтали числа 1, 2, 3, ..., а по вертикали – вероятности попадания в соответствующие им области мишени.

Если мы возьмем теперь точно такую же мишень и вновь 100 раз по ней выстрелим, то расположение отверстий на ней будет совсем другим, чем на первой мишени. Но число попаданий в «десятку», «девятку» и т. д. останется примерно тем же самым, а следовательно, и диаграмма эллипса рассеяния также останется без изменений. Конечно, для разных стрелков диаграммы различны: для опытного стрелка она уже, для неопытного – шире. Но для каждого отдельного стрелка она остается неизменной, так что опытный тренер по одному виду мишени может установить, кому из его учеников она принадлежит.

Даже на этом простом примере видно, что «законы случая» – не пустая игра слов. Конечно, каждая из пуль попадает в случайную точку мишени, которую нельзя предсказать заранее. Однако при большом числе выстрелов попадания образуют настолько закономерную картину, что мы воспринимаем ее как достоверную и совершенно забываем о вероятности, лежащей в ее основе.

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ

Простой пример со стрельбой напоминает опыты квантовой механики значительно больше, чем это может показаться на первый взгляд. Чтобы убедиться в этом, заменим ружье «электронной пушкой», мишень – фотопластинкой, а между ними поместим тонкую металлическую фольгу.

«Электронная пушка» – не шутка, а научный термин, который обозначает устройство для получения пучка электронов – примерно такое же, как в телевизионной трубке. Из этого пучка с помощью диафрагм мы можем выделить очень узкий луч, в котором все электроны движутся с одинаковой скоростью. Направим теперь его через металлическую фольгу на фотопластинку и затем проявим ее. Какое изображение мы увидим? Точку? Эллипс рассеяния, как при стрельбе в тире? Или что-нибудь еще? Ответ известен еще со времен опыта Дж. П. Томсона: на фотопластинке мы увидим дифракционные кольца. Теперь можно понять и причину их появления.

В самом деле, электрон – не только частица, но также и волна. И если до сих пор мы еще не привыкли к этому факту, то, во всяком случае, должны были его запомнить. Поэтому сама по себе дифракция электронов не должна нас особенно удивлять: явление дифракции возникает всегда, если через вещество проходит волна, длина которой сравнима с расстоянием между атомами. Вопрос в другом. Волна чего проходит вместе с электроном через фольгу?

По морю гуляют морские волны – они состоят из воды. Космос пронизывают электромагнитные волны – они представляют собой колебания электрического и магнитного полей. Но из чего состоит волна электрона, если сам он неделим и не имеет внутренней структуры?

Прежде чем ответить на эти вопросы, поставим мысленно опыт с пучком электронов немного по-другому. Станем выпускать электроны по одному (как пули из винтовки) и каждый раз менять фотопластинку за фольгой. После проявления всех фотопластинок на каждой из них обнаружится точка – след от упавшего электрон^. (Уже один этот факт, если бы не было других доказательств, мог бы убедить в том, что электрон – все-таки частица.) На первый взгляд черные точки на пластинках расположены совершенно беспорядочно, и, конечно, ни одна из них ничем не напоминает дифракционную картину. Но если мы сложим все пластинки в одну стопку и посмотрим ее на просвет, то с удивлением обнаружим все те же дифракционные кольца. Стало быть, черные следы от

iro

электронов разбросаны на пластинках не так уж беспорядочно, как это может показаться вначале.

Конечно, вовсе не обязательно для каждого электрона брать отдельную пластинку, вполне достаточно одной пла

Этот простой по идее опыт прост настолько, что может даже обидеть некоторых читателей своей тривиальностью. Не случайно, что он был поставлен лишь в 1949 г.: до такой степени физики не сомневались в его исходе, хотя и признавали его желательность и убедительность. (Этот опыт, технически довольно сложный, поставил советский ученый Валентин Александрович Фабрикант.) стинки-мишени, только по-прежнему надо пускать электроны-пули поодиночке. Как и прежде, мы не можем заранее предсказать, в какую точку пластинки попадет каждый следующий электрон. Это – случайное событие. Однако если мы выпустим достаточно много электронов, то получим закономерную дифракционную картину.

С такими явлениями мы уже сталкивались при игре в «орел – решку», при бросании кости, при стрельбе в тире. Эта аналогия приводит к естественному предположению: процесс рассеяния электронов подчиняется законам теории вероятностей. При дальнейшем размышлении и после знакомства с идеями Макса Борна эта догадка сменяется уверенностью.

ВОЛНЫ ВЕРОЯТНОСТИ

Макс Борн (1882—1970) преподавал физику в признанном центре немецкой науки – Гёттингене. Он пристально следил за развитием теории атома и был одним из первых, кто придал квантовым идеям Гейзенберга строгую математическую форму. В середине 1926 г. он заинтересовался опытами по дифракции электронов. Само по себе это явление после работы де Бройля уже не казалось ему удивительным: взглянув на дифракционную картину, он мог теперь объяснить ее появление с помощью гипотезы о «волнах материи»

и даже вычислить их длину. Однако по-прежнему не удавалось объяснить, что следует понимать под словами «волны материи». Пульсацию электрона-шарика? Колебания какого-то эфира? Или вибрацию чего-либо еще более гипотетического? То есть насколько материальны сами «волны материи»?

Летом 1926 г. Макс Борн пришел к следующему выводу: «волны материи» – это «волны вероятности». Они характеризуют движение отдельного электрона и в частности вероятность его попадания в определенную точку фотопластинки.

Всякая новая и глубокая идея не имеет логических оснований, хотя нестрогие аналогии, которые к ней привели, можно проследить почти всегда. Поэтому вместо того, чтобы логически доказывать правоту Борна (это невозможно), попытаемся почувствовать естественность его гипотезы. Обратимся снова к игре в «орел – решку» и вспомним причины, которые вынудили нас тогда применить теорию вероятностей. Их три:

независимость каждого последующего бросания монеты от предыдущего;

полная неразличимость отдельных бросаний; случайность исхода любого отдельного бросания, которая проистекает от полного незнания начальных условий каждого опыта, то есть от неопределенности начальных координаты и импульса монеты.

Все три условия выполняются в атомных явлениях, и в частности в опытах по рассеянию электронов. В самом деле:

электрон как частица должен рассеиваться независимо от других;

электроны так бедны свойствами (заряд, масса, спин – и это все), что в квантовой механике они неразличимы, а вместе с тем неразличимы и отдельные акты рассеяния;

и, наконец, главное: точные значения координат и импульсов электронов нельзя задать в принципе, поскольку это запрещено соотношением неопределенностей Гейзенберга.

В таких условиях бессмысленно искать траекторию каждого электрона. Вместо этого мы должны научиться вычислять вероятность р(х) попадания электронов в определенное

место х фотопластинки (или, как принято говорить в физике, вычислить функцию распределения р(х)).

При игре в «орел – решку» это очень просто: даже без вычислений ясно, что вероятность выпадания «орла» равна 1 /2. В квантовой механике дело немного осложняется. Чтобы вычислить функцию р(х), описывающую распределение электронов на фотопластинке, необходимо решить уравнение Шрёдингера.

Макс Борн утверждал: вероятность р(х) найти электрон в точке х равна квадрату волновой функции ф(х): p(x)=|t|>(x)|².

График функции р(х) выглядит сложнее, чем диаграмма эллипса рассеяния при стрельбе в тире. Но если вид эллипса нам предсказать не под силу, то функцию р(х) мы можем вычислить заранее. Ее вид однозначно определяется законами квантовой механики; несмотря на свою необычность, они все-таки существуют, чего нельзя сказать с уверенностью о законах поведения человека, от которого зависит эллипс рассеяния.

ЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНЫ

Когда мы стоим на берегу моря, то у нас не возникает сомнений, что на берег набегают волны, а не что-либо иное. И нас не удивляет тот достоверный факт, что все они состоят из огромного числа частиц-молекул.

Волны вероятности – такая же реальность, как и морские волны. И нас не должно смущать то обстоятельство, что они построены из большого числа отдельных независимых и случайных событий.

Морской воде присущи и свойства волн, и свойства частиц одновременно. Это нам кажется естественным. И если мы удивлены, обнаружив такие же свойства у вероятности, то наше недоумение по крайней мере нелогично.

Когда дует ветер, то в море из беспорядочного скопления отдельных молекул возникают правильные ряды волн. Точно так же, когда мы рассеиваем пучок электронов, то отдельные случайные события – следы электронов – закономерно группируются в единую волну вероятности, описывающую распределение этих следов.

Чтобы убедиться в реальности морских волн, необязательно попадать в кораблекрушение,– достаточно взглянуть на море. Чтобы обнаружить волны вероятности, нужны

173

специальные приборы и тщательные опыты. Конечно, эти опыты сложнее, чем простой взгляд с прибрежного утеса к горизонту, но ведь нельзя же только на этом основании отрицать само существование вероятностных волн. В таком случае впору усомниться в существовании вирусов, генов, атомов, электронов – короче, всех явлений, недоступных непосредственному восприятию.

Полистав толстые учебники гидродинамики, можно убедиться, что пути молекул, из которых состоит морская волна, ничем не напоминают волновых движений: они движутся по кругам и эллипсам вверх и вниз и вовсе не участвуют в поступательном движении волны. Они составляют волну, но не следуют за ее движением. Форму этой волны определяют законы гидродинамики.

Точно так же движение отдельных электронов в атоме вовсе не похоже на те колебания, которым мы уподобили их раньше. Но в целом ненаблюдаемые пути электронов принадлежат единому наблюдаемому ансамблю – волне вероятности. Форму этой волны диктуют законы квантовой механики.

Аналогии такого рода можно продолжать и дальше, но сейчас важнее понять другое: как теперь надо понимать слова «электрон – это волна»? Ведь если это не материальная волна, а волна вероятности, то ее даже нельзя обнаружить, проводя опыт с отдельным электроном.

Иногда волновой характер квантовомеханических явлений трактуют как результат некоего особого рода взаимодействия большого числа частиц между собой. Это объяснение мотивируют как раз тем, что волновые и статистические закономерности атомных явлений вообще нельзя обнаружить, если проводить опыты с отдельно взятой атомной частицей. Ошибка таких рассуждений объясняется элементарным непониманием природы вероятностных законов: вычислить волновую функцию ф(х) и распределение вероятностей р(х) можно для отдельной частицы. Но измерить распределение р(х) можно только при многократном повторении однотипных испытаний с одинаковыми частицами. (Сам Борн говорил об этом так: «Движение частиц следует законам вероятности, сама же вероятность распространяется в согласии с законами причинности».)

Все предыдущие примеры и рассуждения помогают нам понять, что представляет собой электрон вне атома и почему эта частица наделена также свойствами волны. Как же эти свойства – волны и частицы – можно совместить без логических противоречий внутри атома?