Текст книги "О движении
(Из истории механики)"

Автор книги: Феофан Бублейников

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 15 страниц)

О наклонной плоскости

Инженеры, строители зданий, моряки часто пользовались наклонной плоскостью. Например, по наклонно положенным доскам перетаскивали грузы с пристани на борт судна. Но почему наклонная плоскость позволяет выиграть в силе, это стало известным лишь в XIII веке в связи с развитием городского строительства.

Голландский ученый Симон Стевин и Галилей почти одновременно дали вывод закона наклонной плоскости.

Стевин (1548–1620) был последователем статики Архимеда. Он не искал новых путей в механике твердого тела, а все-таки ему удалось разгадать закон наклонной плоскости, прибегнув к воображаемому опыту.

Стевин представил себе две наклонные плоскости разной длины с общей вершиной. Допустим, что на этих плоскостях лежит замкнутая цепь из шаров равного веса с одинаковыми промежутками между ними. Свободная же часть цепи висит под наклонными плоскостями.

На длинной наклонной плоскости лежит больше шаров, чем на короткой. Однако они не могут перетянуть шары, лежащие на короткой наклонной плоскости: если бы это случилось, то вся цепь пришла бы в движение, которое продолжалось бы вечно. Но, как известно, это невозможно.

Легко вывести, какова сила, увлекающая шары вдоль наклонных плоскостей в опыте Стевина. Число шаров на каждой из них пропорционально длине наклонной плоскости.

Значит, сила, действующая на шары (вдоль наклонных плоскостей), обратно пропорциональна их числу или длинам плоскостей: если, например, одна плоскость в три раза длиннее другой, то на каждый шар, лежащий на длинной плоскости, действует в три раза меньшая сила, чем на шар, лежащий на короткой плоскости.

Этот закон будет верен, как бы мы ни меняли наклон плоскостей.

Теперь представим себе, что одна из плоскостей вертикальна, то-есть служит высотой другой наклонной плоскости. Тогда сила, увлекающая шар вдоль наклонной плоскости, будет во столько раз меньше силы, увлекающей шар вдоль ее высоты (то-есть тяжести шара), во сколько высота наклонной плоскости меньше ее длины.

Шары, лежащие на длинной и на короткой наклонных плоскостях, уравновешиваются. Отсюда легко выводится закон наклонной плоскости.

Это исследование было опубликовано Стевином в 1587 году на фламандском языке. Оно осталось неизвестным Галилею.

К исследованию свойств наклонной плоскости Галилей подошел иначе, чем Стевин. Галилею было известно «золотое правило» древних механиков – сколько выигрывается в силе, столько теряется в скорости. Например, поднимая груз на подвижном блоке, мы выигрываем в два раза в силе – скажем, 10 килограммов можно поднимать (если бы не было трения) силой в 5 килограммов. Но зато приходится смотать веревку вдвое более длинную, чем высота, на которую поднимается груз.

Стевин первый отметил строгую пропорциональность между выигрышем в силе и потерей в скорости. Он указал, что возможное перемещение груза, подвешенного на подвижном блоке, вдвое меньше необходимого для этого перемещения уравновешивающей его силы.

Но Стевин не развил свою мысль, а Галилей доказал, что это правило справедливо для рычага и других простых машин. Оно представляет собой общий принцип, позднее развитый механиками и получивший название «начала возможных перемещений».

Наклонная плоскость – также простая машина. При ее помощи можно малой силой катить вверх большой груз, и чем меньше наклон плоскости, тем меньшая нужна для этого сила.

Применив к наклонной плоскости «золотое правило», Галилей нашел отношение между грузом на ней и движущей его силой.

Положим, что груз, скользящий без трения по наклонной плоскости, уравновешен гирей, висящей на веревке, которая прикреплена к грузу и переброшена через блок на верху наклонной плоскости.

Во сколько раз гиря должна быть меньше груза, чтобы они уравновешивали друг друга? Это легко найти, представив себе, что гиря немного опустилась, а груз подвинулся по наклонной плоскости вдоль ее длины на такое же расстояние. Не трудно доказать, что по вертикали большой груз пройдет во столько раз меньшее расстояние по сравнению с малым, во сколько высота наклонной плоскости меньше ее длины.

Но по «золотому правилу» произведение большого груза на расстояние, пройденное им по вертикали (а не вдоль наклонной плоскости), должно быть равно произведению малого груза на пройденное им расстояние.

Значит, малый груз во столько раз меньше большого, во сколько высота наклонной плоскости короче ее длины.

Когда груз q опустится на величину а, груз пройдет такое же расстояние вдоль наклонной плоскости. Но по вертикали он продвинется на расстояние меньшее в отношении ac/ab = AC/AB.

Так Галилей разрешил проблему наклонной плоскости, оставшуюся загадкой даже для гениального Архимеда. Он сумел обобщить найденный им закон наклонной плоскости, сделав знаменитый опыт с маятником.

Подвесив небольшой тяжелый шарик на тонкой нити, Галилей отводил его в сторону и отпускал. Шарик начинал колебаться, то опускаясь, то поднимаясь по дуге круга.

Подъем шарика при колебании происходил (если не принимать во внимание сопротивления воздуха и трения в точке подвеса) до той же высоты, с какой он начинал свое движение.

Галилей вбил гвоздь прямо под точкой подвеса маятника, так что при колебании его нить огибала гвоздь. Когда колеблющийся шарик, описав половину прежней длинной дуги, задевал нитью за гвоздь, его движение дальше продолжалось по дуге меньшего радиуса. Но все-таки он, как и ранее, достигал той же высоты.

Галилей отводил шарик в другую сторону, чтобы колебание его начиналось, когда нить обогнула гвоздь. Отпущенный шарик, пройдя по дуге меньшего радиуса, все-таки приобретал в нижней точке ту же скорость, которая позволяла ему подняться до той же высоты по большой дуге.

Опыт Галилея доказывал, что скорость, приобретаемая падающим телом, зависит только от разности высот, а не от длины пройденного пути.

Маятник, подвешенный в точке О, поднимается на ту же высоту, если он огибает гвоздь К.

Инерция движения

Некоторое представление об инерции тел было известно с древнейших времен. Всегда люди знали, что предметы не начинают двигаться сами по себе, без действия на них силы: тяжести перевозились лошадьми, пыль переносилась ветром, мельницы приводились в движение водой.

Из таких наблюдений и вытекали воззрения древних ученых на движение тел. Например, Аристотель не имел никакого понятия об инерции движения. Он был уверен, что тело движется только под действием силы и немедленно останавливается, как только прекращается ее действие.

Леонардо да Винчи и Бенедетти еще смутно представляли себе инерцию движения. Только Галилей вполне ясно осознал это явление. Он ввел в механику и самый термин «инерция», впервые упомянутый Кеплером.

В ранних работах по механике Галилей еще не сформулировал принципа инерции. Но он, что совершенно очевидно, пользовался им в своих исследованиях.

Однако современники его, усваивавшие в университетах динамику Аристотеля, не были подготовлены к восприятию этого нового понятия в механике. Поэтому Галилею пришлось выдержать упорную борьбу со схоластами.

В своих умозрительных положениях аристотелианцы часто ссылались на опыты, но… они не делали их.

Так было и с вопросом об инерции.

Схоласты утверждали, будто камень, сброшенный вниз с мачты движущегося корабля, отстанет от мачты. Между тем стоило только сделать этот опыт, чтобы убедиться в ошибочности их мнения.

Галилей же указывал на сделанные в действительности наблюдения, что «камень, падающий с корабельной мачты, всегда попадет в одно и то же место, движется ли корабль или стоит на месте».

Незнание инерции ставило в большое затруднение схоластов, когда нужно было объяснять явление движения.

Почему летит камень, брошенный рукой?

Почему продолжает плыть лодка, когда уже подняты весла?

Аристотелю постоянно приходилось придумывать объяснения, которые если и могли быть приняты, то только для данного случая. Схоласты даже и не стремились сами объяснять явление природы. Им достаточно было знать, что говорил об этом Аристотель.

Но Галилей искал законы движения тел. Он открыл инерцию, объясняющую и полет брошенного камня и движение лодки, когда подняты весла.

Свойство инерции тел установлено наблюдением. Равномерное движение сохраняется тем дольше, чем меньше препятствий оно встречает на своем пути: брошенный шар катится по садовой дорожке значительно дальше, чем по траве; еще дальше он покатится по доскам и тем более по гладкому льду, потому что на садовой дорожке трение меньше, чем на траве, на досках – меньше, чем на дорожке, и еще меньше трение на льду.

Из подобных наблюдений Галилей сделал вывод, что равномерное прямолинейное движение – такое же естественное состояние тела, как и покой.

Доказать теоретически существование инерции тел нельзя: это – свойство физических тел, и оно может быть познано только путем наблюдения и опыта.

К такому воображаемому опыту (предполагая, что нет трения) и прибегал Галилей, чтобы убедить своих современников в существовании инерции.

В своем сочинении «Диалог о двух системах мира» он писал: «На наклонной плоскости тяжелое тело движется вниз ускоренным движением, и чтобы его удержать в покое, требуется употребить силу; на восходящей плоскости сила, напротив того, требуется, чтобы гнать его вверх, а также, чтобы его там удержать… Теперь скажите, что будет с тем же телом на плоскости, которая ни вниз не опускается, ни вверх не поднимается!» Ответ таков: «Если длина ее будет бесконечна, то и движение будет без границ, то-есть вечно».

Обращаясь, по существу говоря, к опыту, Галилей придал своему доказательству форму логического рассуждения, привычную ученым его времени.

Позднее, в своих «Беседах и математических доказательствах о двух новых науках», Галилей повторил это утверждение в более ясной и категорической форме:

«Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления движению, то… движение его является равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца».

Вводя понятие об инерции движения, Галилей решительно порывал с динамикой Аристотеля, подрывая самые основы натурфилософской механики.

Вместе с тем инерция позволила Галилею правильно понять, как движется тело под действием на него постоянной силы.

Первой проблемой, которой занялся Галилей, было свободное падение тел.

Законы свободного падения

Свободное падение издавна привлекало наибольшее внимание механиков и мыслителей. В средние века оно занимало умы уже не только ученых. О нем велись оживленные беседы при дворах итальянских герцогов, в «академиях», в мастерских художников и ремесленников. Всех удивляло, почему свинцовый шар при падении не обгоняет деревянный, хотя первый гораздо тяжелее второго.

Но как ни убедительно было свидетельство опыта, схоласты продолжали верить Аристотелю, будто бы чем тяжелее тело, тем быстрее оно падает.

Даже в 30-х годах XVII века вопрос о свободном падении не потерял своей остроты; это доказывает обмен мнениями собеседников в «Диалоге» Галилея:

«Сальвиати…ядро в фунт, десять, сто и тысячу фунтов проходит те же сто локтей[5]5
  Локоть – древняя мера длины, равная приблизительно длине локтевой кости. Длина локтя колебалась от 370 до 555 миллиметров.


[Закрыть] в одно и то же время.

Симпличио. О, этому я не верю, как не верил и Аристотель, который пишет, что скорости падающих тел находятся… в таком же отношении, как их веса.

Сальвиати. Если вы, синьор Симпличио, хотите принять это за истину, то вам придется поверить, что если дать падать в один и тот же момент с высоты ста локтей двум ядрам из одного и того же материала, одному – в сто фунтов, а другому – в один, то большее дойдет до земли, в то время как меньшее опустится едва ли на один локоть; теперь постарайтесь, если только сможете, представить себе в воображении большое ядро уже лежащим на земле, а меньшее – находящимся на локоть от вершины башни».

Словами Сальвиати говорит сам Галилей, указывающий на явное противоречие мнения Аристотеля действительно наблюдаемому свободному падению.

Еще в Пизе Галилей не раз поднимался на наклонную башню для опытов, приглашая присутствовать при них и своих противников. Он сбрасывал с башни ядра разного веса, показывая, что они одновременно падают на землю.

Опыт Галилея со сбрасыванием тяжелых и легких ядер с наклонной башни.

Но, несмотря на очевидность заблуждения Аристотеля, схоласты отрицали значение опытов Галилея. Они указывали на ничтожное отставание менее тяжелых ядер. Между тем оно легко объяснялось влиянием сопротивления воздуха, больше действовавшего на менее тяжелые тела.

Чтобы бить своих врагов их же собственным оружием, Галилей прибегал к чисто логическим доказательствам в духе того времени. Он указывал, например, что «если одна лошадь может пробегать в час 3 мили и другая столько же, то они не пробегут 6 миль в час, если их запрячь вместе».

Конечно, это – только остроумное сравнение, а не доказательство. Более серьезное значение, как казалось, могло иметь следующее указание Галилея на внутреннее противоречие в учении Аристотеля о падении тел: если более тяжелое тело падает быстрее, чем легкое, то какова скорость падения связанных вместе этих тел? Тяжелое должно ускорять, а легкое замедлять падение связанного с ним тела. Значит, скорость должна быть некоторой средней. По учению же Аристотеля, она должна быть большей, чем у тяжелого тела.

Понятно, что подобное рассуждение не могло решить проблему свободного падения. В нем Галилей обращается к еще более сложной проблеме – взаимодействию тел, законы которого отнюдь не очевидны.

Галилей и не довольствовался такими рассуждениями. Он правильно думал, что только опыт может подвести к открытию законов движения тел. И Галилей прибегнул к опыту с маятником – колеблющимся тяжелым шариком на тонкой нити.

Колебание маятника происходит потому, что отведенный в сторону грузик падает. Но нить удерживает его на одном и том же расстоянии от точки подвеса. Поэтому грузик движется по дуге круга.

Достигнув низшей точки, грузик по инерции поднимается до прежней высоты и останавливается. Затем он снова падает и так колеблется из стороны в сторону, пока его не остановит сопротивление воздуха.

Галилей пробовал подвешивать на нити свинцовую пулю, пробку, глиняный шарик. Все эти маятники при равной длине совершали колебания в одинаковый промежуток времени. Значит, скорость падения грузиков не зависела от их веса. Но по каким законам движется свободно падающее тело? Это еще никому не было известно. Только Галилей, положивший в основу своих исследований инерцию движения, сумел вывести эти законы.

Прежде чем приступить к решению проблемы движения тел, Галилей должен был внести ясность в понятия о скорости и ускорении.

Что такое скорость равномерно движущегося тела, это было известно всем. Но что понимать под скоростью тела, ускоряющего или замедляющего свое движение?

Галилей ввел понятие о средней скорости.

Положим, что, двигаясь ускоренно, тело прошло в течение некоторого времени определенное расстояние. Можно представить, что за то же время оно могло пройти такое расстояние, двигаясь равномерно. Скорость, которую оно должно иметь в этом случае, и есть средняя скорость.

Это понятие было новым во времена Галилея. Еще менее ясным казалось тогда представление об ускорении и вызывающей его причине.

Что свободное падение есть равномерно ускоренное движение, было замечено еще древними философами. В средние века Леонардо да Винчи также отметил ускоренный характер свободного падения. Он даже высказал мнение, что скорость свободно падающего тела возрастает в арифметической прогрессии, но не сделал из этой гипотезы выводов.

Галилей первый объяснил причину ускорения свободно падающего тела. Он понял, что сила тяжести в каждое мгновение сообщает телу движение, сохраняющееся по инерции. Значит, под влиянием силы тяжести скорость свободного падения должна непрерывно увеличиваться.

Изучая движение падающих тел, Галилей предположил, что ускорение постоянно, то-есть увеличение скорости одинаково за каждую секунду.

«Приращение скорости мы проще всего можем представить себе, – писал он, – как происходящее в соответствии с такими же равными промежутками времени. Умом своим мы можем признать такое движение единообразным и неизменно равномерно ускоряющимся».

Сделав такое предположение, Галилей мог уже теоретически вывести законы свободного падения тел.

Из постоянства ускорения следовало, что под действием силы тяжести скорость падающего тела возрастает пропорционально времени. А вычислив среднюю скорость, легко найти и пройденное телом расстояние.

Сделав эти выводы, Галилей писал в «Диалоге»: «Вы должны уже знать, что тяжелое тело, падая и приобретая все новую скорость… обладает в любом месте на линии своего движения такой степенью скорости, что если бы оно продолжало двигаться далее равномерно, не увеличивая более скорости, то за промежуток времени, равный тому, какой оно потратило на падение, оно прошло бы пространство, вдвое большее против пройденного»[6]6
  Расстояние, пройденное телом на промежуток времени t, равно gt² /2, а скорость его в конце падения v = gt. Если бы тело стало двигаться далее равномерно, то за то же время t оно прошло бы расстояние gt² то-есть вдвое больше, чем за предыдущий промежуток времени.


[Закрыть].

Галилей вывел законы свободного падения, предположив, что это – равномерно ускоренное движение.

Но таково ли оно в действительности?

Подтвердить предположение Галилея и справедливость его законов мог только опыт.

Проверка опытом законов падения

Как же можно было проверить законы Галилея на опыте? Нельзя же заметить, какое расстояние пролетает свободно падающее тело в первую, вторую, третью и так далее секунду. С большим трудом, и не очень точно, можно было, пожалуй, лишь установить время, в течение которого падающее тело проходит расстояние от вершины башни до земли.

Галилей избрал, однако, другой путь для проверки теоретически найденных им законов. Он прибег к помощи наклонной плоскости.

Шарик скатывается по наклонной плоскости под действием силы тяжести. Значит, свободное скатывание шарика по наклонной плоскости должно происходить по тем же законам, как и свободное падение. Скорость же скатывания можно сколько угодно уменьшить, изменяя угол наклона плоскости.

Пуская шарик по наклонной плоскости, можно было измерить время, необходимое шарику, чтобы скатиться до ее основания. Длина наклонной плоскости известна. Значит, можно было вычислить, каково ускорение скатывания по наклонной плоскости.

Для опытов Галилей взял доску длиной двенадцать локтей, конец которой был приподнят только на один-два локтя. Посередине доски был простроган узкий желоб, выстланный очень гладким пергаментом для уменьшения трения. По желобу скатывались бронзовые шарики, пускавшиеся Галилеем. Время измерялось водяными часами, то-есть по количеству воды, успевавшей вытечь из верхнего сосуда в нижний.

Сперва шарик был пущен с верхнего конца желоба. Когда он докатился вниз, Галилей заметил по водяным часам, сколько понадобилось ему на это времени.

По закону, выведенному теоретически Галилеем, расстояние, пройденное свободно падающим телом, увеличивается пропорционально квадрату времени. Следовательно, в четыре раза более короткий путь шарик должен пройти во вдвое более короткий промежуток времени. Пустив шарик с верхнего конца четвертой части длины желоба, Галилей убедился, что для этого расстояния шарику действительно понадобилось только вдвое меньше времени.

Опыт Галилея со скатыванием шариков по наклонной плоскости.

Так было доказано, что скатывание по наклонной плоскости подчиняется закону, выведенному для свободного падения. Значит, предположение Галилея, что ускорение свободного падения постоянно, справедливо.

Пользуясь наклонной плоскостью, можно было определить ускорение скатывания по ней. Для этого достаточно только заметить время, в течение которого шарик проходит всю ее длину.

Галилей хотел из этого опыта определить ускорение свободного падения. Он не знал, что вращение шарика очень усложняет эту задачу, которая могла быть решена таким путем только после открытия законов вращения тел.

Вот если бы можно было осуществить опыт скольжения тела без трения по наклонной плоскости, то такая задача не представила бы затруднений.

Допустим, что тело, скользящее по наклонной плоскости, прошло длину ее l за t секунд. Тогда l = at²/2, где a – ускорение скольжения.

Из закона наклонной плоскости следует, что сила, действующая вдоль нее, во столько раз меньше силы тяжести, во сколько высота ее меньше длины. Поэтому ускорение свободного падения легко было бы определить, зная ускорение скользящего тела.

Галилей изучал движение падающего тела кинематически, то-есть только с геометрической стороны. Он не принимал во внимание силы тяжести, сообщающей телам движение. Самое понятие о силе еще было неясным. Галилей часто называл причину, вызывающую движение, «импульсом» – слово, обозначающее в современной механике произведение силы на время (равное количеству движения). Но открытие кинематических законов движения падающих тел все-таки позволило Галилею решать практические задачи техники, например баллистики – науки о движении пушечных ядер.