Текст книги "Статьи и речи"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 23 (всего у книги 32 страниц)

Цветная фотография Максвелла⁴³

Р. М. Эване

Сто лет назад великий физик получил полноцветную фотографию. Как это было сделано, представлялось загадочным. Чудо удалось понять, повторив его эксперимент.

В 1861 г. великий английский физик Джемс Клерк Максвелл⁴⁴ продемонстрировал первую в мире трехцветную фотографию во время лекции в Королевском институте в Лондоне. Используя различные проекторы, он наложил три изображения, полученные при фотографировании цветной ленты отдельно через красный, зелёный в синий фильтры. Каждое изображение проектировалось в том свете, в каком снималось. Видимо, Максвелл использовал фотографию для демонстрации того, что полный спектр цветов может быть получен со светом именно трёх цветов⁴⁵, а это подкрепляло трехкомпонентную теорию цветового зрения, выдвинутую Томасом Юнгом около 1800 г. Представляется также, что он хотел доказать, что для такой демонстрации подходят красный, синий и зелёный цвета, а не красный, синий и жёлтый (как считали некоторые исследователи). Максвелл предполагал, что изображения на его фотографиях представляли «красную, зеленую и синюю части [цветной ленты] отдельно, так, как их воспринимала бы, согласно Юнгу, каждая из трёх систем нервов».

В том, что показывал Максвелл, одно вызывает удивление: у него ничего не должно было получиться. Вполне точно, что фотографические эмульсии, имевшиеся в распоряжении Максвелла в 1861 г., были чувствительны только к крайнему синему концу спектра и вообще не чувствительны к зеленой, жёлтой и красной частям спектра. Но тогда мог ли Максвелл получить «зеленое» и «красное» изображения раздельно (фактически черно-белые диапозитивы), чтобы вставить их в проекторы?

Несомненно, демонстрация Максвелла была достаточно успешной, чтобы убедить и произвести впечатление на аудиторию. Вывод самого Максвелла, поддержанный и другими, состоит в том, что «когда эти [разные проектируемые позитивы] налагались, то было видно цветное изображение, которое в том случае, когда красное и зеленое изображения получились так же хорошо, как синее, было действительно цветным изображением ленты». Таким образом, Максвелл признавал, что красное и зеленое изображения имели какой-то недостаток, но последующее поколение специалистов по фотографии оставалось в полном недоумении, как он мог вообще получить какие-либо красные и зеленые изображения. Недавно мои сотрудники и я в отделе технологии цветной фотографии фирмы Истмен Кодак повторили опыт Максвелла в соответствии с отчётами того времени и мы полагаем, что можем утверждать принципиальную невозможность получить такие изображения.

Фотографические детали опыта записаны не Максвеллом, а Томасом Саттоном, учителем и лектором по фотографии, к которому Максвелл обратился за технической помощью в подготовке лекции. Саттон был некоторое время редактором интересного издания – оно называлось «Заметки по фотографии», а позднее конструировал широкоугольные линзы, что для того времени было замечательно.

Объектом Саттона был «бант, повязанный из разноцветной ленты», который он поместил на фоне чёрного бархата и сфотографировал при ярком солнечном свете. Фотографическая эмульсия, использованная Саттоном, представляла собой влажный коллодий со светочувствительным материалом – йодистым серебром. Йодистое серебро чувствительно только к излучению с длинами волн короче 430 mν. А эта длина волны приходится на крайнюю синюю область видимого спектра. Обычно глаз чувствителен к излучению от 400 до 700 mν. Цвет (правильнее – окраску) мы определяем как зелёный приблизительно между 480 и 560 mν, как жёлтый – между 560 и 590 mν, как оранжевый – от 590 до 630, и как красный – свыше 630 mν. Ко всем этим длинам волн йодистое серебро нечувствительно.

В качестве красного, зеленого и синего фильтров Саттон использовал стеклянные кюветы с окрашенными растворами металлических солей; для жёлтого фильтра он взял кусок «стекла лимонного цвета». Мы не можем точно подобрать жёлтое стекло, но это и не так существенно для опыта. Вот описание самого Саттона фильтров и экспозиций:

«Первое. Вначале непосредственно перед линзой помещалась ванночка из зеркального стекла, содержащая аммиачный раствор сульфата меди. Эту соль химики используют для получения того синего раствора, который в бутылках выставляют между оконными рамами. При экспозиции 6 секунд был получен отличный негатив. Эта экспозиция примерно в два раза превышала ту, которая требовалась при отсутствии окрашенного раствора.

Второе. В подобной ванночке содержался зелёный раствор хлорида меди. Негатив не был получен и при экспозиции 12 минут, хотя изображение было хорошо видно на матовом стекле. Поэтому сочли целесообразным значительно разбавить раствор; таким образом, сделали зеленую окраску воды намного слабее и в конце концов получили удовлетворительный негатив при экспозиции 12 минут.

Третье. Затем поместили перед линзой пластинку из стекла лимонного цвета и при двухминутной экспозиции получили хороший негатив.

Четвёртое. Был получен хороший негатив при экспозиции 2 минуты, когда использовали такую же, как и ранее, ванночку, из зеркального стекла, содержащую красный раствор тиоцианата железа.

Толщина жидкости, через которую должен был пройти свет, составляла около ³/₄ дюйма.

Негативы, полученные описанным выше способом, были отпечатаны на стекле, используя таннин, и показаны как диапозитивы. Изображение, полученное при фотографировании через красный фильтр, на лекции освещалось красным светом, через синий – сипим, через жёлтый – жёлтым, через зелёный – зелёным; и когда эти различно окрашенные изображения налагались, на экране возникала фотография полосатой ленты естественной окраски».

Из других источников достаточно ясно, что на лекции Максвелл не использовал позитив в жёлтом свете, хотя Саттон утверждает обратное. Фактически он использовал при одной демонстрации свет разных цветов, чтобы показать, как красный и зелёный в комбинации дают жёлтый.

В 1940 г. Дуглас А. Спенсер из Кодак Лимитед сообщил, что оригиналы позитивов, использованных Максвеллом, ещё находятся в Кембриджском университете в лаборатории Кавендиша. Спенсер взял на время эти позитивы и опубликовал цветную репродукцию, которая показывает, каким могло казаться проектируемое изображение слушателям лекции Максвелла. На этой репродукции можно видеть красные, зеленые, синие и фиолетовые цвета, а фон зелёный.

Для того чтобы продолжить обсуждение данного вопроса, мы смогли благодаря любезности Спенсера, лаборатории Кавендиша и Кодак Лимитед достать другой комплект позитивов. Если считать, что использованные эмульсии были чувствительны только к синему, то достаточно курьёзно, что на изображении синий не представлен весьма значительно. Так как цвета ленты неизвестны, то невозможно сказать, соответствует ли это действительности или нет.

Казалось, лучший путь разрешения загадки красного и зеленого изображений – попытаться повторить работу Саттона. Чтобы это сделать, было желательно (хотя и не существенно) иметь фотоматериал той же чувствительности, что и у него. Материал, чувствительный от 430 mμ и ниже, был специально подготовлен для этого опыта моим коллегой Бертом X. Кэрролом из исследовательской лаборатории Кодак.

Новая эмульсия была, конечно, более «быстрой» (faster) чем та, которой пользовался Саттон, но это само по себе не создавало трудности. Важно было воссоздать в надлежащей концентрации растворы, которые Саттон использовал как фильтры. В его отчёте нет указания на их концентрации. Тем не менее он делает одно существенное замечание, когда говорит, что с синим жидкостным фильтром экспозиция в два раза больше, чем вообще без фильтра: шесть секунд по сравнению с тремя секундами.

Соответственно мы приготовили растворы тех же металлических солей, что у Саттона, и подбирали их концентрации до тех пор, пока экспозиции для красного, зеленого и синего не оказались в том же отношении, что и у Саттона. Для получения «синего» изображения концентрация аммонизированного сульфата меди («аммиачного раствора сульфата меди») была так подобрана, что картинка, снятая через кювету в ³/₄ дюйма, с раствором дала «совершённый» негатив при экспозиции, вдвое превышающий ту, которая применялась при съёмке без фильтра. Для получения зеленого изображения концентрация хлорида меди была понижена, пока «в конце концов, не был получен подходящий негатив» при экспозиции в 120 раз больше, чем с синим фильтром. Разбавление было столь значительным, что раствор более не казался глубокого зеленого цвета, а стал сине-зелёным. Химики давно знают, что цвет хлорида меди изменяется при разбавлении раствора. И, наконец, мы приготовили красный фильтр из роданистого железа («тиоцианат меди») и с ним хороший негатив получили при экспозиции, в 80 раз превышающей экспозицию с синим фильтром. Когда мы использовали эти фильтры, чтобы сфотографировать натюрморт, изображающий различные ткани, и затем спроектировали отдельные черно-белые позитивы, освещая их через цветные фильтры, как делал Максвелл, то полученная картина оказалась удивительно красочной репродукцией оригинала. Правда некоторые окраски были значительно сдвинуты по свойству; тем не менее мы смогли получить синий, зелёный, жёлтый, красный и фиолетовый. При желании отдельные негативы (или позитивы) могут быть отпечатаны на стандартной цветной плёнке для получения цветного диапозитива. В этом случае негативы были получены с интерференционными фильтрами, которые по своему действию соответствовали жидкостным фильтрам Саттона.

А теперь – объяснение. Ясно, что наша плёнка, как у Саттона, чувствительна только к крайнему синему и ультрафиолету. Тот факт, что изображения были получены не только с синим, но также с зелёным и красным фильтрам, указывает на то, что все растворы пропускают свет с длиной волны короче, чем 430 mμ. Другими словами, единственным излучением, действовавшим на эмульсию, был свет крайнего синего конца видимого спектра и ещё более короткое невидимое излучение в ультрафиолете. Наша линза, которая во многом подобна линзе Саттона, пропускала ультрафиолет до 325 mμ. Длины волн, пропущенных линзой и тремя растворами (разбавленными), показаны на спектрофотометрических кривых (рис. 1).

Рис. 1. Спектральная чувствительность фотопластин

1 – красный фильтр; 2 – зелёный фильтр; 3 – голубой фильтр; 4 – стеклянная отсечка; 5 – плёночная отсечка

Сразу же ясно, что три фильтра достаточно чётко делят синюю и ультрафиолетовую области спектра на три отдельные области, хотя зелёная содержится внутри синей. Совершенно случайно оказалось, что фильтры, выбранные Саттоном для разделения видимого спектра, действуют аналогичным образом в относительно узком участке света с малой длиной волны. Глядя на эти кривые, следует помнить, что при зеленом фильтре экспозиция была в 120 раз, а при красном – в 80 раз больше, чем при синем. При построении кривых эти коэффициенты не учитывались.

Теперь можно понять, как синий может быть отделен от других цветов и как настоящий зелёный может быть отделен от синего. Но тотчас могло бы показаться, что все, окрашенное в красный, вовсе неразличимо. Оказывается, многие красные краски отражают не только свет, который мы видим как красный, но также много и ультрафиолета (рис. 2). Поэтому красный предмет может дать чёткое изображение на «красной» пластинке не потому, что он красный, а потому, что он более ультрафиолетовый, чем те предметы, которые воспринимаются нами как зеленые и синие. Мы не внаём, конечно, в какие красные тона была окрашена лента, сфотографированная Саттоном. Более того, нет вообще описания её цвета, значит, мы не можем быть уверены в том, что участки ленты, которые получились более яркими у Саттона на красной пластинке, были действительно красного, а не какого-либо другого цвета с высокой отражаемостью в ультрафиолете. Кажется невероятным, однако, чтобы Максвелл показывал фотографию, если бы красные пятна не были на своих местах. Если это так, то они были созданы ультрафиолетовой – красной окраской ленты,– счастливый случай, который ни Максвелл, ни Саттон не могли предвидеть.

Рис. 2. Спектральный анализ красной ткани

1 – красный фильтр; 2 – красная материя

Из рассмотрения позитивов Максвелла можно заключить, что в дополнение к тому, что фильтры произвели разделение по длинам волн, действовал и ряд других факторов, которые дополнили окраску проектируемой им картины. Во-первых, «подходящий» зелёный негатив был сильно недоэкспонирован. Во-вторых, область контраста на трёх негативах очень различна. Только эти технические дефекты должны были бы добавить цвета, которых не было у оригинала. Например, чёрный бархатный фон, видимо, казался зелёным на картинке, которую проектировал Максвелл.

Кроме того, позитивы Максвелла из Кавендишской лаборатории совершенно жёлтые. Если они были жёлтыми ко времени лекции 1861 г., то необходимо ещё рассмотреть дополнительные изменения контрастности, а значит, и цвета. Мы не можем точно узнать, что за источники света были «волшебные фонари» Максвелла, но типичным волшебным фонарём того времени был известный друммондов свет, в котором брусок углекислого кальция нагревался до белого каления в пламени окиси водорода. Такие лампы дают значительно более синий свет, чем газокалильные, используемые сейчас в домашних проекторах. Возможно также, что проекторы Максвелла включали дугу с угольными электродами, которые давали свет более горячий и синий, чем друммондов. В любом случае жёлтый цвет позитивов должен был придавать изображению, которое проектировалось через синий фильтр, большую контрастность, чем изображению, проектируемому через красный фильтр. Изображение, проектируемое через зелёный фильтр, должно было по контрастности занимать промежуточное положение.

Однако не все обнаруженные эффекты были вызваны различием в контрастности и плотности. То, что цвета действительно разделялись между красной, зеленой и синей картинками, может быть продемонстрировано наложением одного негатива, скажем красного, на зелёный или синий позитив. При использовании негативов, различных по контрастности, было бы возможно «вычистить» (blank out) позитив, если негатив и позитив действительно подобны. Но никакая комбинация негативов, полученных по позитивам Максвелла, не приводит к такому результату. Существует меньшее, чем мы могли ожидать, отличие между зелёным и синим, нежели между синим и красным. Если вспомнить главный тезис Максвелла, кажется несколько ироническим то, что жёлтый негатив по существу такой же, как и зелёный, и, вероятно, мог бы быть заменён нм при незначительном изменении результата.

Хотя наша интерпретация эксперимента Максвелла представляется правдоподобной, все-таки остаётся некоторое сомнение. Возможно ли, что коллодиевые пластинки Саттона в какой-то мере обладали чувствительностью к красному и зеленому цвету? Теперь известно, что при определённых, не совсем обычных обстоятельствах такая чувствительность может иметь место даже без применения сенсибилизирующих красителей, которые не были открыты до 1874 г.

Эти сомнения были, к счастью, рассеяны открытием, которое мы сделали однажды, изучая диапозитивы Максвелла. При фотографировании Саттон использовал «портретную линзу с полной аппертурой». Это могла быть только линза Петцваля, а она не покрывала всей пластины; значит, изображение было ограничено кругом меньшей площади, чем пластина. Мы отмечали, что не все диаметры этих кругов одинаковы. Синий позитив имеет наименьший диаметр, зелёный – больший диаметр, а красный – самый большой. Очевидно, Саттон для каждого цвета света производил перефокусировку, и для красного света линза была наиболее удалена от пластины.

Сразу же объясняется то, что прежде ставило в тупик: красное изображение было значительно менее чётким из всех трёх. Саттон сфокусировал свою камеру для видимого красного света, а фотографировал в невидимом ультрафиолете.

Удивительно, таким образом, что все вместе хорошо подошло. Но мы все ещё не освободились от мистификации в главном. Кажется странным, что Максвелл, один из главных авторитетов по цвету в своё время, мог не представлять того, что влажные коллодийные пластины не чувствительны к зеленому и красному. Тем не менее мы вынуждены поверить, что это так. Он едва ли предполагал, что демонстрация будет такой, как он её себе представлял. Саттон тоже не знал точно об отсутствии чувствительности к зеленому. Действительно он рассматривал это как важное открытие, вытекающее из эксперимента. Он писал: «Теперь мы знаем, почему так трудно воспроизвести на фотографии детали зелёных предметов в тени... Следовательно, фотограф, который снимает плохо освещённую листву, не должен быть разочарован, если вместо многих прекрасных деталей он обнаружит на негативе отвратительные пятна чистого стекла».

Коллодийные эмульсии были открыты только лет за 10—12 до того и обладали настолько большей чувствительностью, чем прежние фотоматериалы, что, возможно, заключили, что они обладают некоторой чувствительностью ко всем длинам волн, хотя и значительно меньшей к длинным волнам, чем к коротким. Безусловно, спектрофотометрия ещё не была развита настолько, чтобы Максвелл и Саттон имели возможность угадать правильное объяснение своих результатов.

Как бы то ни было, но принцип, изобретённый Максвеллом и осуществлённый на практике Саттоном, был правильным для получения цветной фотографии. И вследствие счастливого стечения обстоятельств, о которых мы говорили, эксперимент удался, позволив Максвеллу открыть трехцветную фотографию почти на 15 лет раньше, чем были найдены светочувствительные красители, которые смогли сделать его опыт «возможным».

Уравнения Максвелла как свойство вихревой губки⁴⁶

Э. Келли

I. Из истории вопроса

Вихревая губка была введена Иоганном Бернулли в 1736 г. при попытке объяснить распространение света. Он предположил, что пространство заполнено несжимаемой жидкостью, содержащей бесчисленные малые водовороты, ориентированные во всевозможных направлениях; взаимодействие этих водоворотов наделяло среду способностью распространять гидродинамические возмущения, что, по представлению Бернулли, могло считаться эквивалентным распространению света. Эта среда содержала также твёрдые частички, которые передвигались вместе с жидкостью, но не отходили далеко от своих первоначальных положений.

Вихри рассматривались и во многих более поздних попытках найти связь между механикой и электромагнетизмом. Сюда относятся такие модели, как вихревая модель Максвелла (1861), которая, хотя и была аннулирована позже, оказала существенную помощь в выводе вихревых уравнений, а также вихревая губка в варианте, принятом Кельвином в 1880 г. и Фицджеральдом в 1885 г.⁴⁷ В 1887 г. Кельвин предложил аналогию между распространением света в пространстве и распространением ламинарных возмущений в вихревой губке. Согласно Уиттекеру, это ознаменовало собой больший успех в разработке таких моделей.

Другое представление, интересующее нас здесь, это вращательная упругая среда Мак-Келлога⁴⁸. Предполагая, что потенциальная энергия этой среды пропорциональна квадрату вихря смещения, Мак-Келлог сумел построить теорию, о которой Уиттекер говорит: «Не может быть сомнения, что Мак-Келлог действительно решил задачу построения среды, колебания которой, рассчитанные в согласии с правильными законами динамики, должны обладать теми же самыми свойствами, что и колебания света».

В то время (1839) было неприемлемо допущение вращательной упругости, так что модель Мак-Келлога не вызвала большого энтузиазма. Модель Максвелла, частично принятая для того, чтобы получить поперечность колебаний, обладала аналогичным недостатком, так как в ней допускались холостые колёсики и упругие элементы. Мы покажем ниже, что как свойство поперечности волн Максвелла, так и вращательные свойства модели Мак-Келлога естественно возникают из свойств вихревой губки, и что уравнения для крупномасштабных движений вихревой губки тождественны по форме с уравнениями Максвелла для свободного пространства.

II. Крупномасштабные свойства вихревой губки

Описание модели. Среда, которую мы здесь рассмотрим, опуская только твёрдые частицы, это среда Бернулли, т. е. бесструктурная, несжимаемая, не вязкая жидкость, в которой не действуют никакие силы за исключением сил, возникающих от гидравлического давления и переноса количества движения. Ньютоновы законы полагаются справедливыми. Эта жидкость переплетается с очень тонкими дискретными вихревыми трубками, ориентированными во всевозможных направлениях. Для целей нашей статьи мы будем рассматривать эти трубки либо как классические вихревые нити, либо как пустотелые вихревые сердечники. Предполагается, что кратчайшее расстояние между трубками велико по сравнению с размерами сечения трубки.

В качестве удобного способа сделать видимым элемент объёма этой среды, вообразим ящик, пронизанный насквозь во всех направлениях иголками так, что ни одна из них не слишком близка к другой. Если теперь наполнить ящик вязкой жидкостью и заставить все иголки вращаться вокруг собственных осей, то вокруг каждой иголки возникнет вихревое движение. Это движение, раз начавшись, будет сохраняться и при уничтожении вязкости. Дальше можно представить себе, что все эти иголки либо убираются, либо превращаются в жидкость. В первом случае среда обладает пустотелыми вихрями с сердечниками, а во втором – она имеет классические вихревые трубки. Жидкость, находящаяся вне вихревых сердечников или трубок, находится в циклическом невращательном движении. Теперь трубки оказываются гибкими, и так как для них невозможно оставаться прямолинейными в таком окружении без внутренней опоры, то они приобретают вращательное движение, которое и сохраняется, как свойство среды. В невозмущённом состоянии среда не обладает никакими преимущественными направлениями. Это состояние, которое предполагается устойчивым, называется нейтральным.

В качестве завершающего этапа процесса визуализации представим себе, что число трубок, пронизывающих ящик, увеличивается, а диаметры трубок уменьшаются так, чтобы сохранялось малое отношение диаметров трубок к расстояниям между трубками до тех пор, пока индивидуальные трубки станут неразличимыми. Теперь эта система выглядит, как континуум, в котором неразличимы вариации скорости, ускорения и давления от трубки к трубке. Эта среда, в которой отдельные эффекты законов гидродинамики теряются в осредняющих эффектах большого числа трубок, и есть вихревая губка в форме, задуманной Кельвином и Фицджеральдом.

Упругость и дрейф. Основное свойство вихревой губки Бернулли, как механической модели распространения света, это то, что каждый вихрь давит на соседние, так что возмущение, например изменение положения вихря, распространяется сквозь среду. Можно убедиться, что упругость этой среды более похожа на упругость обычных тел, чем могло показаться с первого взгляда.

Рассмотрим изменение из нейтрального состояния, в котором ящик и жидкость удлинены в одном направлении x и сокращены вдоль y и z для того, чтобы сохранить объём, причём концы трубок, как предполагается, следуют движению стенок. Стенки, перпендикулярные x, содержат больше концов трубок на единицу площади, чем в нейтральном состоянии; а так как давление близ сердечников низко, то среднее давление на эти стенки менее, чем раньше – состояние, которое можно рассматривать, как растяжение по сравнению с нейтральным состоянием. Наоборот, остальные четыре стенки находятся под давлением.

Наличие сдвигающих напряжений можно вывести из этого примера на основании соображений равновесия, но полезно рассмотреть сдвиг, исходя из первичных принципов. Рассмотрим единичную трубку, которая пересекает поверхность S, ограничивающую объём V, под углом, отличным от 90°. Перенос количества движения через эту поверхность в объём V имеет и нормальную и касательную к S составляющие, так что существуют нормальная и касательная силы, действующие на S. Из соображений симметрии легко показать, что направление касательной силы совпадает с проекцией части трубки, внешней по отношению к V, на S. Эта сила имеет то же самое происхождение, что и вихревая вязкость в теории турбулентности, но отличается от неё, потому что отсутствие вязкости позволяет касательной силе существовать неопределённо долго. Таким образом, истинная прочность на сдвиг является результатом вихревого движения.

В нейтральном состоянии сдвигающие усилия, действующие на поверхность от многих трубок, взаимно уничтожаются, но в напряжённых состояниях это не всегда так. На рис. 1 представлены несколько трубок в элементе объёма: а) в нейтральном состоянии, б) в состоянии растяжения нормального к поверхности и в) при растяжении вращением.

Рис. 1. Элемент объёма, показанный символически:

а – в нейтральном состоянии; Ь —деформированный при растяжении, нормальном к поверхности и с – деформированный при растяжении и повёрнутый

Очевидно, что в случае в имеется результирующая сдвигающая сила вправо, действующая на среду ниже S. Для такого действия необходима как деформация, так и вращение от нормального положения; в случае а вращение не произведёт сдвига вследствие изотропии.

Деформации, которые мы здесь рассмотрим, достаточно малы, так что при разложении в ряд функций напряжения нам понадобятся только первые члены деформации, и мы считаем справедливым закон Гука. Ради простоты, мы пренебрегаем изменениями массовой плотности, которые могут быть результатом растяжения пустотелых вихревых сердечников и изменениями плотности трубок (длины трубки на единицу объёма). Эти условия требуют, чтобы расходимость смещений среды была равна нулю.

Наличие обычных соотношений напряжение – деформация позволяет воспользоваться некоторыми результатами теории упругости. Для упругой среды со смещением D, для которого расходимость div D равна нулю.

G curl curl

D

+ρ

∂²D

∂t²

=0,

(1)

где G и ρ, соответственно^48a, – модуль сдвига и плотность.

Равновесие имеет место, когда curl D невращателен. Примером может служить цилиндрическое смещение:

D

_x

=(y²+z²)

^½

,

D

_y

=D

_z

=0.

Так как curl curl D равно нулю, это – одно из состояний равновесия. Интересным в этом примере является то, что при таком смещении трубки искривляются.

Изолированная изогнутая трубка не остаётся стационарной, потому что кривизна приводит к тому, что скорость на вогнутой стороне трубки оказывается большей, чем на выпуклой, а потому она создаёт соответственно пониженное давление на вогнутой стороне. Эта скорость сначала ускоряет первоначально стационарную трубку по направлению к вогнутой стороне, но как только трубка приобретает скорость, возникает подъёмная сила, которая ускоряет трубку в боковом направлении в сторону движения жидкости на вогнутой стороне. Эта подъёмная сила оказывается достаточно большой, чтобы преодолеть градиент давления поперёк трубки. В результате получится боковое смещение в положении трубки. Это движение имеет трансляционный компонент^48b и налагающийся на него вращательный компонент. Последний не создаёт направляющего эффекта в среднем, и мы его игнорируем. Трансляционный компонент этого движения называется дрейфом. Для малых искривлений дрейф пропорционален кривизне (см. приложение 2).

В цилиндрическом смещении жидкость находится в равновесии, так что трубки также должны быть в равновесии. Кривизна трубок, которая приводила бы к дрейфу, если бы трубки были изолированными, должна поэтому компенсироваться структурными изменениями. Форма трубок в деформированном состоянии создаёт микроскопические течения и градиенты давления, которые и нейтрализуют действие кривизны. Это имеет место для любого смещения, для которого как div D, так и curl curl D равны нулю.

Кривизна трубки, которая не сопровождается структурными изменениями и, следовательно, остаётся некомпенсированной, создаёт дрейф. Некомпенсированная кривизна вызывается только дифференциальными вращениями, так как только в случаях движений твёрдого тела получается кривизна, не сопровождаемая структурными изменениями. До тех пор, пока трубки следуют движению жидкости, поведение среды является упругим в классическом смысле; но когда трубки дрейфуют относительно жидкости, уравнение (1) неполно, так как в нём нет учёта дрейфа.

III. Уравнения Максвелла

Теперь мы можем сделать наш описательный анализ среды более определённым. Обозначим прочность на вращение каждой трубки через κ, где 2πκ – циркуляция вокруг трубки. Для указания направления циркуляции введём вектор κ и выберем это направление так, чтобы оно совпадало с пальцами правой руки, охватывающей трубку, а большой палец был бы направлен по κ. Величина κ предполагается одинаковой для всех трубок. Дрейф трубки пропорционален её кривизне; коэффициент пропорциональности (коэффициент дрейфа) обозначим через α. Трубка в нейтральной среде занимает среднее положение; боковое смещение от этого положения обозначим через ξ. Тогда дрейф можно записать в виде 𝑑ξ/𝑑t. Единица длины дрейфующей трубки оказывает на жидкость тягу 2πκρξ, причём эта величина является также подъёмной силой. Плотность трубки обозначим через L. В приложении I показано, что для некоторых целей трубки можно разлагать как векторы; этим упрощением мы теперь и воспользуемся.

Когда трубки разлагаются на их векторные компоненты, то плотность трубки вдоль каждого направления есть ½L так как среднее значение направляющегося косинуса для сферически симметричного распределения равно ½. На рис. 2 элемент среды, первоначально прямолинейный, изогнут смещением D. Вращения элементов 1 и 2, определённые в этих местах, равны ½ curl D, как показано стрелками.

Рис. 2. Элемент объёма, искривлённый при дифференциальном вращении

Кривизна элемента вдоль прямой, перпендикулярной к оси вращения, есть разность во вращениях элементов 1 и 2, делённая на расстояние между ними и, следовательно, она имеет величину ½ curl curl D. Трубка, лежащая внутри куска, с таким вращением, как на рис. 2, смещается в плоскость рисунка и вправо со скоростью ξ, превышающей кривизну в α раз. Дрейфующая трубка единичной длины оказывает на жидкость тягу 2πκρξ в направлении 𝑑ξ/𝑑t×κ, так что эту тягу можно выразить как 2πρ𝑑ξ/𝑑t×κ на единицу длины. Если разложить трубки вдоль curl DD, curl curl и нормально к этим направлениям, то только последняя часть приобретёт некомпенсированную кривизну. Их плотность равна ½L на единицу объёма. Тяга на единицу объёма, создаваемая дрейфом, равна

F

=-2πκρ(α ½ curl curl