Текст книги "Истина и красота. Всемирная история симметрии."

Автор книги: Иэн Стюарт

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 26 страниц)

Аристотель и Платон сообщают о культе, центральной фигурой которого был Пифагор и который расцвел около 550 года до Р.Х. Согласно верованиям адептов этого культа, математика, в особенности числа, есть основа всего творения. Пифагорейцы развили мистические взгляды на гармонию вселенной, основанные отчасти на том открытии, что гармония нот на струнном инструменте связана с простыми математическими закономерностями. Если струна звучит на определенной ноте, то струна вполовину короче звучит на октаву выше, что дает наиболее гармоничный из всех интервалов. Они исследовали различные числовые закономерности, в частности «многоугольные» числа, возникающие, когда объекты выстраиваются так, чтобы образовать многоугольники. Например, «треугольные числа» 1, 3, 6 и 10 возникают из треугольников, а «квадратные числа» 1, 4, 9 и 16 – из квадратов.

Треугольные и квадратные числа.

Пифагореизм включал в себя не лишенную определенных странностей нумерологию – например, число 2 рассматривалось как мужское, а 3 как женское, – но тот взгляд, что глубинная структура природы имеет математический характер, и сегодня лежит в основе большей части теоретического знания. Хотя поздняя греческая геометрия была менее мистической, греки в целом воспринимали математику как самоцель – скорее как ветвь философии, нежели как инструмент.

Есть причины полагать, однако, что этим не все сказано. Твердо установлено, что Архимед, который мог бы быть учеником Эвклида, использовал свои математические способности для создания мощных машин и военных механизмов. Сохранилось очень немного замысловатых греческих устройств, изобретательный замысел и точность исполнения которых указывают на поддерживаемую в полной мере традицию высокого мастерства – античный вариант «прикладной математики». Самый, возможно, известный пример – это механизм, найденный на морском дне вблизи островка Антикитера: по-видимому, он представляет собой устройство для расчета движения небесных тел, выполненное в виде шестеренок, сложным образом сцепленных друг с другом.

Эвклидовы «Начала», без сомнения, укладываются в это утонченное представление о греческой математике – потому, возможно, что это представление в значительной мере и основано на «Началах». Основной акцент в книге делается на логику доказательства, при этом нет ни намека на возможность их практического применения. Но самое важное для нашего рассказа свойство «Начал» не в том, что там говорится, а в том, чего там нет.

Эвклид осуществил два великих нововведения. Первое – это концепция доказательства. Эвклид отказывается принимать какое бы то ни было математическое утверждение как истинное, пока оно не установлено с помощью последовательности логических шагов, которые позволяют вывести данное утверждение из того, что уже известно. Второе нововведение – это осознание того факта, что процесс доказательства должен иметь начало и что эти исходные утверждения доказать нельзя. Таким образом, Эвклид формулирует пять фундаментальных предположений, на которых основываются все его дальнейшие построения. Четыре из них просты и непосредственны: две точки можно соединить прямой линией; любой конечный отрезок прямой можно продолжить; можно провести окружность с любым центром и любым радиусом; все прямые углы равны между собой.

Но пятый постулат – совсем другого рода. Он длинный и сложный, а утверждаемое в нем вовсе не столь самоочевидно. Его основное следствие состоит в существовании параллельных прямых – таких, которые никогда не пересекаются, но продолжаются без ограничения в одном и том же направлении, при этом всегда находясь на одном и том же расстоянии друг от друга, как два тротуара по сторонам бесконечно длинной, идеально прямой дороги. В действительности Эвклид формулирует требование, чтобы при пересечении двух линий третьей первые две пересекались с той стороны, где два образованных угла дают в сумме величину, меньшую двух прямых углов. Оказывается, что это предположение логически эквивалентно существованию в точности одной линии, параллельной заданной линии и проходящей через заданную точку вне этой линии.

Пятый постулат Эвклида.

В течение столетий пятый постулат рассматривался как позорное пятно – как нечто такое, что следует устранить путем вывода его из четырех других или же заменой его на нечто более простое и столь же самоочевидное, как и остальные постулаты. К девятнадцатому столетию математики поняли, что Эвклид был абсолютно прав, когда включил в свои предположения пятый постулат: им удалось доказать, что его нельзя вывести из остальных.

Для Эвклида логические доказательства составляли существенное свойство геометрии, и доказательство поныне остается фундаментом всей математики. Утверждение, у которого нет доказательства, воспринимается с подозрением вне зависимости от того, сколь много конкретных свидетельств говорит в его пользу и сколь важными могут оказаться его следствия. Физики, инженеры и астрономы, напротив, нередко относятся к доказательствам с пренебрежением – как к некоторому педантичному довеску, поскольку у них есть для него эффективная замена – наблюдение.

В качестве примера представим себе астронома, который пытается вычислить движение Луны. Он запишет математические уравнения, определяющие движение Луны, и тут же застрянет, поскольку не видно никакого способа решить эти уравнения точно. Тогда наш астроном может слегка схитрить, вводя в свои уравнения различные упрощающие приближения. Математика будет волновать вопрос, могут ли эти приближения серьезно повлиять на ответ, и он будет стремиться доказать, что с ними все в порядке. У астронома же есть иной способ проверить осмысленность своих действий. Он может посмотреть, действительно ли движение Луны таково, как следует из его вычислений. Если да, то этим одновременно обосновывается метод (поскольку получается правильный ответ) и проверяется теория (по той же причине). Замкнутого логического круга здесь нет, потому что если метод математически некорректен, то почти наверняка он не позволит правильно предсказать движение Луны [6]6
  Действительно, Луна близка и хорошо видна. Ситуация приобретает несколько большую остроту в том, например, случае, когда астроном сумел сделать лишь небольшое число наблюдений над каким-либо телом и исходя из них хочет узнать характер его дальнейшего движения. (Примеч. перев.)


[Закрыть].

Без доступа к роскоши наблюдений или экспериментов математикам приходится проверять свою работу, исходя из ее внутренней логики. Чем важнее следствия из некоторого утверждения, тем важнее убедиться, что это утверждение истинно. Так что доказательство становится даже еще важнее, когда всем хочется, чтобы данное утверждение было верным, или когда из его истинности будет вытекать огромный объем следствий.

Доказательства не могут висеть в воздухе, и их нельзя до бесконечности возводить к другим, логически им предшествующим. Где-то у них должно быть начало, и начало это по определению состоит из вещей, которые не доказываются и никогда не будут доказываться. Сегодня мы называем эти недоказываемые исходные предположения аксиомами. Для математической теории аксиомы представляют собой правила игры.

Всякий, кто возражает против аксиом, может при желании их изменить; однако результатом таких действий будет совсем другая история. Математика не утверждает, что некоторое утверждение истинно:она утверждает, что если принять ряд предположений, то данное утверждение должно быть их логическим следствием. Отсюда не следует, что аксиомы не подлежат изменениям. Математики могут обсуждать вопрос о том, предпочтительна ли данная система аксиом по сравнению с другими в отношении тех или иных целей, или же вопрос о том, представляет ли данная система какой-нибудь интерес сама по себе. Но эти дискуссии не касаются внутренней логики любой из выбранных систем аксиом и получаемых из них следствий. Они касаются лишь того, какие из этих систем заслуживают внимания, вызывают интерес или представляют собой хорошее развлечение.

Следствия из аксиом Эвклида – длинная, тщательно отобранная цепочка логических построений – простираются необычайно далеко. Например, он доказывает – применяя логику, которая в его дни считалась безукоризненной, – что, коль скоро вы принимаете его аксиомы, вы неизбежно должны заключить следующее.

• Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

• Существует бесконечно много простых чисел.

• Существуют иррациональные числа – такие, которые не выражаются в виде дроби. Примером является квадратный корень из двух.

• Имеется ровно пять правильных тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

• Любой угол можно точно разделить на две равные части, используя только циркуль и линейку.

• Можно построить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6 , 8, 10 и 12 сторонами, используя только циркуль и линейку.

Я выразил эти «теоремы», как называются любые обладающие доказательством математические утверждения, на современном языке. Язык Эвклида отличался довольно сильно: Эвклид не работал непосредственно с числами. Все, что мы интерпретируем как свойства чисел, формулируется у него в терминах длин, площадей и объемов.

Содержание «Начал» разбивается на две основные категории. Имеются теоремы, говорящие нам, что некое утверждение истинно. И имеются конструкции, говорящие нам, как что-либо можно сделать.

Типичная и заслуженно знаменитая теорема – это Предложение 47 Книги I «Начал», широко известное как теорема Пифагора. Она гласит, что самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике находится в определенной связи с двумя другими. Но без дополнительных усилий или интерпретации она не дает метода для достижения какой-либо цели.

Теорема Пифагора.

Конструкция, существенная для нашего рассказа, содержится в Предложении 9 из Книги I, где Эвклид решает задачу «бисекции» (деления пополам) углов. Эвклидов метод деления угла пополам прост, но остроумен, с учетом ограниченных возможностей, доступных на той ранней стадии развития. Если задан угол (1), образованный двумя отрезками прямых, поместите циркуль в точку пересечения этих отрезков (2) и проведите окружность, которая пересечет отрезки в двух точках, по одной на каждом (черные точки). Теперь проведите (3) две окружности того же радиуса с центрами в полученных точках. Они пересекутся в двух точках (отмечена только одна из них), после чего через них проводится (4) искомая биссектриса (показана точками).

Как разделить угол пополам циркулем и линейкой.

Повторяя это построение, можно разделить угол на четыре равные части, на восемь, на шестнадцать – число частей удваивается на каждом шаге, так что мы получаем степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее.

Как я уже говорил, в «Началах» основной аспект, имеющий отношение к нашему рассказу, состоит не в том, что там содержится, а в том, чего там нет. Эвклид не дал никаких методов для решения следующих задач.

• Деление угла точно на три равные части (трисекция угла).

• Построение правильного многоугольника с 7 сторонами.

• Построение отрезка, длина которого равна длине окружности заданного радиуса (выпрямление окружности).

• Построение квадрата, площадь которого равна площади круга заданного радиуса (квадратура круга).

• Построение куба, объем которого ровно вдвое больше объема заданного куба (удвоение куба).

Иногда говорится, что сами греки воспринимали эти упущения как недостатки в монументальном труде Эвклида и посвятили много сил их исправлению. Историки математики нашли очень мало свидетельств в поддержку этих утверждений. В действительности греки были в состоянии решить все перечисленные выше задачи, но для этого им приходилось использовать методы, находившиеся за пределами установленных Эвклидом рамок. Все эвклидовы построения выполнялись циркулем и линейкой без делений. Греческие геометры могли бы выполнить трисекцию угла, используя специальные кривые, называемые коническими сечениями; они могли бы квадрировать круг, используя другую специальную кривую, называемую квадратрисой. С другой стороны, они, кажется, не понимали, что если можно выполнить трисекцию угла, то можно построить и правильный семиугольник (да, я имею в виду именносемиугольник; девятиугольник построить несложно, а вот для семиугольника потребуется очень хитрое построение). На самом деле они, похоже, вообще не изучали следствий, вытекающих из трисекции угла. Душа их, по-видимому, не лежала к таким исследованиям.

Позднейшие математики воспринимали то, что было опущено у Эвклида, в ином свете. Вместо поисков новых средств для решения этих задач они озаботились вопросом о том, чего можно достичь, используя ограниченные средства, выбранные Эвклидом, – циркуль и линейку (причем без всякого жульничества с нанесенными на нее делениями: греки знали, что «прием вставки» [7]7
  Нулевое деление линейки скользит по заданной кривой, при этом линейка все время проходит через выделенную точку вне кривой. Имеется вторая кривая, и при каждом положении линейки фиксируется то деление на ней, на котором ее пересекает эта вторая кривая. При том положении линейки, когда отмеренная таким образом длина оказывается равной некоторой заданной, по линейке проводится прямая. (Примеч. перев.)


[Закрыть]со скользящей линейкой с делениями позволяет эффективно и точно разделить угол на три части; один такой метод был изобретен Архимедом). Нахождение того, что можно сделать, а чего нельзя, а также доказательство этого заняли долгое время. К концу 1800-х годов стало окончательно ясно, что ни одну из приведенных выше задач нельзя решить, используя только циркуль и линейку.

Трисекция угла Архимедом.

Это был замечательный шаг вперед. Вместо того чтобы доказывать, что какой-то конкретный метод позволяет решить конкретную задачу, математики научились доказывать противоположное, причем в очень сильной форме: никакой метод из такого-то класса не способен решить такую-то задачу. Математики начали постигать внутренние ограничения, присущие их предмету. Здесь особенно зачаровывает дополнительный штрих, состоящий в том, что, даже утверждая наличие подобных ограничений, математики смогли доказать, что это в самом деленастоящие ограничения.

В надежде избежать неправильного понимания я хочу отметить ряд важных аспектов задачи о трисекции угла.

Требуется точноепостроение. Это очень жесткое условие в рамках идеализированной греческой формулировки геометрии, где линии считаются бесконечно тонкими, а точки – имеющими нулевой размер. Требуется разделить угол на три совершенно равные части. Равные не с точностью во столько-то десятичных знаков, будь то сотня или миллиард, – построение должно иметь бесконечнуюточность. В том же духе, правда, нам разрешается с бесконечной точностью помещать циркуль в любую точку, которая нам задана или которая возникла в процессе построения; раствор циркуля можно с бесконечной точностью задавать равным расстоянию между любыми двумя такими точками; кроме того, можно проводить прямую линию, проходящую точно через любые две такие точки.

В нашей менее совершенной реальности все не так. Так бесполезна ли геометрия Эвклида в нашем реальном мире? Нет. Например, если вы действуете так, как предписывает Эвклид в Предложении 9, имея реальный циркуль и реальный лист бумаги, то вы получите очень неплохую биссектрису. До появления компьютерной графики чертежники именно так и делили на чертежах угол на две части. Идеализация – не недостаток; она представляет собой основную причину, по которой математика вообще работает. В рамках идеализированной модели можно рассуждать логически, потому что точно известны свойства всех участвующих в ней объектов. Реальный мир с его элементами хаоса не таков.

Однако и идеализация имеет свои пределы, из-за которых модель может иногда стать непригодной. Бесконечно тонкие линии, например, не очень хороши в качестве разметки на дорогах [8]8
  Именно неидеальность линий требует специальных правил, оговаривающих «черту» в различных видах спорта. (Примеч. перев.)


[Закрыть]. Модель следует приспособить к соответствующему контексту. Модель Эвклида была приспособлена таким образом, чтобы облегчить вывод логических зависимостей между геометрическими утверждениями. В качестве бонуса она может быть полезна для понимания реального мира, хотя это ни в коей мере не занимало центрального места в рассуждениях Эвклида.

Следующее замечание связано с предыдущим, но идет в несколько ином направлении. Не составляет труда найти построения для приближенной трисекции углов. Если вам требуется точность в один процент или в одну тысячную процента, этого можно добиться. Когда ошибка составляет тысячную долю толщины линии, которую проводит ваш карандаш, она и в самом деле не слишком важна для технических чертежей. Математическая же задача ставится об идеальной трисекции. Можно ли произвольный угол точноразбить на три части? И ответ здесь – нет.

Иногда говорят, что «нельзя доказать отрицание». Математики знают, что такое утверждение – чушь. Более того, отрицание может обладать собственным очарованием, в особенности когда для доказательства невозможности чего-либо требуются новые методы. Такие методы часто оказываются более мощными и более интересными, чем положительные решения. Когда кто-то изобрел новый мощный метод, позволяющий характеризовать вещи, которые можно построить циркулем и линейкой, а также отделил их от тех, построить которые таким образом нельзя, возникает совершенно новый способ мышления. А за ним приходят новые идеи, новые задачи, новые решения – и новые математические теории и инструменты.

Нельзя использовать инструменты, которые нельзя построить. Вам не удастся позвонить другу по мобильному телефону, если мобильных телефонов не существует. Или съесть суфле из шпината, если никто не изобрел сельского хозяйства или не придумал, как пользоваться огнем. Так что создание инструментов может оказаться не менее важным, чем решение задач.

Возможность деления углов на равные части тесно связана кое с чем более милым – с построением правильных многоугольников.

Многоугольник – это замкнутая фигура, образованная отрезками прямых линий. Треугольники, квадраты, прямоугольники, ромбы типа такого – все они многоугольники. Окружность не есть многоугольник, потому что ее «сторона» представляет собой кривую, а не некоторое число отрезков. Многоугольник называется правильным, если все его стороны имеют одну и ту же длину, а каждая пара соседних сторон пересекается под одним и тем же углом. На рисунке приведены правильные многоугольники с числом сторон 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

Правильные многоугольники.

Иногда пишут: 3-угольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник, 7-угольник и 8-угольник, – что выглядит не слишком красиво, но когда дело доходит до необходимости говорить о многоугольнике с 17 сторонами, такая запись, как «17-угольник», оказывается достаточно практичной. А что касается 65537-угольника (да, такие бывают!) – полагаю, вы уловили суть.

Эвклид и его предшественники должны были много размышлять над вопросом, какие из правильных многоугольников можно построить, поскольку Эвклид дает способы построения для многих из них. Вопрос этот оказался очень увлекательным и вовсе не простым. Греки знали, как построить правильные многоугольники со следующим числом сторон:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20.

Нам теперь известно, что их нельзяпостроить, когда число сторон равно

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19.

Как можно заметить, неучтенным в указанном интервале осталось только одно число – 17. История о 17-угольнике будет рассказана отдельно; она важна по причинам, выходящим за рамки чисто математических.

Когда речь идет о геометрии, нет никакой альтернативы рисованию на листе бумаги с использованием реального циркуля и настоящей линейки. Работа с ними позволяет ощутить единство всего этого предмета. Я хочу показать вам мою любимую конструкцию – построение правильного шестиугольника. Я почерпнул ее из книги, которую в конце 1950-х годов дал мне мой дядя, – книга называлась Man Must Measure(«Человек должен измерять») и была совершенно замечательной.

Фиксируем раз и навсегда раствор циркуля, так что все наши окружности будут одного же размера. (1) Начертим окружность. (2) Выберем точку на ней и проведем окружность с центром в этой точке. Она пересекает исходную окружность в двух новых точках, (3) Проведем окружности с центрами в этих точках и получим два новых пересечения. (4) Проведем окружности с центрами в этих точках; обе они пройдут через одну и ту же новую точку пересечения. Полученные шесть точек можно теперь соединить в правильный шестиугольник. Из эстетических соображений приятно (но математически не обязательно) дополнить картину. (5) Проведем окружность с центром в шестой точке. Тогда шесть окружностей пересекутся в центре исходной, образуя нечто вроде цветка.

Как построить правильный шестиугольник.

Эвклид использовал очень похожий метод – более простой, хотя и не такой симпатичный – и доказал, что он работает. Его можно найти в Предложении 15 Книги IV.

Глава 3
Персидский поэт

Встань! Бросил камень в чашу тьмы Восток!

В путь, караваны звезд! Мрак изнемог…

И ловит башню гордую султана

Охотник-Солнце в огненный силок.

Для большинства из нас имя Омара Хайяма неразрывно связано с его исполненными иронии четверостишиями «Рубай», а конкретнее – с их изящным переводом на английский, сделанным Эдвардом Фитцджеральдом. Однако историки математики полагают, что у Хайяма есть еще больше оснований для притязаний на славу. Он занимает видное место среди персидских и арабских математиков, подобравших брошенный греками факел и продолживших развитие новой математики после того, как знание в Западной Европе погрузилось в темные века, а ученые доказательству теорем предпочли теологические споры.

К числу великих достижений Хайяма относится решение кубических уравнений, выполненное в рамках почтенных методов греческой геометрии. Его методы по необходимости вышли за рамки циркуля и линейки, которыми молчаливо ограничивалась геометрия Эвклида, поскольку эти средства просто не пригодны для решения данной задачи – обстоятельство, о котором греки сильно подозревали, но не могли доказать из-за отсутствия необходимого подхода, лежащего в сфере алгебры, а не геометрии. Впрочем, методы Хайяма выходят за рамки циркуля и линейки не слишком сильно. Он использовал специальные кривые, называемые «коническими сечениями» – по той причине, что их можно построить, пересекая конус плоскостью.

Народная мудрость, касающаяся правил написания научно-популярной литературы, гласит: каждая формула уменьшает продажи книги вдвое. Если так, то это очень плохая новость, потому что понять основные мотивы в данной книге никак не получится, не взглянув на несколько уравнений. Следующая глава, например, посвящена открытиям, сделанным математиками эпохи Возрождения, – открытиям формул для решения любого кубического уравнения или уравнения четвертой степени. Я могу обойтись без формулы для решения уравнений четвертой степени, но вот взглянуть на формулу для кубического уравнения нам так или иначе придется. В противном случае мы вынуждены будем ограничиться словами типа «умножаем некоторые числа на некоторые другие числа и к этому прибавляем некоторые третьи числа, а потом извлекаем квадратный корень, затем прибавляем другое число и из того, что получилось, извлекаем кубический корень; далее делаем то же самое снова, но со слегка другими числами; в конце концов складываем два результата. А, забыл! – иногда еще надо будет делить».

Некоторые авторы бросили вызов этой народной мудрости и даже написали книги проуравнения. Видимо, они следуют известному совету из области шоу-бизнеса: «Если у вас деревянная нога, помашите ею». Так вот, в некотором смысле эта книга – об уравнениях; но подобно тому, как можно написать книгу о горах, не требуя при этом, чтобы читатели взбирались на гору, также можно написать книгу об уравнениях, не требуя, чтобы читатели их решали. Тем не менее читатели книги о горах вряд ли поймут ее, если никогда не видели гор, так что для нас и в самом деле будет полезным взглянуть на специально отобранные уравнения.

Основное соглашение, которое я предлагаю заключить, тенденциозно перекошено в пользу читателя: ключевым словом будет «показать». Я хочу, чтобы вы посмотрелина уравнения. Ничего делатьс ними не требуется. По мере необходимости я буду разбирать уравнения на части и объяснять, какие их свойства существенны для нашего рассказа. Я никогда не буду просить вас решить уравнение или произвести с ним какие-либо вычисления. И я всерьез постараюсь избегать их появления – настолько, насколько это возможно.

На самом деле после знакомства с ними уравнения оказываются довольно дружелюбными созданиями – ясными, четкими, иногда даже прекрасными. Тайная истина об уравнениях состоит в том, что они представляют собой простой, ясный язык для описания целого ряда «рецептов» по вычислению разных вещей. Когда я буду в состоянии выразить такой рецепт словами или просто дать вам общее представление о том, что происходит, не вдаваясь в несущественные детали, я так и буду делать. В редких случаях, тем не менее, использование слов становится столь громоздким, что нам придется прибегнуть к символам и специальным обозначениям.

В этой книге имеются три важных типа обозначений, и два из них я упомяну прямо сейчас. Одно – это наш дружище x, то есть «неизвестное». Этот символ обозначает число, которое мы еще не знаем, но значение которого отчаянно пытаемся найти.

Обозначения второго типа – это числа, набранные более мелким шрифтом и слегка приподнятые над строкой – такие как ², ³или же ⁴. Они говорят, что некоторое другое число надо умножить само на себя указанное число раз. Так, 5 ³означает 5×5×5, что равно 125, а x ²означает x×x, где x– наш символ для неизвестного числа. Читаются они как «квадрат», «куб», «четвертая степень» и так далее, а все вместе они называются степенямисоответствующего числа.

Не имею ни малейшего понятия почему. Просто надо же их как-то называть.

Или вавилонский метод решения квадратных уравнений достался древним грекам по наследству, или же они его открыли заново. Герон, живший в Александрии где-то между 100 годом до и 100 годом от Р.Х., обсуждал типичные задачи «вавилонского» стиля, используя греческую терминологию. Около 100 года Никомах – вероятно, аравитянин из Иудеи – написал книгу под названием Introductio Arithmetica,в которой он отошел от греческой традиции представлять числа геометрическими величинами типа отрезков и площадей. Для Никомаха числа были самостоятельными величинами, а не длинами отрезков. Никомах был пифагорейцем, и это видно из его работы: он имеет дело только с целыми числами и их отношениями и не использует символьных обозначений. Его книга стала стандартным учебником по арифметике на последующее тысячелетие.

Символьные обозначения вошли в алгебру в работах греческого математика Диофанта примерно около 500 года [9]9
  О Диофанте пишет около 350 года от Р.Х. Феон Александрийский. Диофантова Arithmeticaпосвящена «достопочтеннейшему Дионисию», который может быть епископом Дионисием Александрийским (середина III века от Р.Х.). Диофант мог родиться между 200 и 214, а умереть между 284 и 298 годами. (Примеч. перев.)


[Закрыть]. Единственное, что мы знаем о Диофанте, – это возраст, в котором он умер, да и эти сведения дошли до нас способом, вызывающим сомнения в аутентичности. Греческий сборник задач по алгебре содержит одну следующего содержания: «Диофант провел шестую часть своей жизни мальчиком. Борода его стала расти спустя еще одну двенадцатую часть. Он женился одну седьмую спустя, а его сын родился через пять лет. Сын дожил до половины возраста своего отца, а отец умер через четыре года после сына. Сколько лет было Диофанту, когда он умер?»

Используя методы, подразумевавшиеся этим древним алгебраистом, или же способы более современные, можно вычислить, что ему должно было быть 84 года. Неплохой возраст, если, конечно, задача основана на реальных фактах, что, впрочем, не очевидно.

Это все, что мы знаем о его жизни. Но из позднейших списков и ссылок на них в других документах мы знаем довольно много о его книгах. Он написал одну книгу о многоугольных числах, и часть ее сохранилась. Она организована в эвклидовом стиле, теоремы доказываются на основе логических аргументов, и в целом математическое значение книги невелико. Намного важнее тринадцать книг написанной им Arithmetica.Шесть из них сохранились до наших дней благодаря сделанной в тринадцатом столетии греческой копии с более раннего экземпляра. Еще четыре могли всплыть благодаря рукописи, найденной в Иране, но не все исследователи сходятся в том, что она восходит к Диофанту.

Arithmeticaпредставлена как ряд задач. В предисловии Диофант сообщает, что написал ее в качестве задачника для своих учеников. Он использовал специальный символ для неизвестного, а также отдельные символы для его квадрата и куба; кажется, что это сокращения слов dynamis(мощь, сила) и kybos(куб). Обозначения структурированы не очень хорошо. Сложение у Диофанта записывается просто как размещение символов друг за другом (мы теперь делаем так для умножения), но он использует специальный символ для вычитания. Есть и символ для равенства, хотя он и мог быть введен позднейшим переписчиком.

В основном Arithmeticaпосвящена решению уравнений. В первой из сохранившихся книг обсуждаются линейные уравнения; в остальных пяти рассматриваются различные виды квадратных уравнений, часто для нескольких неизвестных, а также некоторые специальные кубические уравнения. Характерная особенность состоит в том, что ответы всегда являются целыми или рациональными числами. Сегодня мы называем уравнение диофантовым, если его решения ограничены целыми или рациональными числами. Вот типичный пример из Arithmetica:«Найти такие три числа, что их сумма, а также сумма любых двух из них является полным квадратом». Попробуйте решить – это вовсе не просто. Ответ Диофанта: 41, 80 и 320. Сумма всех трех равна 441 = 21 ². Попарные суммы равны 41 + 80 = 121 = 11 ², 41 + 320 = 361 = 19 ²и 80 + 320 = 400 = 20 ². Неплохо придумано.

В современной теории чисел диофантовы уравнения занимают центральное место. Знаменитый пример – «последняя теорема» Ферма, которая утверждает, что два полных куба (или две степени с более высоким показателем) в сумме не могут дать ту же степень. С квадратами такое делается совсем просто и восходит к Пифагору, например, 3 ² + 4 ² = 5 ²или 5 ² + 12 ² = 13 ². Но с кубами, четвертыми степенями, пятыми или любыми высшими степенями такое сделать не удается. Примерно в 1650 году Пьер де Ферма небрежно набросал эту гипотезу (без доказательства – несмотря на фигурирующее в названии его имя, он этой теоремы не доказал) на полях своего личного экземпляра Arithmetica. Понадобилось почти 350 лет, пока Эндрю Уайлс – специалист по теории чисел, родившийся в Британии, а ныне живущий в Америке, – доказал, что Ферма был прав.

Историческая традиция в математике иногда оказывается очень долгой.

Алгебра реально появилась на математической сцене в 830 году, когда основное действие переместилось из греческого мира в арабский. В тот год астроном Мохаммед ибн Муса аль-Хваризми написал книгу, озаглавленную «Аль-Джабр в'аль Мукабала»,что переводится примерно как «восстановление и упрощение» [10]10
  Или «сокращение и сравнение», или «восстановление и противопоставление». (Примеч. перев.)


[Закрыть]. Слова эти относятся к стандартным способам обращаться с уравнениями для приведения их к виду, удобному для решения. Из «аль-джабр» происходит современное слово «алгебра». Первый латинский перевод двенадцатого столетия появился под заглавием Ludus Algebrae et Almucgrabalaeque.