Текст книги "О движении
(Из истории механики)"

Автор книги: Феофан Бублейников

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 15 страниц)

Механика Ньютона

Ньютон впервые ввел в механику понятие о массе. До него обычно говорили о ней как о весе тела. Вес тела определял количество вещества в нем.

Но, открыв закон всемирного тяготения, Ньютон уже знал, что масса и вес – не одно и то же.

С древнейших времен люди измеряли массу тела весом, как количество материи.

Ньютон поэтому и дал такое определение массы: «Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему», поясняя далее, что опытным путем масса определяется по весу тела, «ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками…»

Определение массы Ньютоном согласовалось с представлением атомистов о строении тел: чем больше в определенном объеме атомов, тем больше и масса тела.

Но вес тела меняется в зависимости от расстояния его до центра тяготения – он не может быть мерой массы. Как же измерить массу независимо от веса тела?

И вот Ньютон ввел понятие об измерении массы ее инерцией. «Врожденная сила[15]15
  Инерция, конечно, есть свойство материи, а не сила.


[Закрыть] материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Эта сила пропорциональна массе».

Об инерции тела дает ясное понятие следующий опыт.

Допустим, что между двумя легкоподвижными, маленькими одинаковыми тележками зажата спиральная пружина. Тележки связаны ниткой, не позволяющей пружине расправиться. Они стоят на рельсах, вдоль которых уложена длинная линейка с делениями. Разрезав острыми ножницами нитку, мы освободим пружину.

Быстро расправившись, пружина толкнет тележки, и они откатятся на одинаковое расстояние. Но если одну из тележек нагрузить свинцовой дробью так, чтобы она вместе с грузом весила вдвое больше, чем другая, то нагруженная тележка откатится на расстояние, вдвое меньшее, чем пустая.

И где бы мы ни сделали этот опыт – на полюсе или на экваторе, – тележки откатятся везде на одно и то же расстояние. Даже если бы мы произвели его на Луне, где тяжесть тележек и груза уменьшилась бы почти в шесть раз, тележки под действием толчка распрямляющейся пружины откатились бы на такое же расстояние, как и на поверхности Земли.

Впервые Ньютон ввел в механику ясное понятие и о силах, не касаясь, однако, их природы. По Ньютону, сила есть причина движения. Она сообщает ускорение телу.

Основные законы механики Ньютон выразил в такой форме:

1. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

2. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие; иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

Первый закон представляет собой только новую формулировку понятия об инерции, введенного в механику еще Галилеем.

Второй закон практически применялся Галилеем и Гюйгенсом. Но отсутствие ясного представления о силе не позволило до Ньютона дать ему точное выражение.

Зная первые два закона, можно определить, как будет двигаться тело под действием на него сил. Но наблюдения показали, что тела природы взаимно действуют одно на другое: если лошадь тянет телегу, то и телега с той же силой оказывает сопротивление лошади, действующее через упряжь.

Третий закон Ньютона обобщает это явление на все тела природы: Земля притягивает Луну, но и Луна с такой же силой притягивает Землю; то же взаимодействие существует между всеми телами вселенной.

Установление этого закона было большим шагом в развитии механики. Оно позволило правильнее понять движение планет.

Мы говорим, что Луна под влиянием притяжения Земли обращается вокруг нее. В действительности же Земля и Луна под влиянием взаимного притяжения обращаются вокруг общего центра их масс, лежащего на расстоянии около 4700 километров от центра Земли.

Только большое превосходство массы Солнца создает представление, будто планеты обращаются вокруг него. На самом же деле каждая планета и Солнце обращаются вокруг общего центра их масс.

Это явление совершенно очевидно у двойных звезд, у которых различие масс часто бывает невелико.

В механике Ньютона получило строгое выражение и понятие об относительности движений, на которую указывал еще Галилей. В доказательство относительности движений Галилей приводил следующий опыт.

«В большой каюте под палубой какого-нибудь крупного корабля, – писал он, – запритесь с кем-либо из ваших друзей и устройте так, чтобы в ней были мухи, бабочки и другие летающие насекомые; возьмите также большой сосуд с водой и рыбок внутри него; приладьте еще какой-либо сосуд повыше, из которого вода падала бы по каплям в другой, нижний сосуд с узкой шейкой; и пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте внимательно, как эти насекомые будут с одинаковой скоростью летать по каюте в любом направлении; вы увидите, как рыбки начнут двигаться безразлично в направлении какой угодно части края сосуда; все капли воды, падая, будут попадать в сосуд, поставленный снизу… Когда вы хорошо заметите все эти явления, дайте движение кораблю, и притом с какой угодно скоростью, тогда (если только движение его будет равномерным, а не колеблющимся туда и сюда) вы не заметите ни малейшей разницы во всем, что было описано, и ни по одному из этих явлений вы не сможете удостовериться, движется ли корабль или стоит неподвижно».

Из этого опыта следовало, что все механические явления и законы, выведенные из наблюдений на неподвижной суше, справедливы и в каюте плывущего судна, перемещающегося равномерно и прямолинейно относительно берега.

При изучении движений мы определяем положение тела относительно точки, принимаемой за неподвижную. Например, находясь в вагоне – относительно его угла: предметы, не меняющие места относительно него, считаются неподвижными. Но вагон со всеми предметами и наблюдателем внутри него катится по рельсам. Условно говорят, что движется пространство, относительно которого определяется положение тел в вагоне.

Применяя это выражение, Ньютон и дал определение принципа относительности движений: «относительные движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения».

Законы, выведенные в одном пространстве, справедливы и в другом, движущемся относительно него равномерно и прямолинейно. Чаще говорят о движущихся не «пространствах», а системах.

Вагон – движущаяся система относительно Земли, Земля – относительно Солнца, Солнце и планеты – относительно звезд…

Находясь в системе, движущейся равномерно и прямолинейно, наблюдатель не может установить, движется ли он или находится в состоянии покоя.

Вторая книга «Начал» посвящена изучению движения тел в среде, оказывающей сопротивление (внутреннее трение), зависящее от скорости движущегося тела. Ньютон рассматривал случаи, когда сопротивление среды пропорционально скорости. Он исследовал круговое движение в сопротивляющейся среде и колебание в ней маятника.

Эту книгу Ньютон закончил исследованием вихревых движений в жидкости. Он доказывал, что если бы планеты переносились в пространстве вихрями тонкой материи, как учил Декарт, то они не двигались бы по законам Кеплера.

«Таким образом, – писал он, – гипотеза вихрей совершенно противоречит астрономическим явлениям и приводит не столько к объяснению движений небесных тел, сколько к их запутыванию. Способ, которым эти движения совершаются на самом деле в свободном пространстве, можно понять по первой книге, подробнее же он рассматривается в изложении системы мира».

Открытие всемирного тяготения раскрыло механизм, управляющий движениями всех тел вселенной: от метеоритов и комет до звезд и галактик. Оно легло в основу «небесной механики», изучающей движение космических тел.

Но обаяние имени Декарта, ниспровергнувшего аристотелианство в механике, долго препятствовало признанию всемирного тяготения на континенте Европы. Французские ученые упорно держались взглядов Декарта. Только к началу 40-х годов XVIII века Ньютон был признан и во Франции. Но с той поры именно французы, а не англичане развивали в течение всего XVIII века учение Ньютона.

Одной из причин, задержавших распространение механики Ньютона, был примененный им геометрический метод доказательств.

Эти доказательства очень кратки и изящны. Но понимание их требует большого воображения. Говорили, будто во всей Англии в эпоху выхода в свет «Начал» Ньютона было не более десятка ученых, способных понять этот труд.

Возникновение аналитической механики

Изложив доказательства теорем механики геометрическим методом, Ньютон при их выводе иногда пользовался изобретенным им «исчислением флюксий». Одновременно с Ньютоном исчисление бесконечно малых было изобретено немецким философом и математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716). В XVIII веке анализ бесконечно малых был развит математиками континента Европы. Он получил широкое применение в механике и обеспечил быстрые успехи этой науки.

Аналитическое направление механики было создано главным образом трудами замечательного математика Леонарда Эйлера (1707–1783).

Молодой Эйлер готовился к духовному званию. Но уроки, которые он брал у известного математика Иоганна Бернулли, изменили его намерения. Эйлер ревностно взялся за изучение математики.

Эйлеру было только двадцать лет, когда его пригласили в Петербургскую Академию наук занять кафедру… физиологии. Он спешно взялся за изучение этой науки и принял предложение.

В день прибытия Эйлера в Петербург скончалась императрица Екатерина I, покровительствовавшая Академии наук. Некоторые академики решили уехать из России. Скоро кафедры физики и математики стали свободны.

Заняв в Академии наук кафедру математики, Эйлер проявил необыкновенные способности. Однажды понадобились астрономические таблицы, для вычисления которых математики требовали несколько месяцев. Эйлер взялся вычислить их в течение трех дней и сдержал слово.

Эта напряженная работа стоила Эйлеру, однако, очень дорого: вследствие переутомления он заболел и ослеп на один глаз. По выздоровлении Эйлер продолжал усиленно работать.

В первый период пребывания в России Эйлер написал и издал в 1736 году свой труд «Механика в аналитическом изложении», ставший началом нового направления в развитии этой науки.

Работы, изданные Петербургской Академией наук, доставили Эйлеру большую известность. Прусский король Фридрих Великий письмом из военного лагеря пригласил его в 1741 году в Берлинскую Академию наук. Эйлер принял предложение и поехал в Берлин, где прожил двадцать пять лет.

В этот, второй период своей жизни Эйлер издал больше сотни ценных математических трудов и работ по механике. В 1766 году Эйлер по приглашению императрицы Екатерины II снова возвратился в Россию и оставался в Петербурге до конца жизни.

В первый же год по возвращении в Петербург Эйлер потерял и второй глаз. Ему остались доступны только крупные меловые знаки на черной доске. Но Эйлер не уменьшил масштаба своей научной деятельности. Он продолжал выпускать математические труды, работая до последнего дня жизни.

Эйлер отказался от трудных геометрических выводов Ньютона. Он изучал движение аналитически, выражая зависимость между временем и положением материальной точки уравнениями.

Эйлер утверждал, что «всякое тело, которое передвигается в другое место… проходит через все средние места и не может из начального места перейти сразу в конечное».

Это значит, что в течение чрезвычайно короткого промежутка времени и положение тела изменится очень мало. Поэтому к изучению движения тела можно применить исчисление бесконечно малых величин.

При геометрическом методе логическое рассуждение связано с проводимыми линиями и плоскостями, которые нужно начертить. Аналитический же метод заключается в операциях с математическими знаками, не связанными с наглядными представлениями. Он дает возможность легко производить сложные операции, недоступные для геометрического способа.

Введение Эйлером аналитического метода в механику лишило ее наглядности, которую давал геометрический метод Галилея, Гюйгенса и Ньютона, но зато аналитический метод способствовал быстрому развитию этой науки.

Законы вращения тел

Изучая обращение планет, можно было принимать их за материальные точки – так малы их размеры по сравнению с космическими расстояниями.

Но как движутся части машин? Какие усилия возникают в них при работе?

Части машин – не материальные точки, движущиеся под действием сил. В них возникают напряжения, и они действуют одна на другую. Чтобы рассчитывать машины, стало необходимым разработать механику твердого тела, едва затронутую в работах Гюйгенса и Ньютона.

Занявшись изучением вращения твердых тел, Эйлер должен был прокладывать новые пути в этой неизученной области.

В 1756 году Эйлер издал свой труд «Теория движения твердых тел», в котором установил важнейшие законы вращения твердого тела. Для этого ему понадобилось ввести в механику новые, ранее неизвестные понятия о «моментах»[16]16
  Галилей применял термин «момент» в смысле силы.


[Закрыть]. Одно из них – момент инерции тела относительно оси вращения.

Если принять грузик нитяного маятника за материальную точку, то моментом инерции его относительно оси вращения будет произведение массы на квадрат длины нити. Момент инерции вращающегося тела есть сумма произведений масс его точек на квадраты расстояний от оси вращения.

Гюйгенс пользовался уже этой величиной при изучении колебаний физического маятника. Эйлер обобщил понятие о моменте инерции и применил его при выводе законов вращения всех тел.

Определение момента инерции тел даже правильной геометрической формы представляет собой сложную задачу. Ее решают, разбивая тела на бесконечно малые элементы, момент инерции которых легко определить. Суммируя моменты инерции всех элементов, определяют искомый момент инерции тела.

Например, чтобы найти момент инерции диска относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр, диск разбивают на большое число концентрических колец. Момент инерции диска равен сумме моментов инерции этих колец.

Подобным же способом можно определить момент инерции шара относительно одного из диаметров. Для этого нужно разделить шар системой параллельных плоскостей, перпендикулярных к этому диаметру, на множество дисков. Момент инерции шара равен сумме моментов инерции дисков относительно диаметра, служащего осью вращения.

Эйлер обратил особенное внимание на вращение свободного тела, примером которого может служить вращение Земли и других планет. Найденные им законы для такого вращения аналогичны законам поступательного движения. Только вместо массы в них фигурирует момент инерции, а угловая скорость заменяет поступательную скорость.

В каждом свободном теле, как доказал Эйлер, есть три оси, около которых вращение тела может происходить неопределенно долгое время. Они носят название главных. Особенно замечательна одна из них, относительно которой момент инерции имеет наибольшую величину: вращение около нее очень устойчиво.

Вращение же около двух других осей неустойчиво: при малейшем нарушении положения оси вращения тело начинает непрерывно менять ее, вращаясь около мгновенных осей.

Неустойчивость вращения около осей, не совпадающих с главной осью, можно наблюдать в следующем опыте.

Пусть металлическое кольцо вращается около вертикальной оси. Внутри кольца находится вытянутое тело, могущее поворачиваться около горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести. Тело участвует во вращении кольца.

Если вертикальная ось вращения не совпадает с главной осью тела, то оно начнет поворачиваться около горизонтальной оси. Это движение будет продолжаться до тех пор, пока главная ось тела не совпадет с осью вращения.

Момент инерции однородного шара одинаков относительно всех его диаметров. Поэтому шар может вращаться неопределенно долго около любого из них.

Но сжатый эллипсоид, форму которого имеет, например, Земля, не обладает таким свойством. У него наибольшую величину имеет момент инерции относительно короткой оси. Поэтому вращение только около этой оси имеет устойчивый характер.

Разработанная Эйлером теория объяснила множество явлений, наблюдаемых при вращении тел. Она получила широкое применение в технике при расчетах машин, а в астрономии – при изучении фигуры планет.

Вращение твердых тел

Законами вращения, выведенными теоретически Эйлером, объясняются замечательные свойства вращающихся тел, например волчка и гироскопа. Эйлер и Лагранж изучили два рода волчков.

Волчок Эйлера представляет собой подобие колокольчика с утолщенным нижним краем. Точка опоры его находится внутри и совмещается с центром тяжести волчка.

Другой вид волчка изучен французским математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736–1813).

Жозеф Луи Лагранж был сыном бедных родителей и с ранних лет должен был сам добывать средства к жизни. В возрасте девятнадцати лет он уже преподавал математику в артиллерийском училище. В 1764 году Лагранж получил большую известность, представив в Парижскую Академию наук исследование либрации Луны[17]17
  Либрацией Луны называются небольшие колебания ее относительно Земли, вследствие чего наблюдению доступно более половины лунной поверхности.


[Закрыть], удостоенное специальной премии. Через два года после этого он был приглашен Берлинской Академией наук занять место Эйлера, уехавшего в Россию.

В Берлине Лагранж прожил двадцать лет и издал много трудов по математике и механике. Там же он написал свою знаменитую «Аналитическую механику», но не нашел для нее издателя. Только по возвращении его в Париж эта замечательная работа была опубликована (в 1788 году).

Волчок Лагранжа отличался от изученного Эйлером тем, что у него центр тяжести лежал выше точки опоры. Приведенный в движение, волчок вращался бы равномерно (замедление вращения происходит вследствие трения в точке опоры и в окружающем воздухе). Его движение вполне аналогично равномерному поступательному движению по инерции.

Волчки, вращение которых исследовалось Эйлером (слева) и Лагранжем (справа).

Изучая вращение волчка, механики познакомились с замечательным проявлением инерции – сохранением направления оси вращения.

Волчок, служащий детской игрушкой, позволяет легко убедиться в этом. Приведенный во вращение развернувшейся пружиной, он кажется неподвижным.

Кажущееся на первый взгляд странным сохранение направления оси вращения объясняется очень просто: каждая частица вращающегося тела по инерции сохраняет направление своего движения; поэтому сохраняется положение плоскости, в которой она движется, а ось вращения – воображаемый перпендикуляр к этой плоскости, восстановленный в центре кругового пути частицы.

Поскольку неизменно положение плоскости, в которой лежит путь частицы, постольку сохраняется и направление оси вращения. Когда же внешняя сила заставляет частицы тела изменить направление движения, то инерция частиц сопротивляется этой силе. Это сопротивление ощущается как сила, поворачивающая ось вращения.

Если держать в руках концы оси вращающегося велосипедного колеса и поворачивать ось в горизонтальной плоскости, то частицы колеса сопротивляются изменению их движения и руки испытывают давление вертикальных сил. Наоборот, при поворачивании оси в вертикальной плоскости силы давления действуют в горизонтальном направлении. Рассматривая относительное направление сил, меняющих положение оси вращения и сопротивления этому изменению, можно вывести такое правило: когда на ось вращающегося волчка действует отклоняющая сила, то возникает движение оси в направлении, перпендикулярном этой силе.

Это явление удобно наблюдать на приборе особого устройства. Такой прибор состоит из горизонтального стержня, несущего вращающийся диск и груз. Диск и груз находятся по сторонам от точки опоры стержня, могущего поворачиваться как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскости.

Груз уравновешивает диск, но если передвинуть его дальше от опоры, то он станет поворачивать ось вращения диска в вертикальной плоскости. Вследствие этого стержень получит лишь легкое колебание вверх и вниз, но зато станет вращаться около точки опоры в горизонтальной плоскости, то-есть перпендикулярно к направлению отклоняющей силы.

Волчок, изученный Эйлером и Лагранжей, – не вполне свободное тело. Более свободным является гироскоп Боненбергера.

Рычажный гироскоп Фесселя. Вращающийся диск сохраняет положение оси, но под влиянием силы тяжести прибор получает вращение в горизонтальной плоскости.

Гироскоп – массивный диск, вращающийся в обойме, подвешенной по способу Кардана. Он находится внутри кольца, могущего вращаться около оси, перпендикулярной к оси диска; кольцо, в свою очередь, помещено внутри другого кольца, также легко вращающегося около оси, перпендикулярной к оси вращения первого кольца.

Когда диск гироскопа приведен в быстрое движение, то при любом изменении положения прибора ось вращения сохраняет свое направление в пространстве. Если она была направлена на какую-нибудь звезду, то будет следовать за суточным движением этой звезды.

Это свойство гироскопа позволяет убедиться во вращении Земли. Движения Земли не оказывают влияния на положение оси гироскопа в пространстве. Они увлекают центр тяжести гироскопа, но не могут изменить направление вращения его оси.

Гироскоп. Тяжелый вращающийся диск, установленный в кардановом подвесе, кольца которого могут вращаться около двух взаимно перпендикулярных осей.

Нужно, впрочем, заметить, что, направленный на звезду, гироскоп не должен был бы изменять своего направления даже в том случае, если бы он не вращался. Однако сопротивление воздуха и незначительное трение частей прибора неизбежно будут отклонять его ось.

При быстром же вращении инерция движения сопротивляется не только этому ничтожному трению, но и довольно сильным толчкам.

Движение оси гироскопа под действием отклоняющей силы происходит без инерции; оно длится только в течение времени, пока на ось действует отклоняющая сила. По выражению известного русского механика, академика В. Л. Кирпичева, отклоняющая сила «держит полюс (конец оси вращения. – Ф. Б.) в узде, не позволяет ему ни разбегаться, ни отставать».

Знание свойств гироскопа имеет важное практическое значение. При всех расчетах, связанных с вращением тяжелых частей механизмов, нужно принимать во внимание возникающие вследствие него динамические давления.

Эти давления вызываются поворотом вращающегося тела около оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат действующие на него силы.

Гироскоп. Вращающийся диск сохраняет горизонтальное положение оси в пространстве. Он свободно висит в воздухе, но кольцо движется в горизонтальной плоскости.

На современных судах двигателями служат обычно быстро вращающиеся турбины. Во время качки и при поворотах судна ось турбины отклоняется внешней силой. Это влечет за собой возникновение добавочного давления на подшипники, в которых вращается ось турбины.

Возникающими силами можно воспользоваться для уменьшения качки судна. Для этого в трюме судна нужно установить тяжелый гироскоп, чтобы при изменении его положения вследствие качки сопротивление оси гироскопа уменьшало раскачивание судна волнами.

При боковой качке на ось гироскопа действует пара сил, поворачивающих ее в плоскости, перпендикулярной продольной оси судна. Сопротивление гироскопа ослабляет качку.

Направление давлений в подшипниках оси гироскопа при боковой или килевой качке можно определить, пользуясь приведенным опытом с вращающимся велосипедным колесом.

В авиационных приборах также часто пользуются гироскопами, например для получения «искусственного горизонта»: установленная в горизонтальной плоскости ось гироскопа сохраняет это положение при всех движениях самолета, указывая на угол наклона его оси.

Теория вращения твердого тела получила также широкое применение для объяснения некоторых астрономических явлений, связанных с вращением Земли. Важнейшее из этих явлений – предварение равноденствий, или прецессия, замечено еще древними астрономами.