Текст книги "Истина и красота. Всемирная история симметрии."

Автор книги: Иэн Стюарт

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 26 страниц)

Чтобы помочь Вернеру совершенствоваться в латыни, отец принес ему кое-какие старые статьи по математике, написанные на этом языке. Среди них была диссертация Кронеккера, посвященная некоторому разделу («комплексные единицы») алгебраической теории чисел. Кронеккер – мирового уровня специалист по теории чисел – знаменит своей верой, что «Господь сотворил целые числа, а все остальное – дело рук человека». Гайзенберг так воодушевился, что даже предпринял попытку доказательства Последней теоремы Ферма. Проведя в школе девять лет, он закончил ее первым учеником в своем классе и поступил в Мюнхенский университет.

Когда разразилась Первая мировая война, союзники блокировали Германию. Еды и топлива не хватало; школу пришлось закрыть, потому что ее нечем было отапливать, и как-то раз Вернер так ослабел от голода, что свалился с велосипеда в канаву. Отец и учителя сражались на фронте; молодые люди, остававшиеся в тылу, проходили военную подготовку и подвергались националистической обработке. Конец войны принес с собой и конец немецкой монархии, и Бавария на короткое время приобрела социалистическое правительство в советском духе, но в 1919 году пришедшие из Берлина немецкие войска выбили социалистов и восстановили более умеренную социальную демократию.

Как и большая часть его поколения, Вернер расстался с иллюзиями после поражения Германии и обвинял старших в военной неудаче. Он стал вожаком группы, связанной с Новой Молодежью – экстремистской организацией правого толка, которая ставила своей целью восстановление монархии и мечтала о Третьем Рейхе. Многие отряды Новой Молодежи были антисемитскими, но в группу Вернера входило несколько еврейских мальчиков. Он проводил много времени с этими ребятами, устраивая с ними походы и экскурсии и в целом пытаясь воссоздать романтическое представление о Германии, какой она некогда была, но эти мероприятия прекратились в 1933 году, когда когда Гитлер запретил все молодежные организации, кроме учрежденных им самим.

В 1920 году Вернер прибыл в Мюнхенский университет, намереваясь стать чистым математиком, пока собеседование с одним из профессоров чистой математики не отвратило его от этой идеи. Вместо этого он решил изучать физику под руководством Арнольда Зоммерфельда. Мгновенно оценив способности Вернера, Зоммерфельд позволил ему посещать лекции для старшекурсников. Вскоре Вернер выполнил оригинальное исследование, посвященное квантовому подходу к строению атома. Диссертацию он защитил в 1923 году, побив университетский рекорд скорости. В том же году Гитлер предпринял попытку свергнуть правительство Баварии, получившую название «пивной путч» и задуманную как прелюдия марша на Берлин, однако попытка эта провалилась. Свирепствовала безудержная гиперинфляция, Германия рассыпалась.

Вернер продолжал работать. Он сотрудничал со многими ведущими физиками – все они размышляли о квантовой теории, поскольку именно в этой области и происходило все самое главное. Он работал ассистентом Макса Борна, пытаясь создать улучшенную теорию атома. Гайзенбергу пришло в голову представлять состояния атома в терминах частот, наблюдаемых в его спектре, – т.е. в терминах того вида света, который мог испускаться атомом. Идею эту он развил до уровня некоторой занятной математики, оперирующей списками чисел. Борн в какой-то момент осознал, что списки такого типа представляют собой нечто вполне добропорядочное; математики называют их матрицами. Обрадованный тем, что его идеи оказались осмысленными, Борн отправил статью в печать. По мере своего развития эти идеи вызревали в новую, последовательную математику квантовой теории – матричную механику. Она воспринималась как конкурент шредингеровской волновой механики.

Кто же был прав? Оказалось, что две теории тождественны друг другу. Это в 1926 году обнаружил Шредингер. Они были просто двумя различными математическими представлениями одних и тех же базисных концепций, подобно тому как эвклидовы методы и алгебра дают два эквивалентных способа смотреть на геометрию. Сначала Гайзенберг не мог этому поверить, поскольку суть его матричного подхода состояла в нарушении непрерывности – в существовании прыжков, которыми электрон изменяет свое состояние. Элементы в его матрицах [73]73
  Т.е. те самые числа, которые и составляют список(лучше – таблицу), называемый матрицей. (Примеч. перев.)


[Закрыть]были связаны с изменениями энергии. Он никак не мог понять, как волны – непрерывные сущности – могут моделировать скачки (т.е. разрывы). В письме к австро-швейцарскому физику Вольфгангу Паули он писал: «Чем больше я думаю о физической части теории Шредингера, тем более отталкивающей я ее нахожу… То, что Шредингер пишет о возможности наглядного представления своей теории – „вероятно, не совсем верно“, – другими словами – чушь». В действительности эти разногласия были частью гораздо более давнего спора, в котором Бернулли и Эйлер расходились по вопросу о решениях волнового уравнения. У Бернулли была формула для решений, но Эйлер не мог понять, как эта формула, выглядевшая непрерывной, иногда умудрялась давать разрывные решения. Тем не менее Бернулли был прав – как и Шредингер. Пусть его уравнениянепрерывны, но многие свойства их решений могут оказаться дискретными – случай, к которому относятся и уровни энергии.

Большинство физиков высказывались в пользу картины волновой механики, потому что она более понятна интуитивно. Матрицы же были немного слишком абстрактными. Гайзенберг по-прежнему предпочитал свои списки, потому что они были составлены из наблюдаемых величин, тогда как экспериментально зарегистрировать какую-нибудь шредингеровскую волну не представлялось возможным. В действительности копенгагенская интерпретация квантовой теории, драматизированная участием в ней шредингеровского кота, утверждала, что всякая попытка зарегистрировать шредингеровскую волну приведет к «коллапсу» волны в уединенный пик. Так что Гайзенберг проявлял все большую и большую озабоченность тем, как и какие аспекты квантового мира можно измерять. Каждый элемент из его списков можно измерить. С одной шредингеровской волной этого сделать нельзя. Гайзенберг воспринял это различие как серьезнейшую причину сделать выбор в пользу матриц.

Следуя такой логике рассуждений, он обнаружил, что в принципе можно измерить координату частицы с любой желаемой точностью – но за это придется заплатить высокую цену, потому что чем более точно мы знаем координату частицы, тем менее точно мы можем знать ее импульс. И наоборот, если удалось измерить импульс с очень высокой точностью, то теряется информация о координате. Тот же баланс имеет место в отношении энергии и времени. Можно измерить или одно, или другое, но не то и другое вместе – если, конечно, нужны высокоточные измерения.

И проблема лежала вовсе не в области применяемых экспериментальных процедур; таково свойство, внутренне присущее квантовой теории. Гайзенберг изложил свою аргументацию в письме к Паули в феврале 1927 года. Письмо в конце концов переросло в статью, и идея Гайзенберга получила название принципа неопределенности. Этот принцип представлял собой один из первых примеров внутренних ограничений, присущих физике. Другой пример – это утверждение Эйнштейна о том, что ничто не может двигаться быстрее света.

В 1927 году Гайзенберг стал самым молодым в Германии профессором, и произошло это в Лейпцигском университете. В 1933 году – том самом, когда Гитлер пришел к власти – Гайзенберг получил Нобелевскую премию по физике. Это сделало его чрезвычайно влиятельной фигурой, а его желание остаться в Германии во времена нацистского режима заставило многих думать, что Гайзенберг и сам был нацистом. Насколько можно судить, это не так. Но он был патриотом, и это привело его к связи с нацистами и к невольному соучастию во многих их действиях. Имеются свидетельства, что Гайзенберг пытался помешать властям, когда они принялись изгонять евреев с университетских должностей, но эффекта его попытки не возымели. В 1937 году о нем отзывались как о «белом еврее», и он находился под угрозой отправиться в концентрационный лагерь, но через год с него снял подозрения Генрих Гиммлер – глава СС. В том же 1937 году Гайзенберг женился на Элизабет Шумахер, дочери экономиста. Их первыми отпрысками были близнецы; всего они произвели на свет семерых детей.

Во время Второй мировой войны Гайзенберг был одним из главных физиков, занимавшихся созданием в Германии ядерного оружия – атомной бомбы. Он работал на ядерных реакторах в Берлине, в то время как жена и дети отправились в Баварию, в летний дом их семьи. Роль Гайзенберга в немецком атомном проекте оказалась весьма неоднозначной. Когда война закончилась, его арестовали британцы и в течение шести месяцев допрашивали в сельском доме недалеко от Кембриджа. Протоколы его допросов, недавно ставшие доступными, лишь углубили полемику. Гайзенберг заявляет, что его интересы ограничивались созданием ядерного реактора («engine»), и он не собирался участвовать в создании бомбы: «Я бы сказал, что у меня не вызывала сомнений наша способность создать урановый реактор, но я никогда не думал, что мы сделаем бомбу, и в глубине своего сердца я даже был рад, что речь шла о реакторе, а не о бомбе. Должен это признать». Правдивость этого заявления до сих пор горячо дебатируется.

После войны, отпущенный из британского заключения, Гайзенберг вернулся к работам по квантовой теории. Он умер от рака в 1976 году.

Немецкие создатели квантовой теории в большинстве своем происходили из интеллектуальной среды – они были детьми врачей, юристов, ученых или представителей других подобных профессий. Они жили в дорогих домах, играли на музыкальных инструментах и участвовали в текущей социальной и культурной жизни. Великому английскому создателю квантовой механики выпало совсем иное и куда более печальное детство – деспотичный и определенно неуравновешенный отец, оторванный от собственных родителей, да и от всей своей семьи, и мать, настолько забитая и запуганная, что она с двумя детьми ела на кухне, пока муж и младший сын в полном молчании обедали в столовой.

Отец – Шарль (Чарльз) Адриен Ладислас Дирак – родился в швейцарском кантоне Вале в 1866 году и в 20-летнем возрасте сбежал из дома. Чарльз прибыл в Бристоль в 1890 году, но стал британским подданным лишь в 1919-м. В 1899 году он женился на дочери морского капитана Флоренс Ханне Холтен, и на следующий год появился на свет их первенец Реджинальд. Два года спустя к семейству прибавился Поль Адриен Морис; еще через четыре года родилась дочь Беатрис.

До 1905 года (когда он поехал навестить мать в Швейцарии – через десять лет после смерти отца) Чарльз не сообщал родителям ни о своей женитьбе, ни о том, что у них есть внуки.

Чарльз преподавал в Торгово-Техническом колледже в Бристоле. В целом он считался неплохим преподавателем, но, кроме того, славился полным отсутствием человеческих чувств и чрезвычайной строгостью и требовательностью. Он был ревнителем строжайшей дисциплины и муштры, но такими были тогда многие преподаватели.

Поль – интроверт от природы – стал еще более выраженным интровертом в силу странной отчужденности отца и отсутствия всякого общения. Чарльз требовал, чтобы Поль говорил с ним только по-французски, расчитывая таким образом подтолкнуть ребенка к изучению этого языка. Поскольку Поль говорил по-французски очень плохо, он предпочитал не говорить вовсе. Вместо этого он проводил долгие часы, размышляя о мире природы. Не способствующее общению устройство трапез в доме Дираков также, по-видимому, проистекало из правила, что разговор должен вестись исключительно по-французски. Так и осталось неясным, активно ли ненавидел Поль своего отца или же просто недолюбливал, но когда Чарльз умер, главное ощущение Поля выражалось словами: «Теперь я чувствую себя намного свободнее».

Чарльз гордился интеллектуальными способностями Поля и питал немалые амбиции в отношении своих детей – имея при этом в виду, что они будут делать в жизни то, что он для них распланировал. Когда Реджинальд сказал, что хочет быть врачом, Чарльз настоял, чтобы он стал инженером. В 1919 году Реджинальд с трудом получил диплом инженера; через пять лет, работая над инженерным проектом в Вулверхэмптоне, он покончил с собой.

Поль жил дома с родителями и также изучал инженерное дело – в том же колледже, что и его брат. Его любимым предметом была математика, но он решил не посвящать себя ее изучению. Возможно, он не хотел идти против воли отца; но, помимо этого, он находился под воздействием ложного впечатления – достаточно распространенного до сих пор, – что единственное, к чему может привести карьера математика, – это преподавание в школе. Никто не сказал ему, что существуют и другие возможности, и одна из них – исследовательская работа.

Спасение явилось в форме газетного заголовка. Первая страница Timesза 7 ноября 1919 года пронзительно возглашала:

Революция в науке. Новая теория Вселенной. Идеи Ньютона ниспровергнуты.

Посередине второй колонки красовался подзаголовок Пространство «покоробилось». Внезапно все стали говорить о теории относительности.

Напомним, что, согласно одному из предсказаний общей теории относительности, гравитация искривляет траекторию распространения света, причем на величину, вдвое превышающую ту, что предсказывается ньютоновскими законами. Фрэнк Дайсон и сэр Артур Стенли Эддингтон предприняли экспедицию на остров Принсипе у побережья Западной Африки, где предстояло наблюдать солнечное затмение.

Одновременно Эндрю Кроммлин из Гринвичской обсерватории возглавил вторую экспедицию в Собрал в Бразилии [74]74
  Об экспедиции Эддинггона говорилось в главе 11. «Популяризировал» теорию относительности именно Эддингтон. Измерения же в Собрале оказались как раз ближе к предсказанию ньютоновской теории, однако эти данные были отвергнуты из-за обнаруженного в телескопах дефекта. (Примеч. перев.)


[Закрыть]. Оба отряда наблюдали звезды вблизи края солнечного диска во время полного солнечного затмения и обнаружили легкие сдвиги в кажущихся положениях звезд, согласующиеся с предсказанием Эйнштейна, но не с предсказанием ньютоновской механики.

Эйнштейн, проснувшийся знаменитым, послал своей матери открытку такого содержания: «Дорогая мама, сегодня радостная новость. X.А. Лоренц телеграфировал, что английские экспедиции действительно доказали отклонение света Солнцем». Дирак заглотил наживку: «Меня захватило всеобщее возбуждение, вызванное теорией относительности. Мы постоянно об этом говорили. Студенты обсуждали ее между собой, однако имелось слишком мало точной информации для того, чтобы двигаться дальше». Общественное знание о теории относительности по большей части сводилось к словам; философы утверждали, что они уже многие годы знали, что «все на свете относительно», и выказывали пренебрежение к новой физике, как к старой шляпе. К сожалению, они лишь выставляли напоказ свое невежество и легковерность, с которой они переняли некорректную терминологию.

Поль сходил на несколько лекций по теории относительности, прочитанных Чарли Броудом, который в то время был профессором философии в Бристоле, но математическое содержание этих лекций его не удовлетворило. В конце концов он купил экземпляр эддингтоновской книги «Пространство, время и тяготение» и самостоятельно освоил необходимые разделы математики и физики. Еще до своего отъезда из Бристоля он досконально изучил и специальную, и общую теории относительности.

Полю хорошо давалась теория, зато лабораторные работы были для него кошмаром. Позднее физики стали говорить об «эффекте Дирака»: стоило только ему войти в лабораторию, как все эксперименты там начинали выходить из-под контроля. Мир инженерных наук для него означал бы катастрофу. Он получил блестящий диплом, но некоторое время оставался безработным, поскольку это было время послевоенной экономической депрессии. По счастью, ему представилась возможность изучать математику в Бристольском университете, причем за обучение уже было заплачено, и он ухватился за этот шанс. Его специализацией стала прикладная математика.

В 1923 году Поль стал аспирантом в Кембриджском университете, где столкнулся с серьезными проблемами из-за своей застенчивости. Он не интересовался никакими видами спорта, неохотно заводил друзей и всячески избегал женщин. Время он проводил главным образом в библиотеке. Еще в 1920 году он проработал все лето на той же фабрике, что и его брат Реджинальд. Два брата периодически встречались на улице, но часто проходили друг мимо друга, не останавливаясь, чтобы перекинуться парой слов, – настолько укоренилась семейная привычка к молчанию.

Поль быстро стал заметной фигурой; за шесть месяцев исследований он написал свою первую научную работу. Бурным потоком за ней последовали другие. Именно тогда, в 1925 году, он и столкнулся с квантовой механикой. Во время одной из долгих осенних прогулок по окрестностям Кембриджа он вдруг задумался о гайзенберговских «списках». Они представляют собой матрицы, а матрицы не коммутируют [75]75
  Матрицы можно перемножать друг с другом определенным способом, который снова дает матрицу и при этом обобщает умножение чисел в том смысле, что если матрицы состоят из одного-единственного числа каждая, то умножение совпадает с обычным умножением; но в общем случае результат произведения двух матриц, в отличие от произведения чисел, зависит от порядка сомножителей. (Примеч. перев.)


[Закрыть]– обстоятельство, которое изначально не давало покоя Гайзенбергу. Дираку была известна идея Ли, что в такой ситуации важную роль играет не произведение AB, а коммутатор AB − BA, и он всерьез заинтересовался захватывающей идеей, что некий весьма похожий объект имеется в гамильтоновом формализме описания механики, где он называется скобкой Пуассона. Но Дирак никак не мог вспомнить соответствующую формулу.

Мысли об этом занимали его почти всю ночь, а на утро он «поспешил в одну из библиотек, прямо к моменту ее открытия, и там посмотрел в уитгекеровской „Аналитической динамике“, как выглядит скобка Пуассона; оказалось, это было именно то, что требовалось». Его открытие состояло вот в чем: коммутатор двух квантовых матриц равен скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на постоянную, равную ih/(2π). Здесь h– постоянная Планка, i– это √−1, а π– ну, это, конечно, π.

Это было впечатляющее открытие. Оно говорило физикам, как надо превращать классические механические системы в квантовые. Стоящая за этим математика была необычайно элегантна – она соединяла две глубокие, но до того момента никак не связанные теории. На Гайзенберга это произвело впечатление.

Вклад Дирака в квантовую теорию разнообразен, и я выберу лишь одно из высших его достижений – релятивистскую теорию электрона, создание которой относится к 1927 году. К тому времени теоретики, занимавшиеся квантовой физикой, знали, что электроны обладают спином, который представляет собой нечто аналогичное моменту вращения мячика вокруг своей оси, однако характеризуется некоторыми весьма странными свойствами, которые делают эту аналогию далеко не полной. Если взять вращающийся мячик и повернуть систему на полные 360°, то и мяч, и момент его вращения окажутся в тех же положениях, которые они занимали до поворота. Однако если вы сделаете то же самое с электроном, то спин его изменит свой знак. Чтобы спин вернулся в первоначальное положение, поворачивать надо на 720°.

Это в действительности довольно сильно напоминает кватернионы, интерпретация которых как «вращений» пространства включает тот же выверт. На математическом языке, вращения пространства образуют группу SO(3), но соответствующая группа в случае кватернионов, как и в случае электронов, есть SU(2). Эти две группы почти одинаковы, только SU(2) «в два раза больше» – она в некотором смысле построена из двух экземпляров группы SO(3). Такое явление называется «двулистным накрытием», из-за чего вращение на 360° и отвечает вращению на удвоенный угол.

Дирак не использовал кватернионы, да и группами не пользовался. Но в конце 1927 года, к наступлению Рождества, он предложил свои спиновые матрицы, которые играют ту же самую роль. Позднее математики обобщили матрицы Дирака на спиноры, которые оказались очень важными в теории представлений групп Ли.

Спиновые матрицы позволили Дираку сформулировать релятивистскую квантовую модель электрона. Из модели получалось все, ради чего она создавалась, и даже немного больше. Наряду с ожидаемыми решениями с положительной энергией она предсказывала решения с отрицательной энергией. Анализируя это парадоксальное свойство, Дирак в конце концов, отбросив несколько неудачных идей, пришел к концепции «антиматерии» – т.е. к идее о том, что всякая частица имеет соответствующую античастицу с той же массой, но с противоположным зарядом. Античастица электрона представляет собой позитрон; он не был известен, пока Дирак не предсказал его существование.

Законы физики остаются (почти) неизменными, если заменить каждую частицу на ее античастицу – такая операция является симметрией природы. Дирак, на которого теория групп никогда не производила особенно большого впечатления, открыл одну из наиболее пленительных групп симметрии в природе.

После 1935 года и до момента своей смерти (в Таллахаси в 1984 году) Дирак придавал огромное значение математическому изяществу физических теорий и в своей работе использовал этот принцип в качестве основополагающего. То, что не является прекрасным, считал он, не может быть верным. В 1956 году, во время посещения Московского государственного университета, следуя традиции записывать мудрые слова на доске, дабы они сохранились для потомства, он написал: «Физический закон должен обладать математической красотой». И он говорил о «высоком математическом качестве» природы. Однако похоже, что теорию групп он никогда не считал прекрасной, быть может, из-за того, что подход физиков к группам, как правило, включает в себя громоздкие вычисления. Лишь математики, как представляется, оказались настроенными на изысканную красоту групп Ли.

Прекрасна она или нет, но благодаря сыну одного кожевника теория групп вскоре заняла свое место среди основных предметов, которые следовало изучать всякому подающему надежды квантовому теоретику.

На рубеже двадцатого столетия кожевенное дело было серьезным занятием (да, собственно, таким и остается). В те дни, однако, даже небольшое предприятие по дублению и продаже кожи могло приносить своему хозяину очень неплохой доход. Хорошим примером такого хозяина был Антал Вигнер, возглавлявший сыромятную мастерскую. Он и его жена Эрсебет были еврейского происхождения, однако не практиковали иудаизм. Они жили в государстве, которое тогда называлось Австро-Венгрией, в городе Пешт. После соединения с соседней Будой он превратился в современный Будапешт – столицу Венгрии.

Второй из трех их сыновей, Йена Паал Вигнер, родился в 1902 году и в возрасте от пяти до десяти лет обучался дома, у частного учителя. Вскоре после начала школьных занятий у Йены обнаружили туберкулез и отправили на лечение в австрийский санаторий. Он пробыл там шесть недель, прежде чем выяснилось, что диагноз неверный. (Окажись он правильным, мальчик, скорее всего, не дожил бы до зрелого возраста.)

Поскольку мальчика заставляли почти постоянно лежать, он занимал себя решением математических задач, просто чтобы убить время. «Мне приходилось дни напролет лежать в шезлонге, – писал он позднее, – и я отчаянно пытался придумать, как построить треугольник по трем заданным высотам». Высоты треугольника – это три линии, которые проходят через вершину и пересекают противоположную сторону под прямым углом. Если треугольник дан, то найти его высоты легко. Решить обратную задачу определенно труднее.

После выписки из санатория Йена продолжал размышлять о математике. В 1915 году он поступил в Лютеранскую гимназию в Будапеште, где в то время уже учился другой мальчик, которому предстояло стать одним из ведущих мировых математиков, – Янош (позднее – Джон) фон Нейман. Однако из знакомство оставалось лишь весьма поверхностным, поскольку фон Нейман предпочитал держаться особняком.

В 1919 году Венгрию наводнили коммунисты, и Вигнеры бежали в Австрию, вернувшись в Будапешт позднее, в том же году, когда коммунистов оттуда выбили. Все семейство перешло в лютеранство, но на Йену это большого влияния не оказало – как он говорил позднее, потому что он был «лишь умеренно религиозен». В 1920 году Йена закончил школу одним из лучших в классе. Он намеревался стать физиком, но отец хотел, чтобы он вступил в семейный кожевенный бизнес. Поэтому вместо того, чтобы получить диплом по физике, Йена стал изучать химическую инженерию: отец полагал, что она будет способствовать бизнесу. Он поступил на первый курс Будапештского технического института, а потом перешел в Высшую техническую школу в Берлине. В конце концов он стал проводить большую часть ценного времени в химической лаборатории, где ему нравилось, и меньшую часть – на теоретических занятиях.

Тем не менее Йена не оставлял мыслей о физике. Берлинский университет находился неподалеку, а кого там можно было увидеть, как не Планка и Эйнштейна вкупе с другими знаменитостями? Йена не преминул воспользоваться этой географической близостью и стал ходить на лекции бессмертных. Он закончил свою диссертацию об образовании и распаде молекул и, как и планировалось, начал работать на кожевенном заводе. Как и следовало ожидать, идея оказалась не слишком удачной. «Дела мои в дубильне шли не очень хорошо… Я чувствовал себя там не в своей тарелке… У меня не было ощущения, что это моя жизнь». Его жизнью были математика и физика.

В 1926 году с ним связался кристаллограф из Института Кайзера Вильгельма, которому требовался ассистент. Обязанности соединяли в себе в химическом контексте оба основных интереса Вигнера. Эта работа оказала огромное влияние на его карьеру, а тем самым и на развитие ядерной физики, поскольку познакомила Вигнера с теорией групп – математикой симметрии.

Первые существенные применения теории групп к физике состояли в классификации всех 230 возможных кристаллических структур. Вигнер писал: «Я получил письмо от кристаллографа, который хотел найти ответ на вопрос, почему положения, которые занимают атомы в кристаллической решетке, соответствуют осям симметрии. Кроме того, он сказал мне, что это должно иметь отношение к теории групп и что мне следует прочитать книгу по теории групп, а после этого найти ответ и сообщить ему».

Возможно, Антал Вигнер был в не меньшем ужасе, чем его сын, от сомнительных успехов последнего в области кожевенного дела, а потому позволил ему стать асситентом кристаллографа. Йена начал с чтения нескольких статей Гайзенберга по квантовой теории и развил теоретический метод вычисления спектра атома с тремя электронами. Он также понял, что этот метод может стать невероятно сложным, когда число электронов превысит три. В этот момент он обратился за советом к своему старому знакомому фон Нейману, который предложил ему почитать о теории представлений групп. Эта область математики в избытке содержала известные в то время алгебраические концепции и сложные методы, в особенности – матричную алгебру. Однако благодаря своим занятиям кристаллографией и близкому знакомству с основным на тот момент учебником по алгебре – Lehrbuch der AlgebraГенриха Вебера – Вигнер преодолел матрицы без проблем.

Совет фон Неймана оказался очень хорош. Если атом обладает некоторым числом электронов, то, поскольку все электроны тождественны, атом «не знает», какой электрон какой. Другими словами, уравнения, описывающие излучение, испущенное данным атомом, должны быть симметричны относительно всех перестановок его электронов. Используя теорию групп, Вигнер разработал теорию спектра атомов с любым числом электронов.

До этого момента его работа шла в традиционном русле классической физики. Но все по-настоящему захватывающее творилось в квантовой теории. Тогда Вигнер и принялся за главный труд своей жизни – применение теории представлений групп к квантовой механике.

Занятно, что занимался он этим несмотря на свою новую работу, а не благодаря ей. Мэтр немецкой математики Давид Гильберт выказывал живой интерес к математическим принципам, лежащим в основе квантовой теории, и ему в работе требовался ассистент. В 1927 году Вигнер отправился в Геттинген и был принят там в возглавляемую Гильбертом исследовательскую группу. По идее, его роль должна была состоять в том, чтобы поддерживать связь с физикой, которая подпитывала бы обширные математические таланты Гильберта. На деле же получилось не совсем так, как задумывалось. Гильберт и Вигнер виделись за год всего пять раз. Гильберт был уже стар, утомлен и все более склонялся к уединению. Так что Вигнер вернулся в Берлин, прочитал лекции по квантовой механике и продолжил работу над своей самой знаменитой книгой «Теория групп и ее применения к квантовой механике атомных спектров».

Его частично предвосхитил Герман Вейль, также написавший книгу о группах в квантовой теории. Но основной интерес Вейля концентрировался на фундаментальных вопросах, тогда как целью Вигнера было решение конкретных физических задач. Вейль гнался за красотой, а Вигнер искал истину.

Подход Вигнера к теории групп можно понять в простом классическом контексте – на примере колебаний барабана. Музыкальные барабаны, как правило, округлые, но в принципе могут быть любой формы. При ударе палочкой мембрана барабана начинает вибрировать и создает звук. Барабаны различных форм производят различные звуки. Полоса частот, которые может создать данный барабан, называемая его спектром, сложным образом зависит от его формы. Если барабан симметричен, то можно ожидать, что симметрия появится и в его спектре. Она там и появляется, но довольно тонким образом.

Представим себе прямоугольный барабан – из числа тех, какие нечасто увидишь за пределами математических факультетов. Типичные колебания такого барабана разбивают его поверхность на некоторое число меньших прямоугольников, как, например, показано на рисунке.

На рисунке мы видим различные картины колебаний с двумя различными частотами. Это мгновенные снимки этих колебаний. Темные области смещены вниз, а светлые – вверх.

Две картины колебаний прямоугольного барабана.

Из симметрий барабана вытекают следствия для картин колебаний, поскольку любое преобразование симметрии барабана можно применить к любой возможной картине колебаний, что даст другую возможную картину колебаний. Таким образом, каждая картина колебаний включается в набор других, связанных с ней в соответствии с симметрией. Однако каждая отдельная картина колебаний не обязана иметь те же симметрии, что и барабан. Например, прямоугольник симметричен относительно вращения на 180°. Если применить это преобразование симметрии к двум приведенным выше картинам, они примут вид, показанный на рисунке.

Левая картина не изменилась, так что она, как и барабан, обладает симметрией относительно данного вращения. Но на правой темные и светлые области поменялись местами. Этот эффект называется спонтанным нарушением симметрии, и он очень распространен в физических системах: он возникает, когда в симметричной системе имеются состояния с более низкой симметрией. Левая картина не нарушает симметрии, а правая – нарушает. Посмотрим внимательно на правую картину и разберемся, что следует из ее нарушенной симметрии.