Текст книги "Зеркальный мир"
Автор книги: Вернер Гильде
сообщить о нарушении
Текущая страница: 5 (всего у книги 12 страниц)
В некоторых из этих 7 пространственных решеток элементарные «кирпичики» можно упаковать по-разному. Для нас, знающих сегодня о строении атома, это нетрудно представить и продемонстрировать с помощью шариков для пинг-понга. Но 125 лет назад гениальная идея Браве была новаторской и открывала новые пути в науке Весьма вероятно, что и Браве исходил из узоров кафеля или мотивов шахматной доски.
Если мы разделим квадратные поля диагоналями, то возникает новый рисунок из квадратов, стоящих на углах. В трехмерном Кпостранстве это соответствует кубу, разложенному на шесть пирамид. Каждая такая пирамида составляет половину октаэдра.
Четырнадцать решеток Браве. Они строятся в семи возможных сингониях (осевых системах). Но при этом во внимание принимается также еще и расположение атомов. Так, кубы нижнего ряда соответствуют одной и той же кубической ячейке
Те кто когда-нибудь выращивал кристаллы поваренной соли, нают, что соль может кристаллизоваться в кубах, а может – в октаэдрах. Иными словами, экспериментальные наблюдения совладают с теоретическими соображениями.
Испробовав возможные варианты упаковки для всех семи осевых систем, Браве вывел 14 решеток. Мы приводим их здесь в нашем современном атомистическом изображении.
Если у куба отрезать углы, возникнут новые грани, в данном случае это будут грани октаэдра
Рассматривая решетки Браве внимательней и пробуя мысленно построить из них кристаллы, вы, вероятно, увидите, как можно провести в них плоскости и оси симметрии. Эти возможности сразу расширятся, если мы в одной из элементарных ячеек образуем новые грани. Возьмем куб (естественно, мысленно!), поставим его на угол и обрежем (все так же мысленно) все углы, тогда у него образуются совершенно новые треугольные грани. А из квадратных граней возникнут восьмиугольники: тем самым появятся новые мотивы симметрии.
Анализ элементов симметрии в каждой из осевых систем кристаллических решеток приводит к возникновению 32 классов симметрии. Все многообразие минералов в природе подразделяется на основе 32 классов симметрии. Вооруженные этими знаниями, задумаемся о классификации пяти тел Платона. То, что куб, с его тремя равными осями и тремя прямыми углами, относится к кубической осевой системе (сингонии), не нуждается в доказательстве. В рамках более детального подразделения он принадлежит пентагон-тетраэдрическому классу симметрии (К кубической системе относятся 5 из 32 классов кристаллографической симметрии. К ним принадлежат 5 разновидностей куба, различающихся по симметрии. Наиболее симметричный куб имеет 9 плоскостей симметрии, 3 четверные, 4 тройные и 6 двойных осей симметрии.Наименее симметричный куб, о котором и идет речь в тексте, обладает лишь тремя двойными и четырьмя тройными осями симметрии. – Прим. ред). Мы не станем здесь приводить названий других классов из-за их сложности. Однако обратите внимание на термин «тетраэдрический», так как тетраэдр – одно из Платоновых тел.
В каждом кубе можно расположить пару тетраэдров
А если у вас хорошая память, вы вспомните и пентагондоде-каэдр, также входящий в этот класс симметрии. На картинке хорошо видно, как тетраэдр можно образовать из куба. Остальные Платоновы тела также относятся к кубической системе. Древние греки, надо думать, ужасно расстроились бы, знай они, что такой прозаический минерал, как серный колчедан, имеет ту же симметрию, что и их «совершенные» тела.
ПЕСТРЫЙ МИР КАЛЕЙДОСКОПА
Не знаю, милый читатель, был ли у вас в детстве калейдоскоп, но если нет, то что-то безвозвратно прошло мимо вас... Калейдоскоп – это трубка, глядя в которую вы видите фантастически прекрасный узор из разноцветных многоугольников. Стоит повернуть игрушку, как внутри послышится легкий шорох и возникнет новый орнамент. И так при каждом повороте, и всякий раз новый узор – один неожиданней и красивее другого.
Детская любознательность не ведает границ. Ребенку так интересно узнать, как и почему появляются все новые и новые фигуры, что он разбирает трубочку на части (благо она из картона). И сколь велико бывает разочарование, когда внутри обнаруживается всего-навсего несколько разноцветных осколков стекла и бусинок да еще два маленьких зеркальца...
Из-за преломления света удильщик видит щуку не там, где она находится на самом деле
Если вы никогда не заглядывали в калейдоскоп, вспомните «заставки», появляющиеся на экране вашего телевизора в паузах рекламных передач. Эти меняющиеся геометрические орнаменты напоминают узоры калейдоскопа.
Принцип действия калейдоскопа наглядно демонстрирует простой эксперимент. Поставьте два зеркала под углом друг к другу, поместите перед ними свечу, и вы увидите четыре свечи. Ведь в зеркальном угле с раствором 90° наблюдаемый предмет виден четырежды (360° : 90° = 4):один раз в оригинале и трижды – в отражениях. Зеркальный угол с раствором 72° покажет то же изображение 5 раз. А два зеркала, угол между которыми составляет 60°, дадут нам шестикратное изображение. Разница между великолепным многоцветным узором и скромной действительностью с ее двумя небольшими зеркалами н четырьмя-восемью маленькими бусинками и осколками цветного стекла ошеломляет!
В соответствии с законами оптики рыба может (вероятно) видеть стоящего в воде рыбака парящим в воздухе
В одной старой книге содержится прекрасное описание опыта, оно так удачно, что заслуживает внимания и современного читателя.
«Картина, увиденная под водой. Пословицу «не всему верь, что слышишь», следовало бы продолжить, прибавив утверждение, что нельзя принимать за правду все, что видишь. Из всех оптических обманов нет более невероятного, более поразительного, чем зрелище рыбака, каким его видит рыба».
Рассмотрим сначала обратный случай: как удильщик видит щуку. Луч его зрения преломляется на поверхности воды. Голландец Снеллиус, с которым мы уже познакомились, рассматривая падающие на зеркало и отраженные от него лучи, открыл в 1620 г. закон преломления. Он показал, что луч света, проходящий через две прозрачные среды (воздух, вода), изменяет свое направление на определенный угол, Величина этого угла зависит от отношения показателей преломления обеих сред и от угла падения луча. В виде уравнения этот закон выглядит следующим образом:
синус угла падения/синус угла отражения=nB/nA=показатель преломления среды B/показатель преломления среды А
Если вы посмотрите на чертеж, то заметите, что вертикально падающий луч, достигая границы сред, проходит, не преломляясь. Если же луч падает косо, он преломляется. Угол преломления изменяется быстрее, чем угол падения, в том случае, если луч переходит из оптически более плотной среды в менее плотную. В какой-то момент падающий луг попадает на границу сред (например, воды и воздуха) под таким углом, что его синус будет равен отношению nB/nА=1, в данном случае пв воздуха равно 1. Тогда и синус падения должен быть равен 1, а 1=sin 90°, то есть преломление в этом случае направлено параллельно границе сред. Если угол падения будет еще более пологим, выходящий луч отразится согласно закону: угол падения равен углу отражения.
При переходе в оптически более плотную среду преломленный луч света отклоняется к вертикали, а при переходе из оптически более плотной в менее плотную среду – от вертикали
Мы столкнулись здесь с прекрасным примером того, как один закон оптики переходит в другой через граничное значение. Однако показатель преломления, кроме того, зависит от длины волны излучения. Дневной свет состоит из смеси волн разной длины – от фиолетовых до красных. Так как для каждой длины волны существует свой показатель преломления, «белый свет» на границе двух сред «разлагается», и мы видим цвета радуги.
Однако вернемся к нашему рыбаку. Луч его зрения, падая на поверхность воды, преломляется. Поэтому рыба вида гея удильщику совсем не там, где она находится в действительности, точно так же, как и его собственные ноги: они кажутся рыбаку «подломленными» у поверхности воды.
А теперь представим себя на месте рыбы. Ноги удильщика она видит непосредственно. Но если рыба находится на достаточном удалении (где и должна быть всякая осторожная рыба), то она видит еще и отражение ног от зеркальной поверхности воды.
Два зеркала поставлены под углом друг к другу. Углы между зеркалами представляют собой результат деления 360° на целые числа, то есть 120, 90, 60 и 45°. В зависимости от числа, на которое производится деление, мы видим кувшин 3, 4, 6 и 8 раз. Обратите внимание на то, что кувшин совершает в зеркале 'полный оборот'
Верхняя часть тела удильщика видна ей через границу поверхностей воды и воздуха. И тут, разумеется, справедливы физические законы (они ведь действуют независимо от того, знает о них рыба или нет!). Следовательно, луч зрения рыбы преломляется, так что она видит верхнюю часть туловища рыбака висящей в воздухе без ног. Говоря «видит», мы имеем в виду, что именно такое изображение возникает на сетчатке глаза. Процессов, происходящих при этом в мозгу, мы не касаемся. Нам вряд ли удастся проверить, что думает по этому поводу рыба, но что мы можем думать сами в подобных обстоятельствах, установить не составляет труда.
Принцип действия зеркального у глав калейдоскопе. Только 8 фишек на переднем плане 'истинные', все остальные фишки – их отражения в зеркальных углах
Не случайно в уже упомянутой книге (написанной Артуром Л. Фили) приводится доказательство того, что мы не всегда правильно судим о том, что видим «собственными глазами». Модный некогда цилиндр как нельзя лучше показывает, сколь легко мы можем ошибаться: наш рассудок просто не хочет «верить», что высота и ширина тульи этого головного убора одинаковы.
Оптический обман: высота тульи цилиндра равна ее ширине
Если пример с цилиндром покажется вам не очень убедительным, вспомните, как черное платье делает женщину стройнее, а подчеркнутая талия (как и сужение на тулье цилиндра) зрительно увеличивает ее рост.
ОБ ИСКАТЕЛЯХ СОКРОВИЩ
Однажды, будучи в Австралии, я увидел лавочку, где торговали снаряжением специально для искателей сокровищ. Это было в Сиднее, на маленькой улочке, огибающей небольшой парк.
В магазинчике продавались заступы, широкие лопаты, сита, ведра, молотки и прочие необходимые на этот случай предметы. Искателям приключений оставалось только, прихватив все это добро, отправиться в Австралийскую пустыню, чтобы рыть там шурфы в поисках золота, руды или драгоценных камней. Правда, прежде, как предупреждает висящее над прилавком объявление,будущие миллионеры должны обзавестись соответствующей лицензией на ведение разведки. (Такие лицензии выдаются желающим и по сей день.)
Чтобы искатели счастья точно знали, куда им надлежит держать путь и с чего именно начать, здесь же продаются карты и образцы пород и минералов. Истинные искатели сокровищ, очевидно, уже обзавелись всем необходимым, ибо, кроме меня, покупателей в магазине не было. Владелец продал мне за 25 центов образчик агата. К более крупным торговым операциям он, по-видимому, неособенно привык. Ведь серьезными поисками драгоценных минералов занимаются специалисты, а разработкой их месторождений – крупные концерны.
Два зеркала, составленные углом, показывают нам свечу троекратно
Но, чтобы ощутить себя в роли искателя подземных сокровищ, гражданину Германской Демократической Республики можно и не ездить в далекую Австралию. Прихватив средней величины молоток, он отправляется в Рудные горы в район Шенек – Клингенталь. На любой туристской карте обозначен Шнекенштейн. Добраться туда можно и пешком, и на машине – в зависимости от желания. В нескольких метрах возле шоссе среди деревьев возвышается скальный выход величиной с дом. Это Шнекенштейн – одно из немногих мест в Европе, где можно найти топазы. Чтобы и наши потомки могли еще увидеть кусочек интересного геологического ландшафта, скала объявлена заповедной. Проволочная сетка охраняет ее от молотков искателей топазов. Однако рядом с охраняемым участком находится большой каменный отвал, оставшийся от прежних разработок. Осторожно раскалывая молотком камни величиной с голову или с кулак, среди осколков можно обнаружить мелкие желтоватые кристаллы со стеклянным блеском. Чаще всего это кристаллы кварца, но среди них может попасться и топазик. После нескольких часов кропотливого труда счастливчикам случается стать обладателем полного спичечного коробка кристалликов. Только как отличить топаз от кварца?
Прежде всего по твердости. Топаз будет царапать кварц.
Австрийский минералог Фридрих Моос, современник Гёте, ювил в 1812 г. шкалу твердости минералов. Он выбрал довольно произвольно десять минералов и расположил их в ряд. Оказалось, что тальк, твердость которого была позже принята за 1, царапают все остальные минералы этого ряда. Алмаз способен сам царапать все минералы, а потому его твердость была принята за 10. Кварц по этой шкале имеет твердость 7, и его царапает топаз, твердость которого равна 8. Кристаллограф распознает эти минералы еще и по их принадлежности к различным кристаллографическим системам. Топаз обладает более низкой симметрией, чем кварц, так что эти минералы четко различаются и по форме кристаллов.
Так выглядит топаз в природной огранке, извлеченный из пустот в кварце
Сравнивая форму идеального природного кристалла топаза и искусственно ограненного, мы видим, что между их естественными гранями и искусственной огранкой нет никакой связи.
Драгоценные камни, как правило, обрабатываются без учета их кристаллографической ориентировки. Гранильщик преследует две главные цели. Во-первых, он стремится, чтобы камень по возможности сохранил свои размеры. Это и определяет выбор формы огранки. Во-вторых, ему хочется нанести предельное количество граней. Ведь чем больше граней, тем многократнее камень отражает свет и тем сильнее сверкает (вспомните о зеркальных углах!).
Возможно, у кого-то из читателей или их знакомых имеется великолепный золотистый топаз. Приобретая его, человек был уверен, что становится обладателем подлинного золотистого топаза. И его не обманули. Но в ювелирном деле золотистым топазом называется желтый кварц – цитрин.
Кристаллы кварца и топаза из Шнекенштейна. Желтые включения – топаз
Из шкалы Мооса вы усвоили, да это и общеизвестно, что самым твердым из всех веществ является алмаз. Но как же тогда обрабатываются и шлифуются алмазы? И вообще – почему алмазы ценятся так высоко? На последний вопрос ответить трудно. Очевидно, человек особенно высоко ценит все то, что не поддается или с трудом поддается изменениям. В том числе и драгоценные металлы и камни. Древние греки назвали алмаз «адамас» – неодолимый, чем выразили свое особое отношение к этому камню. Конечно, у неограненных камней (алмазы тогда не гранили) наиболее очевидными свойствами были твердость и блеск. Алмазы отличаются высоким показателем преломления; 2,41 для красного цвета и 2,47 – для фиолетового (для сравнения достаточно сказать, что показатель преломления воды 1,33, а стекла в зависимости от сорта – от 1,5 до 1,75).
Кристаллографически топаз принадлежит ромбической сингонии
Белый свет составлен из цветов спектра. И когда его луч преломляется, каждый из составляющих цветных лучей отклоняется по-разному, он словно расщепляется на цвета радуги. Вот почему в алмазе мы наблюдаем «игру цветов». Кристаллографически алмаз относится к числу кубических кристаллов. От природы он наделен высокой симметрией и обычно образует октаэдрические кристаллы. Древних греков, несомненно, восхищало и это. Мало того, что камень исключителен по блеску и твердости, он имеет еще и форму одного из «совершенных» тел Платона! Ниже с помощью шариков для пинг-понга будет показано, чем объясняется эта исключительность.
Ограненный камень ни одной своей гранью не напоминает природной формы кристалла
Еще и сейчас мы окружаем бриллианты и другие драгоценные камни ореолом необычайности. Всевозможные истории о «несчастных» камнях придают алмазам особую привлекательность даже в наш деловой век. На все, что связано с алмазами, набрасывается покров таинственности. Так, вместо того чтобы в числовом выражении охарактеризовать степень загрязнения алмаза включениями, о нем говорят: «Алмаз чистой воды». Равно как ни один ювелир не скажет: «Этот бриллиант весит 0,2 грамма», что было бы понятно везде и всем, а вынесет таинственный приговор: « Да здесь целый карат».
Два из крупнейших алмазов мира: 'Полярная звезда' (сверху)
При всем том разведка, огранка и сбыт бриллиантов лишены всякой романтики. Международный синдикат заботится о том, чтобы на биржи Лондона и Амстердама поступало ровно столько бриллиантов, сколько необходимо, чтобы цены на них оставались достаточно стабильными.
Два из крупнейших алмазов мира: 'Звезда Юга' (внизу)
Если алмаз предназначается для украшений, для него выбирается чаще всего бриллиантовая огранка. У октаэдра с помощью тончайшего металлического диска, края которого армированы алмазным порошком, снимаются две противолежащие вершины. Верхняя часть так называемого «дикштейна» (толстотаблитчатой заготовки) должна составлять 1/3, а нижняя – 2/3 общей высоты камня. После этого камень заливается легкоплавким металлическим сплавом с таким расчетом, чтобы одна часть его оставалась свободной. Сплав помогает удерживать камень при обработке. Затем камни шлифуются металлическими дисками, покрытыми алмазным порошком.
Бриллиант может насчитывать до 56 граней
Хороший бриллиант имеет 56 граней, из них 32 на верхней части и 24 – на нижней. Благодаря большому числу граней достигается многократное преломление света. Не все бриллианты бесцветны. Бывают окрашенные камни. Известен канареечно-желтый бриллиант Тиффани. Его вес – 128 карат (В начале 1981 г. в Якутии был найден желтый ювелирный алмаз весом 170 карат. Он был назван в честь XXVI съезда КПСС. – Прим. перев). Римский писатель и натуралист Плиний писал: «В каждом драгоценном камне как в капле воды отражено все величие природы».
ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Электромагнитные волны, а следовательно и свет, могут быть описаны как поперечные колебания. В естественном свете все направления кажутся перпендикулярными лучу.
Поляризация при Отражении. Плоская стеклянная пластинка отражает часть света. При угле падения 56° (угол поляризации) отраженная часть света оказывается полностью поляризованной. Другая его часть проходит сквозь стеклянную пластинку и поляризуется частично.
Поляризация при отражении
Поляризация в кристалле. Вследствие особенностей своего кристаллического строения так называемые двупреломляющие кристаллы, например известковый шпат, расщепляют световой луч в зависимости от его наклона к их кристаллографической оси на два луча с различными направлениями колебаний.
Поляризация в кристалле
Призма Николя. Для получения поляризованного света служат двупреломляющие кристаллы; два подобных кристалла приводятся в такое взаимное положение, что в месте их соприкосновения один поляризованный луч отражается наружу и тем самым гасится, тогда как другой распространяется прямолинейно.
Призма Николя
Этот проходящий поляризованный луч служит далее для определения поляризации других веществ.
СУЕВЕРНЫ ЛИ ВЫ?
Разумеется, все мы не суеверны. Мы не верим ни гаданиям на кофейной гуще, ни картам, ни гороскопам. И вместе с тем нас радует случайно найденный четырехлистник клевера или цветок сирени с пятью лепестками. А всякий любитель карточной игры знает, что «счастливые» карты следует брать только по одной. В любой азартной игре бывает полоса везения и полоса неудач. Этому можно найти математическое объяснение.
Иногда мы читаем в романах, как какая-нибудь гадалка предрекает будущее, показывая кого-то или что-то в кристалле. Не станем говорить о достоверности такого прогноза. Нас больше интересует, каким образом делаются подобные трюки. В данном случае достаточно сумеречного освещения и некоторого расстояния между зрителем и таинственным объектом. Все остальное – вопрос техники.
Полупрозрачное зеркало как по волшебству переносит свечу в стакан с водой
Хотите продемонстрировать кому-нибудь, как свеча горит под водой?
Пожалуйста. Поставьте свечу позади доски таким образом, чтобы зритель ее не видел, и отразите ее в его сторону с помощью стеклянной пластины. Зритель увидит смутное (а потому таинственное) зеркальное отражение. Если теперь позади стеклянной пластины поставить стакан с водой, выбрав такое расстояние, чтобы кажущееся изображение свечи совместилось со стаканом, то будет казаться, будто свеча в самом деле горит под водой! Конечно, этот элементарный фокус годится только для начинающих.
Обратите внимание на 'кафельный узор' бриллиантовой огранки
Обладая некоторым талантом и искусной техникой, можно заставить появиться или исчезнуть любой предмет. Стоит только нужным образом удалить его от зеркала. Секреты исполнения эффектных трюков обычно отличаются удивительной простотой.
Объяснить явления природы, как правило, много сложнее. Возьмем, к примеру, радугу. Тысячелетиями наблюдали люди появление на небосклоне сказочного полукруга. Его принимали и за мост, ведущий на небеса, и за доброе знамение, и за признак хорошей погоды. И только в 1631 г. французский философ, математик и физик Рене Декарт впервые дал научное объяснение этому явлению. (Вспомните: именно в это время люди начали все измерять!) Прежде всего Декарт установил, при каких условиях мы видим радугу.
Так отражается и преломляется луч света в капле воды
Оказывается, только при низком положении солнца, когда оно находится над горизонтом не выше чем на 42° (то есть до полудня и на склоне дня), к тому же солнце должно быть за спиной наблюдателя. И наконец, в воздухе должны быть распылены мелкие капли воды от дождя или тумана. На равнине мы видим радугу как полукруг, а в горах (или с самолета) – как полный круг.
Это были общие рассуждения. Затем Декарт поставил опыт, который показал, что происходит, когда луч света падает на водяную каплю. Оказалось, что он отражается и преломляется согласно законам, незадолго до опытов Декарта открытым Снеллиусом.
Декарт сделал то, что отличает истинного естествоиспытателя. Он построил и рассчитал ход преломления и отражения 10 тысяч (!) падающих на каплю лучей. Лучи с номерами от 8500 до 8600 отклонялись на наибольший возможный угол, составивший 42°. За пределами этого угла радуги не бывает. Цвет дуги определяется зависимостью преломления от длины волны.
Столь поэтическое явление, как радуга, объясняется простыми физическими законами
Прославленный изобретатель Эдисон сказал однажды: «Гений – это один процент вдохновения и девяносто девять процентов труда». Декарт как нельзя лучше подтвердил этот афоризм: одна творческая идея и 10 тыс. скучнейших расчетов. Напрашивается вопрос: зачем Декарту понадобилось такое количество вычислений? На нашем рисунке изображены лишь два луча, и этого достаточно, чтобы все объяснить. Но мы потому и можем обойтись только ими, что вычисления Декарта были столь всеобъемлющими. Ему приходилось все время опасаться, что при каком-то угле падения выявится граничный случай, который поставит под сомнение всю теорию. Ведь всякая теория может считаться верной лишь тогда, когда она подходит для всех случаев, и может быть опровергнута, если отказывает в одном-единственном. Именно поэтому ученые так осторожны (или должны были бы быть осторожны!) в своих утверждениях. В науке на того, кто решается создать новую теорию, ложится груз необходимости доказать и обосновать ее. В таких случаях полезно вспоминать Декарта и Эдисона. Идея сама по себе не может служить доказательством. Один-два или десять опытов и расчетов уже доказательнее. Десять тысяч опытов или расчетов убеждают.
ПОИЩЕМ КЛАД
Произойти может многое. Другой вопрос, как велика вероятность того, что это случится именно с нами, встретится на нашем пути, в нашей жизни. Так ли уж, например, невероятно, роясь в лавочке букиниста, найти старинную географическую карту? Вам захотелось украсить этой картой свой кабинет. Вы приносите ее домой, начинаете рассматривать, радуетесь полустершимся рисункам на полях и вдруг... замечаете едва различимые старинные письмена: «Иди от виселицы к буку и считай шаги. Дойдя до бука, поверни на 90° влево и отсчитай такое же число шагов. Вслед за тем иди от виселицы к дубу, поверни еще раз вправо на 90° и пройди то же расстояние, что от виселицы до дуба. Ровно посередине линии, соединяющей обе найденные до того точки, я закопал большой клад, который теперь принадлежит тебе».
Представьте себе, что по этому эскизу вам надобно отыскать клад
Место при этом обозначено на карте крестом. Так как это не слишком далеко от вашего местожительства, в ближайший выходной вы садитесь за руль и, сунув в багажник лопату, отправляетесь в путь. Как описать ваше изумление, когда в указанном пункте вы действительно обнаруживаете одинокий бук и развесистый старый дуб?! Вы начинаете по-серьезному верить в возможность трго, что станете счастливым обладателем клада. Но, увы, вы нигде не видите ни виселицы, ни ее следов. Пока вы продолжаете их искать, мы позволим себе кое-какие замечания.
Столкнувшись с задачей на сообразительность, большинство из нас тут же начинает ее решать. (А то, что в данном случае предложена задача именно на сообразительность, вы, очевидно, уже сообразили.) Иначе поступит математик. Прежде чем тратить усилия на решение, он исследует корректность поставленной задачи. Сегодня и ученые, и инженеры все больше понимают значение такого подхода. Специалисты по научной организации труда указывают, что в исследованиях 80% всех неудач обусловлено плохо и неточно сформулированной задачей.
Так выглядит задача о поисках клада на языке математики
Но к нашему кладоискателю это открытие приходит слишком поздно. Он бродит с лопатой в руках и все еще ищет остатки виселицы. Наконец он встречает прохожего и начинает расспрашивать его. Прохожий задумался, огляделся вокруг и рассудил: «Зачем по тем временам надо было сооружать виселицу? Если уж тогда решали кого-то вздернуть, то делали это на суку».
Поразмыслив вслед за прохожим, кладоискатель решает попытать свое счастье, приняв, что виселицей служит бук. И вот он тщательно отмеряет шаги от бука (то есть виселицы) до дуба. Возле дуба он сворачивает направо и делает столько же шагов. Из этой точки он намечает линию к буку и мысленно делит расстояние пополам. Ну а потом, поплевав на руки, начинает копать большую яму.
Читатель между тем уже усомнился в том, что положение виселицы хоть как-то влияет на нашу историю. Но, возможно, его все же интересует, что произойдет, если там действительно зарыт клад.
Однако юристы об этом уже позаботились. В Гражданском кодексе ГДР (§ 361) написано:
«Монеты, предметы, имеющие культурно-историческое значение, или другие ценные предметы, которые были погребены столь долго, что их владелец не может быть более установлен, переходят с момента их находки в собственность народа.
Нашедший обязан предъявить находку компетентным государственным органам и подробно сообщить обстоятельства, при которых она была сделана. Он имеет право на положенное вознаграждение, если выполнил свою обязанность добровольно, заявив о находке властям. Он не имеет этого права, если находка сделана им при исполнении профессиональных или других служебных обязанностей, имеющих к ней отношение».
Та же задача о поисках клада, превращенная в технический чертеж шарнирного механизма
Покончив с юридической стороной дела, перейдем к математической части задачи. Вы хотели бы точно убедиться в том, что положение виселицы действительно не играет никакой роли. В рамках данной книги проверить это достаточно просто. Где лежит клад, мы уже знаем. Итак, наметим произвольную точку G и построим оба прямоугольных треугольника согласно указаниям на карте. И всякий раз мы будем снова и снова находить клад в знакомой нам точке S.
Теперь представим себе, что вместо линий у нас жесткие стержни. В точках В, Е и S они шарнирно закреплены, так что их можно вращать. В точках В1, G и Е1 благодаря особому устройству шарниров стержни можно смещать относительно друг друга.
Станем вращать точку G по часовой стрелке, наблюдая за сопряженными движениями точек В1, и E1. Вращаясь в ту же сторону, что и G, они тоже опишут окружности.
Когда G1 находится в верхней точке круга (на отметке 12 часов), соответствующие точки B1 Е1 располагаются в зеркальных позициях: B1 – на отметке 3 часа, E1 – на отметке 9 часов. Таким образом, точки В1 и Е1 смещены относительно G соответственно на +90 и -90°. Рычаг B1-S-E1 движется при этом всегда только вверх и вниз.
Увлекшись занимательной историей с кладом, мы изобрели шарнирный механизм, в котором два вращательных движения совершаются по кругам одинакового радиуса со сдвигом по фазе на +90 и – 90°. Подобные движения со сдвигом по фазе играют важную роль при создании механических распределительных устройств. Представим себе, что окружности – это вентили. В положении, отвечающем отметке 12 часов (0 часов), они закрыты. Затем мы немного открываем вентиль G от G1 до G2. Тогда вентиль В, до того слегка приоткрытый, откроется сильнее – от В11 до В12. А вентиль E, наоборот, закроется. При дальнейшем повороте G вентиль Е опять приоткроется, тогда как вентиль В будет установлен на малое пропускное отверстие. Конечно, могут быть построены и другие комбинации, смотря по тому, что требуется конструктору.
Как видите, от геометрической задачи на сообразительность мы незаметно перешли к шарнирным механизмам и к технике регулирования: красивый пример того, как многие, казалось бы, далекие друг от друга случаи из самых разных областей практической деятельности могут быть сведены к немногим математическим или физическим положениям.
ПЛОСКОЕ ЗЕРКАЛО
Закон отражения. Падающий луч, перпендикуляр к отражающей поверхности и отраженный луч лежат в одной плоскости. Угол падения равен углу отражения.
Плоское зеркало
Плоское зеркало. Предмет рассеивает свет во все стороны. Если плоское зеркало отражает пучок лучей, то, согласно закону отражения, лучи расходятся дальше друг от друга. Возникает впечатление, что все они исходят из одного места за зеркалом – от кажущегося ( виртуального) изображения предмета. Кажущееся изображение расположено на таком же расстоянии от зеркала позади него, на каком находится Действительное изображение перед зеркалом.
Зеркальная симметрия:
Закон отражения:
а' 1 =а 1 , а' 2 =а 2 .
Закон отражения:
α'=α
ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
Когда световой луч попадает на граничную поверхность двух разных прозрачных сред, например из воздуха на стекло, то часть света отражается, а часть проникает во вторую среду. Однако при этом первоначальное направление луча меняется: он преломляется. Закон преломления Снеллиуса выглядит как
