Текст книги "Физика для всех. Движение. Теплота"
Автор книги: Александр Китайгородский
Соавторы: Лев Ландау
сообщить о нарушении
Текущая страница: 8 (всего у книги 28 страниц)
Колебание пружин
Легко заставить колебаться шарик, подвесив его на пружину. Закрепим один конец пружины и оттянем шарик (рис. 46). В растянутом состоянии пружина находится, пока мы оттягиваем шарик рукой. Если отпустить руку, пружина будет сокращаться, и шарик начнет движение к положению равновесия. Так же, как и маятник, пружина приходит в состояние покоя не сразу. По инерции будет пройдено положение равновесия, и пружина начнет сжиматься. Движение шарика замедляется и в какой-то момент он останавливается, чтобы тут же начать движение в обратную сторону. Возникает колебание с теми же типичными признаками, с которыми мы ознакомились, изучая маятник. При отсутствии трения колебание продолжалось бы без конца. При наличии трения колебания затухают, и при этом тем быстрее, чем больше трение.
Зачастую роли пружины и маятника аналогичны. И та, и другой служат для поддержания постоянства периода в часах. Точный ход современных пружинных часов обеспечивается колебательным движением маленького махового колеса-баланса. В колебание его приводит пружина, которая свертывается и развертывается десятки тысяч раз в сутки.
У шарика на нитке роль возвращающей силы играла касательная составляющая силы тяжести. У шарика на пружине возвращающая сила является силой упругости сжатой или растянутой пружины. Таким образом, величина упругой силы прямо пропорциональна смещению: F= kx.
Коэффициент kимеет в данном случае другой смысл. Теперь это жесткость пружины. Жесткая пружина – это та, которую трудно растянуть или сжать. Именно такой смысл и имеет коэффициент k. Из формулы ясно: kравно силе, необходимой для растяжения или сжатия пружины на единицу длины.
Зная жесткость пружины и массу подвешенного к ней груза, мы найдем при помощи формулы T= 2π·sqrt( m/ k) период свободного колебания. Например, груз с массой 10 г на пружине с жесткостью 10 5дин/см (это довольно жесткая пружина – стограммовая гиря растянет ее на 1 см) будет совершать колебания с периодом T= 6,28·10 −2с. В одну секунду будет происходить 16 колебаний.
Чем мягче пружина, тем медленнее происходит колебание. В том же направлении влияет и увеличение массы груза.
Применим к шарику на пружинке закон сохранения энергии.
Мы знаем, что для маятника сумма кинетической и потенциальной энергий K+ Uне изменяется.
Значения Kи Uдля маятника нам известны. Закон сохранения энергии говорит, что
Но то же самое верно и для шарика на пружинке.
Вывод, который мы неизбежно должны сделать, весьма интересен.
Кроме потенциальной энергии, с которой мы познакомились раньше, существует, таким образом, потенциальная энергия и другого рода. Первая называется потенциальной энергией тяготения. Если бы пружина была расположена горизонтально, то потенциальная энергия тяготения во время колебания, конечно, не менялась бы. Новая потенциальная энергия, обнаруженная нами, называется потенциальной энергией упругости. В нашем случае она и равна kx 2/2, т.е. зависит от жесткости пружины и прямо пропорциональна квадрату величины сжатия или растяжения.
Сохраняющаяся неизменной полная энергия колебаний может быть записана в виде E= ka 2/2, или E= mv 0 2/2.
Величины aи v 0, входящие в последние формулы, представляют собой максимальные значения, которые принимают смещение и скорость во время колебания, – это амплитудные значения смещения и скорости. Происхождение этих формул вполне понятно. В крайнем положении, когда x= a, кинетическая энергия колебания равна нулю и полная энергия равна значению потенциальной энергии. В среднем положении смещение точки от положения равновесия, а следовательно, и потенциальная энергия равны нулю, скорость в этот момент максимальна, v= v 0и полная энергия равна кинетической.
Учение о колебаниях – обширный раздел физики. С маятниками и пружинками довольно часто приходится иметь дело. Но, конечно, этим не исчерпывается список тел, колебания которых приходится изучать. Колеблются фундаменты, на которых установлены машины, могут прийти в колебание мосты, части зданий, балки, провода высокого напряжения. Звук – это колебания воздуха.
Мы перечислили некоторые примеры механических колебаний. Однако понятие колебания может быть отнесено не только к механическим смещениям тел или частиц от положения равновесия. Во многих электрических явлениях мы тоже сталкиваемся с колебаниями, причем эти колебания происходят по законам, очень похожим на те, которые мы рассмотрели выше. Учение о колебаниях пронизывает все области физики.
Более сложные колебания
То, что говорилось до сих пор, относится к колебаниям вблизи положения равновесия, происходящим под действием возвращающей силы, величина которой прямо пропорциональна смещению точки от положения равновесия. Такие колебания происходят по закону синуса. Они называются гармоническими. Период гармонических колебаний не зависит от амплитуды.
Значительно сложнее колебания с большим размахом. Такие колебания происходят уже не по закону синуса, а развертка их дает более сложные кривые, различные для разных колеблющихся систем. Период перестает быть характерным свойством колебания и начинает зависеть от амплитуды.
Трение существенно изменяет любые колебания. При наличии трения колебания постепенно затухают. Чем сильнее трение, тем затухание происходит быстрее. Попробуйте заставить колебаться маятник, погруженный в воду. Вряд ли удастся добиться, чтобы этот маятник совершил больше одного-двух колебаний. Если погрузить маятник в очень вязкую среду, то колебания может и вовсе не быть. Отклоненный маятник просто вернется в положение равновесия. На рис. 47 показан типичный график затухающего колебания. По вертикали отложено отклонение от положения равновесия, а по горизонтали – время. Амплитуда (максимальный размах) затухающего колебания уменьшается с каждым колебанием.
Резонанс
Ребенка посадили на качели. Он не достает ногами до земли. Чтобы раскачать его, можно, конечно, высоко поднять качели и потом отпустить. Но это довольно тяжело, да в этом и нет необходимости: достаточно слегка толкать качели в такт колебаниям, и через короткое время качели сильно раскачаются.
Для того чтобы раскачать тело, надо действовать в такт колебаниям. Иначе говоря, надо сделать так, чтобы толчки происходили с тем же периодом, что и собственные колебания тела. В подобных случаях говорят о резонансе.
Явление резонанса, широко распространенное в природе и технике, заслуживает внимательного рассмотрения.
Очень занятное и своеобразное явление резонанса вы можете наблюдать, если сделаете следующее приспособление. Протяните горизонтальную нить и подвесьте на нее три маятника (рис. 48) – два коротких одинаковой длины и один подлиннее. Теперь отклоните и отпустите один из коротких маятников. Через несколько секунд вы увидите, как другой маятник, такой же длины, постепенно тоже начинает колебаться. Еще несколько секунд – и второй короткий маятник раскачается, так что уже нельзя будет узнать, какой из двух начал движение первым.
В чем дело? Маятники одинаковой длины имеют одинаковые собственные периоды колебаний. Первый маятник раскачивает второй. Колебания передаются от одного к другому через связывающую их нить. Да, но ведь на нитке висит еще один маятник, другой длины. А что будет с ним? С ним ничего не произойдет. Период этого маятника другой, и короткому маятнику не удастся его раскачать. Третий маятник будет присутствовать при интересном явлении «переливания» энергии от одного маятника к другому, не принимая в этом никакого участия.
С явлениями механического резонанса сталкивался нередко каждый из нас. Может быть, вы только не обращали на него внимания. Хотя иногда резонанс бывает очень надоедливым. Мимо ваших окон проехал трамвай, а в буфете зазвенела посуда. В чем дело? Колебания почвы передались зданию, а с ним вместе и полу вашей комнаты, пришел в колебание буфет и посуда в нем. Так далеко и через столько предметов распространилось колебание. Это произошло благодаря резонансу. Внешние колебания попали в резонанс с собственными колебаниями тел. Почти любое дребезжание, которое мы слышим в комнате, на заводе, в автомашине, происходит благодаря резонансу.
Явление резонанса, как, впрочем, многие явления, может быть и полезным и вредным.
Машина стоит на фундаменте. Мерно, с определенным периодом, ходят ее движущиеся части. Представьте, что этот период совпадает с собственным периодом фундамента. Что получится? Фундамент довольно быстро раскачается, и дело может кончиться плохо.
Известен такой факт. В Петербурге по мосту шла в ногу рота солдат. Мост рухнул. По делу началось следствие. Казалось, не было оснований беспокоиться за судьбу моста и людей: сколько раз на этом мосту собирались толпы людей, медленно проезжали тяжелые повозки, во много раз превышавшие вес роты солдат.
Но под действием тяжести мост прогибается на незначительную величину. Несравнимо большего прогиба можно достигнуть, если мост раскачать. Резонансная амплитуда колебания может быть в тысячи раз больше, чем величина смещения под действием такой же неподвижной нагрузки.
Именно это и показало следствие – собственный период колебания моста совпадал с периодом обычного строевого шага.
Поэтому, когда воинское подразделение переходит мост, дается команда идти вольно. Если движение людей не будет согласованным, то явление резонанса не наступит, и мост не раскачается. Впрочем, этот несчастный случай инженеры хорошо запомнили. При проектировании мостов они стараются сделать так, чтобы период свободных колебаний моста был далек от периода строевого шага.
Так же точно поступают и конструкторы фундаментов для машин. Они стараются сделать фундамент таким, чтобы его период колебаний лежал подальше от периода колебаний движущихся частей машины.
VI. Движение твердых тел
Момент силы
Попробуйте рукой привести во вращение тяжелое маховое колесо. Тяните за спицу. Вам будет тяжело, если вы ухватитесь рукой слишком близко к оси. Переместите руку к ободу, и дело пойдет легче.
Что же изменилось? Ведь сила в обоих случаях одна и та же. Изменилась точка приложения силы.
Во всем предыдущем изложении вопрос о месте приложения силы не возникал, так как в рассмотренных задачах форма и размер тела роли не играли. По сути дела мы мысленно заменяли тело точкой.
Пример с вращением колеса показывает, что вопрос о точке приложения силы далеко не праздный, когда речь идет о вращении или повороте тела.
Для того чтобы понять роль точки приложения силы, вычислим работу, которую надо проделать, чтобы повернуть тело на некоторый угол. При этом расчете, конечно, предполагается, что все частички твердого тела жестко сцеплены между собой (мы оставляем пока без внимания способность тела гнуться, сжиматься – вообще менять свою форму). Поэтому сила, приложенная к одной точке тела, сообщает кинетическую энергию всем его частям.
При вычислении этой работы роль точки приложения сил отчетливо видна.
На рис. 49 показано закрепленное на оси тело. При повороте тела на маленький угол φ точка приложения силы переместилась по дуге – прошла путь s.
Проектируя силу на направление движения, т.е. на касательную к окружности, по которой движется точка приложения, напишем знакомое выражение работы A:
A= Fпрод· s
Но дуга sможет быть представлена как
s= rφ,
где r– расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Итак,
A= Fпрод· rφ.
Поворачивая тело на один и тот же угол разными способами, мы можем затратить различную работу в зависимости от того, где приложена сила.
Если угол задан, то работа определяется произведением F прод· r. Такое произведение называют моментом силы:
M= Fпрод· r
Формуле момента силы можно придать другой вид. Пусть O– ось вращения и B– точка приложения силы (рис. 50). Буквой dобозначена длина перпендикуляра, опущенного из Oна направление силы. Два треугольника, построенные на рисунке, подобны. Поэтому
Величина dназывается плечом силы. Новая формула M= Fdчитается так: момент силы равен произведению силы на ее плечо.
Если точку приложения силы перемещать вдоль направления силы, то плечо d, а вместе с ним и момент силы не будут меняться. Значит, безразлично, где именно на линии силы лежит точка приложения.
При помощи нового понятия формула для работы запишется короче:
A= Mφ,
т.е. работа равняется произведению момента силы на угол поворота.
Пусть на тело действуют две силы с моментами M 1и M 2. При повороте тела на угол φ будет совершена работа M 1φ + M 2φ = ( M 1+ M 2)φ. Эта краткая запись показывает, что две силы с моментами M 1и M 2вращают тело так, как это делала бы одна сила с моментом M, равным сумме M 1+ M 2. Моменты сил могут как помогать, так и мешать друг другу. Если моменты M 1и M 2стремятся повернуть тело в одну и ту же сторону, то мы должны считать их величинами, имеющими одинаковый алгебраический знак. Напротив, моменты сил, поворачивающие тело в разные стороны, имеют разные знаки.
Как мы знаем, работа всех сил, действующих на тело, идет на изменение кинетической энергии.
Вращение тела замедлилось или ускорилось – значит, изменилась его кинетическая энергия. Это может произойти лишь в том случае, если суммарный момент сил не равен нулю.
А если суммарный момент равен нулю? Ответ ясен – кинетическая энергия не изменяется, следовательно, тело или вращается равномерно по инерции, или покоится.
Итак, равновесие способного вращаться тела требует уравновешивания действующих на него моментов сил. Если действуют две силы, равновесие требует равенства
M1+ M2= 0.
Пока нас интересовали такие задачи, в которых тело можно было рассматривать как точку, условия равновесия были проще: чтобы тело покоилось или двигалось равномерно, говорил закон Ньютона для таких задач, надо, чтобы результирующая сила равнялась нулю; силы, действующие вверх, должны уравновеситься силами, направленными вниз; сила вправо должна компенсироваться силой влево.
Этот закон действителен и для нашего случая. Если маховое колесо находится в покое, то действующие на него силы уравновешиваются реакцией оси, на которую насажено колесо.
Но этих необходимых условий становится недостаточно. Кроме уравновешивания сил требуется еще уравновешивание моментов сил. Уравновешивание моментов является вторым необходимым условием покоя или равномерного вращения твердого тела.
Моменты сил, если их много, без труда разбиваются на две группы: одни стремятся вращать тело вправо, другие – влево. Эти-то моменты и должны компенсироваться.
Рычаг
Может ли человек удержать на весу 100 тонн, можно ли рукой расплющить железо, может ли ребенок оказать противодействие силачу? Да, могут.
Предложите сильному человеку повернуть влево маховое колесо, ухватившись за спицу рукой у самой оси. Момент силы в данном случае будет невелик: сила большая, но плечо мало. Если ребенок будет тянуть колесо в обратную сторону, ухватившись за спицу у обода, то момент силы может оказаться и большим: сила мала, зато плечо велико. Условием равновесия будет
M1= M2или F 1 d 1= F 2 d 2.
Используя закон моментов, можно придать человеку сказочную силу.
Наиболее ярким примером служит действие рычагов.
Вы хотите поднять ломом громадный камень. Эта задача окажется вам под силу, хотя вес камня – несколько тонн. Лом положен на опору и представляет собой твердое тело нашей задачи. Точка опоры есть центр вращения. На тело действуют два момента сил: мешающий – от веса камня и подталкивающий – от руки. Если индекс 1 отнести к мускульной силе, а индекс 2 – к тяжести камня, то возможность поднять камень выразится кратко: M 1должно быть больше M 2.
Поддерживать камень на весу можно при условии
M1= M2, т.е. F 1 d 1= F 2 d 2.
Если малое плечо – от опоры до камня – в 15 раз меньше большого плеча – от опоры до руки, – то камень весом в 1 тонну будет удерживать в приподнятом состоянии человек, действующий всем своим весом на длинный конец рычага.
Лом, положенный на опору, – весьма распространенный и самый простой пример рычага. Выигрыш в силе с помощью лома бывает обычно в 10–20 раз. Длина лома около 1,5 м, а точку опоры обычно трудно установить ближе, чем в 10 см от конца. Поэтому одно плечо будет больше другого в 15–20 раз, а значит, таким же будет и выигрыш в силе.
Автомашину весом в несколько тонн шофер легко приподнимает при помощи домкрата. Домкрат – рычаг такого же типа, как лом, положенный на опору. Точки приложения сил (рука, вес автомобиля) лежат по обе стороны от точки опоры рычага домкрата. Здесь выигрыш в силе примерно в 40–50 раз, что дает возможность легко поднять огромную тяжесть.
Ножницы, щипцы для орехов, плоскогубцы, клещи, кусачки и многие другие инструменты – все это рычаги. На рис. 51 вы легко найдете центр вращения твердого тела (точку опоры) и точки приложения двух сил – действующей и мешающей.
Когда ножницами режут жесть, стараются раскрыть их как можно шире. Что этим достигается? Кусок металла удается подсунуть поближе к центру вращения. Плечо преодолеваемого момента сил становится меньше, а выигрыш в силе, значит, больше. Сдвигая колечки ножниц или ручки кусачек, взрослый человек действует обычно силой в 40–50 кГ. Одно плечо может превысить другое раз в 20. Оказывается, мы способны вгрызаться в металл с силой в 1 тонну. И это при помощи столь несложных инструментов.
Разновидностью рычага является ворот. При помощи ворота (рис. 52) во многих деревнях вытаскивают воду из колодца.
Проигрыш в пути
Инструменты делают человека сильным, однако из этого совсем не следует, что инструменты позволяют потратить мало работы и получить много. Закон сохранения энергии убеждает, что выигрыш в работе, т.е. создание работы из «ничего», есть вещь невозможная.
Работа полученная не может быть больше затраченной. Напротив, неизбежные потери энергии на трение приведут к тому, что полученная при помощи инструмента работа всегда будет меньше затраченной. В идеальном случае эти работы могут быть равными.
Собственно говоря, мы напрасно теряем время на разъяснение этой очевидной истины: ведь правило моментов было выведено из условия равенства работ действующей и преодолеваемой силы.
Если точки приложения сил прошли пути s 1и s 2, то условие равенства работ запишется так:
F1прод· s 1= F 2 прод· s 2.
Преодолевая при помощи рычажного инструмента какую-либо силу F 2на пути s 2, мы можем проделать это силой F 1, много меньшей F 2. Но перемещение руки s 1должно быть во столько же раз больше s 2, во сколько раз мускульная сила меньше F 2.
Часто этот закон выражают короткой фразой: выигрыш в силе равен проигрышу в пути.
Правило рычага было открыто величайшим ученым древности – Архимедом. Увлеченный силой доказательств, этот замечательный ученый древности писал сиракузскому царю Герону: «Если бы была другая Земля, я перешел бы на нее и сдвинул бы нашу Землю». Очень длинный рычаг, точка опоры которого близка к земному шару, кажется, дал бы возможность решить такую задачу.
АРХИМЕД (около 287–212 г. до н.э.) – величайший математик, физик и инженер древности. Архимед вычислил объем и поверхность шара и его частей, цилиндра и тел, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы. Он впервые со значительной точностью вычислил отношение длины окружности к ее диаметру, показав, что оно заключено в пределах 
Мы не станем горевать с Архимедом об отсутствии точки опоры, которой, как он думал, ему только и недоставало, чтобы сместить земной шар.
Пофантазируем: возьмем крепчайший рычаг, положим его на опору и на короткий конец «подвесим маленький шарик» весом в… 6·10 24кГ. Эта скромная цифра показывает, сколько весит земной шар, «сжатый в маленький шарик». Теперь к длинному концу рычага приложим мускульную силу.
Если силу руки Архимеда считать за 60 кГ, то для смещения «земляного орешка» на 1 см руке Архимеда придется проделать путь в 6·10 24/60 = 10 23раз больше. 10 23см – это 10 18км, что в три миллиарда раз больше диаметра земной орбиты!
Этот анекдотический пример отчетливо показывает масштабы «проигрыша в пути» при работе рычага.
Любой из примеров, рассмотренных нами выше, можно использовать как иллюстрацию не только выигрыша в силе, но и проигрыша в пути. Рука шофера, качающая домкрат, совершит путь, который будет во столько же раз больше величины подъема автомашины, во сколько раз мускульная сила меньше веса автомашины. Сдвигая колечки ножниц, чтобы разрезать лист жести, мы проделаем работу на пути, во столько же раз большем глубины прореза, во сколько мускульная сила меньше сопротивления жести. Камень, подымаемый ломом, поднимется на высоту, во столько же раз меньшую высоты, на которую опускается рука, во сколько раз сила мускулов меньше веса камня. Это правило делает понятным принцип действия винта. Представим себе, что болт с шагом резьбы в 1 мм мы завинчиваем при помощи гаечного ключа длиной 30 см. Винт за один оборот переместится вдоль оси на 1 мм, а наша рука за это же время пройдет путь в 2 м. Мы выигрываем в силе в 2 тысячи раз и либо надежно скрепляем детали, либо легким усилием руки передвигаем большие тяжести.
