Текст книги "Истина и красота. Всемирная история симметрии."

Автор книги: Иэн Стюарт

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 26 страниц)

Работая землемером, Каспар изобрел способ представления геометрии на плоскости – в особенности линий и их направлений – в терминах комплексных чисел. В ретроспективе мы видим, что его идеи означали представление комплексных чисел в терминах геометрии на плоскости. В 1797 году он представил свою работу – первую и единственную свою научную статью по математике – Датской Королевской Академии.

Едва ли кто-нибудь из ведущих математиков читал по-датски, и работа влачила «непрочитанное существование», пока через 100 лет ее не перевели на французский. Тем временем французский математик Жан-Робер Арган независимо предложил ту же идею и опубликовал ее в 1806 году. В 1811 году та же мысль, что комплексные числа можно рассматривать как точки на плоскости, – снова независимо – пришла в голову Гауссу. Названия «диаграмма Аргана», «плоскость Весселя» и «Гауссова плоскость» стали входить в обиход. Представители различных наций склонялись к использованию различных способов выражения.

Завершающий шаг предпринял Гамильтон. В 1837 году, почти через триста лет после того, как из формул Кардано стала видна возможная польза от мнимых чисел, Гамильтон устранил геометрический элемент и свел комплексные числа к чистой алгебре. Его идея была проста; она неявно следовала из предложения Валлиса и в эквивалентной форме содержалась у Весселя, Аргана и Гаусса. Но никто из них не сделал ее явной.

Алгебраически, утверждал Гамильтон, точку на плоскости можно отождествить с парой вещественных чисел – ее координатами (x, y). Если посмотреть на диаграмму Валлиса (или Весселя, или Аргана, или Гаусса), то станет ясно, что xесть вещественная часть числа, а y– его мнимая часть. Комплексное число x + iy «на самом деле» есть лишь пара (x, y)вещественных чисел. Можно даже выписать правила для сложения и умножения таких пар, причем основной шаг состоит в наблюдении, что поскольку число iсоответствует паре (0, 1), произведение (0, 1)×(0, 1) должно равняться (−1, 0). По данному вопросу Гаусс также сообщает в письме к венгерскому геометру Вольфгангу Бойяи, что в точности та же мысль пришла ему в голову в 1831 году. Лис снова замел свои следы – причем опять никто ничего не заметил.

Задача решена. Комплексное число – это в точности пара вещественных чисел, оперировать которыми надо согласно списку простых правил. Поскольку пара вещественных чисел уже заведомо столь же «вещественна», сколь и одно вещественное число, вещественные и комплексные числа равным образом связаны с реальностью, а название «мнимые» только сбивает с толку.

Сегодняшние взгляды несколько отличаются от этого: сбивает с толку слово «вещественный». Как вещественные, так и мнимые числа равным образом представляют собой продукт человеческого воображения.

Реакцией на данное Гамильтоном решение задачи, стоявшей до этого в течение трех сотен лет, была полная тишина. Коль скоро математики уже включили понятие комплексных чисел в мощную последовательную теорию, страхи касательно существования комплексных чисел потеряли актуальность. Тем не менее использование пар чисел, как предлагал Гамильтон, оказалось очень важным. Хотя вопросу о комплексных числах перестал сопутствовать ажиотаж, идея о построении новых числовых систем из старых укоренилась в математическом сознании.

Комплексные числа оказались полезны не только в алгебре и основах анализа. Они позволили сформулировать мощный метод решения задач о потоке жидкости или тепла, о гравитации и звуке – почти в каждой области математической физики. Но у них было одно существенное ограничение: с их помощью эти задачи решались в двумерном пространстве, тогда как мы живем в трехмерном. Некоторые задачи, такие как задача о движениях мембраны барабана или о течении тонкого слоя жидкости, можно свести к размерности два, что совсем не так уж плохо. Но математиков все больше раздражало, что их методы, основанные на комплексных числах, не удавалось распространить с плоскости на трехмерное пространство.

Могли ли существовать еще не открытые расширения числовой системы на трехмерное пространство? Данная Гамильтоном формализация комплексных чисел как пары вещественных подсказывала подход к этой проблеме: постараться организовать числовую систему, основанную на тройкахчисел (x, y, z). Проблема состояла в том, что до тех пор никто не работал с алгеброй, образованной тройками чисел. Гамильтон решил попробовать.

Сложение троек не составляло проблемы: подсказка со стороны комплексных чисел состоит в том, что надо просто складывать соответствующие координаты. Такого типа арифметика, ныне известная как векторное сложение, подчиняется весьма симпатичным правилам, и имеется только один разумный способ ее реализации.

Настоящей проблемой было умножение. Уже для комплексных чисел умножение устроено вовсе не как сложение: пары вещественных чисел неумножаются друг на друга путем раздельного перемножения первых и вторых компонент. Если вы все же захотите определить умножение таким образом, то произойдет масса неприятных вещей – но, главное, две фатальные неприятности.

Первая состоит в том, что больше не будет квадратного корня из минус единицы.

Вторая же состоит в том, что можно будет взять умножение ненулевых чисел и получить нуль. Такие «делители нуля» превращают в ад все обычные алгебраические методы, например методы решения уравнений.

Для комплексных чисел подобные неприятности преодолеваются за счет выбора менее очевидного правила умножения в соответствии с рецептом Гамильтона. Но когда он попытался сделать нечто подобное для троек чисел, он испытал страшное потрясение. Несмотря на все свои усилия, он не мог избежать некоторых фатальных дефектов. Получить квадратный корень из минус единицы удавалось, но только ценой появления делителей нуля. Избавиться от делителей нуля представлялось решительно невозможным, что бы он ни делал.

Если вам кажется, что все это звучит несколько в духе попыток решить уравнение пятой степени, то кое-что вы ухватили правильно. Когда многие способные математики пытаются сделать нечто, но терпят неудачу, вполне может оказаться, что задача не имеет решения. Если и есть что-то главное, чему научила нас математика, то это факт, что многие задачи не имеют решений. Нельзя найти дробь, квадрат которой равен 2. Нельзя разделить угол на три части, используя циркуль и линейку. Нельзя решить уравнение пятой степени в радикалах. Математика имеет свои пределы. Быть может, невозможно построить трехмерную алгебру, обладающую всеми хорошими свойствами, которых мы от нее хотим.

Если вы всерьез задумали разобраться, действительно ли дело обстоит таким образом, перед вами открывается программа исследований. Сначала надо указать свойства, которыми ваша трехмерная алгебра должна обладать. Потом следует проанализировать следствия этих свойств. Если из этого извлечь достаточное количество информации, то можно искать некие свойства, которые должна иметь данная алгебра, если она действительно существует, и причины, по которым она может не существовать.

Так, по крайней мере, обстояло бы дело в наши дни. Подход Гамильтона был не столь систематическим. Он молчаливо предполагал, что его алгебра должна иметь «все» разумные свойства, а потом внезапно понял, что с одним из них, возможно, придется расстаться. Более важно то, что он осознал, что алгебры размерности три в колоде нет. Самое близкое, что получалось, – это четыре. Четверки, а не тройки чисел.

Добавим еще два слова по поводу этих ускользающих алгебраических правил. Когда математики выполняют алгебраические вычисления, они организуют свои символы систематическим образом. Вспомним, что исходное арабское название «аль-джабр» означает «восстановление» – действие, про которое теперь мы сказали бы «перенесите слагаемое в другую часть уравнения с другим знаком». Лишь в течение последних 150 лет математики озаботились составлением явных списков правил, стоящих за всякими подобными действиями, – списков, из которых все остальные хорошо известные правила получаются как логические следствия. Такой аксиоматический подход играет для алгебры роль, подобную той, которую Эвклид сыграл для геометрии, и математикам понадобилось всего две тысячи лет, чтобы овладеть этой идеей.

Чтобы было понятно, о чем мы говорим, можно сфокусироваться на трех из этих правил, которые все связаны с умножением. (Со сложением дело обстоит похожим образом, но проще; умножение – это как раз то место, где все начинает идти наперекосяк.) Дети, изучающие таблицу умножения, в конце концов замечают возможность сэкономить половину усилий. Не только трижды четыре дает двенадцать, но и четырежды три тоже. Если перемножить два числа, то результат не меняется от того, какое из чисел было взято первым. Этот факт называется законом коммутативности, и в символьной форме он говорит нам, что ab =  baдля любых чисел аи b. Это правило выполнено также в расширенной системе комплексах чисел. Это можно доказать, рассматривая формулы Гамильтона для умножения пар.

Тонким законом является закон ассоциативности, который гласит, что при перемножении трех чисел в одном и том же порядке не имеет значения, с какого умножения начать. Допустим, нам надо перемножить 2×3×5; можно начать с умножения 2×3, что дает 6, а далее умножить 6 на 5. Альтернативным образом можно сначала перемножить 3×5, что есть 15, а далее умножить 2 на 15. Оба способа действий приводят к одному и тому же результату – числу 30. Закон ассоциативности утверждает, что так происходит всегда; в символьной форме он говорит нам, что (ab)c = a(bc),где скобки показывают очередность, в которой надо выполнять умножение. Это свойство снова выполнено и для вещественных, и для комплексных чисел, и доказать это можно, используя формулы Гамильтона.

Последнее, очень полезное правило – назовем его законом деления, хотя в учебниках вы найдете его под именем «существование мультипликативного обратного» – утверждает, что всегда можно поделить любое число на любое ненулевое число. Имеются веские основания для запрета деления на нуль; основная причина состоит в том, что это действие редко бывает осмысленным.

Мы уже видели, что можно соорудить алгебру троек чисел, используя «очевидное» умножение. Эта система удовлетворяет законам коммутативности и ассоциативности. Но не закону деления.

Великий взлет мысли Гамильтона, произошедший после долгих часов бесплодных поисков и вычислений, привел к следующему осознанию: можно образовать новую числовую систему, в которой и закон ассоциативности, и закон деления выполнены, но необходимо пожертвовать законом коммутативности. Но даже тогда подобное нельзя сделать с тройками вещественных чисел. Надо использовать четверки. Нет «разумной» трехмерной алгебры, но имеется довольно приемлемая четырехмерная. Это единственная алгебра такого типа, и до идеала ей не хватает только одного – закона коммутативности.

Важно ли это? Ход мыслей Гамильтона был надолго заблокирован твердым убеждением в необходимости закона коммутативности. Все изменилось в одно мгновение, когда, чем-то внезапно вдохновленный, он понял, как перемножать четверки чисел. На календаре было 16 октября 1843 года. Гамильтон шел с женой по тропинке вдоль Королевского Канала, направляясь на собрание престижной Королевской Ирландской академии в Дублине. Его бессознательное, должно быть, кружило вокруг задачи о трехмерной алгебре, потому что внезапно его пронзило озарение. «Там и тогда я почувствовал гальванизирующий ток от приближающейся мысли, – писал он позднее в письме, – и искры, произведенные им, представляли собой фундаментальные уравнения между i, j, k, причем в точности такие, какие я с той поры всегда и использую».

Гамильтон находился под таким впечатлением, что немедленно нацарапал формулы на каменной кладке моста Брумбридж. Мост сохранился до наших дней, но нацарапанное на нем – нет, хотя там и имеется памятная доска [42]42
  На массивной каменной основе моста, со стороны, обращенной к каналу, укреплена каменная плита со словами:
  Here as he walked by
  on the 16th of October 1843
  Sir William Rowen Hamilton
  in a flash of genius discovered
  the fundamental formula for
  quaternion multiplication
  i ²= j ²= k ²= ijk= −1
  & Cut It On A Stone Of This Bridge
  Последняя строка читается не без некоторого труда из-за сколов на камне. Кладка моста весьма грубая, так что называть вандалом того, кто нацарапал на ней нечто осмысленное, можно лишь с довольно большой натяжкой. (Примеч. перев.)


[Закрыть]. Формулы

i ²= j ²= k ²= ijk= −1

также пережили своего создателя.

Это очень симпатичные формулы, обладающие высокой симметрией. Но читателю, должно быть, не терпится спросить – при чем же здесь четверкичисел?

Комплексные числа можно записать как пары (x, y), хотя обычно их записывают в виде x +iy, где i= √−1. В том же духе числа, о которых говорил Гамильтон, можно записывать или в виде четверок (x, у, z, w),или как комбинацию x + iу + jz + kw.Формулы Гамильтона относятся ко второму способу обозначений; если же у вас формальное умонастроение, то вы, возможно, этой записи предпочтете представление в виде четверок чисел.

Гамильтон назвал свои новые числа кватернионами. Он доказал, что они подчиняются закону ассоциативности и – замечательным, как стало ясно позднее, образом – закону деления. Но не закону коммутативности. Из правил умножения кватернионов следует, что ij = k,но ji = −k.

Система кватернионов содержит экземпляр комплексных чисел – кватернионы вида x + iy. Из формул Гамильтона видно, что −1 имеет не просто два квадратных корня iи −i, а кроме того, еще и j, −j, kи −k.На самом деле в кватернионной системе имеется бесконечно много различных квадратных корней из минус единицы.

Таким образом, вместе с потерей закона коммутативности мы также потеряли правило, что квадратное уравнение имеет два решения. По счастью, ко времени изобретения кватернионов основное внимание в алгебре сместилось в сторону от решения уравнений. Преимущества кватернионов существенно перевесили их недостатки. К ним просто требовалось привыкнуть.

В 1845 году Томас Дизни заехал к Гамильтону вместе со своей дочерью Кэтрин – юношеским увлечением Уильяма. К тому моменту она успела потерять первого мужа и выйти замуж вторично. Встреча разбередила старую рану, и зависимость Гамильтона от алкоголя сделалась более серьезной. Один раз он напился и выставил себя таким полным дураком на научном обеде в Дублине, что после этого зарекся пить и в течение последующих двух лет пил только воду. Однако когда астроном Джордж Эйри начал посмеиваться по поводу его воздержания, Гамильтон принялся в ответ поглощать алкоголь в усиленных количествах. С того времени он стал хроническим алкоголиком.

Два его дяди скончались, а друг и коллега совершил самоубийство; затем Кэтрин принялась писать ему письма, что только усугубило его депрессию. Она быстро поняла, что ее действия не подобают респектабельной замужней женщине, и вяло попыталась покончить с собой, а затем разъехалась с мужем и перебралась к матери.

Гамильтон продолжал отправлять Кэтрин письма через ее родственников. В 1853 году она решила возобновить общение, послав ему небольшой подарок. Ответный шаг Гамильтона состоял в том, что он отправился к ней с визитом, захватив экземпляр своей книги о кватернионах. Две недели спустя она умерла. Гамильтон был убит горем. Его жизнь становилась все более и более беспорядочной; после его смерти, последовавшей в 1865 году (как полагали, от подагры, которой часто страдают тяжелые пьяницы), его математические статьи были найдены вперемешку с мусором и объедками.

Гамильтон был убежден в том, что кватернионы – это Святой Грааль алгебры и физики, истинное обобщение комплексных чисел на высшие размерности, а также ключ к геометрии и физике в пространстве. Разумеется, пространство имеет размерность три, тогда как кватернионы – четыре, но Гамильтон обратил внимание на естественную подсистему размерности три.

Это «мнимые» кватернионы вида bi + cj + dk.Геометрически символы i, j, kможно интерпретировать как вращения вокруг трех взаимно перпендикулярных пространственных осей, хотя и здесь есть тонкости: дело в том, что при этом приходится работать в такой геометрии, где полная окружность содержит 720°, а не 360°. Если оставить в стороне этот выверт, можно понять, почему Гамильтон считал кватернионы полезными для геометрии и физики.

Оставшиеся «вещественные» кватернионы вели себя в точности как вещественные числа. Их нельзя было выкинуть вовсе, потому что они имеют тенденцию возникать всякий раз, когда с кватернионами выполняются какие-либо алгебраические вычисления, даже если начать с мнимых кватернионов [43]43
  В самом деле, об этом ясно говорят формулы выше ( i ² = j ² = k ² = ijk = −1). (Примеч. перев.)


[Закрыть]. Если бы было возможным оставаться исключительно в области мнимых кватернионов, то существовала бы разумная трехмерная алгебра, и первоначальная задача Гамильтона увенчалась бы успехом. Четырехмерная система кватернионов была лучшей из возможных, а естественная трехмерная система, весьма аккуратно в них вложенная, вполне заменяла ту несуществующую чисто трехмерную алгебру.

Гамильтон посвятил остаток жизни кватернионам, развивая их математику и разрабатывая их приложения к физике. Несколько посвященных последователей воздавали хвалы. Они основали школу кватернионистов, а после смерти Гамильтона бразды правления перешли к Питеру Тейту в Эдинбурге и Бенджамину Пирсу в Гарварде.

Другие, однако, недолюбливали кватернионы – частью из-за их искусственности, но главным образом потому, что, по их мнению, нашли нечто получше. Наиболее значительными представителями лагеря несогласных были Герман Грассман из Пруссии и американец Джозайа Уиллард Гиббс, ныне общепризнанные создатели «векторной алгебры». Оба они изобрели полезные типы алгебр в любом числе измерений. В их работах не было ограничений типа четырехмерности или же трехмерности подмножества мнимых кватернионов. Алгебраические свойства этих векторных систем были не столь изящны, как у Гамильтоновых кватернионов. Например, нельзя было делить один вектор на другой. Но Грассман и Гиббс отдавали предпочтение общим работоспособным концепциям, даже если в них отсутствовали некоторые из обычных свойств чисел. Пусть нельзя разделить один вектор на другой, ну и что?

Гамильтон же, сходя в могилу, верил, что кватернионы составляли его самый главный вклад в естественные науки и математику. На протяжении следующей сотни лет мало кто, за исключением Тейта и Пирса, с ним бы согласился, и кватернионы оставались позабытой тихой заводью викторианской алгебры. Если вам требовался пример бесплодной самодовлеющей математики, то кватернионы были пропуском в этот клуб. Даже в университетских курсах чистой математики кватернионы никогда не появлялись; их даже не показывали в качестве курьеза. Согласно Беллу, «глубочайшей трагедией Гамильтона были не алкоголь и не неудачный брак, а его упрямая вера в то, что кватернионы содержат в себе ключ к математике и физике вселенной. История показала, что Гамильтон трагически обманывал себя, когда продолжал утверждать: „Я по-прежнему определенно заявляю, что это открытие представляется мне настолько же важным для середины девятнадцатого столетия, насколько открытие флюксонов было важным для семнадцатого столетия“. Никогда еще великий математик столь отчаянно не ошибался».

В самом деле?

Кватернионы, быть может, развивались не вполне тем спором, какой предначертал Гамильтон, но их значимость растет с каждым годом. Они стали абсолютно фундаментальными для математики, и мы также увидим, что кватернионы и их обобщения играют фундаментальную роль и в физике. Одержимость Гамильтона открыла широкую дорогу современной алгебре и математической физике.

Никогда еще квазиисторик столь отчаянно не ошибался.

Гамильтон, возможно, преувеличивал практическую роль кватернионов и выжимал из них фокусы, к которым они в действительности были малопригодны, но его вера в их важность начинает получать серьезные подтверждения. Кватернионы возымели странную привычку возникать в таких местах, где их появление менее всего ожидается. Одна из причин состоит в их единственности. Их можно охарактеризовать несколькими разумными и относительно простыми свойствами – некоторой выборкой из «законов арифметики», опустив всего один важный закон, – и они составляют единственную математическую систему, обладающую этим списком свойств.

Это утверждение требует пояснений.

Единственная числовая система, с которой знакома большая часть населения нашей планеты, – это вещественные числа. Их можно складывать, вычитать, умножать и делить, причем результат всегда будет вещественным числом. Разумеется, деление на нуль не допускается, но помимо этого необходимого ограничения можно применять весь набор арифметических операций, никогда при этом не покидая систему вещественных чисел.

Математики называют такую систему полем.Имеется много других полей, таких как поле рациональных чисел и поле комплексных чисел, но поле вещественных чисел является специальным. Это единственное поле с еще двумя свойствами: оно упорядочено и полно.

«Упорядочение» означает, что числа выстраиваются в соответствии с линейным порядком. Вещественные числа расположены вдоль прямой линии – отрицательные слева, а положительные справа. Имеются и другие упорядоченные поля, например поле рациональных чисел, но в отличие от других упорядоченных полей вещественное поле является также полным. Это дополнительное свойство (полная формулировка которого носит довольно технический характер) ответственно за существование таких чисел, как √2 и π. По сути свойство полноты говорит нам, что бесконечные десятичные дроби имеют смысл.

Можно доказать, что вещественные числа составляют единственное полное упорядоченное поле. Этим и определяется их центральная роль в математике. Они дают единственный контекст, в котором можно выполнять арифметические операции, сравнение «больше чем», а также основные операции анализа.

Комплексные числа представляют собой расширение вещественных за счет включения чисел нового типа – квадратного корня из минус единицы. Но цена за возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел состоит в потере упорядочения. Комплексные числа являются полной системой, но они заселяют плоскость, а не выстраиваются в единую упорядоченную последовательность.

Плоскость двумерна, а 2 – конечное целое число. Комплексные числа – это единственное поле, которое содержит вещественные числа и имеет конечную размерность (и которое при этом отлично от самих вещественных чисел, имеющих размерность единица). Это говорит о том, что и комплексные числа тоже единственны. Для многих важных целей комплексные числа оказываются единственным средством, которое позволяет добиться желаемого. Их единственность делает их незаменимыми.

Кватернионы возникают при попытке расширить комплексные числа за счет увеличения размерности (оставляя ее, тем не менее, конечной) с сохранением при этом максимально возможного числа законов алгебры. Законы, которые мы хотим оставить, – это обычные свойства сложения и вычитания, большая часть свойств умножения и возможность деления на все, кроме нуля. На этот раз жертву приходится приносить более серьезную; это-то и доставило Гамильтону столько терзаний. Надо выкинуть закон коммутативности умножения. Этот брутальный факт надо просто принять – и двигаться дальше. Когда вы к нему привыкнете, вы зададитесь вопросом, а почему вообще вы ожидали, что закон коммутативности будет выполнен во всех случаях, а одновременно начнете воспринимать тот факт, что он выполнен для комплексных чисел, как небольшое чудо.

Любая система с таким набором свойств, неважно, коммутативная или нет, называется алгеброй с делением.

Вещественные числа и комплексные числа – тоже алгебры с делением, потому что мы не настаиваем на отказе от коммутативности умножения, мы просто не требуем выполнения этого свойства. Каждое поле является алгеброй с делением. Но некоторые алгебры с делением не являются полями, и первыми из таких объектов были открыты кватернионы. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что система кватернионов также единственна. Кватернионы являются единственной конечномерной алгеброй с делением, которая содержит вещественные числа и не совпадает с вещественными или комплексными числами.

Здесь просматривается любопытная закономерность. Размерности вещественных чисел, комплексных чисел и кватернионов равны 1, 2 и 4. Это подозрительно похоже на начало последовательности степеней двойки. Естественным продолжением были бы 8, 16, 32 и т.д.

Имеются ли интересные алгебраические системы в этих размерностях?

И да и нет. Но нам придется немного подождать, чтобы узнать почему, поскольку история симметрии вступает здесь в новую фазу: связь с дифференциальными уравнениями, представляющими собой наиболее широко используемую модель физического мира, и язык, на котором сформулировано большинство физических законов природы.

И снова наиболее глубокие аспекты теории сводятся к симметрии, правда, с новым поворотом сюжета. Теперь группы симметрии будут не конечными, а «непрерывными». Математике предстояло обогатиться одной из наиболее влиятельных программ исследований из всех когда-либо предпринятых.