Текст книги "Зеркальный мир"

Автор книги: Вернер Гильде

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 12 страниц)

Канаты или тросы могут быть свиты слева направо или справа налево. Бывают канаты (и тросы), скрученные справа налево по букве Z и скрученные слева направо по букве S. Имеется в виду длинный средний элемент буквы, направленный вдоль волокон каната. Расположение этих элементов в буквах зеркально по отношению друг к другу, что в той же мере относится и к соответствующим канатам.

Знают ли эти молодые люди, что они 'завязали' друг перед другом руки левым и правым узлом?

Впрочем, если вы станете разглядывать вашу бельевую веревку, может оказаться, что она вообще не свита, а сплетена. Витые канаты под нагрузкой растягиваются, а сплетенные почти нет. (Бельевая веревка, которая растягивается, когда на нее повесят мокрое белье, не очень-то удобна!) Интересно, кстати, что и улитка завивает свой домик Z-образным витком.

В специальной книге о морских узлах мы находим около 4000 различных задач на завязывание канатов. Многие из этих узлов очень привлекательны на вид, но безнадежно асимметричны.

На картинках, изображающих старинные парусные корабли, видно, как матросы карабкаются на мачты по веревочным лестницам. У моряков это называется «взбираться по вантам». Ванты – это длинные канаты или тросы, которые тянутся от бортов корабля к мачте. К ним крепятся веревочные «перекладины». Эти короткие отрезки снастей должны быть прикреплены «намертво» (ни в коем случае не узлом «плоский штык»!). Как выглядит подобное закрепление, показано на рисунке. На первый взгляд оно кажется симметричным, однако это не так. Такое же впечатление производят и всевозможные декоративные узлы. Их можно встретить и в художественных изделиях, и на военном мундире.

Этой большой улитке около 50 млн. лет. Ее витки закручены по букве Z

Морской узел «плоский штык» дает нам еще один прекрасный пример симметрии. Здесь необходимо рассматривать не только симметрию формы, но и симметрию нагрузки. Наш перекрестный узел можно завязать (правильно!) таким образом, что вначале связываются между собой концы каната, которые впоследствии должны испытывать нагрузку. Но можно завязать его и так, что нагруженный конец будет соединен со свободным, ненагруженным («самораспускающийся» узел). В.завязанном виде оба узла практически неразличимы. Однако если нагрузить неверно завязанный узел, то он не станет держать. Как говорят моряки, узел «разъедется».

Именно его и используют в своих представлениях фокусники и иллюзионисты. Раньше, когда на кораблях еще существовали гамаки, всегда находились услужливые помощники крепить новичку его гамак. Естественно, среди ночи доверчивый новичок оказывался на полу.

Математикам и инженерам нередко приходится заниматься узлами и решать связанные с ними задачи. Теоретически интересно знать, какие существуют типы узлов. Но практиков волнует иной вопрос: как создать транспортный узел для беспрепятственного движения потоков автомашин или людей. Такого рода «узлы» можно видеть на топологической схеме наземного и подземного транспорта Берлина.

Существуют даже патенты на узлы. Имеется, например, американский патент, основанный на специальном узле – ленте Мёбиуса. Немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), перекрутив один раз плоскую ленту под углом 180°, склеил оба ее конца. Эта лента обладает удивительным свойством. Если мы, коснувшись пальцем одной из ее сторон (заметим которой), будем скользить им вдоль по поверхности, то обнаружим, что у этой ленты существует только одна поверхность (не перекрученная таким образом лента, естественно, имеет две поверхности). На этом свойстве и основан патент. При использовании приводного ремня (говорится в патентном описании) его внутренняя сторона, пробегающая над ведущим и ведомым колесами, со временем снашивается и становится непригодной. При использовании ленты Мёбиуса по существу исчезает разница между внутренней и внешней поверхностью и износ ремня соответственно намного уменьшается. Собственно, это и было запатентовано.

Саморазвязывающийся узел, которым часто пользуются фокусники. Если потянуть за 'нужный' конец, узел распустится

Если сделать ленту Мёбиуса прозрачной и нанести на нее какой-нибудь значок, скажем букву N, то обнаружится, что противолежащие фигуры соотносятся как изображение и его зеркальное отражение. Это весьма любопытно, учитывая, что «прямая» и «противолежащая» буквы находятся на одной стороне ленты! Ведь у ленты вообще всего одна поверхность.

При конструировании сложных пересечений важно знать одно свойство узлов, которое мы выведем с помощью эксперимента. Нарисуйте любой транспортный узел. Он может быть запутанным и неправильным. Пометьте только каждое пересечение буквой, разумеется, в каждом случае разной. Теперь ведите карандашом или пальцем по вашему рисунку в направлении, обратном тому, в каком вы рисовали. И всякий раз, проходя пересечение, записывайте соответствующую букву. Чтобы результат (который мы стремимся найти) был нагляднее, записывайте буквы в два ряда: либо слева направо, либо сверху вниз. Важно только, чтобы вы чередовали перекрестки (в зависимости от того, проходит улица над или под другой). Причем не играет роли, каким вы приняли первое пересечение – верхним или нижним. Когда табличка будет готова и вы как следует проверите ее, то обнаружите, что каждая буква, обозначающая перекресток, встречается в каждом из рядов по одному разу.

Симметричен ли изображенный здесь морской узел?

Представьте себе, что вы должны спроектировать систему светофоров, регулирующих проезд транспорта. В одном ряду окажутся все светофоры, включенные на зеленый свет, в то время как все светофоры другого ряда должны быть включены на красный.

Фокусники-любители используют знание теории узлов для изящного «эксперимента по чтению мыслей». Вы просите нарисовать подобный узел и обозначить его буквами (не подглядывая), а потом предлагаете объехать препятствие, называя буквы (которые фокусник записывает по известной уже схеме). В каком-нибудь месте два перекрестка «путаются». И фокусник, «читая» мысли, называет встретившиеся буквы. Как легко проверить, перепутавшиеся буквы дважды попадутся в одном ряду.

Всякий перекресток – это задача на 'узлы'. На изображенном здесь перекрестке существует 32 возможности столкновения

В заключение этого раздела еще один вопрос: а что произойдет, если ленту Мёбиуса разрезать вдоль? В случае простой, не перевернутой ленты это ясно: получатся две новые ленты, которые будут вдвое уже первой. Что же случится с лентой Мёбиуса, которую мы предварительно перекрутили, прежде чем склеить ее концы, трудно и представить! Если после одного поворота уже «исчезла» одна сторона, то в этом случае можно ждать чего угодно. Сформулируем вопрос несколько иначе: что случится, если владелец запатентованной ременной передачи разрежет ее вдоль, чтобы из экономии получить две ременные передачи? Опыт подсказывает нам, что двух новых лент не получится. Возникнет замкнутая лента, вдвое большей длины. Она, хотя и перевита, но, как всякая нормальная лента, снова имеет две стороны.

ПЕРЕВОЗКА МОЛОКА И ПОЛ В ВАННОЙ

Перелистните, пожалуйста, несколько страниц назад и еще раз взгляните на пять Платоновых тел. Только эти пять тел (повторим это еще раз) можно построить из одинаковых правильных плоских фигур – граней.

Тетраэдр нам знаком из повседневной жизни. В пакетах-тетраэдрах мы покупаем молочные продукты. Некоторое время назад дискутировался вопрос, почему для этих целей использует-се именно тетраэдр, а не гексаэдр, то есть куб. Ведь куб имеет наименьшую (после шара) поверхность по отношению к объему. Поэтому при такой упаковке для того же объема молока понадобилось бы меньше упаковочного материала, чем при упаковке в тетраэдры. Однако если мы посмотрим на развертки обоих тел, то увидим, что тетраэдры можно складывать из непрерывной движущейся ленты. А вот кубы из простой ленты не получатся. Два квадратика всегда будут торчать, так что обрезков всегда будет оставаться гораздо больше, чем при склеивании пакетов-тетраэдров.

Основной мотив узора многих футбольных мячей состоит из пятиугольника, окруженного пятью шестиугольниками

Этот небольшой пример позволяет проанализировать часто встречающуюся ошибку. Нередко в поисках оптимального решения мы забываем точно определить, что же именно следует оптимизировать. Нижненемецкая поговорка гласит: «Что подходит сове, то негоже соловью». На современный лад это звучит примерно так: «Если создать оптимальные условия для соловьев, каково придется совам!» (И наоборот!)

В нашей задаче об упаковке можно поставить множество вопросов, в зависимости от того, что же именно должно быть оптимальным:

1. Что дает наименьший расход упаковки при том же объеме содержимого? (Шар, куб.)

2. Какое тело легче всего получить из плоского листа путем простого складывания? (Пять Платоновых тел, то есть не шар!)

3. Какое тело при сборке имеет минимальную по длине соединительную полосу, которую можно склеить, сварить или соединить еще каким-то способом? (Тетраэдр.)

4. При выкройке какого тела получается минимум обрезков? (Тетраэдра.)

5. Какие тела можно сложить наиболее плотно, без просветов? (Куб, тетраэдр.)

6. У какого тела наименьшая вероятность «перепутать» грани в том случае, если оно должно лежать определенной стороной кверху (скажем, чтобы была видна маркировка)? (У тетраэдра, у него меньше всего граней.)

Из постановки этих шести вопросов нетрудно понять, как тщательно следует уточнять, что именно мы собираемся оптимизировать.

Если перед нами встанет задача разработать форму упаковки для грузов, предназначенных для пересылки самолетом, определяющими критериями оптимизации будут пункты 1 (маленький упаковочный формат) и 5 (плотная укладка без зазоров), так как при воздушных перевозках каждый грамм стоит дополнительных денег. Но при выборе тары для перевозки молока главную роль играет пункт 3 (наименьшая длина линии склейки) и даже еще более важную – пункт 4 (минимальные отходы). Сюда добавляются еще преимущества пунктов 5 (плотность укладки) и 6 (наименьшая вероятность уложить пакеты не той стороной).

Если объезжать этот 'узел' по стрелке, то б.уквы появятся один раз в 'непрямом' ряду и один раз – в прямом

Перед футурологами уже сегодня встает проблема: будем ли мы в 2000 г. покупать молоко в тетраэдрах или только в порошке, а может быть, нам снова придется возиться с молочными бидонами?

Однако в этой книге нас прежде всего интересуют вопросы, более близкие теме.

Право же, удивительно, что из пятиугольников тоже можно построить многогранник. А почему это невозможно из шестиугольников? Тем более что шестиугольник можно построить из шести треугольников?

Пятиугольники и шестиугольники нельзя уложить на плоскости без зазоров. Эти зазоры закрываются при образовании шара

Очевидно, дело тут не только в самой исходной плоской фигуре (треугольник, квадрат, пятиугольник), но и в том, как эти поверхности, примыкая, соединяются друг с другом. Если шестиугольники выложить на стол, станет ясно, что они покрывают плоскость без зазоров. Это свойственно также треугольникам и квадратам. А вот сложить из шестиугольников, не деформировав их, объемное тело, невозможно. Если все же попытаться с легким нажимом сделать такой многогранник из шестиугольников, его грани выгнутся и форма будет приближаться к шарообразной.

Шаровую конструкцию особого рода представляет собой футбольный мяч. Миллионы людей много раз в неделю видят этот мяч на экране телевизора. Сотни тысяч видят его «в натуре», на стадионе. Все знают, что покрышки мяча состоят из белых и черных фигурок. Но, как ни странно, лишь немногие могут с уверенностью сказать, из каких именно многоугольников он сделан. Даже футболисты колеблются, вспоминая, из пяти– или из шестиугольников. Это типичный пример нашей невнимательности в повседневной жизни.

Используя многоугольники разных видов, можно создать множество узоров для кафельного пола

Прежде кожаная покрышка делалась из двухконечных долек, подобных тем, которые надрезаются на апельсиновой кожуре. У большинства современных мячей покрышка состоит из изогнутых многоугольников. Она весит около 300 г при окружности мяча около 64 см и составляется из 12 черных и 20 белых «полей». Ребро каждого многоугольника независимо от числа его углов имеет в длину 4,3 см. Вокруг каждого черного пятиугольника располагается шесть белых шестиугольников.

Как уже говорилось, на плоскости шестиугольник, окруженный шестью другими шестиугольниками, образует мотив сплошного узора. Пятиугольник, окруженный пятью шестиугольниками, не заполняет всю плоскость без зазоров. Но если с некоторым усилием соединить такие многоугольники из кожи, получится (с весьма хорошим приближением) шар – наш футбольный мяч. Пространственно деформированные шестиугольники применяются и в строительстве при сооружении современных облегченных конструкций.

На рисунке показано 8 полурегулярных мотивов узора, каждый из которых включает два или больше различных типов правильных много угольников, соединенных углами или сторонами. В каждом углу сходится одинаковое число образующих узор многоугольников

Таким образом, из недеформированных плоских фигур одного типа и размера могут быть сложены только пять Платоновых тел.

Большие возможности для комбинаций из плоских фигур открываются при составлении узоров из кафельных плиток (например, на полу в ванной комнате). В них бесконечно повторяются мотивы из равносторонних треугольников, квадратов и шестиугольников. А вот с пятиугольными плитками плиточник едва ли смог бы что-нибудь сделать. Их невозможно сложить в подобный узор.

Особые свойства равностороннего или равнобедренного треугольника (ибо квадрат состоит из двух равнобедренных, а шестиугольник из шести равносторонних треугольников) связаны с суммой его углов, которая составляет 180°. Сумма углов всякого n-угольника равна (n – 2) • 180°. У пятиугольника она будет (5-2) • 180° = 540°. Разделив 540 на 5, мы получим для каждого угла 108°. В точках, где сходятся все плитки, сумма всех углов должна составлять 360°. Но из углов, равных 108°, невозможно составить суммарный угол в 360°!

На рисунке показано 8 полурегулярных мотивов узора, каждый из которых включает два или больше различных типов правильных много угольников, соединенных углами или сторонами. В каждом углу сходится одинаковое число образующих узор многоугольников

Мы уже говорили, что узор из плиток можно составить только в том случае, если взять правильные треугольники, квадраты и шестиугольники. Однако это справедливо лишь тогда, когда прикладывается сторона к стороне и угол к углу. Но эти три вида многоугольников обнаружат различия, как только мы изберем другой мотив узора для нашего пола. Квадраты и равносторонние треугольники будут заполнять всю плоскость и в том случае, если они не примыкают углом к углу. В мотиве, выложенном шестиугольниками, между примыкающими углами и сторонами образуются зазоры. Но сами эти зазоры способствуют созданию новых восхитительных узоров. Для шестиугольников существуют четыре мотива их сочетания в единый узор с треугольниками и квадратами.

Кроме того, известны еще две комбинации, в которых участвуют только квадраты и треугольники, и две, в которых плюс к тому используются еще и восьми-, и двенадцатиугольники. Созданием «узоров для кафеля» увлекались многие математики.

При выкладывании узоров из кафельных плиток нет границ для фантазии

Так, известно, что Иоганн Кеплер занимался составлением узора из шестиугольников, окруженных треугольниками. Любопытно, что этот узор (и только он) может иметь зеркально симметричное изображение. Остальные узоры в зеркале не меняются. Переворачивается только узор Кеплера.

Взяв любые -многоугольники и не ограничиваясь особыми правилами при их соединении, мы можем придумать великое множество мозаичных узоров. Русский кристаллограф Е. С. Федоров в 1891 г. доказал, что при этом выделяются 17 различных групп симметрии. На практике эти группы были известны уже арабам и использовались ими в мозаиках Альгамбры в Испании.

Глаз человека склонен все дальше дробить увиденные узоры, особенно если они контрастны по цвету, как, к примеру, шахматная доска. Начнем с «шахматной доски», состоящей всего из двух рядов по две клетки. (Вместо шахматной доски можно взять четыре квадратные кафельные плитки пола или стены.)

Как можно разделить пополам узор, состоящий из 2X2 плиток? Ответить на этот вопрос, разумеется, не трудно. Только одной чертой, проходящей посередине либо слева направо, либо сверху вниз и отделяющей две клетки (слева или сверху).

Квадрат, составленный из 4Х4 клеток, можно разделить пополам шестью способами

Доску, состоящую из 3Х3 клеток, разделить пополам (не перекая клетки) невозможно. В некоторых играх, правда, используются игровые поля 3Х3, 5Х5 и т. д., исключающие середину я чтобы при делении игрового поля пополам получилось целое число клеток. Но мы здесь не будем рассматривать такие уже и от тех, что складываются из целого числа клеток, голова может пойти кругом.

Сколько существует возможностей разделить пополам узор, составленный из 4 х 4 клеток, не пересекая их? При этом мы пренебрежем различием верх – низ и левое – правое. (Такие решения можно перевести друг в друга простым поворотом.) Тот, кто как следует повозится с таким делением, найдет, худо – бедно, 6 способов.

А если попробовать разделить поле 6x6 клеток? Английский мастер головоломок Генри Э. Дьюдени нашел 255 способов деления такого поля. Для шахматной доски с 64 клетками (8Х8) компьютер рассчитал 92 263 варианта деления!

Существует множество аналогичных задач, над которыми бьются шахматисты и математики. Излюбленными остаются задачи такого рода: сколько ферзей (или слонов, или ладей) можно выставить на одну доску, чтобы они не угрожали друг другу? (Для тех, кто не играет в шахматы, следует заметить, что ферзь имеет право ходить во все стороны, включая и диагонали, сколь угодно далеко.) Любители шахмат определили, что на доске могут находиться 8 ферзей.

Тут встает следующий вопрос: сколько существует вариантов их расстановки? В 1850 г. Франц Наук опубликовал в лейпцигской «Иллюстрированной газете» ответ: таких основных позиций 12.

Поскольку мы много говорили о зеркальных плоскостях, надо надеяться, вы, не задумываясь, проведете плоскость симметрии через шахматную доску сверху вниз. Это будет первым решением.

Следующую плоскость зеркального отражения вы можете провести слева направо, еще две плоскости пройдут по диагонали. Таким образом, мы нашли еще четыре решения. Теперь повернем поле на 180° и снова проведем две диагональные плоскости зеркального отражения и одну – сверху вниз. Но вот провести плоскость симметрии слева направо мы больше не сможем: она даст нам только ту же картину, которую мы уже видели.

Таким образом, путем простого зеркального отражения и вращения мы добавили к основной позиции фигур еще семь вариантов. За одним-единственным исключением, эта операция возможна и для всех остальных основных положений, которые нашел Наук. В упомянутом исключительном случае существует только три отражения. Всего ферзи могут быть одновременно расставлены на шахматной доске, не угрожая друг другу, в 92 различных позициях.

Этот пример учит нас тому, как можно извлечь пользу из наличия симметрии. Разумеется, сначала необходимо было установить, что на иоле могут находиться только 8 ферзей. Потом нужно было выработать 12 основных исходных позиций, что, конечно, было нелегко. Но остальные 80 вариантов можно было найти, отнюдь не будучи специалистом в шахматах. Достаточно было знать, как действует зеркало. С другой стороны, следует признать, что наверняка существует немало выдающихся шахматистов, которые никогда не слыхали о плоскостях симметрии.

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ

Говорят, что всякую проблему можно рассматривать с трех точек зрения: с моей, с твоей и с точки зрения фактов.

Несомненно, что-то в этом афоризме есть. Стакан может быть полупустым или наполовину полным. В кармане может быть целых 5 рублей или всего лишь 5 рублей! Пассажиры переживают сильный шторм, а видавший виды капитан в то же время ощущает лишь свежий бриз.

Определим, что такое шахматная доска. Можно сказать, что это 64 клетки, расположенные в 8 продольных рядов по 8 клеток в каждом, так что в целом все вместе они образуют квадрат. Но можно выразиться иначе: это квадрат, разделенный на 64 равные квадратные клетки. (В обоих случаях надо бы еще сказать о черных и белых полях, но, поскольку для наших целей это обстоятельство несущественно, опустим эту часть определения.) В первом случае мы образуем большой квадрат из маленьких, во втором – делим большой на маленькие.

Один из вариантов расстановки на шахматной доске восьми ферзей, при котором эти фигуры не могут угрожать друг другу. Остальные комбинации получают путем зеркального отражения

Ради любопытства спросим, а на сколько частей можно разделить квадрат так, чтобы возникли маленькие, но одинаковые квадратики? Очевидно, что квадрат делится как минимум на 4 меньших квадрата. На 2 или на 3 квадрата разделить его невозможно. При следующем делении каждый из четырех малых квадратов разделится на 4 еще меньших, то есть всего станет 16 квадратов. Ход деления мы узнали. Результат всякий раз получим умножением на 4. Соответственно при следующем делении 16 квадратов мы получим 64, то есть шахматную доску. Существуют только две плоские фигуры, которые можно разделить на две равные части, причем эти части будут точным уменьшенным воспроизведением больших фигур. Так как мы привыкли делить пополам все, что встречается вокруг, приходится только удивляться тому, что лишь в двух случаях мы можем соблюсти сформулированное выше условие. Это такие фигуры: прямоугольный раЬнобедренный треугольник и параллелограмм с соотношением сторон 1: √ 2.

Такой параллелограмм в одном частном случае – в форме прямоугольника – играет существенную роль в искусстве и технике. Прямоугольник, длинная сторона которого больше его короткой стороны в √ 2 раз (то есть в 1,4142 раза), воспринимается нами как соразмерный. Именно такой или близкий к нему формат картин предпочитают художники.

Только равнобедренный треугольник и параллелограмм с соотношением сторон 1:√ 2 можно разделить пополам, так что полученные фигуры будут подобны первоначальным

В фотографии широко распространены форматы 7Х10 (прежде был 6x9) и 13Х18. Если рассчитать соотношение сторон, получается 10:7 ≈ 1,43, а 18:13 ≈ 1,38, то есть числа, близкие к √ 2 = 1,4142.

Более точно придерживаются отношения 1 : √ 2 в технике. На нем основан формат бумаги. Так, при формате АО (841 х 1189 мм) отношение сторон составляет 1,413 ≈ √ 2. Если перегнуть лист пополам, по большей стороне, получится формат А1 (841Х1189/2, то есть 841X594 мм), где 841:594 = 1,415. Дальше снова складывается пополам большая сторона. Получается формат A3. При следующем складывании мы получим известный формат А4, в котором 291:210 = 1,414. Такое деление идет дальше до формата А8 (74:52).

Параллелограммы с соотношением сторон 1 :√ 2, 1 :√ 3 и т. д. можно разделить на две, три и соответственно более частей, так что у новых полученных подобных фигур соотношение сторон сохранится первоначальным

Тот, кто имеет дело с бумагой, знает, что существуют еще два других ряда – для суперобложек и прочих целей. Ряд В начинается с 1414:1000 = 1,414 и ряд С – с 1297:917 = 1,414...

Книга, которую вы читаете (и, хотелось бы надеяться, не без интереса), имеет формат 260Х200 мм, а 260:200 = 1,3.

Конечно, вы обратили внимание, что формат бумаги здесь обозначен не совсем так, как принято: не через произведение сторон, а через их отношение, но мы позволили себе это для большей наглядности.

Мы могли бы сказать, что расчет формата бумаги, отвечающего стандарту, производится путем повторного деления листа с соотношением сторон 1:√ 2, начиная с формата 917Х1297 мм. Но правильнее будет другое определение: стандартный расчет бумаги производится путем пропорционального увеличения листа с соотношением сторон 1:√ 2, последовательно начиная с формата 52Х74 мм. В обоих случаях следовало бы сделать оговорку, что при делении (или умножении) всякий раз берется сторона с относительной длиной √ 2.

В старину подобные трапеции выкладывались по углам наборных полов; каждая составная часть в них подобна целой фигуре

Вспомним, что прямоугольник является лишь частным случаем параллелограмма и что параллелограмм с соотношением сторон 1:√ 2, равно как и прямоугольный равнобедренный треугольник, можно разделить на две уменьшенные копии.

Параллелограмм, одна из сторон которого равняется √ 3, можно разделить на 3 уменьшенные подобные части. В общей форме: параллелограмм с соотношением сторон 1:√ n можно разделить на n одинаковых подобных частей.

Существует еще множество фигур, имеющих самые различные варианты разделения. Мы же рассмотрим еще один мотив, который иногда выкладывали на старинных кафельных полах по углам. Это трапеции, которые зеркальное отражение превращает в цельный мотив узора. Здесь снова возникает «отражение». Значит, в таких узорах допустимы комбинации плоских фигур, которые нельзя путем поворота или вращения совместить друг с другом, то есть «левые» и «правые».

Как уложить бруски или кирпичи, чтобы конструкция не имела сквозных 'швов'

Приведенный здесь рисунок подводит нас к делениям без нарушения сплошности. Если при уменьшении формата бумаги поверхность фигуры пересекал разрыв (складка или черта), то в нашем главном узоре существуют линии, которые не продолжаются, а упираются в другие линии. Иногда особенно желательно полностью избежать деления с разрывами. Скажем, хотелось бы, чтобы стена кирпичного дома не имела шва, пересекающего всю стену сверху донизу. Инструкции по сварке барабанов котлов и нефтяных труб большого диаметра запрещают соприкосновение двух продольных и двух поперечных швов. В каждый поперечный или круговой шов может упираться лишь один продольный шов одного направления. Продольный шов другого направления должен быть непременно смещен в сторону. Благодаря этому разрывы в продольном шве будут распространяться только до следующего поперечного шва.

Теперь вы, наверное, уже догадались, какая предлагается вам задача: соберите из стандартных деталей (кирпичей, паркетин или листов жести) изображенную здесь поверхность, не нарушая ее сплошности.

ЛЕГЕНДЫ РУДОКОПОВ

В старину рудокопы были людьми сугубо практическими. Они не забивали себе голову названиями всевозможных горных пород, которые встречали в штольне, а просто делили эти породы и минералы на полезные и бесполезные, ненужные. Нужные они извлекали из недр, из них плавили медь, свинец, серебро и другие металлы, а ненужные сваливали в отвалы.

Для полезных (на их взгляд) минералов они подыскивали наглядные и запоминающиеся имена. Можно никогда не видеть копьевидного колчедана, но без особого труда представить его себе по названию. Не сложнее по названию отличить красный железняк от бурого железняка.

Для бесполезных камней (как уже было сказано – на их взгляд) горняки нередко находили названия в преданиях и легендах. Так, например, произошло название руды кобальтовый блеск. Кобальтовые руды похожи на серебряные и при добыче иногда принимались за них. Когда из такой руды не удавалось выплавить серебро, считалось, что она заколдована горными духами – кобольдами.

Тяжелый шпат (барит). Рудокопы в стариых выбирали названия для минералов по внешним признакам. Тот, кто однажды взвесил на руке этот минерал и всмотрелся в форму его кристаллов, не забудет его названия

Когда же минералогия превратилась в науку, было открыто великое множество пород и минералов. И при этом все чаще возникали трудности с изобретением для них наименований. Новые минералы часто называли по месту находки (ильменит – в Ильменских горах) или в честь знаменитого человека (гетит – в честь Гете) или же давали ему греческое или латинское название.

Музеи пополнялись грандиозными коллекциями камней, которые становились уже необозримыми. Не слишком помогали и химические анализы, потому что многие вещества одного и того же состава образуют подчас кристаллы совершенно различного облика. Достаточно вспомнить хотя бы снежинки.

Существуют тысячи различных узоров снежинок

В 1850 г. французский физик Огюст Браве (1811-1863) выдвинул геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их внутреннем строении/По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества крошечную элементарную частицу кристалла. Сегодня со школьной скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц – атомов и молекул. Но Браве оперировал в своих представлениях крошечным «кирпичиком» кристалла и исследовал, каковы могли быть у него углы между ребрами и в каких соотношениях его стороны могли находиться между собой (Для большей наглядности автор упрощает историю вывода решеток Браве. Предшественник Браве – французский кристаллограф Р. Ж. Гаюи (1743-1822) – действительно представлял себе кристаллы сложенными из элементарных «кирпичиков». О. Браве заменил эти «кирпичики» центрами их тяжести и таким образом перешел от «кирпичной кладки» Гаюи к пространственной решетке. – Прим. ред).

Каждый кристалл можно поместить в систему координатных осей

В кубе три ребра расположены всегда под углом 90° друг к другу. Все стороны имеют равную длину. У кирпича углы тоже составляют 90°. Но его стороны различной длины. У снежинок, наоборот, мы не найдем угла 90°, а только 60 или 120°.

Составленный из квадратов ряд можно разделить диагоналями на ряд других квадратов

Браве установил, что существуют 7 комбинаций ячеек с одинаковыми или разными сторонами (осями) и углами. Для углов он принял только два варианта: равный 90° и не равный 90°. Только один угол во всей его системе в порядке исключения имеет 120°. В самом скверном случае все три оси и все углы ячейки различны по величине, при этом в ней нет углов ни в 90, ни в 120°. Все в ней косо и криво, и, можно подумать, в мире кристаллов таким не должно быть места. Между тем к ним относится, например, сульфат меди (медный купорос), голубые кристаллы которого обычно всем так нравятся.

Куб содержит 6 пирамид (для большей наглядности изображена только одна). На каждой из шести квадратных граней можно построить аналогичные пирамиды