Текст книги "Физика для всех. Движение. Теплота"
Автор книги: Александр Китайгородский
Соавторы: Лев Ландау
сообщить о нарушении
Текущая страница: 17 (всего у книги 28 страниц)
Теория идеального газа
Свойства идеального газа, давшего нам определение температуры, очень просты. При постоянной температуре действует закон Бойля – Мариотта: произведение pVпри изменениях объема или давления остается неизменным. При неизменном давлении сохраняется частное V/ T, как бы ни менялись объем или температура. Эти два закона легко объединить. Ясно, что выражение рV/ Тостается тем же, как при постоянной температуре, но изменяющихся Vи p, так и при постоянном давлении, но изменяющихся Vи T. Выражение pV/ Tостается постоянным при изменении не только любой пары, но и одновременно всех трех величин – р, Vи T. Закон ( pV)/ T= const, как говорят, определяет уравнение состояния идеального газа.
Идеальный газ выбран в качестве термометра потому, что только его свойства связаны с одним лишь движением (но не с взаимодействием) молекул.
Каков же характер связи между движением молекул и температурой? Для ответа на этот вопрос надо найти связь между давлением газа и движением в нем молекул.
В сферическом сосуде радиуса Rзаключено Nмолекул газа (рис. 95). Последим за какой-либо молекулой, например той, что движется в данный момент слева направо вдоль хорды длиной l. На столкновения молекул обращать внимания не будем: такие встречи не сказываются на давлении. Долетев до границы сосуда, молекула ударится о стенку и с той же скоростью (удар упругий) понесется уже в другом направлении. В идеале такое путешествие по сосуду могло бы продолжаться вечно. Если v– скорость молекулы, то каждый удар будет происходить через l/ vсекунд, т.е. в секунду каждая молекула ударится v/ lраз. Непрерывная дробь ударов Nмолекул сливается в единую силу давления.
По закону Ньютона сила равна изменению импульса в единицу времени. Обозначим изменение импульса при каждом ударе через Δ. Это изменение происходит v/ lраз в секунду. Значит, вклад в силу со стороны одной молекулы будет (Δ/ l)· v.
На рис. 95 построены векторы импульсов до и после удара, а также вектор приращения импульса Δ. Из подобия возникших при построении треугольников следует: Δ/ l= mv/ R. Вклад в силу со стороны одной молекулы примет вид:
Так как длина хорды не вошла в формулу, то ясно, что молекулы, движущиеся по любой хорде, дают одинаковый вклад в силу. Конечно, изменение импульса при косом ударе будет меньше, но зато удары в этом случае будут чаще. Расчет показал, что оба эффекта в точности компенсируются.
Так как в сфере Nмолекул, то суммарная сила будет равна:
где v ср– средняя скорость молекул.
Давление ргаза, равное силе, поделенной на площадь сферы 4π R 2, будет равно:
где V– объем сферы.
Таким образом,
Это уравнение было впервые выведено Даниилом Бернулли в 1738 г. *1111
Швейцарец по происхождению, Д. Бернулли работал и жил в России; он был петербургским академиком. Не меньшую известность имеет деятельность Жана Бернулли и Якова (Жака) Бернулли.
[Закрыть].
Из уравнения состояния идеального газа следовало: pV= const· T; из выведенного уравнения видим, что pVпропорционально v ср 2. Значит,
т.е. скорость молекулы идеального газа пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры.
Закон Авогадро
Пусть вещество представляет собой смесь различных молекул. Нет ли такой физической величины, характеризующей движение, которая была бы одинакова для всех этих молекул, например для водорода и кислорода, находящихся при одинаковой температуре?
Механика дает ответ на этот вопрос. Можно доказать, что одинаковыми у всех молекул будут средние кинетические энергии поступательного движения mv ср 2/2 .
Это означает, что при данной температуре средние квадраты скорости молекул обратно пропорциональны массе частиц:
Вернемся теперь к уравнению pV= (1/3) Nmv ср 2. Так как при данной температуре величины mv ср 2одинаковы для всех газов, то число молекул N, заключенных в данном объеме при определенных давлении pи температуре T, одинаково для всех газов. Этот замечательный закон был впервые сформулирован Авогадро.
Сколько же молекул приходится на 1 см 3? Оказывается, в 1 см 3при 0 °C и 760 мм Hg находится 2,7·10 19молекул. Это огромное число. Чтобы вы почувствовали, сколь оно велико, приведем такой пример. Положим, что газ удаляется из маленького сосудика объемом 1 см 3с такой скоростью, что в каждую секунду уходит миллион молекул. Нетрудно подсчитать, что сосуд полностью освободится от газа через миллион лет!
Закон Авогадро указывает, что при определенных давлении и температуре отношение числа молекул к объему, в котором они заключены, N/ Vесть величина, одинаковая для всех газов.
Так как плотность газа ρ = ( N/ V) m, то отношение плотностей газов равно отношению их молекулярных весов:
Относительные веса молекул могут быть поэтому установлены простым взвешиванием газообразных веществ. Такие измерения сыграли в свое время большую роль в развитии химии и имеют значение и сейчас, когда нужно найти молекулярный вес нового синтезированного вещества: надо только перевести его, не испортив, в газообразное состояние. Воздух есть смесь газов, и для того, чтобы сравнивать его плотность с плотностью других газов, удобно ввести средний молекулярный вес воздуха. Он оказывается равным 28,8. Зная эту цифру, легко находить плотность различных газов по отношению к воздуху. Например, водяной пар с молекулярным весом 18 имеет по отношению к воздуху плотность 18/28,8 = 0,62.
Скорости молекул
Теория указывает, что при одной температуре средние кинетические энергии молекул mv ср 2/2 одинаковы. При нашем определении температуры эта средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. В виде равенства этот важнейший закон записывается так:
где энергия измеряется в эргах.
Мы уже поняли ранее, что температура является какой-то мерой интенсивности теплового движения. Теперь же мы видим, что измерение температуры термометром, заполненным идеальным газом, придает этой мере на редкость простой смысл. Температура пропорциональна среднему значению энергии поступательного движения молекул.
Определим среднюю скорость молекул кислорода при комнатной температуре, которую мы для круглого счета примем в 27 °C = 300 K. Молекулярный вес кислорода 32, так что вес одной молекулы равен 32/6·10 23. Простое вычисление даст v ср= 4,8·10 4см/с, т.е. около 500 м/с. Существенно быстрее движутся молекулы водорода. Их массы в 16 раз меньше и скорости в sqrt(16) = 4 раза больше, т.е. при комнатной температуре составляют около 2 км/с. Прикинем, с какой тепловой скоростью движется маленькая, видимая в микроскоп частичка. Обычный микроскоп позволяет увидеть пылинку диаметром в 1 микрон (10 −4см), Масса такой частицы при плотности, близкой к единице, будет что-нибудь около 5·10 −13г. Для ее скорости получим около 0,5 см/с. Неудивительно, что такое движение вполне заметно.
Скорость броуновского движения горошины с массой в 0,1 г будет уже всего только 10 −6см/с. Немудрено, что мы не видим броуновского движения таких частиц.
Мы говорили о средних скоростях молекулы. Но ведь не все молекулы движутся с одинаковыми скоростями, какая-то доля молекул движется быстрее, а какая-то медленнее. Все это, оказывается, можно рассчитать. Приведем только результаты.
При температуре около 15 °C, например, средняя скорость молекул азота равна 500 м/с; со скоростями от 300 до 700 м/с движется 59 % молекул. С малыми скоростями – от 0 до 100 м/с – движется всего лишь 0,6 % молекул, Быстрых молекул со скоростями свыше 1000 м/с в газе всего лишь 5,4 % (рис. 96).
Можно рассчитать и распределение молекул по разным значениям энергии поступательного движения.
Число молекул, энергия которых более чем в два раза превосходит среднюю, уже меньше 10 %. Доля еще более «энергичных» молекул тает по мере увеличения энергии во все возрастающей степени. Так, молекул, энергия которых в 4 раза больше средней, – всего 0,7 %, в 8 раз больше средней – 0,06·10 −4 %, в 16 раз больше средней – 2·10 −8 %.
Энергия молекулы кислорода, движущейся со скоростью 11 км/с, равна 32·10 −12эрг. Средняя энергия молекулы при комнатной температуре равна всего 6·10 −14эрг.
Таким образом, энергия «одиннадцатикилометровой молекулы» по крайней мере в 500 раз больше энергии молекулы со средней скоростью. Неудивительно, что доля молекул со скоростями выше 11 км/с равна невообразимо малому числу – порядка 10 −300.
Но почему нас заинтересовала скорость 11 км/с? На стр. 161мы говорили о том, что оторваться от Земли могут лишь тела, имеющие эту скорость. Значит, забравшиеся на большую высоту молекулы могут потерять связь с Землей и отправиться в далекое межпланетное путешествие, но для этого надо иметь скорость 11 км/с. Доля таких быстрых молекул, как мы видим, настолько ничтожна, что опасность потери атмосферы Земле не грозит даже через миллиарды лет.
Скорость ухода атмосферы необычайно сильно зависит от гравитационной энергии γ( Mm/ r).Если средняя кинетическая энергия молекулы во много раз меньше гравитационной энергии, то отрыв молекул практически невозможен. На поверхности Луны гравитационная энергия в 20 раз меньше, что дает для энергии «убегания» молекулы кислорода значение 1,5·10 −12эрг. Это значение превышает величину средней кинетической энергии молекулы всего лишь в 20–25 раз. Доля молекул, способных оторваться от Луны, равна 10 −17. Это уже совсем не то, что 10 −300, и подсчет показывает, что воздух будет довольно быстро уходить с Луны в межпланетное пространство. Неудивительно, что на Луне нет атмосферы.
Тепловое расширение
Если нагреть тело, то движение атомов (молекул) будет более интенсивным. Они станут расталкивать друг друга и займут больше места. Этим и объясняется хорошо известный факт: при нагревании твердые, жидкие и газообразные тела расширяются.
О тепловом расширении газов долго говорить не приходится: ведь пропорциональность температуры объему газа была положена в основу нашей температурной шкалы.
Из формулы V= ( V 0/273)· Тмы видим, что объем газа при постоянном давлении возрастает при нагревании на 1 °C на 1/273 часть (т.е. на 0,0037) его объема при 0 °C (это положение иногда называют законом Гей-Люссака).
В обычных условиях, т.е. при комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении, расширение большинства жидкостей раза в два-три меньше расширения газов.
Мы уже не раз говорили о своеобразии расширения воды. При нагревании от 0 до 4 °C объем воды уменьшается с нагреванием. Эта особенность в расширении воды играет колоссальную роль в жизни на Земле. Осенью по мере охлаждения воды верхние остывшие слои становятся плотнее и погружаются на дно. На их место снизу поступает более теплая вода. Но такое перемешивание происходит только до тех пор, пока температура воды не понизится до 4 °C. При дальнейшем падении температуры верхние слои уже не будут сжиматься, значит, не будут становиться тяжелее и не станут опускаться на дно. Начиная с этой температуры, верхний слой, постепенно охлаждаясь, доходит до нуля градусов и замерзает.
Только эта особенность воды и препятствует промерзанию рек до дна. Если бы вода вдруг потеряла свою замечательную особенность, даже при скромной фантазии легко представить себе бедственные последствия этого.
Тепловое расширение твердых тел существенно меньше, чем тепловое расширение жидкостей. Оно в сотни и тысячи раз меньше расширения газов.
Во многих случаях тепловое расширение является досадной помехой. Так, изменение размеров движущихся частей часового механизма с переменой температуры привело бы к изменению хода часов, если бы для этих тонких деталей не применялся особый сплав – инвар (инвариантный в переводе означает неизменный, отсюда и название «инвар»). Инвар – сталь с большим содержанием никеля – широко применяется в приборостроении. Стержень из инвара удлиняется лишь на одну миллионную долю своей длины при изменении температуры на 1 °C.
Ничтожное, казалось бы, тепловое расширение твердых тел может привести к серьезным последствиям. Дело в том, что нелегко мешать тепловому расширению твердых тел из-за их малой сжимаемости.
При нагревании на 1 °C стального стержня его длина возрастет всего на одну стотысячную, т.е. на незаметную глазом величину. Однако, чтобы воспрепятствовать расширению и сжать стержень на одну стотысячную, нужна сила в 20 кГ на 1 см 2. И это только для того, чтобы уничтожить действие повышения температуры всего на 1 °C!
Распирающие силы, возникающие из-за теплового расширения, могут привести к поломкам и катастрофам, если с ними не считаться. Так, чтобы избежать действия этих сил, рельсы железнодорожного полотна укладывают с зазорами. Об этих силах приходится помнить при обращении со стеклянной посудой, которая легко трескается при неравномерном нагревании. В лабораторной практике поэтому пользуются лишенной этого недостатка посудой из кварцевого стекла (плавленый кварц – окись кремния, находящаяся в аморфном состоянии). При одном и том же нагреве медный брусок удлинится на миллиметр, а такой же брусок кварцевого стекла изменит свою длину на незаметную глазом величину 30–40 микрон. Расширение кварца настолько ничтожно, что кварцевый сосуд можно нагреть на несколько сот градусов, а потом без опасений бросить его в воду.
Теплоемкость
Внутренняя энергия тела, разумеется, зависит от температуры. Чем больше надо нагреть тело, тем больше требуется энергии. На нагрев от Т 1до Т 2к телу требуется подвести в виде тепла энергию Q, равную
Q= C( Т2− Т 1).
Здесь C– коэффициент пропорциональности, который называется теплоемкостью тела. Из формулы следует определение понятия теплоемкости: Cесть количество тепла, необходимое для повышения температуры на 1 °C. Теплоемкость и сама зависит от температуры: нагрев от 0 до 1 °C, или от 100 до 101 °C, требует несколько различных количеств тепла.
Величины Cотносят обычно к одному грамму и называют удельными теплоемкостями. Тогда их обозначают строчными буквами c.
Количество тепла, идущее на нагревание тела массы m, запишется формулой:
Q= mc( T2− T 1).
Мы в дальнейшем будем пользоваться понятием удельной теплоемкости, но для краткости говорить о теплоемкости тел. Дополнительным ориентиром всегда будет размерность величины.
Значения теплоемкостей колеблются в довольно широких пределах. Разумеется, теплоемкость воды в калориях на градус по определению равна 1.
Большинство тел имеет теплоемкость меньше, чем у воды. Так, у большинства масел, спиртов и других жидкостей теплоемкости близки к 0,5 кал/(г·град). Кварц, стекло, песок имеют теплоемкость порядка 0,2. Теплоемкость железа и меди – около 0,1 кал/(г·град). А вот примеры теплоемкостей некоторых газов: водород – 3,4 кал/(г·град), воздух – 0,24 кал/(г·град).
Теплоемкости всех тел, как правило, уменьшаются c падением температуры и при температурах, близких к абсолютному нулю, принимают у большинства тел ничтожные значения. Так, теплоемкость меди при температуре 20 K равна всего 0,0035; это в двадцать четыре раза меньше, чем при комнатной температуре.
Знание теплоемкостей может пригодиться для решения различных задач о распределении тепла между телами.
Различие между теплоемкостями воды и почвы является одной из причин, определяющей разницу между морским и континентальным климатом. Обладая примерно в пять раз большей теплоемкостью, чем почва, вода медленно нагревается и так же медленно остывает.
Летом вода в приморских районах, нагреваясь медленнее, чем суша, охлаждает воздух, а зимой теплое море постепенно остывает, отдавая тепло воздуху и смягчая мороз. Нетрудно подсчитать, что 1 м 3морской воды, охлаждаясь на 1 °C, нагреет на 1 °C 3000 м 3воздуха. Поэтому в приморских районах колебания в температуре и разница между температурой зимы и лета менее значительны, чем в континентальных.
Теплопроводность
Каждый предмет может служить «мостиком», по которому перейдет тепло от тела более нагретого к телу менее нагретому.
Таким мостиком является, например, чайная ложка, опущенная в стакан с горячим чаем. Металлические предметы очень хорошо проводят тепло. Конец ложки, опущенной в стакан, становится теплым уже через секунду.
Если нужно перемешивать какую-либо горячую смесь, то ручку у мешалки надо сделать из дерева или пластмассы. Эти твердые тела проводят тепло в 1000 раз хуже, чем металлы. Мы говорим «проводят тепло», но с таким же успехом можно было бы сказать «проводят холод». Конечно, свойства тела не изменяются от того, в какую сторону идет по нему поток тепла. В морозные дни мы остерегаемся на улице притрагиваться голой рукой к металлу, но без опаски беремся за деревянную ручку.
К плохим проводникам тепла – их также называют теплоизоляторами – относятся дерево, кирпич, стекло, пластмассы. Из этих материалов делают стены домов, печей и холодильников.
К хорошим проводникам относятся все металлы. Наилучшими проводниками являются медь и серебро – они проводят тепло в два раза лучше, чем железо.
Конечно, «мостиком» для перехода тепла может служить не только твердое тело. Жидкости тоже проводят тепло, но много хуже, чем металлы. По теплопроводности металлы превосходят твердые и жидкие неметаллические тела в сотни раз.
Чтобы показать плохую теплопроводность воды, делают такой опыт. В пробирке с водой закрепляют на дне кусочек льда, а верх пробирки подогревают на газовой горелке – вода начинает кипеть, а лед еще и не думает таять. Если бы пробирка была без воды и из металла, то кусочек льда начал бы таять почти сразу же. Вода проводит тепло примерно в двести раз хуже, чем медь.
Газы проводят тепло в десятки раз хуже, чем конденсированные неметаллические тела. Теплопроводность воздуха в 20000 раз меньше теплопроводности меди.
Плохая теплопроводность газов позволяет взять в руку кусок сухого льда, температура которого −78 °C, и даже держать на ладони каплю жидкого азота, имеющего температуру −196 °C. Если не сжимать пальцами эти холодные тела, то «ожога» не будет. Дело заключается в том, что при очень энергичном кипении капля жидкости или кусок твердого тела покрывается «паровой рубашкой» и образовавшийся слой газа служит теплоизолятором.
Сфероидальное состояние жидкости – так называется состояние, при котором капли окутаны паром, – образуется в том случае, если вода попадет на очень горячую сковороду. Капля кипятка, попавшая на ладонь, сильно обжигает руку, хотя разность температур кипятка и человеческого тела меньше разности температур руки и жидкого воздуха. Рука холоднее капли кипятка, тепло уходит от капли, кипение прекращается и паровая рубашка не образуется.
Нетрудно сообразить, что самым лучшим изолятором тепла является вакуум – пустота. В пустоте нет переносчиков тепла, и теплопроводность будет наименьшей.
Значит, если мы хотим создать тепловую защиту, спрятать теплое от холодного или холодное от теплого, то лучше всего соорудить оболочку с двойными стенками и выкачать воздух из пространства между стенками. При этом мы сталкиваемся со следующим любопытным обстоятельством. Если по мере разрежения газа следить за изменением его теплопроводности, то мы обнаружим, что вплоть до того момента, когда давление достигнет нескольких миллиметров ртутного столба, теплопроводность практически не меняется и лишь при переходе к более высокому вакууму наши ожидания оправдываются – теплопроводность резко падает.
В чем же дело?
Для того чтобы понять это явление, надо попробовать наглядно представить себе, в чем заключается явление переноса тепла в газе.
Передача тепла от нагретого места в холодные происходит путем передачи энергии от одной молекулы к соседней. Понятно, что соударения быстрых молекул с медленными обычно приводят к ускорению медленных молекул и замедлению быстрых. А это и означает, что горячее место станет холоднее, а холодное нагреется.
Как же сказывается уменьшение давления на передаче тепла? Так как уменьшение давления понижает плотность, уменьшится и число встреч быстрых молекул с медленными, при которых происходит передача энергии. Это уменьшало бы теплопроводность. Однако, с другой стороны, уменьшение давления приводит к увеличению длины свободного пробега молекул, которые, таким образом, переносят тепло на большие расстояния, а это способствует увеличению теплопроводности. Расчет показывает, что оба эффекта уравновешиваются, и способность к передаче тепла не меняется некоторое время при откачке воздуха.
Так будет до тех пор, пока вакуум не станет настолько значительным, что длина пробега сравняется с расстоянием между стенками сосуда. Теперь дальнейшее понижение давления уже не может изменить длины пробега молекул, «болтающихся» между стенками, падение плотности не «уравновешивается» и теплопроводность быстро падает пропорционально давлению, доходя до ничтожных значений по достижении высокого вакуума. На применении вакуума и основано устройство термосов. Термосы очень распространены, они применяются не только для хранения горячей и холодной пищи, но и в науке и технике. В этом случае их называют, по имени изобретателя, сосудами Дьюара. В таких сосудах (иногда их просто называют дьюарами) перевозят жидкие воздух, азот, кислород. Позже мы расскажем, каким образом эти газы получают в жидком состоянии *1212
Всякий, кто видел баллоны из термосов, замечал, что у них всегда посеребренные стенки. А почему? Дело в том, что теплопроводность, о которой мы говорили, – не единственный способ передачи тепла. Существует еще другой способ передачи, о котором мы поговорим в другой книге, – так называемое излучение. В обычных условиях он гораздо слабее, чем теплопроводность, но все же вполне заметен. Для ослабления излучения и производится серебрение стенок термоса.
[Закрыть].
