Текст книги "Зеркальный мир"

Автор книги: Вернер Гильде

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 12 страниц)

sinα/sinβ=n(=const.)

Если β < α, то есть если преломленный луч отклоняется ближе к перпендикуляру, то преломляющая среда 2 является оптически более плотной, чем среда 1.

Преломление света

Величина n есть показатель преломления среды 2 по отношению к среде 1. Показатель преломления, отнесенный к вакууму, называется абсолютным показателем преломления соответствующего вещества. Значение показателя преломления зависит еще и от длины волны света.

< border="1"> Показатели преломления для длины волны, отвечающей желтой линии в спектре натрия Вещество Показатель преломления по отношению к вакууму Вода 1,3332 Кронглас (в зависимости от сорта) 1,5153-1,6152 Флинтглас (в зависимости от сорта) 1,6085-1,7575 Алмаз 2,42 Воздух при нормальных условиях 1,000292

ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ

Когда свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную, преломленный луч отклоняется от перпендикуляра, так как β > α. Для этого случая

sinα/sinβ=n B / n A причем n _B < n _A

При больших углах падения α для того, чтобы произошло преломление, должно было бы соблюдаться условие sinβ>1 ; поскольку это невозможно, весь свет отражается и никакая его часть не испытывает преломления (полное отражение).

РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ

Если пучок очень быстрых электронов наталкивается на металлический электрод, то свободные электроны вступают во взаимодействие с электронами металла. Электроны высоких энергий, проникающие внутрь атома, выбивают с одной из орбит его электронной оболочки электрон. На освободившееся место переходит электрон с другого, более высокого электронного уровня. При этом переходе высвобождается лучистая энергия в форме рентгеновского излучения. Оно имеет частоту порядка 10 ¹⁹ Гц.

В рентгеновских вакуумированных трубках с помощью накаливаемого катода и прилагаемого высокого электрического напряжения создается электронный луч (пучок электронов), который затем бомбардирует металлический антикатод. В результате возникают рентгеновские лучи, которые легко проходят через стенки стеклянной трубки.

ПРЯЛКИ, ШКАТУЛКИ ДЛЯ РУКбДЕЛИЯ И КАРТИНЫ ХОГАРТА

Если мы внимательно рассмотрим изобретенный нами криво-шипно-шатунный механизм, то найдем, что его можно упростить. Движения точки G₁ мы просто опустим, тем более что ведь G₂ (виселица) может совпадать с одним из деревьев. Тогда в нашем приводе останутся только четыре элемента: неподвижный отрезок ЕВ, который в технике называют станиной; два подвижных отрезка, шарнирно закрепленных в станине, один из них называется кривошипом, другой – коромыслом (какой из отрезков считать кривошипом и какой коромыслом, зависит от определения), и, наконец, отрезок, шарнирно соединяющий концы кривошипа и коромысла (на подшипниках), который называется шатуном.

В простейшем случае, когда длина коромысла и кривошипа одинакова, мы имеем параллельный кривошипный механизм, или шарнирный параллелограмм. Он знаком нам по системе тяг и рычагов на колесах паровозов. Шатун с коромыслом и кривошипом можно соединить и таким образом, чтобы они описывали противоположно направленные, зеркально расположенные круги. При соответствующим образом подобранной длине коромысло будет совершать лишь качательные движения вперед-назад, в то время как кривошип станет двигаться по кругу. На этом принципе работают некоторые из первых изобретенных человеком машин, таких, как прялка и швейная машина с ножным приводом. В обоих случаях «коромысло» посылается ногой вниз. Вследствие этого начинает вращаться маховое колесо (кривошип). Его размах (или, как говорят в технике, маховой момент) должен быть достаточно велик, чтобы опять привести коромысло в исходное положение.

Пантограф – приспособление в виде шарнирного параллелограмма для перечерчивания чертежей в измененном масштабе

Вернемся еще раз к простому шарнирному параллелограмму. Шкатулка для рукоделия или инструментальный ящик помогут понять, как функционирует этот механизм.

Наверное, вы знакомы с чертежным прибором. В нем совместно действуют два параллельных кривошипно-шатунных привода, чем достигается параллельное перемещение линейки. Но интереснее всего, на мой взгляд, устройство пантографа – приспособления для копирования чертежей в измененном масштабе. В нем обошлись без неподвижного отрезка с двумя опорами, который заменен единственной неподвижной опорой (А), вынесенной за пределы шарнирного параллелограмма. Вторая «опора» (В) может свободно двигаться, в ней закреплен карандаш или штифт для обводки чертежа. При этом вся система выполняет соответствующие движения. Здесь используется тот геометрический факт, что существует точка, которая, будучи точкой пересечения удлиненного шатуна с линией АВ, повторяет все движения В, выполняя их в пропорционально увеличенном виде. В этой точке С находится второй карандаш или грифель, который, повторяя все движения, производимые В, вычерчивает увеличенное изображение.

Само собой разумеется, что можно поступать и наоборот: обводя в С оригинал, получать в В его уменьшенное изображение. Этот же принцип используется в системе с небольшой фрезой, которая помещается в положение С. Она гравирует по шаблону (находящемуся в положении В) надписи и рисунки одинакового начертания, но разных размеров.

Кривошипно-коромысловый механизм, состоящий из неподвижной станины и подвижных коромысла и кривошипа, которые связаны между собой шатуном

При некотором воображении можно так перестроить пантограф, что он будет воспроизводить увеличенный шрифт в зеркальном виде. Для этого шатун и станину следует установить крест-накрест. Подобный способ особенно необходим в тех случаях, когда хотят получить отпечатки с оригинала. Ведь оттиск представляет собой зеркальное отражение изображения на печатной доске.

Широко известны жанровые картины английского художника Хогарта (1697-1764), изображающие сцены из жизни Англии XVIII в. С этих картин делались гравюры на меди. На печатной доске гравюра соответствовала картине, поэтому после печатания оттиск представлял собой ее зеркальное отражение. В данном случае граверу следовало бы воспользоваться пантографом.

Мы обязаны немецкому физику и мыслителю Г. X. Лихтенбергу (1742-1799) проникновенным описанием этих картин. Будучи физиком, Лихтенберг не преминул с помощью зеркал привести гравюры в согласие с теми картинами, которые послужили их оригиналами.

Мы уже знаем, что круговое движение кривошипа может иметь своим следствием качательное движение коромысла (и наоборот). С помощью надлежащих удлинителей шатуна и путем введения дополнительных элементов можно создать еще много других фигур. Причем важно, что существует также возможность преобразовать постоянную скорость вращения кривошипа в переменные движения, что сулит большие технические преимущества. Часто при обработке какого-либо изделия желательно перемещать его с постоянной скоростью, а после обработки возвращать тем же путем назад, но побыстрее. Кривошипно-шатун-ные передачи – один из возможных путей решения подобных задач, когда требуется изменить одновременно и направление, и скорость движения, оставив при этом в неприкосновенности направление, в котором действует приводной механизм системы.

ПОЭЗИЯ В ЗЕРКАЛЕ

Зеркальным отражением слов или фраз – игрой в слова – когда-нибудь занимались почти все. Но, пожалуй, не каждый знает, что так же играет и эхо, оно как бы возвращает нам зеркально отраженные слова. В школе нас учили, что волна это всегда волна. Неважно, будут ли это морские или звуковые волны, свет или рентгеновские лучи. Хотя длина этих волн различна, но физические законы, управляющие ими и подобные законам отражения или преломления, одинаково справедливы для всех видов волн.

Удовольствие, которое доставляет нам эхо, не зависит от возраста, его испытывают и стар и млад. В подходящих для этого местах люди кричат, поют, а то и пускают трели на тирольский лад. Какой длины слова или фразы способно возвращать нам эхо, зависит от расстояния между кричащим и отражающей стеной, которая, подобно оптическому зеркалу, должна быть непроницаемой и ровной (по отношению к длине волны). Такая стена не будет «глотать» волны, а станет отбрасывать их назад. Наконец, угол падения должен быть таким, чтобы отраженный звук не ушел невесть куда, а вернулся обратно к нам. Лишь в том случае, если все перечисленные условия выполнены, мы слышим эхо. Поэтому существует не так уж много мест, где мы воспринимаем его. Удивительно, что люди все-таки ухитряются находить такие места.

Однако есть еще одно условие: чтобы эхо было слышимым, звук должен возвращаться с достаточно большой задержкой во времени. Вспомните, как медленно приходится говорить оратору на больших митингах под открытым небом, дабы эхо не сделало его слова неразборчивыми.

Строители театров, концертных залов и кинотеатров стремятся погасить отражение звука от стен. Ив то же время частичное отражение должно происходить, в противном случае помещение будет акустически мертвым. Концертные залы, прославленные своей акустикой, обладают хорошо выверенным соотношением между подавленным эхом и резонансным колебанием стен.

Пословица гласит: «Как аукнется, так и откликнется» – но это не совсем справедливо. Эхо возвращает лишь столько слогов, сколько укладывается по времени в расстояние кричащий – стена – кричащий. Этим объясняются такие сокращения слов, как

«Ма-шут-ка» – «ут-ка»,

«но-во-сел» – «о-сел».

Для возникновения многократного эха необходимо несколько отражающих стен. Особый случай отражения представляют собой так называемые «уголки шепотов», которые подчас демонстрируют в старых церквях или замках. Разговор в определенной точке помещения слышен в одном или нескольких точно установленных местах. В простейшем случае строители используют отражательные свойства эллипса. Нередко в романах можно встретить истории о том, как такие уголки шепотов использовались для подслушивания всякого рода тайн. Однако скорее всего уголки шепотов отнюдь не плоды злого умысла зодчего, а следствие случайных особенностей конструкции.

Поэты тоже нередко занимаются игрой в отраженные слова и фразы. Известное стихотворение Христиана Моргенштерна (Христиан Моргенштерн (1871-1914) – немецкий поэт неоромантической школы. Его оригинальные стихи часто носили пародийный, иронический характер. Очертаниям некоторых из них автор придавал четкий геометрический рисунок. – Прим. перев) «Trichter» («Воронки») в оригинале выглядит так:

Zwei Trichter wandeln durch die Nacht.

Durch ihres Rumpfs verengten Schacht

flieBt weifies Mondlicht

still und heiter

auf ihren

Waldweg

u. s.

w.

Моргенштерн мастерски использовал букву w в качестве концовки, замыкающей графический рисунок стихотворения. Ее форма, очерчивающая контур стиха, имеет вертикальную плоскость симметрии (обратите внимание на то, что это стихотворение о воронках и само имеет форму воронки, а буква w напоминает две составленные воронки). [В русском алфавите буква w отсутствует, но переводчики попытались передать эту стихотворную шутку, по. возможности сохранив внешний облик стихотворения:

Воронок пара шла сквозь лес.

Сквозь шахты суженных телес

тек белый лунный свет

беззвучно, ясно

в люки талий

на путь их

через

лес

и да

ле

е. – Перев.]

В очертаниях этого стихотворения Моргенштерн сознательно следует старинной типографской традиции. В XVI в. в книгах было принято симметричное оформление титульного листа. Слова при этом произвольно разрывались согласно задуманному, расположению строк; остаток слова в угоду симметрии мог перейти даже на следующую страницу, где набирался уже обычным, мелким шрифтом. Но истинное искусство симметричного «отражения» слов началось с составления целых фраз, которые можно было читать слева направо и справа налево. Отдельные слова, такие, как Отто, Анна или Тит, казак, шалаш, подобрать нетрудно. Сложнее придумать комбинации: «топор – ропот», «дороден -недород». Далее при игре во фразы-перевертыши надо усвоить, что при «зеркальном чтении» слова делятся на слоги иначе, чем при прямом: «Изредка так дерзи». При чтении этой фразы наоборот из «дерзи» и «ка» (взятого уже от «так») получается «изредка». Такие фразы существуют во всех языках. Вот, например, немецкая « Ein Esel lese nie» («Осел не читает никогда»), составленная К. Фридрихом из Зейферсдорфа, или русские «И пикантен и нет накипи», «А ремень не мера», «Кинь лед зебре, бобер, бездельник», «А ругала баба балагура». Для образования подобных фраз полезно сначала составить маленький словарь-перевертышей.

В заключение заметим, что существуют и «рассказы-перевертыши», в которых отражаются не буквы, а слова. Одна история (переведенная с английского) начинается словами «Джонс годами разрабатывал теорию времени», а кончается так: «Времени теория разрабатывала годами Джонса». Между этими фразами заключена довольно фривольная история, которую можно читать в обе стороны: с начала до конца и с конца до начала.

Совсем другой вопрос: имеют ли такие истории смысл или просто их авторы не нашли лучшего применения своему остроумию и трудолюбию? Но если кто-то целый рабочий день, а то и дольше размышляет только «о серьезных вещах», уже наверное, он имеет право отвлечься на такую «безделицу». Кстати, если вы где-то прочтете «Kauten Sie jede Woche vier gute bequeme Pelze xy» («Покупайте каждую неделю четыре прекрасные удобные шубы ху»), не подумайте, что и здесь скрыто какое-то отражение, – это просто пробная фраза телетайпной связи. Она содержит все буквы латинского алфавита, а некоторые, такие, как буква «е», – даже по нескольку раз. Те, кто работает с телетайпом, таким образом контролируют правильность передачи всех букв.

И наконец само зеркало играет в поэзии большую роль прежде всего благодаря многозначности и символичности этого предмета. Иногда зеркало выражает идею самопознания и самокритики. Вспомните хотя бы Тиля Уленшпигеля (ведь само его имя Ойлен-Шпигель и означает «Зеркало Совы»). Или вспомните знаменитый роман Джозефа Конрада «Зеркало морей».

Детективная литература тоже не обходится без зеркала и зеркального шрифта. Не так давно появился детектив Э. Гарднера «Моль в норке». Герой его, Перри Мэзон, находит в комнате два призыва о помощи, написанные губной помадой. В одном случае мольба открыто начерчена на зеркале, а в другом – снизу на крышке стола. Очевидно, что истинным может быть лишь один из призывов, но какой? Полицейский справедливо полагает, что истинный призыв должен быть спрятан, иначе гангстеры уничтожили бы надпись. Однако он склонен все проверять на деле и поручает помощнику повторить действия жертвы, еще раз написав призыв на нижней стороне крышки стола. Чтобы «враг» не заметил, пишущий должен спокойно сидеть за столом и не глядя, вслепую писать снизу на его крышке.

Умудренные опытом любители детективов уже сообразили, наверное, как будет выглядеть эта надпись под столом. При таком способе письма шрифт на нижней стороне крышки стола мог получиться только зеркальным. Однако в романе говорится, что фраза написана правильно: слева направо. А это значит, что доска стола была предварительно перевернута. Отсюда и закручивается сюжет. Если бы так же просто обнаруживались действия преступников и в реальной жизни!

В одном из журналов «Немецкое уличное движение» за 1962 г. появилось сообщение, что в Англии, в городе Кенте, надпись на машинах скорой помощи пишется дважды: один раз обычным образом, а второй – зеркальным шрифтом. Благодаря этому водители движущихся впереди машин легче узнают такую машину в зеркале заднего вида и уступают ей дорогу. Возможно, это – правдоподобное сообщение, хотя оно было напечатано в апрельском номере журнала.

«МОРДНИЛАП»

Знаете ли вы, что такое «морднилап»? Если нет, то не ищите это слово ни в энциклопедии, ни в словаре иностранных слов. Там его не сыщешь. Но это еще вовсе не доказывает, что оно вообще не существует. Так, раньше в словаре не было и слова «нособом». И только, когда поэт Христиан Моргенштерн написал из чистого озорства и жизнелюбия:

Его еще нету в Брэме И в Майере тоже нет, Его не найдешь в Брокгаузе...

посвятив этому самому нособому целое стихотворение, в Энциклопедии Брокгауза появилась соответствующая статья: Нособом – сказочный зверь, который бегает на своем носу, придуманный Христианом Моргенштерном в одном из стихотворений сборника «Песни висельника».

Но слова «морднилап» пока еще не найти нигде в отличие от его зеркального отражения, которое читается «палиндром». Палиндромы – это буквы, слова, фразы или цифры, которые могут читаться и слева направо, и справа налево. О словах и фразах мы уже говорили, с числами обстоит точно так же, как и с буквами или словами. А отражается как А. Точно так же 8 вновь прочитывается в зеркале как 8. О остается 0. Прочие цифры лишены плоскостей симметрии – они появляются в зеркале «наоборот».

Палиндромные числа сохраняют свое значение, с какой стороны их ни читай. Простейший случай, вероятно, представляет собой число 11. Год 1881 обратим. Ближайшая обратимая дата – 1991 год. Пусть он будет годом палиндромов для тех, кто увлекается проблемами отражения.

Подчас встречаются числа-палиндромы с весьма необычными свойствами. Например, мастера показывать числовые фокусы исходят из числа 999 999, то есть миллион минус единица. Если разделить его на 7, то получится

999999:7 = 142857,

число, по виду ничем не примечательное. Его особые свойства раскрываются только при умножении:

142 857 • 2 = 285714,

142 857 • 3 = 428571,

142 857 • 4 = 571428,

142 857 • 5 = 714285,

142 857 • 6 = 857142.

Все произведения состоят из тех же шести цифр. Если в любом из этих чисел начать с 1, то дальше всегда следует 4, потом 2 и т. д. Нужно только после конечной цифры числа вернуться к его началу и продолжать читать с первой цифры. Последовательность цифр постоянна: 142 857. Любители подобных фокусов могут, конечно, развить этот ряд чисел далее. При желании можно прибавлять соответствующие числа, всегда получая при этом одну и ту же последовательность цифр, пока в конце концов снова не появится зеркальное число – 999 999.

Другая шуточная задача с палиндромами явствует из следующих рядов:

123 456 789 • 1 • 9 = 111111111,

123 456 789 • 1 • 9 = 222222222

и т. д. вплоть до

123 456 789 • 9 • 9 = 999999999.

Исследован также вопрос о том, существует ли взаимосвязь между простыми числами и палиндромами. Канадец Н. Гриджмен установил, что простые числа с нечетным числом цифр образуют определенные группы. Вот некоторые из них:

181 373 12721,

191 383 12821.

Однако в математике морднилап, кажется, еще менее необходим, чем в языке. В то же время математика не раз вдохновляла иные поэтически настроенные души на литературные излияния. Так, один английский статистик (!) по фамилии Юден создал около века назад хвалебный гимн кривой Гаусса. Он писал (в форме такого рода кривой): «Закон нормального распределения ошибок выступает в опыте человечества как одно из самых широких обобщений натуральной философии. Он служит ведущим инструментом исследования как в физике и социальных науках, так и в медицине, сельском хозяйстве или технике. Он является незаменимым орудием для анализа и обработки данных, полученных из наблюдения и эксперимента».

Математик Карл Фридрих Гаусс, о котором мы уже упоминали, когда говорили об измерении больших треугольников, разработал форму кривой, столь воодушевившую Юдена. Если выполнить большое число измерений какого-либо отрезка – длиной, скажем, в 1 м, – то лишь очень немногие из измерений окажутся равными в точности 1,00 м. Многие измерения дадут значения 0,981 или 1,01 м. Если теперь нанести на диаграмму частоту появления каждого значения измеренной величины, то в идеальном случае получится кривая Гаусса. Подобные кривые можно получить, скажем, при измерении бобов или горошин.

В старину симметрию в формировании книг соблюдали даже в ущерб правописанию

Пока кривая нормального распределения выглядит симметрично, речь идет о случайных отклонениях. Но всякое значительное отступление от симметрии свидетельствует о необходимости установить его причину. В простейшем случае неточным может оказаться измерительный инструмент. Хуже, когда не внушает доверия лаборант, производящий измерения. Однако причина может также заключаться в том, что в число горошин попали (случайно или намеренно) представители иного сорта, которые подчиняются распределению с другими параметрами.

Подобные сведения – и не только подобные – может почерпнуть статистик из нормального распределения. Всем нам есть чему поучиться у Гаусса. Как известно, при планировании и подведении итогов мы часто оперируем средними значениями. Средний годовой доход граждан составляет столько-то. Средний размер обуви мужской части населения такой-то. Среднее потребление пива такое-то и т. д. Однако такое среднее значение еще далеко не отражает истинного положения. Людям с особенно маленькими или особенно большими ногами известна даже песенка на эту тему. А что касается пива, то грудные младенцы, хотя и являются гражданами страны, его не потребляют. Получается, что отцы должны пить за двоих, троих, а то и четверых, чтобы поддержать средний уровень на душу населения. Поэтому Юден с полным правом написал, что нормальное распределение «является незаменимым орудием для анализа и обработки данных». К непроанализированным средним значениям следует питать глубокое недоверие.

Давайте прикинем, какими средствами в среднем располагают американские миллионер и нищий. Ну, в простейшем случае миллионер обладает как минимум 1 млн. долларов, а нищий – О долларов. Легко вычислить среднее значение:

В старину симметрию в оформлении книг соблюдали даже в ущерб правописанию.

1 000 000 + 0/2 = 500000 долл.

Следовательно, средний американец должен был бы иметь 500 тыс. долларов. В чем тут ошибка?

Расчеты средних величин годятся лишь для больших чисел! Значит, 1000 миллионеров и 1000 нищих? Но и в этом случае вычисление не даст правильного результата:

1 000 000 – 1000 + 0 • 1000/2000 = 500000 долл.

Действительная ошибка заключается в том, что нищие и миллионеры располагаются на противоположных концах кривой распределения имущественного состояния народа. Между ними находятся 150 млн. человек, владеющих 10, 100 или 1000 долларами. И средняя величина или среднее значение лишь в том случае приобретает смысл, когда кривая нормального распределения учитывает все имущественные состояния. Не подлежит сомнению, что наблюдения над распределением состояний всех граждан США покажут, что такое распределение не является нормальным. Тут-то именно следует приняться за математический, экономический и политический анализ.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОШИБКИ С СИММЕТРИЙНОЙ ПОДОПЛЕКОЙ

< border="1"> Три одинаковых куска картона Стороны А В С Верхняя сторона красный красный белый Нижняя сторона красный белый белый

Решая математические задачи, имеющие (действительное или кажущееся) «симметрическое решение», мы быстро приходим к ответу. Примером такого рода задач может служить равномерное распределение разности между двумя величинами (то есть к каждой величине требуется прибавить половину этой разности).

Возьмем три одинаковых куска картона А, В и С. Закрасим А с двух сторон в красный цвет, С – в белый и В – с одной стороны в красный, а с другой в белый:

Теперь бросим все три картонки в мешок и вытащим одну из них. Не глядя на ее обратную сторону, положим картонку на стол. Допустим, перед нами красная поверхность. Так как один из кусков, С, выкрашен с обеих сторон в белый цвет, то мы видим либо кусок А (красный – красный), либо кусок В (белый– красный) красной стороной кверху.

И только тут возникает сама задача: как велика вероятность того, что, подняв лежащую перед вами картонку, вы увидите красную обратную сторону? Иными словами, какова вероятность того, что это картонка А₁ Вам, конечно, нет надобности долго раздумывать: раз речь идет о двух кусках картона, из которых один А, а другой не А, то решением (симметрическим) будет, разумеется, 1:1, или 50% к 50%. Но, к сожалению, наше «разумеется» ошибочно. Две картонки, между которыми надлежит сделать выбор, имеют следующие красные стороны:

картонка А – верхнюю,

картонка А -нижнюю,

картонка В – верхнюю (снизу она белая).

Одна из сторон обращена кверху с вероятностью 33,3%. Для картонки А эта вероятность, однако, удваивается (верхняя и нижняя стороны), а для картонки В – нет. Следовательно, с вероятностью 66,6% на столе лежит кусок А. Как видим, на основе этого рассуждения можно заключить выигрышное пари: ответ 1:1 столь импонирует большинству людей, что мысль о возможности другого решения им даже не приходит в голову.

Аналогичным образом построена задача о двух детях. Некто говорит: у меня двое детей. По крайней мере один из них – мальчик. Значит, другой – либо мальчик, либо девочка. Какова вероятность того, что второй ребенок – мальчик? Соображаем: в среднем девочек столько же, сколько и мальчиков. Следовательно, сразу же напрашивается ответ: вероятность будет равна 50%. Мы столь быстро склоняемся к такому ответу в силу его симметричности.

Однако правильный ответ мы получим, продумав все возможные комбинации в семье с двумя детьми.

Один ребенок всегда старше, другой моложе. Значит, возможны случаи ДСММ, МСДМ, МСММ, но невозможна комбинация Дс Дм, так как один ребенок является мальчиком по условию задачи. Среди трех возможных случаев лишь в одном второй ребенок – тоже сын, и соответственно вероятность этого составляет 33%. В 66% случаев второй ребенок будет девочкой, если только первый – определенно мальчик.

Математик Юден посвятил кривой Гаусса хвалебный гимн, придав тексту гимна форму такой кривой

Еще затруднительнее следующий вопрос: вы ищете величину А, заключенную между 90 и 110. Ее значение вам неизвестно. Требуется определить число, для которого ошибка в обе стороны будет минимальной (то есть симметричной). Вам, конечно, хотелось бы назвать число 100, так как оно находится посередине между 90 и ПО, но вы не доверяете себе, ибо есть основания полагать, что эта величина неверна (такое решение кажется слишком простым). Чтобы вычислить правильное значение, воспользуемся условием: ошибка сверху и снизу должна быть одинакова. Значит,

х-90/90 = 110-х/110

(х-90)110-(110-х)90,

110х – 9900 = 9900 – 90x + 90x + 9900,

200x = 19 800,

x=99

От 90 до 99 ошибка составляет 10%, и 11 от 110 тоже отвечает 10%-ной ошибке. Неожиданность полученного результата вытекает и из определения понятия «ошибка», и из нашей склонности обращаться к симметричным значениям.

«ТЫ ДОЛЖЕН ЦЕЛИКОМ ОТДАТЬ СЕБЯ ИСКУССТВУ!»

Это требование, естественно, выдвинуто не вполне всерьез. Пожалуй, лишь очень немногие действительно беззаветно отдаются искусству (любому его виду). Непременной предпосылкой к тому является профессиональное мастерство в музыке, литературе, живописи или какой-либо иной сфере искусства, далеко превосходящее уровень таланта. А если гений, отдаваясь своему искусству, способен еще и одерживать успехи на поприще экономики, то это означает, что он посвятил себя не только искусству. (Это не столько упрек, сколько констатация факта.)

Фраза об искусстве, которому ты должен себя целиком посвятить, – и слова, и музыка, на которую они положены, – принадлежит Йозефу Гайдну. Для нас этот его канон интересен с точки зрения симметрии. Это место из Гайдна, как и другие примеры, касающиеся симметрии в музыке, мне сообщил Йохен Глезер.

В теории музыки (основах композиции) известны различные симметрические формы. Простейший случай – обращение интервала. Оно исходит из звуковой последовательности (то есть мелодии), которая испытывает зеркальное отражение в плоскости, параллельной средней линии нотного стана, так что направления музыкальных интервалов изменяются на обратные. Если мелодия (звуковой ряд) оригинала повышается, то в обращении она понижается на такой же интервал, и наоборот. Искусство композиции состоит в том, чтобы с помощью этого формального изменения направления создать осмысленную мелодию, которая прослушивалась бы еще и в обращенном виде.

Музыкальные отражения. a – пример музыкального обращения интервалов, зеркальная плоскость параллельна нотной линейке; б – так строится ракоходное отражение: в – так строится ракоходное отражение с обращением; г – канон Гайдна, в котором встречаются все формы отражений в музыке. Кроме того, его можно петь в прямом и обратном направлении

Вольфганг Амадей Моцарт сочинил свою знаменитую фортепианную сонату ля-мажор с вариациями на одну музыкальную тему. Это не давало покоя композитору Максу Регеру, который придумал еще 8 вариаций на ту же тему, и среди них одну в обращенной форме.

Другой вариант зеркального отражения в музыке более понятен для немузыканта. В этом случае зеркальная плоскость ориентирована перпендикулярно к нотным линейкам. Отраженные ноты кажутся такими, какими они действительно выглядели бы в зеркале. Начиная от зеркальной плоскости оригинал проигрывается в обратном направлении. Такое зеркальное нотное письмо носит название «ракоходное», по ассоциации с обыкновением раков пятиться назад.

Опытные музыканты способны еще к тому же обратить и ракоходную часть пьесы. При этом в зеркальной части снова меняется направленность звукового ряда по высоте. Понижающаяся мелодия ракоходной части становится повышающейся, и наоборот. Человек, не столь искушенный в музыке, едва ли еще сможет распознать, как связан с оригиналом дважды по-разному отраженный мотив.

И наконец, бывает еще и зеркальный вариант ракоходного отражения, когда нотный лист тоже как бы ставится на голову, – и в таком виде эту музыку поют или играют. (А какая экономия бумаги!)

Так вот, Йозеф Гайдн в своем каноне применяет различные способы отражения основной мелодии: ракоходное отражение, ракоходное отражение с обращением интервала и зеркальное ракоходное отражение. Самое удивительное, что в результате мы слышим не кошачий концерт, а (как всегда у Гайдна) благозвучную мелодию.

Как-то в телевизионной передаче я наблюдал за двумя участниками, бегло говорившими в обратном направлении. Собственно, это распространенный среди школьников тайный язык (На Руси таким языком-перевертышем пользовались офени – торговцы вразнос – и бурсаки. – Прим. перев), когда «оволс аз оволс» перевертывается задом наперед. Но в данном случае привлекало внимание то, что мелодия исполнялась «в правильном направлении», а весь текст о «малышке Гансике» – в зеркальном. О такой возможности не подумал даже Гайдн. Если бы в его распоряжении находились шесть таких телезвезд, то он мог бы поручить им повторно пропеть каждую из шести его мелодий с зеркальным произнесением текста. Тем самым он задал бы работу 12 певцам, из них 11 воспроизводили бы либо текст, либо мелодию в зеркальном отражении.