Текст книги "Статьи и речи"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 32 страниц)

Другой результат этого исследования имеет большое значение по отношению к некоторым теориям^11*, допускающим существование эфиров или разреженных сред, состоящих из молекул, гораздо более мелких, нежели молекулы обыкновенных газов. Согласно с нашим выводом, такая среда – не что иное, как газ. Если допустить, что молекулы так малы, что они могут проникать в промежутки между молекулами твёрдых веществ, как, например, стекло, то так называемая пустота была бы наполнена этим разреженным газом при наблюдаемой температуре и при любом давлении, каково бы оно ни было, эфирной среды в пространстве. Следовательно, удельная теплота среды в так называемой пустоте будет равна удельной теплоте того же объёма некоторого другого газа при той же температуре и давлении. Но цель допущения этого молекулярного эфира в этих теориях та, чтобы он действовал на тела своим давлением, и с этой целью допускают, что это давление вообще весьма велико. Следовательно, согласно этим теориям, мы должны прийти к заключению, что удельная теплота так называемого вакуума весьма значительна в сравнении с удельной теплотой количества воздуха, наполняющего то же самое пространство.

Теперь мы уже значительно ближе подошли к полной молекулярной теории газов. Мы знаем среднюю скорость молекул каждого газа в метрах в секунду и знаем относительные массы молекул различных газов. Мы знаем также, что молекулы одного и того же газа все имеют одинаковую массу. Если бы это было не так, то посредством метода диализа, каким пользовался, например, Грэхем, мы могли бы отделить молекулы, обладающие меньшей массой, от молекул с большей массой, так как они проходили бы через пористые вещества с большей скоростью. Таким образом мы могли бы любой газ, скажем водород, разделить на две части, различающиеся плотностями и другими физическими свойствами, различающиеся атомными весами, и вероятно, и другими химическими свойствами. Но так как до сих пор ни одному химику ещё не удалось получить образчик водорода, отличающийся в этом отношении от других образчиков, то мы и заключаем, что все молекулы водорода имеют в значительной степени почти одинаковую массу, а не только, что их средняя масса есть статистическое постоянное, обладающее значительной устойчивостью.

Но до сих пор мы ещё не рассматривали явлений, которые позволили бы нам сделать оценку действительной массы и размеров молекулы. Клаузиусу мы обязаны первыми определёнными представлениями о свободном пути молекулы и о среднем расстоянии, проходимом молекулой от одной встречи до другой. Мы видели, что число столкновений молекулы в данное время пропорционально скорости, числу молекул в единице объёма и квадрату расстояния между центрами двух молекул, когда они, действуя одна на другую, сталкиваются. Отсюда следует, что если расстояние центров назвать диаметром молекулы, а, объём шара, имеющего этот диаметр, объёмом молекулы и сумму объёмов всех молекул – молекулярным объёмом газа, то диаметр молекулы будет выражаться некоторым кратным количества, получаемого уменьшением свободного пути в отношении молекулярного объёма к полному объёму газа. Численное значение этого кратного немного изменяется сообразно тому, какую гипотезу мы принимаем относительно закона распределения скоростей. Оно зависит также от определения столкновения. Если рассматривать молекулы как упругие сферы, то мы знаем, что подразумевается под их встречей, но если они действуют друг на друга на расстоянии с притягательной или отталкивательной силой конечной величины, то расстояние между центрами во время встречи будет изменяться и уже не представит собой определённого количества. Тем не менее вышеприведённое положение Клаузиуса – если мы знаем длину среднего пути и молекулярный объём газа – даёт нам возможность сделать довольно точную оценку диаметра сферы напряжённого действия молекулы, а следовательно, и числа молекул в единице объёма и действительной массы каждой молекулы. Чтобы закончить исследование, нам нужно поэтому определить средний путь и молекулярный объём. Первая численная оценка среднего пути молекулы газа была сделана автором этой статьи на основании данных, вытекающих из исследований внутреннего трения воздуха. Три явления зависят от длины свободного пути молекул газа. Очевидно, что чем больше свободный путь, тем быстрее молекула будет двигаться из одной части среды в другую, потому что направление её движения не будет так часто изменяться встречами с другими молекулами. Если в различных частях среды будут находиться молекулы разного рода, то их движение ил одной части среды в другую можно легко проследить, анализируя части среды, взятые из различных мест. Быстрота диффузии, найденная таким образом, даёт один метод для оценки длины свободного пути молекулы. Этого рода диффузия происходит не только между молекулами различных газов, но и между молекулами одного и того же газа, только в последнем случае результатов диффузии нельзя проследить анализом. Но диффундирующие молекулы несут с собой на протяжении свободных путей 'своё количество движения и энергию, которыми они обладают в данный момент. Диффузия количества движения стремится уравнять видимое движение различных частей среды и составляет явление, называемое внутренним трением или вязкостью газа. Диффузия энергии стремится уравнять температуру различных частей 'среды и составляет явление теплопроводности газов.

Эти три явления – диффузия материи, движения и теплоты в газах – были исследованы экспериментально: диффузия материи – Грэхемом и Лошмидтом, диффузия движения – Оскаром Мейером и Клерком Максвеллом, а диффузия теплоты – Стефаном.

Эти троякого рода опыты дают результаты, которые при настоящем несовершенном состоянии теории и при крайней трудности самых опытов, особенно с теплопроводностью, можно сказать, ещё довольно сносно согласуются друг с другом.

При атмосферном давлении и при температуре таяния льда средний путь молекулы водорода составляет около одной десятитысячной миллиметра, или около ¹/₅ длины волны зеленого света. Средние пути молекул других газов короче.

Определение молекулярного объёма газа пока ещё весьма неточно. Самый лучший способ – это сжатие газа до жидкого состояния. Ввиду большого сопротивления жидкостей сжиманию кажется вероятным, что их молекулы находятся почти на таких одна от другой расстояниях, на каких две молекулы того же вещества в газообразной форме действуют друг на друга во время встречи. Если это так, то молекулярный объём газа несколько меньше объёма жидкости, в которую он сгущается под давлением, или, другими словами, плотность молекул несколько больше плотности жидкости.

Нам известны относительные веса различных молекул с большой точностью, а зная средние пути, мы можем приблизительно вычислить их сравнительные диаметры. Отсюда можно вывести относительные плотности различного рода молекул. Вычисленные таким образом относительные плотности Лоренц Мейер сравнивал с наблюдёнными плотностями жидкостей, в которые эти газы сгущаются, и нашёл между ними замечательное соответствие. Однако что касается соотношения между молекулами жидкости и молекулами её пара, то на этот счёт существует большое сомнение, так что пока не будет сделано большее число сравнений, до тех пор слишком полагаться на вычисленные плотности молекул нельзя. Другой и, может быть, более тонкий метод принят Ван-дер-Ваальсом, который выводит молекулярный объём из отклонений давления от закона Бойля при сжатии газа.

Первое численное определение диаметра молекулы было сделано Лошмидтом в 1865 г. на основании средних путей и молекулярного объёма. Независимо от него и от других, Стони в 1868 г. и сэр В. Томсон в 1870 г. обнародовали результаты подобного же рода, причём числа Томсона получены были не только этим путём, но и из соображений, основанных на толщине мыльных плёнок и на электрическом действии между цинком и медью.

Диаметр и масса молекул, полученные на основании этих методов, оказались вообще весьма малы, но никоим образом не бесконечно малы. Около двух миллионов молекул водорода, положенных в ряд, заняли бы миллиметр, и около 200 миллионов миллионов миллионов их весили бы один миллиграмм. Числа эти нужно рассматривать как весьма грубые приближения; они, по мере усовершенствования науки, будут исправлены более разнообразными и точными опытами, но основной результат, который, по-видимому, установлен, есть то, что определение массы молекулы – законный объект научного исследования и что эта масса никоим образом не есть величина неизмеримо малая.

Лошмидт иллюстрирует эти молекулярные измерения сравнением с малейшими величинами, видимыми посредством микроскопа. Ноберт, говорит он, может начертить 4000 линий на протяжении миллиметра. Промежутки между этими линиями видны в хороший микроскоп. Куб, сторона которого равна ¹/₄₀₀ миллиметра, можно считать за наименьший видимый объект для современного наблюдателя. Такой куб будет содержать от 60 до 100 миллионов молекул кислорода или азота; а так как молекулы органической материи содержат в среднем около 50 более элементарных атомов, то можно допустить, что наименьшая органическая частица, видимая под микроскопом, содержит около двух миллионов молекул органической материи. По крайней мере половина каждого живого организма состоит из воды, так что мельчайшее живое существо видимое под микроскопом, не должно содержать более миллиона органических молекул. Можно предположить, что некоторый крайне простой организм составлен не более как из миллиона подобных молекул. Непостижимо, как мало молекул нужно для образования организма, снабжённого целой системой специализированных органов!

Таким образом, молекулярная физика ставит нас лицом к лицу с физиологическими теориями. Она не позволяет физиологу представить себе, каким образом структурные детали беспредельно малых размеров могут дать объяснение бесконечному разнообразию свойств и функций самых малых организмов.

Микроскопический зародыш, как мы знаем, способен развиться в животное с высокой организацией. Другой зародыш, также микроскопический, становится, когда разовьётся, животным совершенно иного рода. Но эти бесконечные по числу признаки, которыми одно животное отличается от другого, обусловливаются ли, каждое, некоторым различием в структуре соответствующих зародышей? Если даже и допустить это как вещь возможную, то сторонники пангенезиса скажут нам, что мы должны допустить ещё большее чудо. Ведь, согласно этой теории, микроскопический зародыш не есть лишь индивидуальное тело, он – представитель, содержащий члены, собранные со всех ветвей широко раскинувшегося родословного дерева, и числа этих членов вполне достаточно не только для того, чтобы передать наследственные особенности каждого органа тела и каждой привычки животного от рождения до смерти, но также и для того, чтобы дать возможность запасу скрытых задатков переходить в недеятельном состоянии от зародыша к зародышу до тех пор, пока, наконец, особенности предков, им представляемые, не возродятся вновь в каком-нибудь отдалённом потомке.

Некоторые представители этой теории наследственности пытались избежать трудности совмещения целого мира чудес в таком малом и в таком лишённом всякой видимой структуры теле, как зародыш, пустив в ход фразу о бесструктурных зародышах^12*. Но одна материальная система может отличаться от другой только конфигурацией и движением, которые она имеет в данный момент. Поэтому объяснять различия функций и развития зародыша без допущения различий структуры – то же, что допускать, что свойства зародыша не суть свойства чисто материальной системы.

Что касается природы и движения молекул, которыми мы до сих пор занимались, то доказательства были заимствованы из опытов над газами, причём мельчайшая ощутимая часть таких сред содержит миллионы миллионов молекул. Постоянство и однообразие свойств газовой среды ость прямой результат невообразимой беспорядочности теплового движения её молекул. Всякая причина, которая могла бы внести правильность в тепловое движение и заставить молекулы совершать их движение упорядоченно и методически, могла бы задержать или даже обратить это стремление к диффузии материи, движения и энергии,– стремление, представляющее собой одно из самых неизменных явлений природы, которому Томсон дал название рассеяние энергии.

Так, например, когда звуковая волна проходит через массу воздуха, то её движение имеет известный определённый характер и, предоставленное самому себе, все это движение распространяется на другие массы воздуха, причём звуковая волна идёт дальше и дальше, оставляя воздух за собой в покое. С другой стороны, теплота никогда не исходит из горячего тела без того, чтобы не перейти к более холодному телу, так что энергия звуковой волны или всякая иная форма энергии, распространяющаяся так, что из одной части среды целиком вся переходит в другую, не может быть названа теплотой.

Теперь мы должны обратить наше внимание на класс молекулярных движений, настолько же замечательных своей правильностью, насколько тепловые движения замечательны своей неправильностью.

Посредством спектроскопа найдено, что свет, испускаемый раскалёнными телами, бывает различен, смотря по состоянию их сгущения. Когда они находятся в состоянии крайнего разрежения, спектр их света состоит из ряда резко отграниченных светлых линий. Когда вещество становится плотнее, спектр стремится сделаться непрерывным либо так, что линии становятся шире и расплывчатее, либо так, что между ними появляются новые линии и полосы, пока спектр во всю длину не утратит всех своих характерных линий и не сделается тождествен со спектром твёрдых тел, нагретых до той же температуры.

Следовательно, колеблющиеся системы, служащие источником испускаемого света, должны колебаться различно в том и другом случаях. Когда спектр состоит из нескольких ярких линий, движение системы должно слагаться из соответствующего числа типов гармонического колебания. Чтобы могла появиться резко определённая яркая линия, колебательное движение, её производящее, должно с совершённой правильностью сохраняться в течение нескольких сотен или тысяч колебаний. Если движение каждого из колеблющихся тел сохраняется лишь в продолжение малого числа колебаний, то как бы правильны ни были колебания каждого тела, пока они длятся, все-таки при анализе призмой мы найдём, что результирующее возмущение светоносной среды содержит, кроме части, производимой правильными колебаниями, и другие движения, зависящие от того, что каждое отдельное колеблющееся тело приходит в движение и прекращает свои колебания, и это обнаруживается в виде расплывчатого свечения, простирающегося на всю длину спектра. Стало быть, спектр ярких линий показывает, что колеблющиеся тела, придя в движение, некоторое время колеблются в соответствии с условиями их внутреннего строения, прежде чем их движение будет возмущено внешними силами.

Следовательно, как кажется, спектроскоп свидетельствует, что каждая молекула разреженного газа в течение большей части своего существования находится в таком удалении от всех остальных молекул, что, ничем не возмущаемая, совершает свои колебания правильным образом. К такому же заключению мы пришли и ранее, исходя из соображений другого рода.

Мы можем, следовательно, рассматривать яркие линии спектра газа как результат колебаний, совершаемых молекулами в то время, как они описывают свободные пути. Когда две молекулы после соударения отделяются одна от другой, то каждая из них находится в состоянии колебания, происходящего от неодинакового действия на различные части этой молекулы во время соударения. Поэтому хотя центр массы молекулы, описывающей свободный путь, движется с равномерной скоростью, части молекулы имеют колебательное движение по отношению к центру массы всей молекулы, и испускаемый свет и есть это возмущение светоносной среды, сообщаемое ей колеблющимися молекулами.

Колеблющуюся молекулу можно сравнить с колокольчиком. Если ударить в колокольчик, он придёт в движение. Это движение слагается из гармонических колебаний с несколькими периодами, и каждое из них действует на воздух, производя тоны различной высоты. Когда колокольчик сообщает своё движение воздуху, эти колебания необходимо затухают, одни скорее, другие медленнее, так что звук содержит меньшее и меньшее число нот, и, наконец, будет слышаться только основной тон колокольчика^13*. Если мы предположим, что у нас имеется множество колокольчиков, совершенно подобных друг другу, и что мы ударяем в них, сперва в один, потом в другой без всякой правильности, но так, однако, что в среднем, сколь ко колокольчиков приведём в движение в одну секунду, столько же и в другую, и притом ещё так, что в среднем в каждый колокольчик вторично будем ударять не прежде, чем он перестанет звучать, то в результате мы услышим непрерывный звук, слагающийся из звуков, издаваемых колокольчиками во всех состояниях колебания, начиная от удара в колокольчик и кончая финальным звучанием затухающего основного тона.

Пусть теперь колокольчиков будет меньше, число же ударов в секунду пусть будет такое же, как и прежде. И пусть теперь каждый из колокольчиков будет получать удар раньше, чем он перестанет колебаться, так что в результирующем звуке будет слышаться меньше основного тона и больше начального звона. Пусть, наконец, останется один колокольчик, который, беспрерывно получая несчётное число ударов, будет издавать звук, представляющий собой простой шум, в котором уже нельзя различить музыкального тона.

В случае газа мы имеем бесчисленное множество молекул и каждая из них, приходя в колебание при встрече с другой молекулой, продолжает колебаться, когда описывает свой свободный путь. Молекула есть материальная система, части которой связаны некоторым определённым образом, и из того факта, что яркие линии испускаемого света всегда имеют одну и ту же длину волны, мы заключаем, что соответствующие этим линиям колебания всегда имеют один и тот же период и, следовательно, сила, стремящаяся вернуть некоторую часть молекулы в её положение равновесия в молекуле, должна быть пропорциональна её смещению из этого положения.

Математическая теория движения такой системы показывает, что все движения можно разложить на следующие части, которые можно рассматривать как друг от друга независимые: во-первых, центр массы системы движется равномерно по прямой линии. Скорость этого движения может иметь какую угодно величину. Во-вторых, здесь может иметь место движение вращательное, причём угловой момент системы вокруг центра массы во все время свободного пути остаётся постоянным по величине и по направлению. Этот угловой момент может иметь какую угодно величину, а ось его может иметь какое угодно направление. В-третьих, остальное движение слагается из нескольких составляющих движений, каждое из которых есть гармоническое колебание данного типа. В колебаниях каждого типа период колебания определяется природой системы и для одной и той же системы остаётся неизменным. Итак, относительное количество движения в различных частях системы определённо для каждого типа, но абсолютное количество движения и фаза колебания каждого типа определяются особыми обстоятельствами последнего столкновения и могут как угодно изменяться от одной встречи до другой.

Значения периода колебаний различного типа даются корнями некоторого уравнения, форма которого зависит от природы связей системы. В некоторых исключительно простых случаях, как, например, в случае однородной нити, натянутой между двумя неподвижными точками, корни уравнения связаны простым арифметическим соотношением, и если внутреннее строение молекулы отличается подобной же простотой, то можно ожидать, что в спектре молекулы мы найдём ряд ярких линий, длины волны которых находятся в простых арифметических отношениях.

Но если предположить, что молекула устроена по некоторому другому типу, если, например, это будет упругий шар, если она состоит из конечного числа атомов, которые удерживаются на своих местах притягательными и отталкивательными силами, то корни уравнения уже не будут связаны между собой простыми соотношениями, но надлежащим изменением связей системы можно каждый из них заставить изменяться независимо от другого. Следовательно, мы не имеем никакого права ожидать какого-либо определённого численного соотношения между длинами волн ярких линий газа.

Итак, яркие линии спектра раскалённого газа обязаны своим происхождением гармоническим колебаниям молекул газа в то время, когда они проходят свои свободные пути. Единственный эффект движения центра массы молекулы – это изменение времени колебания света, получаемого неподвижным наблюдателем. Когда молекула летит по направлению к наблюдателю, то каждый последовательный импульс должен пройти более короткое рас стояние, прежде чем достигнет глаза наблюдателя, и, следовательно, будет казаться, что импульсы быстрее следуют один за другим, чем если бы молекула оставалась в покое, и обратное будет в случае, когда молекула удаляется от наблюдателя. Соответствующая колебанию яркая линия будет, таким образом, смещена в спектре в направлении к синему концу, когда молекула приближается, и к красному концу, когда она удаляется от наблюдателя. Наблюдая смещения некоторых линий в спектре, д-р Гютгинс и другие измерили скорость приближения или удаления некоторых звёзд по отношению к Земле, а г. Локьер определил скорость движения вихрей на Солнце. Лорд Рэлей указал на то, что, согласно динамической теории газов, молекулы движутся вперёд и назад с такой большой скоростью, что как бы ни была узка и резко очерчена какая-либо из ярких линий, производимых отдельной молекулой, смещение этой линии к синему концу, при приближении молекулы, и к красному, при удалении молекулы, вызовет до некоторой степени расширение и расплывчатость спектральной линии, так что резкому отграничению линий газа положен известный предел. Расширение линий, вызываемое этой причиной, пропорционально скорости движения молекулы. Оно будет наибольшее для молекул наименьшей массы, каковы молекулы водорода, и возрастает с температурой. Следовательно, измерение ширины линий водорода, например C или F, в спектре солнечных протуберанцев, может дать доказательства, что температура Солнца не превышает известной величины.

О теории вихревых атомов

Уравнения, служащие основанием математической теории движения жидкостей, были полностью установлены Лагранжем и великими математиками конца последнего столетия, но число решений случаев движения жидкостей, приведённых в законченную форму, все ещё оставалось невелико, и почти все они относились к тому частному типу движения жидкости, который с тех пор получил наименование безвихревого типа. В самом деле, Лагранж показал, что идеальная жидкость, если её движение в некоторое время есть движение безвихревое, будет продолжать всегда двигаться безвихревым образом, так что если допустить, что жидкость была в некоторый момент в покое, то вычисление её следующего за тем движения может быть значительно упрощено.

На долю Гельмгольца выпало указать весьма замечательные свойства вихревого движения в однородной несжимаемой жидкости, лишённой всякой вязкости. Прежде всего мы должны определить физические свойства такой жидкости. Во-первых, это – материальная субстанция. Её движение непрерывно в пространстве и во времени, и если мы будем следить за движением некоторой её части, то оказывается, что масса этой части остаётся неизменной. Эти свойства она разделяет со всякой материальной субстанцией. Во-вторых, она несжимаема. Форма данной части жидкости может изменяться, но её объём остаётся неизменным; другими словами, плотность жидкости во время движения остаётся неизменной. Кроме того, жидкость однородна, т. е. плотность всех её частей одинакова. Она также непрерывна, так что масса жидкости, содержащейся внутри некоторой замкнутой поверхности, всегда в точности пропорциональна объёму, содержащемуся внутри этой поверхности. Это тождественно утверждению, что жидкость не состоит из молекул; в самом деле, если бы она была составлена из молекул, то масса изменялась бы скачками по мере непрерывного увеличения объёма, потому что сначала одна, потом другая молекула включались бы внутрь замкнутой поверхности. Наконец, это совершённая жидкость, или, другими словами, напряжение между какой-либо частью и смежной ей частью всегда нормально к отделяющей их поверхности, независимо от того, находится ли жидкость в покое или в движении.

Мы видели, что в молекулярной жидкости диффузия молекул производит диффузию движения различных частей жидкости, так что действие между смежными частями уже не нормально, но имеет место в направлении, стремящемся уменьшить их относительное движение. Следовательно, совершённая жидкость не может иметь молекулярного строения.

Все, что нужно для построения правильной математической теории материальной системы, состоит в том, чтобы её свойства можно было ясно определить и чтобы они не противоречили друг другу. Это – существенно необходимо. Существует ли в действительности субстанция с такими свойствами – это вопрос, который приходится рассматривать только тогда, когда мы захотим сделать практические приложения результатов математической теории. Свойства нашей совершённой жидкости ясно определены и согласуются друг с другом, и из математической теории мы можем вывести замечательные результаты, причём некоторые из них можно грубо иллюстрировать при помощи жидкостей, которые отнюдь несовершенны в смысле отсутствия вязкости, как, например, воздух и вода.

Движение жидкости называется безвихревым в том случае, когда оно таково, что если бы сферическая часть жидкости внезапно отвердела, то образованная таким образом твёрдая сфера не получила бы вращения вокруг некоторой оси. Когда движение жидкости вращательное, то ось и угловая скорость вращения некоторой малой части жидкости суть ось и угловая скорость малой сферической части, внезапно отвердевшей.

Математическое выражение этих определений таково. Пусть u, v, w суть компоненты скорости жидкости в точке (x, y, z) и пусть

α=

∂v

∂z

–

∂w

∂y

,

β=

∂w

∂x

–

∂u

∂z

,

γ=

∂u

∂y

–

∂v

∂x

…,

(1)

тогда α, β, γ суть компоненты скорости вращения жидкости в точке (x, y, z). Ось вращения совпадает с направлением результирующей α, β и γ, а скорость вращения измеряется этой результирующей.

Линия, проведённая в жидкости так, чтобы в каждой точке линии

1

α

𝑑x

𝑑s

=

1

β

𝑑y

𝑑s

=

1

γ

𝑑z

𝑑s

=

1

ω

…,

(2)

(где s – длина линии до точки x, y, z) называется линией вихря. Её направление во всех точках совпадает с направлением оси вращения жидкости. Теперь мы можем доказать теорему Гельмгольца, что точки жидкости, находящиеся в некоторый момент на одной и той же вихревой линии, будут лежать на той же линии во все время движения жидкости.

Уравнения движения жидкости имеют вид

ρ

δu

δt

+

𝑑p

𝑑x

+p

𝑑V

𝑑x

=0…,

(3)

где ρ – плотность, которую в случае нашей однородной несжимаемой жидкости мы можем принять равной единице; оператор ^δ/_δt изображает быстроту изменения величины, которой он предшествует, в точке, движущейся вперёд с жидкостью, так что

δu

δt

=

𝑑u

𝑑t

+u

𝑑u

𝑑x

+v

𝑑u

𝑑y

+w

𝑑u

𝑑z

…,

(4)

где p – давление, а V – потенциал внешних сил. Есть ещё два других уравнения того же вида, соответствующих осям y и z. Дифференцируя по z уравнение, соответствующее оси y и по y – уравнение, соответствующее оси z, и вычитая второе из первого, находим

𝑑

𝑑z

δv

δt

–

𝑑

𝑑y

δw

δt

=0… .

(5)

Выполняя дифференцирование и обращаясь к уравнениям (1) и к условию несжимаемости

𝑑u

𝑑x

+

𝑑v

𝑑y

+

𝑑w

𝑑z

=0,

(6)

находим

δα

δt

=α

∂u

∂x

+β

∂u

∂y

+γ

∂u

∂z

.

(7)

Пусть теперь вихревая линия проведена в жидкости так, чтобы она всегда начиналась в одной и той же части жидкости. Компоненты скорости в данной точке суть u, v, w. Найдём компоненты скорости точки движущейся вихревой линии в расстоянии 𝑑s от данной точки, где

𝑑s=ω𝑑σ.

(8)

Координаты этой точки суть

x+α𝑑σ,

y+β𝑑σ,

z+γ𝑑σ,

(9)

а компоненты её скорости

u+

δα

δt

𝑑σ,

v+

δβ

δt

𝑑σ,

w+

δγ

δt

𝑑σ.

(10)

Рассмотрим первую из этих слагающих. В силу уравнения (7) мы можем написать её так:

u+

∂u

∂x

α

𝑑σ+

∂u

∂y

β

𝑑σ+

∂u

∂z

γ

𝑑σ,

(11)

или

u+

∂u

∂x

𝑑x

𝑑σ

𝑑σ+

∂u

∂y

𝑑y

𝑑σ

𝑑σ+

∂u

∂z

𝑑z

𝑑σ

𝑑σ,

(12)

или

u+

𝑑u

𝑑σ

𝑑σ

(13)

Но это есть выражение значения компонента u скорости самой жидкости в данной точке, и то же можно доказать и относительно других компонент.

Итак, скорость второй точки вихревой линии тождественна скорости жидкости в данной точке. Другими словами, вихревая линия следует вместе с жидкостью, и всегда состоит из одного и того же ряда жидких частиц. Следовательно, вихревая линия не есть просто математический символ, но имеет физическое существование, непрерывное во времени и в пространстве.

Дифференцируя уравнения (1) по x, y и z и, складывая результаты, получаем уравнение

Это – уравнение одного вида с уравнением (6), выражающим условие течения жидкости, имеющей постоянную плотность. Следовательно, если вообразим себе жидкость, совершенно независимую от первоначальной жидкости, для которой компоненты скорости суть α, β, γ, то воображаемая жидкость будет течь без изменения её плотности.

Представим себе теперь замкнутую кривую в пространстве, и пусть проведены вихревые линии из каждой её точки в обе стороны. Эти вихревые линии образуют трубчатую поверхность, называемую вихревой трубкой или вихревой нитью. Так как воображаемая жидкость течёт по вихревым линиям без изменения плотности, то количество, протекающее в единицу времени через какое угодно сечение одной и той же вихревой трубки, должно быть одинаково. Следовательно, для всякого сечения вихревой трубки произведение площади сечения на среднюю скорость вращения одно и то же. Это количество называется напряжением вихревой трубки.

Вихревая трубка не может начинаться или оканчиваться внутри жидкости; в самом деле, если бы это было, то воображаемая жидкость, компоненты скорости которой суть α, β, γ, происходила бы из ничего при начале трубки и обращалась бы в ничто при её конце. Стало быть, если трубка имеет начало и конец, то они должны лежать на поверхности жидкой массы. Если жидкость беспредельна, то вихревая трубка должна быть бесконечна или же должна быть замкнутой.

Итак, относительно конечной вихревой трубки в бесконечной жидкой массе мы приходим к следующим замечательным теоремам: 1) Трубка замкнута, образуя замкнутое кольцо. Мы можем, следовательно, назвать её вихревым кольцом. 2) Она всегда состоит из одних и тех же частей жидкости. Следовательно, её объём не изменяется. 3) Напряжение её всегда одно и то же. Следовательно, скорость вращения в некотором сечении изменяется обратно пропорционально площади этого сечения, а скорость некоторого сегмента изменяется прямо пропорционально длине сегмента. 4) Если какая-либо часть жидкости не находилась первоначально в состоянии вращательного движения, то она никогда не может прийти в такое состояние; если же часть жидкости находится в состоянии вращения, то это вращение никогда не может прекратиться. 5) Вихревая трубка никогда не может пройти через другую вихревую трубку или через какой-либо из своих собственных витков. Следовательно, если две вихревые трубки сцепляются одна с другой, то их никогда нельзя разъединить и, если вихревая трубка образует узел, то он никогда не может быть развязан. 6) Движение в некоторый момент каждой части жидкости, заключающей вихревые кольца, можно точным образом представить себе, вообразив, что некоторый электрический ток занимает место каждого вихревого кольца, причём сила тока пропорциональна напряжению кольца. Магнитная сила в некоторой точке пространства будет, следовательно, представлять, по направлению и величине, скорость жидкости в соответствующей точке жидкости.