Текст книги "Алиса в стране математики"
Автор книги: Лев Генденштейн
сообщить о нарушении
Текущая страница: 9 (всего у книги 12 страниц)
НАУКА, РОДИВШАЯСЯ ИЗ ГОЛОВОЛОМКИ
В начале восемнадцатого века жители Кёнигсберга, гуляя по своему старинному городу, обсуждали друг с другом важный вопрос: как обойти семь городских мостов, пройдя по каждому из них только один раз?
Вот как были расположены кёнигсбергские мосты:
Может быть, вам удастся их «обойти»? Попробуйте. Но если вам не повезет, не огорчайтесь: ни один житель Кёнигсберга так и не смог этого сделать! А вот если это вам удалось, значит... значит, вы просто ошиблись! Скорее всего, забыли пройти по какому-то мосту или прошли его дважды. Дело в том, что обойти все кёнигсбергские мосты по одному разу невозможно! Сейчас мы докажем это.
Давайте «построим» на обоих берегах реки и на двух островах четыре башни и соединим их стенами так, чтобы по каждому мосту прошла одна стена. Вот как будет выглядеть наш за́мок из четырех башен, соединенных семью стенами (стены мы изобразили так, как на географических картах изображают Великую Китайскую стену):
Если можно обойти все семь мостов, пройдя по каждому из них только один раз, то и наш новый за́мок тоже можно обойти, проходя один раз каждую из семи стен. Однако посмотрите – ни одна из четырёх башен не может быть в середине обхода, потому что в любой башне нашего «кёнигсбергского за́мка» сходится нечётное число стен! И поэтому обойти его, проходя один раз по каждой стене, невозможно (так же, как и новый королевский за́мок Королевы Червей). Обойти за́мок можно только в том случае, когда башен с нечётным числом стен не больше двух – тогда одна из «нечётных» башен должна быть началом обхода, а вторая – его концом. (Если все башни «чётные», то начать обход можно из любой башни. Тогда в этой же башне обход и закончится.)
Задачу о кёнигсбергских мостах первым решил Эйлер в 1736 году. Эйлер был великим математиком и поэтому не ограничился только кёнигсбергскими мостами – он решил задачу в общем виде, то есть для любого числа мостов, которые как угодно соединяют берега и любое число островов! И теперь даже житель Санкт-Петербурга может определить, удастся ли ему прогуляться по трёмстам мостам своего города, соединяющим сорок два острова, причём прогуляться так, чтобы пройти по каждому мосту только один раз.
Мы не случайно вспомнили о Санкт-Петербурге: в этом городе Эйлер провёл большую часть жизни, здесь же написал он и свою знаменитую работу о кёнигсбергских мостах. Работы Эйлера рождали порой новые области математики. Так произошло и с работой о кёнигсбергских мостах: с неё берёт начало топология – раздел математики, в котором изучаются самые общие свойства геометрических тел и фигур.
Что это за свойства? Представим себе, что у нас в руках кусок пластилина, и нам разрешается делать с ним, что угодно, но только не разрывать и не слеплять.
Пусть, например, кусок пластилина имеет сначала форму стакана. Мы можем превратить «стакан» в «ложку», нигде не разрывая и не слепляя пластилин:
А вот превратить пластилиновый стакан в чашку с ручкой не удастся: ведь для ручки надо сделать дырку, то есть разорвать пластилин в каком-то месте, а мы условились, что разрывать и слеплять нельзя! Зато пластилиновую чашку можно превратить в бублик:
С точки зрения топологии стакан и ложка – это одно и то же, а чашка или бублик – совсем другое (однако чашка и бублик – тоже одно и то же!).
Далеко не всегда очевидно, что две фигуры «топологически одинаковы» – например, трудно поверить, что одну из этих пластилиновых «ручек» можно без разрывов и склеек превратить в другую, не снимая со стержня:
Однако вот промежуточные стадии такого превращения:
Задачи о кёнигсбергских мостах и о новом королевском за́мке – это настоящие топологические задачи: действительно, можно как угодно размещать башни и соединять их стенами любой формы, но пока мы не «разрываем» стен и не «склеиваем» их, задача остаётся той же самой!
Некоторые фигуры имеют настолько необычные топологические свойства, что перестаёшь верить собственным глазам. Одну из таких фигур обнаружил в середине XIX века немецкий учёный Мёбиус. Вы легко можете сами сделать «лист Мёбиуса» – возьмите полоску бумаги и склейте её в кольцо, повернув перед склеиванием на пол-оборота:
Чтобы убедиться в необычных свойствах листа Мёбиуса, попробуйте для начала покрасить его с одной стороны. Вы обнаружите, что карандаш или кисточка окрасят лист полностью! Но так и должно быть – дело в том, что у листа Мёбиуса, в отличие от «обычных» поверхностей (то есть таких, к которым мы привыкли), не две стороны, а только одна!
А теперь попробуйте угадать, что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль кольца посередине. Распадется ли он, например, на два кольца? Берите ножницы и режьте! Интересно, поверите ли вы своим глазам?
НЕБЫЛИЦА ОБ ЭЙЛЕРЕ, КОТОРЫЙ РАЗГАДАЛ ЗАГАДКУ КЁНИГСБЕРГСКИХ МОСТОВ, ГУЛЯЯ ПО ПЕТЕРБУРГСКИМ
Когда скучно и грустно
И не хочется спать,
По мостам петербургским
Ходит Эйлер гулять.
Он обходит неспешно
Много длинных мостов,
Сладкой спелой черешней
Кормит каменных львов.
Львы его в благодарность
Нежно в ухо лизнут
И за Эйлером следом
По мостам побредут.
Каждый мост он проходит
Лишь один раз всего,
И мосты не разводят,
Ожидая его.
КОРОЛЕВСКАЯ ЛОГИКА
– А где же зал суда? – спросила Алиса: она читала в книжках, что суд происходит всегда в «зале суда».
– Залом будет этот двор, – показала Королева на один из трёх дворов за́мка.
Гости стали садиться прямо на траву, а для Короля и Королевы вынесли трон. Возле трона сразу же столпились какие-то карты и зверушки.
– Это, наверное, приближённые к трону, – догадалась Алиса (она не раз слышала о «приближённых к трону», но только теперь увидела, кто это такие!).
Сев на траву, Алиса обнаружила, что рядом с ней сидит Грифон.
– А где же Черепаха Будто? – спросила Алиса.
– Ползёт потихоньку прямо на бал, – ответил Грифон.
В этот момент Белый Кролик (он тоже оказался среди «приближённых к трону») поднял трубу и трижды протрубил.
Все замолчали, и в наступившей тишине Король Червей приказал Кролику:
– Читай обвинение!
Кролик развернул большой свиток пергамента и прочитал:
– Обвиняется Шляпник.
– А где обвиняемый? – поинтересовался Король.
– Его почему-то нет, – робко ответил Белый Кролик.
– Я есть! – раздался откуда-то голос Шляпника. Алиса обернулась и увидела, что Шляпник протискивается к трону между сидящими на траве.
– Почему ты опоздал? – строго спросил Король.
– Мартовский Заяц пригласил нас с Соней на чай... – начал Шляпник.
– Как! – вскричала Королева. – Из-за какого-то чая ты посмел опоздать на суд?
– Дело не в чае, а в часах, – сказал Шляпник. – Когда я пошёл к Мартовскому Зайцу, я забыл свои часы дома...
– Но разве у Зайца нет часов? – удивилась Королева.
– Часы у него, конечно, есть, – ответил Шляпник. – Но они остановились.
– Ну и что? – спокойно спросил Король. – Я уверен, что стоящие часы показывают точное время намного чаще, чем твои!
– И вовсе нет! – обиделся Шляпник. – С тех пор, как Заяц перестал смазывать мои часы сливочным маслом, они стали идти очень точно!
– Как точно? – поинтересовался Король.
– Они отстают всего на одну секунду в сутки, – похвастал Шляпник.
– На одну секунду в сутки? – переспросил Король. – Значит, за месяц они отстанут на полминуты?
– Всего-навсего! – радостно подтвердил Шляпник. – Я их не подвожу уже два месяца, и за это время часы отстали только на одну минуту!
– В часе шестьдесят минут, – сказал Король. – Значит, твои часы отстанут на час за сто двадцать месяцев...
– Это целых десять лет! – воскликнул Шляпник.
– А за сто двадцать лет твои часы отстанут на двенадцать часов, – продолжал Король.
– До этого, наверное, я уже не доживу, – вздохнул Шляпник.
– Зато тот, кто доживёт, наконец-то увидит на твоих часах точное время! – заметил Король.
– Почему? – удивился Шляпник.
– Только тогда, когда твои часы отстанут на двенадцать часов, их стрелки снова покажут точное время, – объяснил Король. – Разве не так?
– Так, – подтвердил озадаченный Шляпник.
– Вот и получается, что твои часы показывают точное время только один раз в сто двадцать лет! – воскликнул Король. – А часы, которые стоят, показывают точное время два раза в сутки – это примерно в восемьдесят семь тысяч шестьсот раз чаще, чем твои! Так что, как видишь, твои отстающие часы намного хуже, чем часы Зайца, которые вообще стоят!
– Но как же узнать, когда стоящие часы показывают точное время? – растерянно спросил Шляпник.
– Очень просто, – сказал Король. – Который час показывали часы Мартовского Зайца?
– Шесть часов, – ответил Шляпник.
– Значит, ровно в шесть часов утра и в шесть часов вечера эти часы показывают точное время, – отозвался Король.
– Но откуда я узнаю, что наступило шесть часов? – не сдавался Шляпник.
– Как только часы у Зайца покажут точное время, так шесть часов и наступают! – торжественно произнёс Король, подняв палец. – Надо только внимательно следить за часами!
На этот раз бедный Шляпник не знал, что возразить – он только переступал с ноги на ногу, но слов не находил.
– Как видишь, твоему опозданию нет никакого оправдания, – заявила Королева. – Уже за одно это тебе стоило бы отрубить голову!
– Послушаем всё-таки, в чём он обвиняется, – предложил Король. – Читай обвинение! – снова приказал он Кролику.
– Шляпник нарушил закон, – прочитал Кролик, глядя в свиток.
– Какой закон? – спросил Король.
– Ну, это уж совсем не имеет значения! – возразила Королева. – Раз он нарушил закон, значит, надо отрубить ему голову.
– И всё-таки я хотел бы знать, какой закон он нарушил, – настаивал Король.
– Шляпник нарушил закон о Шляпнике, – прочитал Белый Кролик.
– А что это за закон? – поинтересовался Король.
– Шляпник должен шить шляпы всем тем и только тем, кто не шьёт себе шляпу сам, – торжественно прочитал Кролик.
– Но ведь я же выполнял этот закон! – воскликнул Шляпник. – Смотрите! – показал он в «зал суда». – Все ходят в шляпах, сшитых мною...
– Сначала мы будем не смотреть, а слушать, – перебила Королева. – Позвать первого свидетеля!
Первым свидетелем оказался Соня («Как он успел сюда добраться?» – удивилась Алиса).
– Я всё проспал и ничего не знаю, – сразу же заявил Соня.
– Совсем ничего? – переспросила Королева.
– Совсем, – решительно подтвердил Соня.
– Это ложь, – возразила Королева.
– Почему? – удивился Соня.
– Раз ты знаешь, что ничего не знаешь, значит, что-то ты всё-таки знаешь! – объяснила Королева. – И за лжесвидетельство тебе полагается отрубить голову. Уведите его! – приказала она стражникам.
Вторым свидетелем был Мартовский Заяц.
– А ты будешь говорить правду? – строго спросила его Королева.
– Нет, – прижав уши, выдавил из себя Заяц.
– Почему? – поразилась Королева безрассудной храбрости Зайца.
– Я очень боюсь, – признался Заяц. – А от страха я всегда обманываю!
– Ладно, обманывай, – неожиданно смягчилась Королева (видно, откровенность Зайца тронула даже её). – Мы будем понимать твои слова наоборот и узнаем, как всё было на самом деле.
– Но если Заяц действительно обманывает, то он обманывает и тогда, когда говорит, что обманывает, – возразил Король.
– Значит, он говорит правду? – спросила Королева. – Тем лучше!
– Правду он тоже не говорит, – сказал Король. – Ведь тот, кто говорит правду, никогда не скажет, что он обманывает!
– Но если он не обманывает и не говорит правду, то что же он тогда говорит? – удивилась Королева.
– Чушь, – ответил Король. – Он говорит чушь, потому что сам себе противоречит.
– Отрубить ему голову! – решительно произнесла Королева, и бедного Зайца тоже увели.
– Свидетелей по этому делу больше нет, – с опаской заметил Белый Кролик.
– Придётся слушать самого обвиняемого, – заключил Король.
– Кто сшил твою шляпу? – спросила Королева у Шляпника.
– Я, конечно, – ответил Шляпник. – Ведь я же Шляпник!
– Вот ты и нарушил закон! – радостно заявила Королева.
– Почему? – удивился Шляпник.
– Согласно закону ты должен шить шляпы только тем, кто не шьет себе шляпу сам. А ты как раз сшил себе шляпу сам!
Шляпник открыл рот, но не нашёл, что возразить.
– Но если бы Шляпник не сшил себе шляпу, он тоже нарушил бы ваш закон, – вмешался Король. – Ведь в таком случае он стал бы одним из тех, кто не шьёт себе шляпу сам, а согласно закону Шляпник обязан шить шляпы всем, кто не шьёт их себе сам. И поэтому он должен был бы сшить шляпу и себе самому!
Королева растерялась, а Шляпник, наоборот, воспрянул духом.
– Что же тогда Шляпник должен делать, чтобы не нарушить закон? – спросила Королева, пытаясь справиться с растерянностью.
– Этот закон выполнить вообще невозможно, – ответил Король.
– Раз это королевский закон, он должен быть выполнен! – потребовала Королева.
– Но этот закон противоречит сам себе, – возразил Король. – А перед противоречиями бессильны даже короли...
Он развёл руками и почему-то подмигнул Алисе.
– Если мой закон противоречит сам себе, значит, этот закон – чушь?! – спросила Королева, вскипая гневом.
– Давайте лучше перейдём к следующему делу, – предложил Король. – Что там ещё? – повернулся он к Белому Кролику.
– Обвиняется Шляпник! – громко прочитал Кролик. – Он нарушил закон...
– Это уже было, – остановил его Король. – Читай дальше.
– Шляпник нарушил ещё один закон, – пояснил Белый Кролик.
– Ого! – воскликнул Король и посмотрел на Шляпника с интересом. – Никогда бы не подумал, что ты такой нарушитель законов! Какой же закон он ещё нарушил? – спросил он у Белого Кролика.
– Согласно закону Шляпник должен шить только шляпы! – прочитал Кролик.
– Надеюсь, в этом законе нет противоречий? – язвительно спросила Королева.
– Пока я их не вижу, – осторожно ответил Король. – А свидетели по делу есть?
– Ха-Ха и Ах-Ах! – громко крикнул Кролик.
– Уж не сошёл ли ты с ума? – поинтересовался Король.
– Так зовут свидетелей, – объяснил Кролик и показал на братьев, которые в обнимку подходили к трону.
– Когда же они пришли? – удивилась про себя Алиса. – Или их тоже привели?
– Вы будете говорить правду? – строго спросила братьев Королева.
– Мы оба всегда лжём! – решительно ответил один из братьев.
– Опять чушь! – схватилась за голову Королева.
– Почему же? – возразил Король. – Он, конечно, не говорит правду, но лгать вполне может!
– Но ведь если он лжёт, когда говорит, что лжёт, значит, он не лжёт! – воскликнула Королева.
– Он сказал, что они оба лгут, – уточнил Король. – И если второй говорит правду, значит, первый действительно лжёт!
– Вот и будем спрашивать только второго, – предложила Королева. – Но только какой из них первый, а какой – второй? Вы не помните, кто из них ответил: «Мы оба лжём»?
– Нет, – сказал Король. – Они так похожи!
– Не так уж они похожи, – подумала Алиса, но решила промолчать: ей было интересно, как Король и Королева выйдут из затруднения.
– Ты говоришь правду? – спросила Королева одного из братьев.
– Конечно! – сразу же ответил тот.
– А теперь спросите другого, – предложил Король. Королева спросила, и другой брат ответил «да».
– Как же так? – удивилась Королева. – Ведь один из них должен лгать!
– Он и лжёт, – отозвался Король. – Как раз поэтому тот, кто лжёт, и сказал, что говорит правду!
– Так как же, наконец, узнать, кто из них лжёт? – рассердилась Королева. – Ты лжёшь? – в упор спросила она одного из братьев.
– Никогда! – возмутился тот.
– А ты? – обратилась она ко второму.
– Ни за что! – так же искренне возмутился другой.
– Но ведь они так и должны отвечать, – улыбнулся Король, видя растерянность Королевы. – Тот, кто говорит правду, действительно не лжёт, а тот, кто лжёт, ни за что не признается, что он лжёт!
– Но если они на все вопросы дают одинаковые ответы, мы так и не узнаем, кто из них лжёт, а кто говорит правду, – рассудила Королева.
– Я думаю, они будут давать одинаковые ответы не на все вопросы, – сказал Король и спросил одного из братьев:
– У тебя есть брат?
– Нет, – ответил тот.
– А у тебя? – спросил он другого.
– Да, – ответил другой.
– Вот и всё, – сказал Король. – Теперь мы знаем, кто из них говорит правду, а кто лжёт: ведь мы-то видим, что они братья!
– У них на свитерах написаны имена, – заметила Королева. – Того, кто сказал правду, зовут Ха-Ха. Его и будем спрашивать.
– Можно спрашивать и Ах-Аха, – сказал Король. – Только слова его надо понимать наоборот!
– Перейдем к делу, – решительно произнесла Королева. – Башмаки вам сшил Шляпник? – спросила она у Ха-Ха.
– Нет, – ответил Ха-Ха.
– Помни, – предупредила его Королева, – ты говоришь правду!
– Я и говорю правду, – сказал Ха-Ха.
– Проверим на другом, – подумав, предложила Королева. – Шляпник сшил вам башмаки? – спросила она у Ах-Аха.
– Да, – ответил Ах-Ах.
– Значит, нет, – уточнил Король. – Получается, что их показания совпадают!
Королева, нахмурив брови, посмотрела на Белого Кролика. От взгляда Королевы Кролик задрожал и зашептал что-то ей на ухо, показывая на ноги братьев.
– Так это Белый Кролик рассказал Королеве о башмаках-шляпах! – возмущенно сказала Алиса, повернувшись к Грифону. – Ах, если бы я знала, что Кролик – ябеда, когда мы с ним переправлялись в лодке через озеро...
– То что бы ты сделала? – с интересом спросил Грифон, но Алиса не успела ответить, потому что в этот момент Королева спросила Ха-Ха:
– Кто сшил то, что надето у тебя на ногах?
– Шляпник, – ответил Ха-Ха.
– Почему же ты сказал, что Шляпник не шил вам башмаки? – рассердилась Королева.
– Это не башмаки, – пояснил Ха-Ха. – Это шляпы для ног. Смотрите – они даже с бантами!
– Шляпы для ног? – поразилась Королева. – Но разве для ног шьют шляпы?
– А почему бы и нет? – вмешался в разговор Шляпник. – Разве есть королевский закон, запрещающий шить шляпы для ног?
– Неужели вы не догадались издать такой важный закон? – упрекнул Король Королеву.
– Но зачем? – возмутилась Королева. – Всякому ясно, что шляпы шьют для голов, а не для ног!
– Я не всякий, – возразил Шляпник. – Я – Шляпник!
– Тогда тебе это тем более должно быть ясно! – сердито заметила Королева.
– Ничего подобного, – отозвался Шляпник. – Мне надо только снять мерку, и я смогу сшить шляпу для чего угодно!
– Ваш закон придётся дополнить, – обратился Король к Королеве. – Надо написать, что шляпа – это то, что надевают на голову.
– Тогда надо ещё записать, что такое голова, – добавил Шляпник.
– Голова – это то, чего ты сейчас лишишься! – вскипела Королева.
– Вы так и хотите записать? – удивился Шляпник. – Но тогда получится, что шляпа – это то, что надевают на то, чего лишился Шляпник!
– Это не очень хорошо, – согласился Король.
– Как же тогда записать, что такое голова? – задумалась Королева и подняла глаза вверх.
В это время Король сделал знак Шляпнику, и тот сразу куда-то исчез. Осмотревшись, Алиса обнаружила, что Соня, Мартовский Заяц и братья Ха-Ха и Ах-Ах тоже исчезли. Она переглянулась с Грифоном, и они сразу поняли друг друга.
– Какая Королева жестокая! – возмущенно сказала Алиса, когда они с Грифоном выбрались из замка. – Только и делает, что приказывает рубить головы!
– Никому до сих пор не отрубили, – отозвался Грифон. – Все приговоры Король отменяет, или Королева просто забывает о них.
– Почему же тогда Королеву так боятся? – спросила Алиса.
– Ты же сама видела – она полна противоречий! – ответил Грифон. – А вдруг она не забудет о каком-нибудь приговоре?
– С лжецом и то лучше иметь дело, – сказала Алиса.
– Конечно, – согласился Грифон. – Надо только понимать всё, что он говорит, наоборот! А с тем, кто противоречит сам себе, никогда не связывайся!
– А как же Мартовский Заяц? – вспомнила Алиса. – Разве он не противоречил сам себе, когда говорил на суде, что всегда обманывает?
– Да он просто дурачком прикидывался! – рассмеялся Грифон. – Шляпника выдавать не хотел.
– А Белый Кролик, наоборот, доносчик! – сердито сказала Алиса.
– У него работа такая, – вздохнул Грифон.
– Доносить? – поразилась Алиса.
– Белый Кролик обязан следить за выполнением королевских законов, – объяснил Грифон. – Даже тех, выполнить которые невозможно...
– Я бы ни за что не согласилась на такую работу! – сказала Алиса.
– Я тоже, – отозвался Грифон. – Ну, до встречи на балу! – крикнул он и пустился скачками вдоль берега озера.
– А мне куда идти? – вдогонку ему крикнула Алиса.
– За мной! – обернувшись, ответил Грифон и умчался.
КАК ЧЕЛОВЕК УЧИЛСЯ РАССУЖДАТЬ
Человек начал думать с тех пор, как он стал человеком (по-латыни он так и называется – homo sapiens, то есть «человек разумный»). Однако десятки тысяч лет человек думал, совершенно не задумываясь о том, как он думает. И делал из-за этого много ошибок.
Первыми задались вопросом «что такое рассуждение?» древние греки. Они сделали величайшее открытие: рассуждение – это способ получения новых знаний.
Помните прославленный «дедуктивный метод» Шерлока Холмса?
– Я могу распутать преступление, даже не выходя из своей комнаты, – говаривал знаменитый сыщик удивлённому доктору Ватсону и погружался в глубокое раздумье.
Это раздумье и есть способ получения новых знаний! Такие знания называются «умозаключения», то есть заключения (выводы), полученные с помощью ума (рассуждения)
Получать новые знания с помощью рассуждений можно не только распутывая преступления – мы занимаемся этим, решая любую задачу, когда ответ её нам неизвестен: ведь этот ответ и есть новое для нас знание!
Бо́льшая часть знаний, которыми обладает человечество, получены с помощью умозаключений – ведь и то, что люди узнали опытным путем, они тоже должны были осмыслить
Но откуда берётся уверенность, что рассуждение правильно? Всегда ли можно доверять новому знанию, полученному посредством умозаключений?
Размышляя над этими вопросами, древнегреческий учёный Аристотель открыл законы мышления – правила, пользуясь которыми можно делать правильные умозаключения. Наука о законах мышления называется логикой от греческого слова «логос», что означает «мысль». Логикой Аристотеля мы пользуемся до сих пор.
Науку о мышлении Аристотель создавал не на пустом месте – у него были великие предшественники. С некоторыми из них мы уже знакомы. Так, Фалес, первый математик в истории, высказал идею доказательства, а доказательство – это как раз и есть установление правильности рассуждения. Строгих доказательств от своих учеников требовал и учитель Аристотеля Платон, который, в свою очередь, был учеником Сократа. Сократ учил рассуждать не только в математике, но и в жизни, причем учил очень интересным методом: он задавал вопросы, которые будили мысль у его собеседника – этот замечательный метод так и называется «сократовским». Сам Сократ был настолько мудр, что учился у каждого, кто мог сообщить ему что-то для него новое.
Особенность математики состоит в том, что правильность новых знаний можно установить только с помощью рассуждений – их невозможно проверить на опыте!
Объясним это на примере. Возьмём линейку, начертим на бумаге несколько разных треугольников и вырежем их. А затем обрежем у них углы – вот так:
Приложим теперь эти углы друг к другу. Мы обнаружим, что у всех наших треугольников сумма углов одна и та же – она равна как раз развёрнутому углу:
Мы получили новое знание: «у некоторых треугольников сумма углов равна развернутому углу». Это знание получено опытным путём. Но поскольку мы брали разные треугольники, у нас возникает догадка: может быть, у всех треугольников сумма углов равна развёрнутому углу?
Мы испытываем нашу догадку на десяти, ста, тысяче треугольниках и с радостью обнаруживаем, что она подтверждается! Однако можно ли считать, что мы её доказали? Нет, нельзя – ведь в нашей догадке речь идёт о всех треугольниках, а их бесконечно много! Там же, где появляется бесконечность, опыт бессилен (это слова французского математика Пуанкаре).
Поэтому здесь требуется математическое доказательство: можно доказать, что сумма углов у всех треугольников равна развёрнутому углу, если... Вот это «если» и есть самое главное!
На что должно опираться математическое доказательство? Прежде всего, конечно, на уже доказанные утверждения (как мы помним, они называются «теоремами»). Но, оказывается, при этом возникает новая бесконечность, очень похожая на бесконечную цепочку вопросов «почему?» в беседе с четырёхлетним homo sapiens: вы отвечаете малышу на первый вопрос, но ваш ответ сразу же рождает у него второе «почему?», и ... новый ответ будет рождать новый вопрос без конца!
Учёные по своей любознательности почти не уступают четырёхлетним малышам, и поэтому они тоже столкнулись с бесконечной цепочкой вопросов и ответов – было это ещё в Древней Греции. И тогда стало ясно, что для того, чтобы можно было что-то доказать, какие-то утверждения придётся принять без доказательств, например: «через две точки проходит одна и только одна прямая». Такие утверждения греки назвали аксиомами, что в переводе с греческого означает «достойные почестей».
Главное требование к аксиомам состоит в том, чтобы они не противоречили друг другу (иначе получится так, как с «королевскими законами», которые придумывала Королева Червей). Непротиворечивость аксиом далеко не всегда очевидна: даже очень «правдоподобные» аксиомы могут противоречить друг другу! Вот известный шуточный пример. Возьмём три «аксиомы»:
1. Чем больше учишь, тем больше знаешь.
2. Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
3. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Каждая из этих «аксиом» по отдельности не вызывает сомнений. Однако из трёх «аксиом» вместе следует вывод: «Чем больше учишь, тем меньше знаешь»! С этим странным выводом можно было бы и согласиться, но он противоречит первой «аксиоме»! А из второй и третьей «аксиом» следует вывод, который вообще противоречит сам себе: «Чем больше знаешь, тем меньше знаешь»! Так что волей-неволей приходится признать, что эти правдоподобные «аксиомы» противоречат друг другу.
Но даже непротиворечивых аксиом для доказательств теорем недостаточно. Надо ещё, чтобы тот, кто доказывает, и тот, кто его слушает, правильно понимали друг друга – ведь недоразумение может возникнуть просто из-за того, что они по-разному понимают значение одного и того же слова (помните спор Шляпника с Королевой о том, что такое «шляпа»?). Чтобы таких недоразумений не возникало, математики пользуются определениями. Если теорема отвечает на вопрос «почему?», то определение отвечает на вопрос «что такое?». Например:
– Что такое квадрат?
– Это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Однако тут сразу же возникает новый вопрос:
– А что такое прямоугольник?
И уже можно догадаться, что нас снова подстерегает бесконечность, только на этот раз не вопросов «почему?», а вопросов «что такое?». Поэтому некоторые понятия математикам пришлось принять за основные, то есть отказаться от попыток определить их. Например, основными понятиями являются «точка» и «прямая».
Когда есть основные понятия, аксиомы и правила логики, можно, наконец, доказывать теоремы! Теоремы – это и есть новые знания математиков: доказательством теорем математики занимаются со времён Фалеса до наших дней.
Через две тысячи лет после Аристотеля немецкий учёный Лейбниц задался целью создать универсальный язык науки, с помощью которого можно было бы записывать любые рассуждения в виде математических формул.
И тогда, надеялся Лейбниц, учёные перестанут, наконец, спорить до хрипоты – вместо этого они возьмут в руки карандаши и спокойно скажут друг другу: «Давайте вычислим истину». Лейбниц даже думал о машине, которая сама сможет доказывать теоремы!
Однако только через сто пятьдесят лет после того, как Лейбниц высказал свою идею, ирландский математик Буль создал тот язык, о котором мечтал Лейбниц. Буль построил «алгебру логики», в которой есть уравнения, похожие на уравнения «обычной» алгебры, только при решении логического уравнения ищется ответ не на вопрос «сколько?», а на вопрос «истинно или ложно?». И сегодня, пользуясь «алгеброй логики» (чаще её называют «булевой алгеброй»), электронно-вычислительные машины действительно начали доказывать теоремы! Правда, пока ещё с помощью математиков...
Уже в самом начале развития логики выяснилось, что кроме истины и лжи бывает еще и «чушь» – высказывания, которые вообще лишены смысла (например, потому, что они противоречат самим себе). Но иногда противоречие запрятано так глубоко, что его ищут многие годы. Одним из первые таких примеров был знаменитый «парадокс лжеца»: если кто-то говорит «я лгу», то его слова лишены смысла (помните «показания» Мартовского Зайца?). Очень интересный парадокс был предложен английским учёным Расселом в начале XX века: должен ли брить самого себя цирюльник, которому приказано брить тех и только тех, кто не бреется сам? (Помните похожий королевский закон о Шляпнике?).
Парадоксы всегда привлекали учёных, потому что разбор парадоксов позволяет лучше понять законы мышления и учит избегать ошибок. А кроме того, парадоксы неожиданны и интересны, и этого уже достаточно для того, чтобы с ними стоило познакомиться!
Кстати, «парадокс стоящих часов», которые показывают точное время чаще, чем идущие, принадлежит самому Льюису Кэрроллу, а точнее – Чарльзу Лютвиджу Доджсону, который занимался как раз математической логикой.
