Текст книги "Алиса в стране математики"

Автор книги: Лев Генденштейн

– Но чтобы запомнить три числа, понадобятся, наверное, три рыцаря, – улыбнувшись, сказала Алиса.

– Они устроят настоящий турнир! – воскликнул Король. – Однако мы подходим к перекрёстку третьей продольной и седьмой поперечной аллеи – где же Чёрный Король?

Первой Чёрного Короля увидела Алиса – он сидел под одним из фиолетовых колокольчиков и безмятежно спал.

– Придётся отложить твоё знакомство с Чёрным Королём, – огорчённо сказал Белый Король. – Теперь вы увидитесь только на балу...

– На балу? – воскликнула Алиса. – А я попаду на этот бал?

– Я приглашаю тебя, – торжественно произнёс Белый Король. – И разрешаю тебе пригласить всех, кого ты захочешь.

– Спасибо! – поблагодарила Алиса. – А где и когда будет этот бал?

– Вот об этом нам с Чёрным Королём и надо договориться... – озабоченно сказал Белый Король и снова посмотрел на спящего Чёрного Короля.

– Может, всё-таки разбудить его? – предложила Алиса.

– Я вижу, он очень устал, – возразил Белый Король. – Ведь у королей так много дел!

– Да ещё и прогулки, – со знанием дела добавила Алиса.

– Придётся мне подождать, пока он проснётся, – вздохнул Белый Король. – Ты сможешь сама найти дорогу к числу «минус тысяча»?

– Дорогу до нуля я помню, – сказала Алиса, – а потом надо всё время идти влево от нуля?

– Правильно, – подтвердил Король. – Ну, тогда иди: торт тебя уже, наверное, ждёт. До встречи на балу!

Обратно Алиса не шла, а бежала: ей придавала силы мысль о шоколадном торте с орехами. Когда Алиса пробегала мимо нуля, ей показалось, что он подмигнул ей, причём в точности так, как это сделал бы Шалтай-Болтай!

Возле числа «−1000» Алису действительно ожидали восемь поварят – они держали на серебряном блюде торт невиданной величины. Торт был такой большой, что Алиса даже огорчилась.

– Как же можно съесть такой торт? – спросила Алиса.

– С чаем, – дружно ответили поварята. – Мы проводим тебя к Мартовскому Зайцу – там сейчас как раз пьют чай!

– А на меня не рассердятся, если я приду без приглашения? – поинтересовалась Алиса.

– С таким тортом можно приходить и без приглашения, – уверенно сказали поварята и двинулись в путь, торжественно неся торт.

Алисе ничего не оставалось, как пойти следом за ними.

Скоро они вышли из города и зашагали по лесной дороге. Присмотревшись, Алиса заметила, что лес кругом довольно странный: длинные-длинные листья росли прямо из земли. Иногда встречались диковинные деревья с высоким стволом; кроны этих деревьев были похожи на огромные цветы одуванчиков и ромашек.

– Это и есть одуванчики и ромашки! – догадалась Алиса, вспомнив о своём теперешнем росте. – А длинные листья – это трава!

Алиса посмотрела на поварят и вдруг поняла, что это просто белые пешки!

– Так вот почему их восемь, – подумала Алиса. – У каждого шахматного короля как раз по восемь пешек! Правда, только в начале игры...

Скоро впереди показался большой дом; трубы дома имели форму заячьих ушей, а крыша была покрыта мехом, и Алиса догадалась, что это дом Мартовского Зайца.

– Как же я приду к чаю такая маленькая? – оробела Алиса. – Я и за стол-то сесть не смогу! Хорошо бы мне подрасти...

И тут же всё кругом начало уменьшаться: растения с длинными листьями превратились в обычную траву, деревья с необычными кронами стали одуванчиками и ромашками, а лесная дорога оказалась тропинкой, идущей через поле!

Впереди Алисы семенили, неся торт, восемь маленьких пешек. Торт, конечно, остался шоколадным, но, увы – он перестал быть огромным! Подходя к дому, Алиса даже засомневалась: прилично ли с таким тортом приходить к чаю без приглашения? И тут она услышала грохот бьющейся посуды.

– Стоит ли вообще туда идти? – подумала Алиса, но было уже поздно: пешки-поварята входили в ворота, и Алиса поняла, что её ждут новые приключения.

ОБ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЛАХ И ВСЕОБЩЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Каких только обидных названий не давали отрицательным числам – их называли и нелепыми, и ложными, и придуманными... Просто удивительно, что после всего этого отрицательные числа продолжают верно служить людям!

Впервые отрицательные числа появились в Китае около двух тысяч лет назад – тогда ими пользовались для обозначения долгов (помните «минус один торт»?). Ту же роль отрицательные числа играли в Индии начиная с V —VI веков, а позднее – в средневековой Европе. Но учёные таких чисел не признавали: они считали, что «меньше чем ничто» ничего быть не может!

Однако отрицательные числа «перехитрили» математиков: они выросли внутри самой математики! Вот как это произошло.

С давних пор математики решали уравнения. Уравнение – это равенство, в которое входит неизвестная величина (такой величиной может быть, например, площадь поля, возраст человека или число рабов). Решить уравнение – значит узнать, какому числу равна эта неизвестная величина. И вот, когда это число находили, оказывалось иногда, что оно должно быть меньше нуля! Такие решения уравнений считали «ложными», «нелепыми» и отбрасывали их – действительно, разве может, например, площадь поля быть меньше нуля?

Это два уравнения, в которых неизвестное обозначено буквой x. У одного из этих уравнений решение положительное, а у другого – отрицательное

Однако скоро обнаружилось, что даже для того, чтобы получать положительные, вполне «законные» решения, приходится порой пользоваться отрицательными числами в промежуточных вычислениях, как бы на черновике. И эти «нелепые» числа надёжно приводили к правильным результатам, но... при одном удивительном условии: произведение двух отрицательных чисел надо было считать числом положительным! Это казалось настолько странным, что один учёный назвал отрицательные числа «порождением дьявола», а другой заявил, что понять правило умножения отрицательных чисел выше человеческого разумения! В течение нескольких веков математики, скрепя сердце, пользовались отрицательными числами, но признавать их настоящими числами отказывались наотрез.

Признание отрицательных чисел пришло с неожиданной стороны.

В XVII веке жил французский учёный Декарт (во Франции ему, к сожалению, довелось жить очень мало, а книги его во Франции были запрещены). В те времена математика состояла как бы из нескольких отдельных наук: арифметики, которая изучала свойства чисел, алгебры – науки о решении уравнений, и геометрии, где изучались свойства фигур. Кроме того, следуя древним, к математике относили ещё астрономию и музыку!

И вот Декарт задался дерзкой целью: создать науку, которая объединит всю математику. «К области математики, – писал Декарт, – относятся те науки, в которых рассматриваются либо порядок, либо мера, и не имеет значения – будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое... Должна существовать общая наука, объясняющая всё, что относится к порядку и мере... и эта наука должна называться всеобщей математикой».

Основная идея Декарта была гениально проста. Он взял прямую, обозначил на ней точку и написал рядом с ней число «нуль». Затем он взял отрезок определенной длины и стал откладывать этот отрезок, как «единичную меру», вдоль прямой вправо от точки, обозначенной нулём. При этом на прямой появлялись точки, соответствующие числам 1, 2, 3... – эти числа показывали, сколько раз отложен «единичный отрезок» (помните число королевских шагов?). Теперь каждому натуральному числу соответствовала точка на прямой; это был решающий шаг – он связал числа и точки, то есть арифметику и геометрию!

Если на прямой отметить на равных расстояниях друг от друга точки 0, 1, 2, 3 и так далее, то эта прямая превратится в числовую ось

Сделав этот шаг, Декарт догадался, что любую точку на прямой можно сопоставить с числом, и при этом точкам, расположенным на прямой левее нуля, соответствуют как раз отрицательные числа (помните числа левее нуля вдоль дороги для королевских прогулок?). Так, благодаря Декарту, отрицательные числа обрели равноправие с положительными числами и навсегда потеряли свою «нелепость».

Числовая ось неограниченно продолжается в обе стороны: слева на ней расположены отрицательные числа, а справа – положительные

Точку на прямой можно задать одним числом, а для точки на плоскости нужно два числа (помните башенки с двумя числами на перекрёстках двух аллей в Китайском Саду?). Благодаря этому линии на плоскости оказалось возможным связать с уравнениями – так появились графики. О более тесной связи между алгеброй и геометрией нельзя было и мечтать: решение любой геометрической задачи можно было свести теперь к решению уравнений!

Числа, которыми обозначают точки, называют сегодня во всем мире «декартовы координаты», хотя у Декарта были предшественники: греческий учёный Птолемей, составляя во II веке географические карты, пользовался долготой и широтой в качестве географических координат, а арабский поэт-математик Омар Хайям (о нём мы уже писали) пользовался координатами больше чем за пятьсот лет до Декарта! Одновременно с Декартом связь между алгеброй и геометрией открыл и его соотечественник Ферма. Но всё-таки название «декартовы координаты» вполне справедливо: именно Декарт развил идею о взаимосвязи разных областей математики и представил математику как единую науку, «объясняющую всё, что относится к порядку и мере».

Положение любой точки на плоскости можно задать с помощью двух чисел, которые называются координатами этой точки и обозначаются обычно буквами x и y. На рисунке отмечена точка с координатами x = 3 и y = 4

Положение любой точки в пространстве можно задать с помощью трех чисел – координат этой точки (они обозначаются обычно буквами x, y, z). Какие координаты имеет точка, отмеченная на этом рисунке?

НЕБЫЛИЦА О СЛУЧАЕ, КОТОРЫЙ ПОДСКАЗАЛ ДЕКАРТУ ИДЕЮ КООРДИНАТ

 
Однажды в незнакомый город
Приехал молодой Декарт.
Его ужасно мучил голод.
Стоял промозглый месяц март.
 
 
Решил к прохожей обратиться
Декарт, пытаясь дрожь унять:
– Где тут гостиница, скажите?
И дама стала объяснять:
 
 
– Идите до молочной лавки,
Потом до булочной, за ней
Цыганка продаёт булавки
И яд для крыс и для мышей,
 
 
А дальше будут магазины,
Найдёте в них наверняка
Сыры, бисквиты, фрукты, вина
И разноцветные шелка...
 
 
Все объясненья эти слушал
Декарт, от холода дрожа.
Ему хотелось очень кушать,
Но звонкий голос продолжал:
 
 
– За магазинами – аптека
(аптекарь там – усатый швед),
И церковь, где в начале века
Венчался, кажется, мой дед...
 
 
Когда на миг умолкла дама,
Вдруг произнёс ее слуга:
– Идите три квартала прямо
И два направо. Вход с угла.
 

КАКОЙ МОМЕНТ БЫЛ ПОСЛЕДНИМ?

Перед домом стоял длинный стол. Над столом на ветке дерева висели большие часы, а за столом, сгрудившись у одного конца, сидели трое: Шляпник, Мартовский Заяц и зверёк Соня.

Шляпник что-то горячо доказывал, размахивая чашкой с чаем и проливая чай на Соню; Заяц, пригнув уши к затылку, слушал Шляпника, а Соня спал, не обращая внимания ни на спор, ни на чай.

Вдруг Алиса услышала у себя под ногами чей-то писк.

– Мыши! – промелькнуло у неё в голове, и в следующий момент она уже стояла на столе среди чашек.

Шляпник замолчал и уставился на Алису, держа чашку в руке. Заяц, подняв уши, тоже смотрел на Алису. Она не знала, как надо начинать разговор, приходя в гости таким необычным образом, осмотрелась и увидела, что возле стола стоят пешки-поварята – они протягивали торт и тоненькими голосками просили Алису:

– Возьми же!

– Так вот кто пищал! – поняла Алиса, спрыгнула со стола и взяла торт.

Поварята тут же развернулись и гуськом выскользнули за ворота.

Алиса стояла с тортом в руках и думала, с чего начать разговор. (При этом она заметила, что трава вокруг стола усыпана битой посудой).

Молчание прервал Шляпник.

– Ты отгадала загадку? – спросил он. – Что общего у ворона и конторки?

– Число! – тут же выпалила Алиса, вспомнив почему-то беседу с Чеширским Котом. – Ворон один, и конторка одна!

– Хм, – озадаченно произнёс Шляпник и перевёл взгляд на Зайца. – Это действительно отгадка?

– Сейчас проверим, – отозвался Заяц и, подняв глаза вверх, глубоко задумался. При этом он начал так смешно шевелить раздвоенной губой, что Алиса с трудом сдержала улыбку. Наконец, Заяц заговорил:

– Если один ворон сядет на одну конторку, то каждому ворону достанется по конторке, а на каждой конторке будет сидеть по ворону... Значит, воронов и конторок одинаковое число... Она права! – заключил он.

– Каждому ворону, говоришь, достанется по конторке? – задумчиво переспросил Шляпник. – Но зачем ворону конторка? Тем более каждому?

 – Это уже другие загадки, – сказала Алиса, поставила торт на стол и села в кресло: она поняла, что ждать приглашения бесполезно.

Шляпник и Заяц молча следили за ней.

– Каждому из нас по торту не достанется, – заметил Заяц.

– Каждому по торту и не надо, – сказала Алиса. – Съесть целый торт одному – это не удовольствие, а наказание!

– Смотря для кого, – сквозь сон проговорил Соня.

– Уж тебе-то целый торт наверняка не достанется, – заверил его Шляпник.

– Давайте разделим торт на всех, – предложила Алиса.

– А ты сможешь разделить один торт? – недоверчиво спросил Шляпник.

– Смогу, – с достоинством ответила Алиса. – Каждому из нас достанется по одной четверти.

– Делить она умеет, – важно подтвердил Заяц. Алиса взяла со стола нож, но Шляпник остановил её.

– А ты заслужила одну четверть? – спросил он.

Алиса чуть не задохнулась от возмущения: она принесла торт, и ей, оказывается, надо еще заслужить свою часть!

– Я имею в виду: заслужила ли ты только одну четверть? – пояснил Шляпник. – Может, тебе придётся съесть две четверти? Или три? Или даже все четыре?

– Но я не хочу больше одной четверти! – сказала Алиса.

– Мало ли, что ты не хочешь! – отозвался Шляпник. – Надо ещё, чтобы каждый из нас троих тоже захотел съесть четверть!

– Но разве вы этого не хотите? – удивилась Алиса. – Торт, кажется, очень вкусный!

– Мне тоже так ка... – начал было Заяц, но Шляпник посмотрел на него, и он осёкся.

– Ты назвала только одну отгадку на мою загадку, – сказал Шляпник, обращаясь к Алисе.

– Но разве одной отгадки на загадку мало? – снова удивилась Алиса. – По-моему, у каждой загадки должна быть одна отгадка.

– Что это такое: не слон, а с хоботом? – неожиданно спросил Соня, приоткрыв один глаз (Алиса заметила, что глаз у Сони очень красивый).

– Муха, – ответила Алиса: ей понадобилось всего пять секунд, чтобы найти отгадку!

– И мамонт тоже, – медленно произнёс Соня и закрыл свой красивый глаз.

– Разве муха и мамонт – это одно и то же? – спросил Шляпник.

– Нет, конечно, – ответила Алиса. – Но ведь одну отгадку я всё-таки нашла!

– Этого недостаточно! – воскликнул Шляпник. – Отгадать загадку – значит, найти все отгадки!

– И доказать, что других отгадок нет! – добавил Заяц.

– Я никогда не думала, что отгадывать загадки так трудно, – призналась Алиса.

– Ещё бы! – подтвердил Шляпник. – Но ещё труднее находить все загадки на одну отгадку!

– Что это значит? – не поняла Алиса.

– На одну отгадку может быть несколько загадок, – объяснил Шляпник. – Разве, например, ты знаешь только одну загадку про зайца?

– Конечно, не одну, – ответила Алиса.

– Значит, «заяц» – одна отгадка на несколько загадок, – заключил Шляпник.

– Загадай какую-нибудь загадку про зайца, – попросил Алису Мартовский Заяц.

– «По лесу жаркое в шубе бежит», – сказала Алиса первое, что ей пришло в голову, и тут же закрыла рот рукой. Но было уже поздно: Заяц наполовину залез под стол.

– А какие ты знаешь загадки про шляпника? – поинтересовался Шляпник после затянувшегося молчания.

Алиса бросила взгляд на битую посуду вокруг стола и нерешительно произнесла:

– По-моему, про шляпника загадок нет...

– Значит, по-твоему, шляпник – это отгадка без загадок? – спросил Шляпник.

Тут у бедной Алисы всё окончательно перемешалось в голове!

– Об отгадках без загадок я слышу впервые, – призналась она.

– Это то же самое, что ответы без вопросов, – объяснил Шляпник.

– Кажется, я о таких тоже не слышала, – сказала Алиса.

– Ты, наверное, никогда не училась в школе? – предположил Шляпник.

– Я и сейчас учусь в школе! – ответила Алиса.

– Так неужели у вас не бывает такого: учитель что-то рассказывает и рассказывает, а вопросов ему никто не задаёт? – удивился Шляпник.

– Бывает, – вспомнила Алиса. – Наш учитель по истории терпеть не может, когда ему задают вопросы!

– Значит, всё, что он говорит – это и есть ответы без вопросов! – объяснил Шляпник.

– Наверное, – согласилась Алиса. – Но это совсем неинтересно – ещё хуже, чем вопросы без ответов...

– Смотря какие вопросы, – возразил Шляпник, и лицо его помрачнело. – Один вопрос мучает нас уже давно...

– Какой? – заинтересовалась Алиса.

– Видишь, – показал Шляпник на часы, – тут всегда почти шесть часов...

Алиса посмотрела на часы: они показывали ровно шесть.

– Почему «почти»? —спросила она. – По-моему, как раз точно шесть!

– В том-то и дело, что шести ещё нет! – воскликнул Шляпник. – Часы собрались бить, но до сих пор так и не пробили...

– Они всегда хрипят, прежде чем начинать бить, – сказал Заяц.

Все замолчали, и стал явственно слышен хрип больших часов, висящих над столом. Алисе стало как-то не по себе.

– И давно у вас так? – тихо спросила она.

– Давно, – ответил Шляпник и замолчал.

– Так какой же вопрос вас мучает? – решилась нарушить молчание Алиса.

– Какой момент последний перед шестью часами? – спросил Шляпник и посмотрел Алисе прямо в глаза.

– Этого я не знаю, – подумав, сказала Алиса. – По-моему, это неплохая загадка!

– Ты должна её разгадать, – серьёзно сказал Шляпник. – Поверь, это очень важно!

– Я попробую, – сказала Алиса. – А вы помните, что было перед шестью часами?

– Вспоминай! – приказал Шляпник Зайцу. – Ты моложе, и у тебя память лучше.

– Ты пришёл сюда ровно в пять часов, а Соню мы ждали до половины шестого... – начал Заяц.

– Это были очень длинные полчаса, – перебил его Шляпник. – Чайник уже стоял на столе, но без Сони мы не начинали пить чай!

– Зато как только Соня пришёл, я сразу же налил тебе первую чашку чая, – продолжал Заяц. – Ты выпил её так быстро, что я себе и налить не успел...

– А потом, потом? – торопил Шляпник.

– Без двадцати шесть я налил тебе вторую чашку чая, – напомнил Заяц. – Её ты тоже выпил сразу...

– Значит, чай был не очень горячий, – заметил Шляпник.

– Это из-за Сони! – стал оправдываться Заяц. – Пока мы его ждали, чай остыл...

– Вспоминай дальше! – нетерпеливо перебил Шляпник.

– Третью чашку я налил тебе без десяти шесть, – продолжил воспоминания Заяц.

– Тебе что, чаю жалко? – с подозрением спросил Шляпник.

– Я просто вспоминаю... – робко сказал Заяц.

– Вспоминай о чём-нибудь другом! – предложил Шляпник.

– Но другого ничего не было, – пролепетал Заяц. – Ты только пил чашку за чашкой...

– Хватит! – крикнул Шляпник и ударил по столу. Несколько чашек упали и разбились.

Алиса посмотрела на черепки вокруг стола и спросила у Зайца:

– А где вы берёте новые чашки?

– Не отвлекайся на ерунду! – раздражённо заметил Шляпник. – Что было дальше? – обратился он к Зайцу.

– Без одной минуты шесть я налил тебе четвёртую чашку... – с опаской произнёс Заяц.

– Четвёртую чашку я выпил залпом! – неожиданно просиял Шляпник. – Это я хорошо помню: чай стал совсем холодным! Но когда я поставил чашку на стол, шести часов ещё не было – часы ещё не били!

– Не было, не били, – сразу согласился Заяц. – Но до шести часов оставалась всего одна секунда: часы как раз начали хрипеть...

Все невольно снова прислушались: часы по-прежнему хрипели.

– А что было после того, как я поставил чашку на стол? – после некоторого молчания спросил Шляпник. – Ведь до шести часов оставалась ещё целая секунда!

– По-моему, ничего больше уже не было, – тихо сказал Заяц и начал снова залезать под стол.

– Значит, по-твоему, – так же тихо спросил Шляпник, в упор глядя на Зайца, – без одной секунды шесть – это последний момент перед шестью часами?

Заяц задрожал так сильно, что чашки на столе задребезжали.

– Перестань дрожать! – заорал Шляпник, отчего чашки задребезжали ещё сильнее, а несколько чашек снова скатились со стола. – Ведь был ещё момент, когда до шести часов оставалось полсекунды – разве ты этого не помнишь?

– П-п-помню, – раздался уже из-под стола голос Зайца, – я помню, что этого я уже не помню...

– Даже если ты этого не помнишь, такой момент всё равно был! – продолжал бушевать Шляпник.

– Если уж на то пошло, – сказал Заяц, высунув уши из-под стола, – так и этот момент не был последним перед шестью часами! Полсекунды можно ещё раз разделить пополам – значит, был и такой момент, когда до шести часов оставалась только четверть секунды...

– Последним был тот момент, когда я заснул! – объявил вдруг Соня.

– Твой последний момент наступит сейчас! – снова рассвирепел Шляпник, схватил Соню и так широко размахнулся, будто собрался забросить его на Луну.

– Что вы делаете? – не выдержала Алиса.

– Не отвлекайся, – строго сказал ей Шляпник и посадил Соню на чайник. – Думай о последнем моменте и ни о чём больше!

– Я буду думать о том, о чём я захочу! – заявила Алиса.

– А о чём ты хочешь думать? – поинтересовался Шляпник.

– Я... я ещё не решила, – растерялась Алиса.

– Тогда почему бы тебе не думать о последнем моменте? – спросил Заяц, вылезая из-под стола.

– Не буду! – упрямо сказала Алиса.

– Не будешь? – нахмурившись, переспросил Шляпник.

– Не буду, – повторила Алиса. – Пусть он хоть всю посуду перебьёт! – подумала она про себя.

– Ладно, – неожиданно согласился Шляпник. – Но только давай честно: раз ты сказала, что не будешь думать о последнем моменте, так не думай! Обещаешь?

– Обещаю, – сердито буркнула Алиса. Наступило молчание. Шляпник тихонько барабанил пальцами по столу, Заяц медленно мешал ложечкой чай, а Соня, сидя на чайнике, клевал носом.

Алиса честно пыталась выполнить своё обещание – не думать о последнем моменте перед шестью часами. Но удивительное дело – чем больше она старалась об этом не думать, тем настойчивее это лезло ей в голову!

– Какой же момент, действительно, последний? – крутилось у Алисы в голове помимо её воли. – Ведь даже когда до шести часов остаётся всего одна миллионная доля секунды, её снова можно разделить пополам – значит, есть и такой момент, когда до шести часов остаётся одна двухмиллионная доля секунды... но и этот момент не последний: делить пополам можно без конца... Делить без конца! – воскликнула она про себя, и у неё вырвалось:

– Последнего момента нет вообще, потому что делить пополам можно без конца! Получается, что у этой загадки просто нет отгадки!

И тут Алиса увидела, что Заяц и Шляпник ужасно расстроились: Заяц готов был заплакать, а Шляпник утратил весь свой пыл и смотрел перед собой пустыми глазами.

– Но почему вас так огорчает, что последнего момента перед шестью часами нет? – удивилась Алиса.

– Неужели ты не понимаешь? – грустно сказал Шляпник. – Ведь если последнего момента нет, значит, шесть часов не наступят никогда...

– Почему? – спросила Алиса.

– Потому что они могут наступить только после этого момента, а его-то как раз и нет! – ответил Шляпник.

Тут Соня качнулся чуть сильнее и... свалился с чайника головой в торт!