Текст книги "О движении
(Из истории механики)"

Автор книги: Феофан Бублейников

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 15 страниц)

Вращение Земли

О вращении волчка мы судим, наблюдая его движение относительно окружающих предметов. Подобно этому можно изучать и вращение Земли по отношению к звездам, которые в этом случае считаются неподвижными.

Суточное движение звездного неба – кажущееся явление. Это отражение вращения самой Земли. Когда Земля повернется около своей оси на какой-либо угол, на такой же угол в обратном направлении изменится и направление, в котором мы видим каждую звезду.

Оси кажущегося движения небесной сферы и действительного вращения Земли совпадают: ось мира, около которой вращается небесная сфера, есть воображаемое продолжение земной оси. Точки неба, в которых она как бы «упирается» в небесную сферу, – полюсы мира.

В Северном полушарии полюс мира находится в настоящее время вблизи Полярной звезды.

Если ось вращения Земли не меняла бы своего положения относительно звезд, то полюсы мира оставались бы всегда на одном месте.

Полюс мира ничем не отмечен на небесной сфере, но он вполне точно определяется астрономическими наблюдениями. Если бы полюс мира передвинулся, это значило бы, что изменилось и направление в пространстве земной оси.

Как доказали астрономические наблюдения, полюс мира не остается на одном месте. Он медленно движется среди звезд вокруг полюса эклиптики – так называется точка пересечения перпендикуляра, восстановленного в центре орбиты Земли, с небесной сферой[18]18
  При движении земной оси по конусу меняется и положение плоскости экватора, причем точка весеннего равноденствия перемещается с востока на запад. Вследствие этого прямое восхождение всех звезд, отсчитываемое от этой точки, постоянно меняется на одну и ту же величину, что было замечено астрономами еще в древности.


[Закрыть].

Следовательно, земная ось движется по конической поверхности с вершиной конуса в центре Земли. Это движение вполне подобно тому, которое совершает ось вращающегося волчка, отклоняемая силой тяжести. Таким же образом объясняется и движение земной оси.

Земля немного сжата у полюсов и вытянута вдоль экватора. Разность полярного и экваториального радиусов равна 21,5 километра. Можно представить себе фигуру Земли как шар, опоясанный по экватору кольцом.

Притяжение Луны поворачивает экваториальное кольцо Земли в плоскость лунной орбиты. Поэтому оно отклоняет и ось вращения Земли. Вследствие гироскопического эффекта экваториальное кольцо получает движение, в результате которого ось вращения Земли описывает поверхность конуса.

Круговое движение земной оси усложняется еще обращением Луны вокруг Земли. Во время этого обращения Луна то приближается к плоскости экватора, то удаляется от нее до 5° небесного меридиана.

Когда Луна находится в плоскости земного экватора, зависящее от Луны движение земной оси прекращается. При удалении Луны на наибольшее расстояние от плоскости земного экватора земная ось движется по конусу с наибольшей скоростью.

Подобным же образом влияет на положение земной оси вращение и притяжение Солнца. Но действие Солнца слабее действия Луны вследствие огромного расстояния, отделяющего от него Землю.

Если бы Земля вращалась около оси, относительно которой момент инерции ее имеет наибольшую величину, то вращение было бы очень устойчивым. Положение оси в теле Земли оставалось бы неизменным.

В действительности это не вполне верно.

Пересечения оси вращения с поверхностью Земли представляют собой ее географические полюсы. Если ось вращения не меняет положения в теле Земли, то не должно изменяться и положение на ней полюсов, а вместе с тем и географической широты каждого пункта земной поверхности.

Земная ось совершает движение по конусу с вершиной в центре Земли, подобно тому как это наблюдается у вращающегося волчка.

Впервые Эйлер, исходя из своей теории вращения твердого тела, указал, что если земная ось вращения не вполне точно совпадает с главной осью, то она должна понемногу менять свое положение в Земле.

В те времена, однако, нельзя было установить, меняется ли географическая широта, например, обсерваторий. Только во второй половине XIX века измерения достигли такой точности, что можно было проверить справедливость предположения Эйлера.

Путем точнейших и тщательных измерений астрономы доказали, что географическая широта обсерваторий действительно периодически немного меняется: причем когда у одного пункта она увеличивается, то у симметрично расположенного пункта по другую сторону полюса уменьшается. Эти движения полюсов невелики, и отклонение их от среднего положения не превышает 10 метров.

Перемещение полюсов доказывает, что ось вращения Земли меняет в ней свое положение. Значит, Земля вращается около оси, не вполне совпадающей с той, относительно которой момент инерции ее имеет наибольшую величину.

Вращение Земли оказывает влияние и на фигуру ее.

Если бы Земля не вращалась, то все ее частицы расположились бы вполне симметрично, и она имела бы форму шара. Вращение же заставило Землю сжаться у полюсов и вытянуться в плоскости экватора, приняв форму сжатого эллипсоида.

Впервые на сжатие Земли указал Ньютон. Он вывел теоретически и величину сжатия, то-есть отношение разности между экваториальным и полярным радиусами к большой полуоси.

Величина сжатия зависит от скорости вращения. Если бы угловая скорость вращения Земли увеличилась, то экваториальный радиус удлинился бы, а полярный укоротился. Проблемой зависимости фигуры Земли от угловой скорости ее вращения занимались многие математики и механики. Особенно важны исследования русского математика А. М. Ляпунова (1857–1918).

Сын русского астронома, А. М. Ляпунов окончил С.-Петербургский университет, получив золотую медаль за сочинение по математике. Он был оставлен при кафедре математики для подготовки к профессуре.

А. М. Ляпунов работал с увлечением, довольствуясь четырьмя-пятью часами сна. Он редко посещал театры и концерты, сосредоточив все свои интересы на математических исследованиях.

Диссертация А. М. Ляпунова, написанная для соискания первой ученой степени (магистра), была посвящена фигуре вращающегося жидкого космического тела. Последующие его работы также родственны этой теме.

А. М. Ляпунов доказал, что если бы скорость Земли все увеличивалась, то при достижении ею некоторой величины сжатый эллипсоид перестал бы быть фигурой «равновесия»; Земля начала бы сжиматься не только у полюсов, но и вдоль одного из диаметров экватора.

В настоящее время земные меридианы имеют эллиптическую форму, а экватор и параллели – круги. При большом же ускорении вращения экватор и параллели также превратились бы в эллипсы.

Тело, у которого и меридианы и параллели – эллипсы, называется трехосным эллипсоидом.

Исследование показало, что превращение фигуры Земли началось бы, когда большая ось ее превзошла бы по длине малую в 1,72 раза.

Трехосный эллипсоид оставался бы фигурой «равновесия» до определенной угловой скорости вращения Земли. При ускорении вращения отношение между его осями продолжало бы изменяться. Наконец, когда оси стали бы относиться как 1000: 432: 343, то один конец эллипсоида начал бы вытягиваться, а другой притупляться.

Трехосный эллипсоид принял бы грушевидную форму. Как доказал А. М. Ляпунов, эта фигура неустойчива: от вытянутого конца должна бы отделиться часть тела, после чего тело опять приняло бы устойчивую форму эллипсоида. При замедлении вращения тела изменение его формы происходило бы в обратном порядке: укорачивался бы экваториальный диаметр и удлинялась бы ось вращения.

В настоящее время сжатие Земли равно 1/298,3. Оно соответствует угловой скорости вращения, при которой Земля совершает один оборот около оси в течение 24 часов[19]19
  Сжатие Земли есть отношение разности между ее полуосями к большой полуоси. В круглых числах оно равно (6378,3-6356,9)/6378.3 = 298,3.


[Закрыть].

Но, как доказали астрономические наблюдения, скорость вращения Земли замедляется. В течение ста лет сутки становятся длиннее на 0,001 секунды. Это явление объясняется трением волны морского прилива, двигающейся в направлении, обратном вращению Земли.

Когда-то в далеком геологическом прошлом Земля вращалась быстрее, чем в наше время. Но трение волны прилива замедлило ее вращение.

Положим, что удлинение суток вследствие замедления приливным трением угловой скорости вращения Земли происходило в течение тысячи шестисот миллионов лет. Как показывает расчет, сутки должны были удлиниться приблизительно на 4 часа.

Вместо 24 часов сутки длились только 20 часов, то-есть 0,8 нынешних суток. Значит, Земля вращалась в 1/0,8 = 1,2 раза быстрее. Поэтому сжатие ее было больше, чем теперь.

Сжатие увеличивается пропорционально квадрату скорости вращения. Теперь оно равно 1/298,3. Значит, в те времена оно было в 1,2² больше, то-есть равнялось 1/210. Через тысячу миллионов лет сутки удлинятся на 2,5 часа. Они будут равны 26,5 часа, то-есть в 26,5/24 = 1,1 раза длиннее. Угловая скорость вращения Земли уменьшится в 1,1² раза. Вследствие этого полярный радиус удлинится, а экваториальный укоротится настолько, что сжатие Земли не превзойдет 1/360.

Все эти расчеты сделаны в предположении, что вращается жидкая масса. Земля же – твердое тело. Однако под влиянием постоянных сил, как, например, тяготения частиц к центру масс, она проявляет свойства жидкого тела.

Поэтому при изменении скорости вращения фигура Земли будет изменяться. Но это изменение может происходить лишь очень медленно, вследствие чрезвычайной вязкости Земли.

Начало Даламбера

В первой половине XVIII века французский механик и математик Жан Лерон Даламбер (1717–1783) дал замечательный новый метод решения задач динамики.

Жизнь этого ученого может служить примером достижения больших успехов личным трудом.

Даламбер не знал своих родителей. Он был найден ребенком на паперти одной из церквей в Париже. Воспитанный в семье стекольщика, Даламбер занимался для заработка юридическими науками. Но, увлекшись математикой, он проявил в ней большие способности и быстро приобрел известность среди ученых.

В возрасте двадцати четырех лет Даламбер уже был выбран в члены Парижской Академии наук и получил крупную королевскую пенсию, позволившую ему, не заботясь о заработке, отдать все свое время научным исследованиям.

В расцвете славы Даламбер получил приглашение занять пост президента Берлинской Академии наук, а позднее – стать воспитателем сына императрицы Екатерины II. Но он отказался от обоих предложений и всю жизнь оставался на родине – во Франции, где был избран секретарем Парижской Академии наук.

Свой знаменитый трактат по динамике, составивший эпоху в развитии механики, Даламбер написал, когда ему было только двадцать шесть лет. В этом труде он изложил введенный им метод решения задач динамики, получивший название «начала Даламбера».

Чтобы понять, в чем заключается этот метод, нужно ввести понятие об инерционных (фиктивных) силах, возникающих при ускоренном движении.

Положим, что в каюте судна, плывущем равномерно и прямолинейно, наблюдатель изучает движение тел. Соответствующими опытами он установил бы законы, открытые Галилеем. С какой бы скоростью ни плыло судно, законы Галилея оправдывались бы в его каюте так же, как и на берегу.

Ни по каким механическим (и вообще физическим) явлениям пассажир каюты не мог бы узнать, движется ли он или находится в состоянии покоя.

Но если бы судно вдруг наскочило на подводный камень, то все предметы в каюте получили бы резкий толчок вперед. Это – проявление инерции движущихся тел: судно остановилось, а предметы в каюте, не связанные с ним, продолжают прежнее движение вперед.

Пассажир, не знающий о движении судна, имел бы право приписать внезапное движение предметов в каюте действию какой-то силы.

Подобное же явление наблюдалось бы при отплытии от пристани судна, равномерно ускоряющего ход.

Желая изучить возникающее в каюте движение тел, пассажир мог бы поставить в каюте игрушечный поезд на рельсах, направленных от кормы к носу судна. Он прикрепил бы один конец тонкого резинового шнура к поезду, а другой – к передней стенке каюты.

Судно ускоряло бы свой ход, а поезд откатывался бы от передней стенки каюты, растягивая резинку. Это продолжалось бы до тех пор, пока сила натяжения резинового шнура не сообщила бы ускорения судна поезду.

Наблюдатель, не знающий о движении судна, приписал бы это явление силе, действующей на поезд и растягивающей резиновый шнур.

Иная картина представилась бы наблюдателю, стоящему на берегу, если бы он мог видеть, что происходит в каюте.

Наблюдатель увидел бы, что движущееся судно растягивает резинку, прикрепленную к поезду. Поезд же по инерции остается неподвижным относительно берега.

Натяжение резинки сообщает поезду ускоренное движение. Поезд действует (по третьему закону Ньютона) через резинку на судно в обратную сторону.

Наблюдатель на берегу не увидел бы проявления в каюте никаких других сил. Сила, действующая на поезд в сторону, обратную движению судна, не существует. Это – проявление инерции поезда.

Такие кажущиеся, или фиктивные, силы, возникающие при ускоренном движении, называются инерционными.

Поезд в каюте движется (для наблюдателя с берега) под действием натяжения резины. Противодействие его через резиновый шнур приложено к судну. Если же рассматривать поезд с точки зрения наблюдателя в каюте, то он находится под действием напряжения резины и приложенной к поезду силы, уравновешивающих друг друга. Эта сила равна по величине и направлению противодействию, оказываемому телом по третьему закону Ньютона.

Изучая движения тела, нужно найти способ составить уравнение, которое связывает действующие на него силы с пройденным расстоянием, скоростью или ускорением. Когда такое уравнение составлено, то исследование сводится к решению этого уравнения, то-есть к чисто математической задаче.

Наблюдатель с берега видит, что поезд в каюте ускоренно движущегося судна получает ускорение относительно берега вследствие напряжения резинового шнура, который тянет его в направлении движения судна.

По второму закону Ньютона сила, действующая на поезд, равна его массе, умноженной на ускорение. Это уравнение определяет собой движение поезда относительно берега: зная массу поезда и действующую на него силу, можно вычислить ускорение, с которым движется поезд, расстояние, которое он пройдет за определенное время, и скорость в каждый данный момент.

С точки зрения пассажира каюты, поезд находится под действием напряжения резинового шнура и какой-то силы, уравновешивающей это напряжение, вследствие чего он остается в покое относительно судна.

Пассажиру кажется, что шар, когда вагон трогается с места, покатился. В действительности же он остался на месте (относительно наблюдателя, стоящего на полотне железной дороги).

Как было показано, сила, уравновешивающая напряжение резины, – фиктивная инерционная сила, равная противодействию, оказываемому поездом и приложенным к резиновому шнуру.

Следовательно, условие равновесия поезда относительно судна выражается равенством нулю суммы этих двух взаимно уравновешивающихся сил[20]20
  Сила, приложенная к телу, равна массе, умноженной на сообщаемое телу ускорение: f = ma. Противодействие тела выражается величиной (-ma). Если считать его приложенным к самому телу, то можем написать уравнение f + (-ma) = 0, или f – ma = 0, рассматривая его как условие «равновесия» движущегося тела.


[Закрыть].

В этом и заключается начало Даламбера, которое можно сформулировать так: в каждый данный момент сила, приложенная к материальной точке, уравновешивается силой инерции материальной точки, понимая под «силой инерции» фиктивную силу, возникающую при ускоренном движении.

Фиктивные инерционные силы приходится вводить в расчеты, когда мы имеем дело с ускоренным движением. К решению возникающих при этом вопросов с успехом применяется начало Даламбера.

Представим себе, что наблюдатель в лифте подвесил к пружинным весам некоторый груз.

Пока лифт находится в покое, груз растягивает своей тяжестью пружину весов. Но как только лифт начнет ускоренно двигаться вниз, груз как бы потеряет часть веса. Если бы лифт стал двигаться с ускорением свободного падения, то груз перестал бы вовсе действовать на пружину весов.

Наблюдатель в лифте приписал бы потерю веса действию на груз какой-то силы, направленной вверх, – это и есть фиктивная инерционная сила, возникающая в ускоренно опускающемся лифте.

Так объясняется явление, на которое указывал еще Галилей в своих «Беседах о двух новых науках»: если положить один камень на другой и дать им возможность падать, то верхний камень не будет давить на нижний.

Прилагая к движению падающего камня начало Даламбера, можно сказать, что на камень действуют две силы: тяжесть и равная ей, но по направлению обратная, фиктивная сила инерции, взаимно уравновешивающиеся. Поэтому верхний камень и не давит на нижний.

Применением начала Даламбера облегчается решение задач динамики.

Положим, например, что на четырехугольной доске, могущей свободно падать вниз ребром между вертикальными рейками, подвешен маятник.

Отклоним маятник в сторону и в этот момент дадим возможность доске падать.

Что произойдет с маятником? Решить этот вопрос – значит найти, как будет вести себя маятник относительно доски. Ответ дает применение начала Даламбера.

На маятник действует сила тяжести. Она направлена вниз. Фиктивная сила инерции маятника равна ей, но направлена в противоположную сторону. Сумма этих двух сил равна нулю. Поэтому маятник останется во все время падения отклоненным от вертикали на одинаковый угол, как будто он потерял вес.

Положение отклоненного в сторону маятника на падающей доске в течение падения остается неизменным.

Понятием о фиктивных инерционных силах пользуются в технике, например, при расчетах, связанных с испытанием прочности материалов.

Брусок металла прикрепляется одним концом к ползуну машины, совершающему попеременное движение вверх-вниз от шатуна и кривошипа. К другому концу бруска подвешивается груз.

Вал машины быстро вращается. Поэтому брусок получает ускорение то вверх, то вниз. При этом каждый раз брусок испытывает то сжатие, то растяжение, которые можно представить как действие на него фиктивных инерционных сил.

Такое испытание позволяет определить сопротивление бруска попеременной нагрузке, наиболее разрушительной для частей машин.

«Инерционные» силы на вращающейся Земле

Земля – вращающееся тело. Вращение – ускоренное движение. Поэтому при изучении движений тел на земной поверхности пользуются понятием о фиктивных инерционных силах, облегчая таким способом решение задач.

Одна из таких фиктивных сил, которую вводят при изучении силы тяжести, – «центробежная» сила. Она отсутствует на полюсах и достигает наибольшей величины на экваторе, где составляет силы тяжести. В других точках земной поверхности «центробежная» сила имеет среднее значение и направлена перпендикулярно к земной оси в противоположную сторону от нее.

Равнодействующая тяготения, направленного к центру Земли, и «центробежной» силы есть сила тяжести, которая определяет направление физического отвеса, перпендикулярного к поверхности воды. Сила тяжести в каждой точке земной поверхности может быть определена по известной формуле[21]21
  Сила тяжести g определяется по формулеg = go + (g1—go)Sin²φ, гдеgo – ускорение на экваторе, g1—ускорение на полюсе, φ – географическая широта.


[Закрыть].

Когда тело движется по земной поверхности в каком бы то ни было направлении, то вследствие свойственной ему инерции оно испытывает отклонение. Это отклонение можно для удобства рассуждения приписать действию фиктивной «отклоняющей» силы.

Мы не будем входить в рассмотрение того, почему возникает это отклонение при любом направлении движения тела. Рассмотрим лишь простейший случай, когда тело движется вдоль меридиана от полюса к экватору или в обратном направлении.

При движении от полюса к экватору тело, сохраняя но инерции линейную скорость, сообщаемую ему вращением Земли, переходит в зону, где линейная скорость вращения больше. Поэтому оно отстает от земной поверхности и уклоняется к западу, то-есть в Северном полушарии вправо, а в Южном – влево.

При движении в обратном направлении тело сохраняет большую скорость и уклоняется к востоку, то-есть также в Северном полушарии вправо, а в Южном – влево.

Можно доказать, что при любом движении по земной поверхности тело отклоняется в Северном полушарии вправо, а в Южном – влево.

В результате отклонения частиц воды в реках в Северном полушарии происходит подмывание правого берега рек и более быстрое изнашивание правого рельса железнодорожных путей. В Южном полушарии то же происходит с левым берегом рек и левым рельсом.

На этом же отклонении движений вращением Земли основан и знаменитый опыт с маятником Фуко.

Опыт, доказывающий сохранение маятником плоскости колебаний.

Колебания маятника в Северном полушарии отклоняются вправо (если смотреть по направлению колебания). Поэтому плоскость колебаний вращается относительно Земли с востока на запад (по движению часовой стрелки).

Наибольший эффект такого опыта можно было бы наблюдать на одном из полюсов Земли, так как там ось вращения ее проходила бы через точку подвеса маятника, плоскость колебаний которого вследствие отклоняющего действия строго сохраняла бы положение в пространстве.

Заметив какую-либо звезду, на которую направлены его колебания, мы увидели бы, что в течение суток маятник колебался бы, не меняя направления и точно следуя за видимым суточным движением звезды. Плоскость его колебаний на полюсе поворачивалась бы на 360/24 = 15° в час.

Таково проявление инерции на вращающейся Земле.

Если бы скорость вращения Земли резко уменьшилась, то проявление инерции имело бы катастрофические последствия.

Воды Океана, сохраняя свое движение, пронеслись бы ужасной волной с запада на восток. Кроме того, они переместились бы от экватора в направлении к полюсам, затопляя материки.

Однако в действительности это явление не угрожает человечеству. Нет причин к резкому замедлению или ускорению угловой скорости вращения Земли.