Текст книги "О движении
(Из истории механики)"

Автор книги: Феофан Бублейников

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 15 страниц)

Проблема траектории брошенного тела

Открытие законов свободного падения было началом динамики. Оно позволило немедленно же разрешить давнишнюю проблему о траектории пушечного ядра, которая имела важный практический характер.

Ядро вылетает из пушки под огромным давлением расширяющихся горячих газов. По выходе из ствола оно двигалось бы по инерции равномерно и прямолинейно, если бы его не притягивала Земля. Но как только оно покинет ствол пушки, притяжение Земли заставляет его падать.

Траектория брошенного тела определяется сложением поступательного движения и свободного падения.

Понятие о независимости движений было известно еще Аристотелю, указавшему правило их сложения: совершая движение в двух различных направлениях, тело движется по диагонали параллелограмма, построенного на скоростях этих движений.

Но почему ни Аристотель, ни его последователи не решили проблему траектории брошенного тела? Этому помешало их пренебрежение опытом: сложение движений они рассматривали только как геометрическую теорему. Но они не наблюдали движений физических тел и не знали, что реальные движения в действительности именно так и слагаются. Только поэтому аристотелианцы и могли утверждать, будто бы ядро сперва летит прямолинейно в направлении выстрела, а затем падает вертикально. Ошибочность этого мнения легко было доказать, бросив камень и наблюдая его движение.

Галилей же применил кинематическое правило сложения движений к действительному движению физических тел. Так, например, описывая воображаемый опыт с шаром, который катится по горизонтальной плоскости, он говорил: «…если же плоскость конечна и расположена высоко, то тело, имеющее вес, достигнув конца плоскости, продолжает двигаться далее таким образом, что к его первоначальному, равномерному, беспрепятственному движению присоединяется другое, вызываемое силой тяжести, благодаря чему возникает сложное движение, слагающееся из равномерного горизонтального и естественно ускоренного движения».

Исходя из свойства инерции движущихся тел, Галилей утверждал, что выброшенное пушкой ядро совершает одновременно два движения: по инерции равномерное, прямолинейное и под действием тяжести равномерно-ускоренное. Он указывал, что скорость падения не зависит от поступательного движения ядра вперед.

Эта мысль была совершенно нова и неожиданна для механиков начала XVII века. На пояснении ее особенно внимательно и остановился Галилей: «Не замечательная ли вещь, – говорит один из собеседников в „Диалоге“, – что в то самое малое время, какое требуется для вертикального падения на землю с высоты каких-нибудь ста локтей, ядро, силою пороха выброшенное из пушки, пройдет четыреста, тысячу, четыре тысячи, десять тысяч локтей, – так что при всех горизонтально направленных выстрелах останется в воздухе одинаковое время».

Можно считать, что в каждый очень короткий промежуток времени ядро движется по диагонали прямоугольника, построенного на. скоростях равномерного движения по горизонтали и ускоренного движения по вертикали.

Разобьем все время, прошедшее от момента вылета ядра из пушки до падения его на землю, на большое число очень коротких равных промежутков.

В течение каждого такого промежутка времени ядро проходит по горизонтали одно и то же расстояние. По вертикали же пройденные расстояния возрастают, как натуральный ряд нечетных чисел.

В каждый промежуток времени ядро движется по диагонали прямоугольников, построенных на скоростях движения по горизонтали и по вертикали.

Если промежутки времени очень малы, то диагонали совпадают с плавной кривой линией, загибающейся вниз, к земле. Не ограничиваясь этим выводом, Галилей доказал, что траектория ядра – парабола.

После этого не осталось сомнений, что нельзя направлять ствол орудия прямо на цель. Для попадания в далекий предмет нужно стрелять наклонно вверх. Для разных расстояний этот угол различен.

Нетрудно построить и траекторию ядра, откладывая по направлению его движения скорость, а по вертикали – пройденные расстояния в свободном падении в первую, вторую, третью и так далее секунды. Она будет всегда параболой с ветвями различной длины. Только при выстреле под углом в 45° к горизонту, если бы не было сопротивления воздуха, ядро описало бы равнобочную параболу. В этом случае оно пролетело бы и наибольшее расстояние.

Выброшенное из орудия ядро, двигаясь вперед, одновременно падает. Сложение этих движений определяет траекторию ядра (размеры даны в метрах).

Исследовав траекторию ядра, Галилей решил одну из важнейших проблем баллистики. После этого можно было составить таблицы для точной наводки орудий.

Галилей понимал, конечно, что выведенные им законы динамики вполне справедливы, только когда движущееся тело не встречает препятствий на своем пути. Но свободно падающие или брошенные тела движутся в воздухе, сопротивляющемся движущимся в нем телам. Поэтому свободное падение в атмосфере не может быть строго равномерно-ускоренным: по мере возрастания скорости очень быстро увеличивается и сопротивление воздуха. Ускорение постепенно уменьшается, и, достигнув определенной скорости, свободно падающее тело движется равномерно.

Сопротивление воздуха меняет и результаты расчета траектории тела, брошенного под углом к горизонту. Ядро постепенно замедляет прямолинейное движение по инерции. Поэтому нисходящая ветвь траектории в действительности круче, чем должна быть по расчету, и траектория брошенного тела несколько отличается от параболы.

Однако эти отступления не умаляют значения законов динамики, открытых Галилеем. Эти законы служат основой для расчетов свободного движения тел. Только в расчеты должны быть внесены поправки на сопротивление среды, которое определяется путем опытов.

Гидростатика в XVI–XVII веках

До XVI века ученые и инженеры при определении условий равновесия жидкости пользовались только работами Архимеда. Дальнейшее развитие гидростатика получила в трудах упоминавшегося ранее современника Галилея – Симона Стевина.

Проведя свою молодость в далеких плаваниях, Стевин близко познакомился с вопросом об устойчивости судна. Позднее он был инспектором водных сооружений Голландии, имевших огромное значение для существования этой маленькой страны. Ему пришлось столкнуться с определением давления на ворота шлюзов и тому подобными задачами.

Эта практическая деятельность определила направление научных исследований Стевина. Большую часть времени и трудов он посвятил проблемам гидростатики. Свои гидростатические исследования Стевин изложил в упомянутом уже большом труде «Начала статики», изданном на фламандском языке в 1587 году.

Подобно Архимеду, Стевин при построении своих теорий исходил из немногих очевидных положений, но теоретические выводы подвергал проверке опытом. Он был не эмпириком, а экспериментатором в современном значении этого слова.

В основу своих исследований Стевин положил представление, что равновесие частицы жидкости обусловлено давлением окружающих ее частиц; так как каждая частица жидкости находится под действием силы тяжести, то отсюда следует, что она поддерживается в равновесии давлением снизу вверх, равным ее весу. Значит, погруженное в жидкость твердое тело испытывает давление снизу вверх, равное весу вытесненной им жидкости.

Так выводил Стевин известный закон Архимеда.

Далее Стевин разобрал все возможные случаи равновесия плавающих тел и применил их к определению устойчивости судов.

Судно с тяжелым грузом в трюме (слева) устойчиво, потому что у него центр тяжести находится ниже центра давления. Если же перегрузить палубу до того, что центр тяжести станет выше центра давления, то судно (справа) может опрокинуться.

Плавающее тело находится под действием двух сил. Одна из них – собственная тяжесть, влекущая тело вниз и приложенная к его центру массы. Другая – выталкивающая тело из жидкости вверх. Она равна весу вытесненной телом жидкости и приложена к центру давления, совпадающему с центром тяжести вытесненной жидкости.

По величине эти силы равны, а по направлению – диаметрально противоположны. В зависимости от относительного положения центра тяжести тела и центра давления, тело может находиться в устойчивом, неустойчивом или безразличном равновесии. Относительное же положение этих точек зависит от формы плавающего тела и степени его погружения в жидкость.

Положим, что трюм судна нагружен камнем или металлом. При большой нагрузке центр тяжести всего судна опустится ниже центра давления. Как бы ни было наклонено судно ветром, оно будет снова выпрямляться. Это – случай устойчивого равновесия.

Если же центр тяжести судна, например при большой нагрузке его палубы, переместится выше центра давления, то судно может опрокинуться. Это – случай неустойчивого равновесия.

Отметим, что и в этом случае плавающее тело может иногда сохранить устойчивое равновесие.

Допустим, что тело, центр тяжести которого лежит выше центра давления, наклонилось. Тогда центр давления переместится вправо или влево от линии, проведенной через центр тяжести и центр давления в состоянии равновесия.

Теперь на тело действует вращающая пара: сила тяжести G и сила давления А. Если направление давления, приложенного к новому его центру, пересекает указанную линию выше центра тяжести (эта точка М пересечения носит название метацентра), то равновесие восстанавливается. Когда же метацентр ниже центра тяжести – плавающее тело опрокидывается.

Случай, когда центр тяжести выше центра давления. S ₁ – центр тяжести; S ₂ – центр давления при состоянии равновесия; – S ₃ центр давления, когда тело наклонено; М – метацентр; G – сила тяжести; А – сила давления.

Занимаясь исследованием давления внутри жидкости, Стевин прибегал к мысленным опытам. Он представлял себе, например, что некоторая часть находящейся в равновесии жидкости отвердела. Это не меняет условий равновесия части, оставшейся в жидком виде.

Стевин первый пришел к мысли, что давление жидкости на дно сосуда зависит только от площади дна и высоты уровня жидкости.

Выделим мысленно в жидкости, находящейся в равновесии, несколько столбов разнообразной формы, опирающихся на одинаковые по размерам площадки, лежащие на одной и той же глубине. Эти площадки находятся под одинаковым давлением, так как в противном случае жидкость пришла бы в движение.

Теперь представим себе, что вся жидкость вне выделенных мысленно столбов затвердела. Оставшаяся жидкость столбов давит на основание их с той же силой, как и ранее.

Воображаемый опыт Стевина. Выделим мысленно в жидкости ее части, опирающиеся на пластинки одинаковой площади. Если бы поверхности, отделяющие воду над этими пластинками, затвердели, то образовались бы сосуды разной формы с одинаковым дном. Давление воды на дно этих сосудов осталось бы прежним и во всех сосудах было бы одинаково, даже если бы вода вне сосудов затвердела. Отсюда следует, что давление на дно сосуда зависит только от площади дна и высоты столба жидкости.

Следовательно, давление на дно образовавщихся сосудов, несмотря на их разнообразную форму, будет одинаковым.

Свое открытие Стевин проверял и подкреплял опытами, в которых дно разнообразных по форме сосудов служило чашкой весов. Оказалось, что действительно давление жидкости на дно сосуда зависит только от площади дна и высоты ее уровня.

Это открытие позволило объяснить некоторые удивительные факты, известные ученым того времени, как, например, такой замечательный опыт.

Плотный кожаный мешок наполнялся водой через вделанную в него короткую металлическую трубку с краном. Затем на конец этой трубки навинчивалась другая– стеклянная, колено которой длиной 150–175 сантиметров поддерживалось в вертикальном положении.

На мешок клали деревянную дощечку, на которую становился человек. Тогда открывали кран, и тяжесть человека выдавливала воду в вертикальную трубку. Но, к удивлению присутствовавших при этом опыте, вода поднималась не выше 75—100 сантиметров.

В чем же дело? Простой расчет легко объясняет это.

Пусть человек весит 75 килограммов, а дощечка размерами 25 X 40 сантиметров вся соприкасается с поверхностью кожаного мешка. Тогда на каждый квадратный сантиметр площади соприкосновения давит 75000/1000 = 75 граммов.

Давление человека уравновесится, если вода в трубке поднимется на 75 сантиметров. В самом деле: вес столба воды в трубке с поперечным сечением один квадратный сантиметр равен 75 граммам; это давление передается в мешке с водой во все стороны и увеличивается пропорционально поверхности. Поэтому на дощечку будет давить снизу 75 X 1000 = 75 000 граммов, уравновешивая человека.

Это явление получило название «гидростатического парадокса». Обычно его связывают с именем французского физика Паскаля, независимо от Стевина открывшего это явление.

Подобным же способом Стевин доказывал закон равновесия жидкости в сообщающихся сосудах. Он выделял мысленно в жидкости произвольной формы изогнутый канал, концы которого выходят на поверхность. Если бы вся жидкость вне воображаемого канала затвердела, условия равновесия оставшейся жидкости в канале не изменились бы, то-есть она стояла бы в образовавшихся сообщающихся сосудах на одной высоте.

Свои теоретические выводы Стевин прилагал к решению возникавших у него технических задач. Он определил, например, давление воды на вертикальные ворота закрытого шлюза. Оно равно весу столба воды, основание которого равно площади ворот, а высота – половине глубины канала.

Независимо от Стевина Галилей также проверил закон Архимеда и вывел условия равновесия плавающих тел. Он доказывал ошибочность взглядов последователей Аристотеля, которые утверждали, будто плавание тела зависит главным образом от его формы.

В доказательство этого приводился такой пример: если тонкую металлическую пластинку осторожно опускать на ладони, погружаемой в сосуд с водой, то она может остаться на поверхности воды. Но, как известно, это явление происходит вследствие поверхностного натяжения. Тончайший слой на поверхности жидкости ведет себя как упругая пленка. Он заставляет, например, небольшое количество жидкости сохранять шарообразную форму капли.

Металлическая пластинка или игла, побывав в руках, покрывается незаметным тончайшим слоем жира. Поэтому она не смачивается водой и ее поддерживает пленка поверхностного натяжения воды. Если же пластинку или иглу, а также руки вымыть в спирте, то опыт с плаванием этих предметов не удастся, так как игла будет смачиваться водой и целость пленки поверхностного натяжения нарушится.

В XVII веке не было еще известно объяснение этого явления. Однако Галилей для опровержения мнения аристотелианцев произвел другой опыт, доказывая, что плавающее тело поддерживается давлением жидкости.

Опыт Галилея заключался в том, что погруженный в воду восковой шар тонет; когда же в ней начинают понемногу растворять соль, то шар всплывает, хотя форма его не изменилась.

Галилей правильно указал, что всплывание шара зависит от увеличения плотности соляного раствора.

До исследований Галилея все были уверены, что тело плавает лишь в том случае, если вытесняет объем воды, вес которого превышает тяжесть тела. Утверждая, что главную роль играет удельный вес тела, Галилей указывает на следующий опыт.

Поместим плавающее тело цилиндрической формы в наполненный водой широкий сосуд и заметим, насколько оно возвышается над уровнем воды. Затем поместим это тело в цилиндрический сосуд, между стенками которого и телом остается только очень узкая щель, и нальем в него воды. Вода должна покрыть помещенное в нем тело до той же высоты, как было в широком сосуде. Тогда тело в узком сосуде также будет плавать, возвышаясь настолько же над уровнем окружающей его воды, хотя вес вытесненной воды меньше веса тела.

Эти выводы были большой неожиданностью для современников Галилея: они еще держались мнения, будто корабль лучше поддерживается водой в большом бассейне, чем в малом. Галилей же со свойственной ему иронией замечает, что «корабль так же хорошо плавает в 10 бочках воды, как в океане».

Галилей объяснил и равенство уровней жидкости в двух сообщающихся сосудах разного диаметра, сравнивая равновесие жидкости в этом случае с рычагом, на котором большой груз уравновешивается малым.

Последователи Галилея, продолжая его работы, заложили начало динамики жидких тел.

Возникновение гидродинамики

Гидромеханические исследования Галилея продолжил итальянский физик и математик Эванджелиста Торричелли (1608–1647).

Познакомившись с «Беседами о двух новых науках» Галилея, Торричелли увлекся вопросами механики и написал сочинение «Трактат о движении под действием тяжести». В этом труде он развивал идеи Галилея, стремясь дать его законам динамики новые доказательства.

Узнав об этой работе молодого ученого, Галилей пригласил его к себе. Торричелли приехал в 1641 году к Галилею в его домик в Арчетри, где и остался до кончины великого механика.

После смерти Галилея тосканский герцог предложил Торричелли должность придворного математика, сохранявшуюся за Галилеем, несмотря на осуждение его инквизиторами.

Торричелли остался во Флоренции и занялся продолжением работ, начатых его учителем.

В то время законы движения воды приобрели особый интерес для техников. По количеству вытекающей из сосуда воды измерялось время. В садах аристократов и богатых купцов устраивались фонтаны. В городах строились водопроводы. Для орошения полей проводились каналы.

Из многочисленных проблем, возникавших у техников того времени, Торричелли выбрал для разрешения вопрос об истечении воды из отверстия в сосуде, имевший первостепенное значение при построении водяных часов.

Торричелли установил такой закон: скорость жидкости, вытекающей из сосуда, имеет ту величину, какую приобрело бы тело при падении с высоты, равной высоте уровня жидкости над отверстием (независимо от направления струи).

Но скорость падения изменяется обратно пропорционально квадратному корню из высоты[7]7


[Закрыть]. Значит, скорость истечения и количество вытекающей воды за единицу времени также изменяются обратно пропорционально корню квадратному из высоты уровня жидкости над отверстием.

Из этого закона можно было вывести ряд следствий. Например, водяная струя, бьющая из отверстия в. стенке сосуда, должна иметь форму параболы, ветвь которой всё более приближается к стенке сосуда, по мере того как понижается уровень жидкости над отверстием.

Из короткой с загнутым вверх концом трубки вода должна выбрасываться вверх до той же высоты (без учета сопротивления воздуха и т. п.), на какой стоит вода в сосуде, с которым соединена трубка.

Опыт Торричелли с бочкой. Вода бьет из трубки струей, почти достигающей уровня воды в бочке.

Исследования Торричелли имели большое значение при решении практических вопросов гидравлики.

С именем Торричелли связано не только заложение основ гидравлики, но и открытие давления атмосферы, о чем будет сказано дальше.

К несчастью для науки, Торричелли умер очень рано, в возрасте тридцати девяти лет. Не дольше прожил и его знаменитый современник, также занимавшийся исследованиями движения жидкостей и газов, – французский ученый Блез Паскаль (1623–1662).

Отец Паскаля, сам интересовавшийся математикой, не хотел слишком рано знакомить с ней своего сына, чтобы не отвлечь его от изучения языков. Но мальчик настойчиво упрашивал отца сказать, что такое геометрия.

Когда он узнал, что геометрия есть «искусство правильно чертить фигуры и искать соотношения между ними», то стал сам выводить геометрические теоремы. Тогда его отец разрешил будущему знаменитому ученому заняться изучением математики.

Паскаль так быстро овладел известными в то время геометрическими знаниями, что в возрасте шестнадцати лет уже написал работу о конических сечениях, не потерявшую своего значения даже и в наши дни. Позднее он опубликовал еще несколько математических работ и изобрел счетную машину.

Научные интересы Паскаля не ограничились математикой. С 1647 года он начал заниматься и физическими исследованиями.

Независимо от Стевина, Паскаль открыл гидростатический парадокс. Он построил прибор для демонстрации этого явления, так называемый «сосуд Паскаля». Вследствие этого первое открытие гидростатического парадокса связывается обычно с его именем, хотя впервые на него указал Стевин.

В своих гидромеханических изысканиях Паскаль шел по следам Галилея, широко применяя принцип возможных перемещений. Но он глубже исследовал вопрос о передаче давления в жидкости, изложив свои выводы в трактате «О равновесии жидкостей».

Паскаль проводил аналогию между передачей давления в жидкости и действием простых машин. Он утверждал, что «сосуд, наполненный водой, является новым принципом механики и новой машиной для увеличения сил в желаемой степени, потому что при помощи этого средства человек может поднять любую предложенную ему тяжесть».

Сосуд Паскаля. Давление на концы рычагов, передаваемое тягой от дна сосуда, зависит только от площади дна и высоты столба воды.

Правда, гидравлический пресс, основанный на законе передачи давления в жидкости, был изобретен еще Галилеем в 1594 году. Тогда же Галилей и получил патент на это изобретение от венецианского дожа (наименование правителей Венеции).

Но гидравлический пресс получил широкое практическое применение только через двести лет в Англии для уменьшения объема перевозимых хлопка, сена и тому подобных продуктов. Поэтому точка зрения Паскаля была новой и оригинальной.

Как указывал Паскаль, два сообщающихся сосуда разных диаметров, плотно закрытые поршнями, являются машиной, действующей подобно рычагу: грузы, давящие на эти поршни, уравновешиваются в том случае, если их веса пропорциональны площадям поршней. При перемещении поршней соблюдается принцип возможных перемещений так же, как при движении сил, уравновешенных на рычаге или блоке.

Устанавливая единство закона, которому подчиняются как простые машины, так и сосуды, наполненные водой, Паскаль писал: «Надо признать, что в этой новой машине проявляется тот же постоянный закон, который наблюдается и во всех прежних – рычаге, блоке, бесконечном винте и так далее – и который заключается в том, что путь увеличивается в той же пропорции, как и сила».

Справедливость начала возможных перемещений в применении к рычагу, блоку и другим простым машинам следует из рассмотрения их движений. Но она совсем не так ясна в применении к жидкостям, хотя бы и заключенным в закрытые сосуды.

Разъясняя приложимость принципа возможных перемещений к жидкостям, Паскаль писал: «Человек, который давит на малый поршень и опускает его на дюйм, вытолкнет другой поршень лишь на одну сотую часть дюйма (в рассматриваемом Паскалем случае площадь малого поршня в сто раз меньше большого. – Ф. Б). В самом деле, этот толчок происходит вследствие непрерывности воды, соединяющей один поршень с другим и обусловливающей то, что один поршень не может двигаться, не толкая другого; поэтому, когда малый поршень продвинется на один дюйм, то вода, которую он вытеснил, встретит, толкая другой поршень, отверстие во сто раз большее и займет по высоте лишь сотую часть дюйма. Таким образом, путь относится к пути, как сила к силе».

Однако принцип возможных перемещений не получил дальнейшего применения в гидростатике в работах исследователей следующего века.

В XVII веке возникла и механика газов. Она начала развиваться после открытия давления атмосферы, проявлявшегося в действии, например, всасывающего насоса.