Текст книги "Физика для всех. Движение. Теплота"

Автор книги: Александр Китайгородский

Соавторы: Лев Ландау
сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 28 страниц)

Вращательный момент как вектор

До сих пор речь шла о величине вращательного момента. Но вращательный момент обладает свойствами векторной величины.

Рассмотрим вращение точки по отношению к какому-либо «центру». На рис. 62 изображены два близких положения точки. Интересующее нас движение характеризуется величиной вращательного момента и плоскостью, в которой оно происходит. Плоскость движения заштрихована на рисунке – это площадь, пройденная радиусом, проведенным из «центра» к движущейся точке.

Можно объединить сведения о направлении плоскости движения и о величине момента импульса. Для этого служит вектор момента, направленный вдоль нормали к плоскости движения и равный по величине абсолютному значению момента. Однако это еще не все – нужно учесть направление движения в плоскости: ведь тело может поворачиваться около центра как по часовой стрелке, так и против нее.

Принято рисовать вектор момента импульса таким образом, чтобы, смотря против вектора, видеть поворот точки против часовой стрелки. Можно сказать и иначе: направление вектора момента импульса связано с направлением поворота так, как направление ввинчивающегося штопора связано с направлением движения его ручки.

Таким образом, если мы знаем вектор момента импульса, мы можем судить о величине момента, о положении плоскости движения в пространстве и о направлении поворота по отношению к «центру».

Если движение происходит в одной и той же плоскости, но плечо и скорость меняются, то вектор момента импульса сохраняет свое направление в пространстве, но меняется по длине. А в случае произвольного движения вектор импульса меняется как по величине, так и по направлению.

Может показаться, что такое объединение в одном понятии направления плоскости движения и величины вращательного момента служит лишь целям экономии слов. В действительности, однако, когда мы имеем дело с системой тел, которые движутся не в одной плоскости, мы получим закон сохранения момента только тогда, когда будем складывать вращательные моменты как векторы.

Это обстоятельство и показывает, что приписывание векторного характера вращательному моменту имеет глубокое содержание.

Вращательный момент всегда определяется относительно какого-либо условно выбранного «центра». Естественно, что его величина, вообще говоря, зависит от выбора этой точки. Можно, однако, показать, что если рассматриваемая нами система тел как целое покоится (ее полный импульс равен нулю), то вектор вращательного момента не зависит от выбора «центра». Этот вращательный момент можно назвать внутренним вращательным моментом системы тел.

Закон сохранения вектора момента импульса – третий и последний в механике закон сохранения. Однако мы не вполне точны, когда говорим о трех законах сохранения. Ведь импульс и момент импульса – это векторные величины, а закон сохранения векторной величины означает, что неизменной остается не только числовое значение величины, но и ее направление, иначе говоря, неизменными остаются три составляющих вектора по трем взаимно перпендикулярным направлениям в пространстве. Энергия – числовая величина, импульс – векторная, вращательный момент – также векторная. Поэтому точнее будет сказать, что в механике имеют место семь законов сохранения.

Волчки

Попробуйте поставить тарелку дном на тонкую трость и удержать ее в положении равновесия. Ничего не получится. Однако такой трюк является излюбленным номером китайских жонглеров. Им удается выполнить эту задачу, действуя одновременно с несколькими тросточками. Жонглер вовсе не старается удержать тонкие палочки в вертикальном положении. Кажется чудом, что тарелки, слегка опираясь на концы горизонтально наклоненных палок, не падают и почти висят в воздухе.

Если вам придется наблюдать за работой жонглеров вблизи, то обратите внимание на одну важнейшую вещь: жонглер закручивает тарелки так, чтобы они быстро вращались в своей плоскости.

Жонглируя булавами, кольцами, шляпами, – во всех случаях артист придает им вращение. Только в этом случае предметы возвращаются к нему в руки в том же положении, которое им было придано вначале.

В чем причина такой устойчивости вращения? Она связана с законом сохранения момента. Ведь при изменении направления оси вращения изменяется и направление вектора вращательного момента. Как нужна сила для изменения направления скорости, так нужен момент силы для изменения направления вращения, тем больший, чем быстрее вращается тело.

Стремление быстро вращающегося тела сохранять неизменным направление оси вращения может быть прослежено во многих случаях, подобных упомянутым. Так, вращающийся волчок не опрокидывается даже в том случае, если его ось наклонена.

Попробуйте рукой опрокинуть вертящийся волчок; оказывается, с ним не так-то легко справиться.

Устойчивость вращающегося тела используется в артиллерии. Вы слыхали, вероятно, что в стволе орудия делаются винтовые нарезы. Вылетающий снаряд вращается вокруг своей оси и благодаря этому не «кувыркается» в воздухе. Нарезное орудие дает несравненно лучшую прицельность и большую дальность полета, чем ненарезное. Летчику и морскому навигатору необходимо всегда знать, где находится истинная земная вертикаль по отношению к положению самолета или морского судна в данный момент. Использование отвеса не годится для этой цели, так как при ускоренном движении отвес отклоняется. Поэтому применяют быстро вращающийся волчок особой конструкции – его называют гирогоризонтом. Если установить его ось вращения на земную вертикаль, то она в таком положении и останется, как бы ни изменил самолет свое положение в пространстве.

Но на чем стоит волчок? Если он находится на подставке, которая поворачивается вместе с самолетом, то как же ось вращения сможет сохранить свое направление?

Подставкой служит устройство типа так называемого карданова подвеса (рис. 63). В этом устройстве при минимальном трении в опорах волчок может вести себя так, как будто он подвешен в воздухе.

При помощи вращающихся волчков можно автоматически поддерживать заданный курс торпеды или самолета. Это делается при помощи механизмов, «следящих» за отклонением направления оси торпеды от направления оси волчка.

На применении вращающегося волчка основано устройство такого важного прибора, как гирокомпас. Можно доказать, что под действием силы Кориолиса и сил трения ось волчка в конце концов устанавливается параллельно земной оси и, значит, указывает на север.

Гирокомпасы широко применяются в морском флоте. Главная их часть – мотор с тяжелым маховиком, делающим до 25000 об/мин.

Несмотря на ряд трудностей в устранении различных помех, в частности от качки корабля, гирокомпасы имеют преимущество перед магнитными компасами. Недостаток последних – искажение показаний из-за влияния железных предметов и электрических установок на корабле.

Гибкий вал

Валы современных паровых турбин – важные части этих грандиозных машин. Изготовление таких валов, достигающих 10 м в длину и 0,5 м в поперечнике, – сложная технологическая задача. Вал мощной турбины может нести нагрузку около 200 т и вращаться со скоростью 3000 об/мин.

На первый взгляд может показаться, что такой вал должен быть исключительно твердым и прочным. Это, однако, не так. При десятках тысяч оборотов в минуту жестко закрепленный и не способный изгибаться вал неминуемо ломается, какова бы ни была его прочность.

Нетрудно понять, почему непригодны жесткие валы. Как бы точно ни работали машиностроители, они не могут избежать хотя бы небольшой асимметрии колеса турбины. При вращении такого колеса возникают огромные центробежные силы – напомним, что их значения пропорциональны квадрату скорости вращения. Если они не уравновешены в точности, то вал начнет «биться» о подшипники (ведь неуравновешенные центробежные силы «вращаются» вместе с машиной), сломает их и разнесет турбину.

Это явление создавало в свое время непреодолимые затруднения в увеличении скорости вращения турбины. Выход из положения был найден на рубеже прошлого и нынешнего веков. В технику турбостроения были введены гибкие валы.

Для того чтобы понять, в чем заключалась идея этого замечательного изобретения, нам надо вычислить суммарное действие центробежных сил. Как же сложить эти силы? Оказывается, что равнодействующая всех центробежных сил приложена в центре тяжести вала и имеет такую же величину, как если бы вся масса колеса трубины была сосредоточена в центре тяжести.

Обозначим через aрасстояние центра тяжести колеса турбины от оси, отличное от нуля из-за небольшой асимметрии колеса. При вращении на вал будут действовать центробежные силы, и вал изогнется. Обозначим смещение вала через l. Подсчитаем эту величину. Формула для центробежной силы нам известна ( см. стр. 60) – эта сила пропорциональна расстоянию от центра тяжести до оси, которое теперь есть a+ l, и равна 4π ² n ² M( a+ l), где n– число оборотов в минуту, а M– масса вращающихся частей. Центробежная сила уравновешивается упругой силой, которая пропорциональна величине смещения вала и будет равна kl, где коэффициент kхарактеризует жесткость вала. Итак:

kl= 4π ² n ² M( a+ l),

откуда

Судя по этой формуле, гибкому валу не страшны большие обороты. При очень больших (пусть даже бесконечно больших) значениях nпрогиб вала lне растет неограниченно. Величина k/(4π ² n ² M), фигурирующая в последней формуле, обращается в нуль, а прогиб вала lстановится равным величине асимметрии с обратным знаком.

Этот результат вычисления означает, что при больших оборотах асимметричное колесо, вместо того чтобы разорвать вал, изгибает его так, чтобы уничтожилось влияние асимметрии. Изгибающийся вал центрирует вращающиеся части, своим изгибом переносит центр тяжести на ось вращения и таким образом приводит к нулю действие центробежной силы.

Гибкость вала является не только не недостатком, но и, напротив, необходимым условием устойчивости. Ведь для устойчивости валу надо прогнуться на величину aи при этом не сломаться.

Внимательный читатель может заметить погрешность в проведенных рассуждениях. Если сместить «центрирующий» при больших оборотах вал из найденного нами положения равновесия и рассматривать только центробежную и упругую силы, то легко заметить, что это равновесие неустойчиво. Оказалось, однако, что кориолисовы силы спасают положение и делают это равновесие вполне устойчивым.

Турбина начинает медленно вращаться. Вначале, когда nочень мало, дробь k/(4π ² n ² M) будет иметь большое значение. Пока эта дробь при увеличении числа оборотов будет больше единицы, величина прогиба вала будет иметь тот же знак, что и величина первоначального смещения центра тяжести колеса. Таким образом, в эти начальные моменты движения прогибающийся вал не центрирует колесо, а, напротив, своим изгибом увеличивает общее смещение центра тяжести, а значит, и центробежную силу. По мере увеличения числа оборотов n(но при сохранении условия k/(4π ² n ² M) > 1) смещение растет и, наконец, наступает критический момент. При k/(4π ² n ² M) = 1 знаменатель формулы для смещения lобращается в нуль, значит, прогиб вала становится формально бесконечно большим. При такой скорости вращения вал сломается. При запуске турбины этот момент должен быть пройден очень быстро, надо проскочить критическое число оборотов и перейти к значительно более быстрому движению турбины, при котором начнется явление самоцентрирования, описанное выше. Но что это за критический момент? Мы можем переписать его условие в следующем виде:

Или, заменяя число оборотов на период вращения при помощи соотношения n= 1/ Tи извлекая корень, в такой форме:

Что же за величину получили мы в правой части равенства? Формула выглядит весьма знакомой. Обратившись к стр. 110, мы видим, что в правой части у нас фигурирует собственный период колебания колеса на валу. Период 2π·sqrt( M/ k) – это период, с которым колебалось бы колесо турбины массы Mна валу с жесткостью k, если бы мы оттянули колесо в сторону, чтобы оно колебалось само по себе.

Итак, опасный момент – это совпадение периода вращения колеса турбины с собственным периодом колебания системы турбина – вал. В существовании критического числа оборотов повинно явление резонанса.

VII. Тяготение

На чем Земля держится?

В далекие времена на этот вопрос давали простой ответ: на трех китах. Правда, оставалось неясным, на чем держатся киты. Однако наших наивных прародителей это не смущало.

Правильные представления о характере движения Земли, о форме Земли, о многих закономерностях движения планет вокруг Солнца возникли задолго до того, как был дан ответ на вопрос о причинах движения планет.

И в самом деле, на чем «держатся» Земля и планеты? Почему они двигаются вокруг Солнца по определенным путям, а не улетают от него прочь?

Ответа на такие вопросы долгое время не было, и церковь, боровшаяся против коперниковой системы мира, использовала это для отрицания факта движения Земли.

Открытием истины мы обязаны великому английскому ученому Исааку Ньютону (1643–1727).

Известный исторический анекдот говорит, что, сидя в саду под яблоней, задумчиво наблюдая за тем, как от порывов ветра то одно, то другое яблоко падает на землю, Ньютон пришел к мысли о существовании сил тяготения между всеми телами вселенной.

В результате открытия Ньютона выяснилось, что множество, казалось бы, разнородных явлений – падение свободных тел на землю, видимые движения Луны и Солнца, океанские приливы и т.д. – представляют собой проявления одного и того же закона природы: закона всемирного тяготения.

Между всеми телами Вселенной, говорит этот закон, будь то песчинки, горошинки, камни или планеты, действуют силы взаимного притяжения.

На первый взгляд закон кажется неверным: мы что-то не замечали, чтобы притягивались друг к другу окружающие нас предметы. Земля притягивает к себе любые тела, в этом никто не усомнится. Но, может быть, это особое свойство Земли? Нет, это не так. Притяжение двух любых предметов невелико и лишь поэтому не бросается в глаза. Тем не менее специальными опытами его можно обнаружить. Но об этом позже.

Наличие всемирного тяготения, и только оно, объясняет устойчивость солнечной системы, движение планет и других небесных тел.

Луна держится на орбите силами земного притяжения, Земля на своей траектории – силами притяжения Солнца.

Круговое движение небесных тел происходит так же, как круговое движение камня, закрученного на веревке.

Силы всемирного тяготения – это невидимые «канаты», заставляющие небесные тела двигаться по определенным путям.

Утверждение о существовании сил всемирного тяготения еще мало что означало. Ньютон нашел закон тяготения, показал, от чего зависят эти силы.

Закон всемирного тяготения

Первый вопрос, который задал себе Ньютон, был таков: чем отличается ускорение Луны от ускорения яблока? Иначе говоря, каково различие между ускорением g, которое земной шар создает на своей поверхности, т.е. на расстоянии rот центра, и ускорением, создаваемым Землей на расстоянии R, на котором находится Луна от Земли?

Чтобы подсчитать это ускорение v ²/R, надо знать скорость движения Луны и ее расстояние от Земли. Обе эти цифры были Ньютону известны. Ускорение Луны оказалось равным примерно 0,27 см/с ². Это приблизительно в 3600 раз меньше значения g= 980 см/с ².

Значит, создаваемое Землей ускорение уменьшается с удалением от центра Земли. Но как быстро? Расстояние равно шестидесяти земным радиусам. Но 3600 есть квадрат 60. Увеличив расстояние в 60 раз, мы уменьшили ускорение в (60) ²раз.

Ньютон сделал вывод, что ускорение, а значит и сила тяготения, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Далее, мы уже знаем, что сила, действующая на тело в поле тяжести, пропорциональна его массе. Поэтому первое тело притягивает второе с силой, пропорциональной массе второго тела; второе тело притягивает первое с силой, пропорциональной массе первого тела.

Речь идет о тождественно равных силах – силах действия и противодействия. Значит, сила взаимного тяготения должна быть пропорциональна массе как первого, так и второго тела, иначе говоря – произведению масс.

Итак,

Это и есть закон всемирного тяготения. Ньютон предположил, что такой закон будет верен для любой пары тел.

Теперь эта смелая гипотеза полностью доказана. Таким образом, сила притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

А что это за γ, которая вошла в формулу? Это коэффициент пропорциональности. Нельзя ли считать его равным единице, как мы это уже неоднократно делали? Нет, нельзя: мы условились измерять массу в граммах, расстояние в сантиметрах, а силу в динах. Значение γ равно силе притяжения между двумя массами в 1 г, находящимися на расстоянии 1 см. Мы не можем считать силу равной чему-то, в том числе и одной дине: коэффициент γ должен быть измерен.

Чтобы найти γ, разумеется, не обязательно промерять силы притяжения граммовых гирек. Мы заинтересованы в том, чтобы произвести измерение над массивными телами – тогда сила будет побольше.

Если определить массу двух тел, знать расстояние между ними и измерить силу притяжения, то γ найдется простым расчетом.

Такие опыты ставились много раз. Они показали, что значение γ всегда одно и то же, независимо от материала притягивающихся тел, а также от свойств среды, в которой они находятся. γ называется гравитационной постоянной. Она равна

γ = 6,67·10 ⁻⁸см ³/(г·с ²)

Схема одного из опытов по измерению γ показана на рис. 64. К концам коромысла весов подвешены два шарика одинаковой массы. Один из них находится над свинцовой плитой, другой – под ней. Свинец (для опыта взято 100 т свинца) увеличивает своим притяжением вес правого шарика и уменьшает вес левого. Правый шарик перевешивает левый. По величине отклонения коромысла весов вычисляется значение γ.

Незначительной величиной γ объясняется трудность обнаружения силы тяготения между двумя предметами.

Два тяжелых 1000-килограммовых груза тянутся друг к другу с ничтожной силой, равной всего лишь 6,7 дин, т.е. 0,007 Г, если эти предметы находятся, скажем, на расстоянии 1 м один от другого.

Но как велики силы притяжения между небесными телами! Между Луной и Землей

между Землей и Солнцем

Взвешивание Земли

Прежде чем начать пользоваться законом всемирного тяготения, нам надо обратить внимание на одну важную деталь.

Мы только что высчитывали силу притяжения между двумя грузами, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. А если бы эти тела находились на расстоянии 1 см? Что же подставлять в формулу – расстояние между поверхностями тел или расстояние между центрами тяжести или что-нибудь третье?

Закон всемирного тяготения F= γ( m ₁ m ₂/ r ²) можно со всей строгостью применять тогда, когда подобных сомнений не возникает. Расстояние между телами должно быть много больше размеров тел; мы должны иметь право рассматривать тела как точки. Как же применить закон к двум близким телам? В принципе просто: надо мысленно разбить тела на маленькие кусочки, для каждой пары подсчитать силу F, а затем сложить (векторно) все силы.

В принципе это просто, но практически довольно сложно.

Однако природа помогла нам. Расчет показывает: если частицы тела взаимодействуют с силой, пропорциональной 1/ r ², то шарообразные тела обладают свойством притягиваться как точки, расположенные в центрах шаров. Для двух близких шаров формула F= γ( m ₁ m ₂/ r ²) точно справедлива, как и для далеких, если r– расстояние между центрами шаров. Мы уже использовали это правило раньше, вычисляя ускорение на поверхности Земли.

Теперь мы имеем право применять формулу тяготения для вычисления силы притяжения тела Землей. Под rмы должны понимать расстояние от центра Земли до тела.

Пусть M– масса и R– радиус Земли. Тогда сила притяжения тела массы mу земной поверхности

Но ведь это же вес тела, который мы всегда выражаем как mg. Значит, ускорение силы тяжести

g= γ· m/ r ²

Теперь-то мы можем сказать, как взвесили Землю. g, γ и R– известные величины, массу Земли можно вычислить из этой формулы. Таким же способом можно взвесить и Солнце.

Но разве можно назвать такое вычисление взвешиванием? Конечно, можно; косвенные измерения играют в физике не меньшую роль, чем прямые.

Решим теперь любопытную задачу.

В планах создания всемирного телевидения существенную роль играет создание «висящего» спутника, т.е. такого, который все время находился бы в одной и той же точке плоскости экватора над земной поверхностью. Будет ли такой спутник испытывать трение? Это зависит от того, насколько далеко от Земли ему придется совершать свое вращение.

«Висящий» спутник должен вращаться с периодом T, равным 24 часам. Если rесть расстояние спутника от центра Земли, то его скорость v= 2π r/ Tи его ускорение v ²/ r= (4π ²/ T ²) r. C другой стороны, это ускорение, источником которого является земное притяжение, равно γ( M/ r ²) = g( R ²/ r ²).

Приравнивая величины ускорений, получим:

Подставляя округленные значения g= 10 м/с ², R= 6·10 ⁶м и T= 9·10 ⁴с, получим: r ²= 7·10 ²², т.е. r≈ 4·10 ⁷м = 40 000 км. На такой высоте атмосферного трения нет, и «висящий» спутник, если его удастся создать, не будет замедлять своего «неподвижного бега».