Текст книги "Алиса в стране математики"
Автор книги: Лев Генденштейн
сообщить о нарушении
Текущая страница: 1 (всего у книги 12 страниц)
ЛЕВ ГЕНДЕНШТЕЙН
АЛИСА В СТРАНЕ МАТЕМАТИКИ
cказки
были
небылицы
Памяти Григория Марковича Донского
Четвёртого июля 1862 года по реке Чарвел близ Оксфорда, старинного университетского городка в Англии, плыла лодка. Никто из сидевших в ней и не подозревал, что эта лодочная прогулка войдет в историю.
Когда лодка проплывала мимо старой мельницы, тишину знойного дня нарушил звонкий голос:
– Мистер Доджсон, расскажите нам, пожалуйста, сказку!
Этот голос принадлежал Алисе, средней из трёх сестёр, которых пригласил на прогулку преподаватель математики одного из оксфордских колледжей Чарльз Лютвидж Доджсон.
Мистер Доджсон любил рассказывать сказки, но в тот жаркий день его так клонило в сон, что он попытался отказаться.
– Начинайте! – решительно поддержала Алису старшая сестра Ларина.
– И пусть в вашей сказке будет побольше всяких бессмыслиц, – попросила Алиса.
Младшая, Эдит, промолчала. Зато потом, когда мистер Доджсон всё-таки начал рассказывать, она время от времени перебивала его вопросами – но не чаще одного раза в минуту.
А начал мистер Доджсон с того, как одна девочка (почему-то она была очень похожа на среднюю из сестёр, и звали её тоже Алисой) побежала за кроликом, который на бегу достал часы из жилетного кармана. Кролик нырнул в нору, Алиса бросилась за ним, и оказалось, что нора эта ведет в Страну Чудес, а там начались такие невероятные приключения и даже превращения, что мистер Доджсон и сам стал удивляться тому, о чём рассказывал! С него быстро слетела вся дремота, а о девочках и говорить нечего: блестя глазами, слушали они необыкновенную сказку, где всё было не так...
Сказка, которую рассказал тогда мистер Доджсон, стала одной из самых известных сказок в мире – вот почему эта лодочная прогулка вошла в историю. Правда, на обложке книги «Приключения Алисы в Стране Чудес» написано, что автор её Льюис Кэрролл, но дело в том, что сам Льюис Кэрролл – тоже выдумка мистера Доджсона!
А на обратном пути в лодке произошел разговор, который до сих пор оставался неизвестным.
Как только лодка отошла от берега...
ВЫДУМКА, В КОТОРОЙ НЕТ ОБМАНА
Как только лодка отошла от берега, девочки переглянулись и все вместе посмотрели на мистера Доджсона. Он сразу всё понял.
– Нет-нет! – замотал он головой (и замахал бы руками, если бы они не были заняты веслами). – Ничего больше я уже придумать не смогу. По крайней мере, сегодня.
– Неужели придумывать так трудно? – удивилась Алиса.
– Конечно, – отозвался мистер Доджсон. – Ведь надо всё время следить, чтобы в выдумке не было обмана!
– А как же говорящие птицы и звери в вашей сказке? – спросила Лорина. – Разве это не обман?
– Но ведь это же было в Стране Чудес! – воскликнула Алиса.
– А там только такие и водятся, – со знанием дела добавила Эдит.
– Значит, в выдумке вообще не может быть обмана! – заключила Лорина. – В Стране Чудес может быть что угодно...
– Если только это может быть, – заметил мистер Доджсон. – Ты можешь представить, например, что в Стране Чудес живет белый кролик чёрного цвета?
– Такого кролика не может быть даже в Стране Чудес! – воскликнула Лорина. – Этой выдумке никто не поверит, даже если будет знать, что это выдумка!
– Значит, обман в выдумке всё-таки может быть? – спросил мистер Доджсон.
– Да, – признала Лорина. – Это когда выдумка противоречит сама себе!
– Ты очень точно сказала, – подтвердил мистер Доджсон. – Точнее не смог бы сказать никто.
– Но разве от противоречий так трудно избавиться? – спросила Алиса. – Они же сразу видны!
– Белого кролика чёрного цвета трудно, конечно, не заметить, – согласился мистер Доджсон. – Но бывают и очень коварные противоречия, особенно когда придумываешь что-то необычное...
– Давайте придумаем необычную историю все вместе, – предложила Алиса. – И будем следить, чтобы в ней не было противоречий!
– Чур я начинаю! – воскликнула Эдит. – Как-то раз один рыцарь шёл по лесу...
– Уже есть противоречие, – перебила Лорина. – Рыцари не ходят, они ездят на конях.
– Может быть, у этого рыцаря заболел конь? – предположил мистер Доджсон.
– Так оно и было, – грустным голосом подтвердила Эдит. – Он заболел свинкой.
– Конь заболел свинкой?! – вскричала Лорина. – Это противоречие: свинкой болеют только дети!
– Так он и был жеребёнок, – пояснила Эдит. – Это же ребёнок! И вот рыцарь пошёл искать врача для своего жеребёнка...
– В лесу? – недоверчиво спросила Лорина.
– Ну да, – кивнула Эдит. – А где, по-твоему, врачи собирают грибы?
– Но зачем? – удивилась Лорина.
– Зачем врачи собирают грибы? – переспросила Эдит.
– Нет, зачем искать в лесу врача, который собирает грибы?
– Почему ты всё время перебиваешь? – начала сердиться Эдит.
– Просто я хочу понять, – сказала Лорина.
– А я не понимаю, что тут можно не понять, – вмешалась Алиса. – Рыцарь ищет в лесу врача, который собирает грибы для своего жеребёнка...
– Грибы для жеребёнка? – спросила Лорина.
– Грибы для врача, а врач – для жеребёнка! – вскричала Эдит, теряя терпение.
– Значит, грибы тоже для жеребёнка, – резонно заметила Лорина.
От возмущения Эдит не могла найти слов, поэтому историю продолжила Алиса.
– Дело в том, – сказала она, – что врач собирал в лесу не просто грибы, а грибы-свинушки. Они называются так потому, что жареные свинушки – лучшее лекарство для жеребят, которые болеют свинкой...
– Хм, – усомнилась Лорина.
– Здесь нет противоречия! – отозвалась Алиса. – Приведи мне жеребёнка, больного свинкой, и я тут же вылечу его жареными свинушками.
– Ладно, – сказала Лорина. – Теперь, по крайней мере, понятно, почему рыцарь искал врача в лесу.
– Вдруг в лесу потемнело... – страшным голосом сказала Алиса.
– Это прилетел дракон, – сразу оживилась Эдит.
– Как ты догадалась? – спросила Алиса уже не таким страшным голосом.
– Когда в лесу темнеет, это обычно из-за того, что прилетает дракон, – объяснила Эдит.
– У дракона было три головы, – продолжала Алиса. – Рыцарь выхватил меч и одним взмахом отрубил дракону голову.
– Так, так, – закивала Эдит. – Когда рыцарь встречает дракона, он первым делом отрубает ему голову.
– Но вместо одной отрубленной головы у дракона сразу появилось три новых! – воскликнула Алиса. – Рыцарь рубил и рубил головы дракону, и всякий раз вместо одной головы появлялось три...
– Тогда у этой истории нет конца, – заметила Лорина, – ведь самого большого числа не существует!
– Ты забыла, что дело было в лесу, – напомнила Алиса.
– Ну и что? – удивилась Лорина.
– Чем больше голов становилось у дракона, тем сильнее он запутывался в деревьях, – объяснила Алиса. – И, наконец, он запутался совсем... Дальше продолжай ты, – предложила она Лорине.
– Я не знаю, что делать с драконом, который запутался в деревьях, – растерялась Лорина.
– Бедный дракончик, – пожалела Эдит.
– Не такой уж он несчастный, – неожиданно сказал мистер Доджсон. – Этот дракон стал знаменитостью, и к нему теперь водят экскурсии.
– А он не опасен? – спросила Эдит.
– Ни чуточки, – отозвался мистер Доджсон. – Все его головы так крепко запутались в деревьях, что он и шагу ступить не может.
– А что он ест? – озабоченно спросила Алиса.
– Его кормят туристы, – объяснил мистер Доджсон. – Каждую голову кормят отдельно...
– А сколько у него стало голов? – поинтересовалась Лорина, которая во всем любила точность.
– Ровно триста, – секунду подумав, ответил мистер Доджсон.
– А что было с жеребёнком? – спросила Эдит.
– Дальше расскажу я, – предложила Лорина. – Рыцарь вежливо попрощался с драконом...
– И сразу нашел врача? – нетерпеливо перебила Эдит.
– Нет, – ответила Лорина. – Врача рыцарь не нашёл.
– Неужели во всем лесу не нашлось ни одного врача? – всплеснула руками Эдит. – Куда же они все подевались?
– Они разбежались, когда услышали рёв трёхсот драконьих глоток, – объяснила Лорина, которая начала входить во вкус.
– Но, может быть, там был хоть один глухой врач? – с надеждой спросила Эдит.
– Был, – подумав, сказала Лорина. – Но он пошел в оперу...
– В оперу? Глухой? – поразилась Алиса.
– Его срочно вызвали в театр, потому что дирижёр во время спектакля проткнул палочкой скрипача...
– Насквозь? – спросил мистер Доджсон.
– Да, – решительно ответила Лорина. – Этот скрипач очень сильно фальшивил...
– Тогда тут нет противоречия, – кивнул головой мистер Доджсон.
– А жеребёночек? – чуть не плача, спросила Эдит. – Ты о нём совсем забыла!
– Жеребёнок сам нашел свинушки, – сказала Лорина.
– Только не говори, что он сам их и жарил! – предостерегла Лорину Алиса. – Ведь сковороды у него не было!
– Грибы изжарил рыцарь, – объяснила Лорина.
– Неужели у рыцаря была с собой сковорода? – удивилась Эдит.
– У него был шлем! – воскликнула Лорина. – Рыцарь изжарил грибы в шлеме и дал их жеребёнку. Тот сразу выздоровел, рыцарь взял его под уздцы, и они пошли дальше...
Какое-то время все сидели молча; был слышен только мерный звук вёсел.
– Придумывать сказку ещё интереснее, чем её слушать, – сказала вдруг Лорина.
– И не так уж трудно придумать необычную историю без противоречий, – заметила Алиса.
– А мне кажется, что если бы в нашей истории было какое-нибудь противоречие, она стала бы ещё интересней, – произнёс мистер Доджсон.
– Почему? – спросила Эдит.
– Потому что это противоречие надо было бы найти! – ответил мистер Доджсон.
– Может быть, – согласилась Лорина. – Но ведь в нашей истории противоречий нет.
– Есть, – неожиданно признался мистер Доджсон. – По моей вине в нашу историю вкралось по крайней мере одно противоречие.
– Как же мы его не заметили? – удивилась Алиса.
– Сейчас мы его найдём, – сказала Лорина. – Вы помните, о чём рассказывал мистер Доджсон? – обратилась она к сестрам.
– Он говорил, что дракон стал знаменитостью и к нему водят экскурсии... – начала вспоминать Алиса.
– Ещё мистер Доджсон говорил, что дракона кормят туристы, – добавила Эдит.
– Во всем этом пока нет никаких противоречий, – рассудила Лорина. – Если дракон стал знаменитостью, к нему должны водить экскурсии. А если к нему водят экскурсии, то туристы кормят дракона, потому что туристы всегда кормят животных. Правда, дракон не совсем обычное животное...
– Может быть, его кормят не туристы, а туристами? – предположила Эдит.
– Тогда получилось бы противоречие! – возразила Алиса. – Если бы туристы не возвращались из экскурсий, они не могли бы рассказывать о драконе, и он перестал бы быть знаменитостью!
– Действительно, – согласилась Эдит.
– Значит, противоречие в чём-то другом, – заключила Алиса. – Послушай, – обратилась она к Лорине, – ты, кажется, о чём-то спрашивала мистера Доджсона?
– Я спрашивала, сколько у дракона голов, – сказала Лорина, – и мистер Доджсон ответил, что ровно триста.
– Может быть, в этом есть какое-то противоречие? – спросила Алиса. – Хотя вряд ли: махнул рыцарь сто раз мечом, вот и стало у дракона триста голов...
– С каждого взмаха рыцарь отрубал дракону одну голову? – уточнила Лорина.
– Да, – кивнула Алиса.
– Махнул сто раз мечом... – задумчиво произнесла Лорина. – Но после этого у дракона будет не триста голов...
– А сколько же? – удивилась Алиса. – Ведь после каждого взмаха появляются три новых головы... Ой! Одна голова-то слетает!
– Вот-вот, – подхватила Лорина. – И поэтому после каждого взмаха у дракона становится не на три головы больше, а только на две!
– Ну и пусть! – махнула рукой Алиса. – Значит, чтобы у дракона стало триста голов, рыцарю придётся махнуть мечом не сто раз, а... триста разделить на два... сто пятьдесят раз! Для него это всё равно!
– Если рыцарь махнет мечом сто пятьдесят раз, у дракона станет на триста голов больше, чем было вначале! – возразила Лорина. – А ведь у него с самого начала уже было три головы. Значит, у дракона станет не триста голов, а триста три!
– Так сколько же раз рыцарю надо махать мечом, чтобы у дракона стало ровно триста голов? – нетерпеливо спросила Эдит.
– Сейчас подсчитаем, – сказала Лорина. – У дракона вначале было три головы, а в конце стало триста, значит, у него добавилось двести девяносто семь голов... После каждого взмаха меча число голов увеличивалось на два... Чтобы узнать, сколько раз рыцарю пришлось махать мечом, надо двести девяносто семь разделить на два... Но двести девяносто семь на два не делится!
– Значит, трехсот голов у дракона быть не может! – воскликнула Алиса. – Вот оно – противоречие!
– Вы нашли его довольно быстро, – признал мистер Доджсон.
– А вы его довольно ловко запрятали, – ответила Лорина любезностью на любезность. – Но как вы успели так быстро сосчитать, что у дракона не может быть трёхсот голов – ведь на мой вопрос вы ответили сразу!
– Почти сразу, – напомнил мистер Доджсон. – Но я почти ничего и не считал.
– Вы просто угадали? – спросила Эдит.
– Ну нет, – улыбнулся мистер Доджсон. – Я могу наверняка сказать, что у этого дракона не может быть, например, миллиона голов. Или, скажем, трёх миллиардов восьмисот тридцати двух миллионов семисот сорока одной тысячи четырёхсот восьмидесяти шести голов!
– Вот это да! – поразилась Эдит.
В наступившей тишине стало слышно, что Алиса бормочет: «Пять, семь, девять...»
– Что ты считаешь? – удивилась Лорина.
– Я считаю, сколько голов становилось у дракона, когда рыцарь отрубал ему одну голову за другой, – объяснила Алиса.
– До миллиардов ты будешь считать очень долго, – забеспокоилась Эдит, но Алиса продолжала:
– ...одиннадцать, тринадцать, пятнадцать...
– Хватит! – воскликнула вдруг Лорина. – До миллиардов можно не считать: и так уже всё понятно!
– А мне ещё не совсем всё понятно, – призналась Алиса, прерывая счет. – Я заметила только, что получаются нечётные числа...
– В этом всё и дело! – сказала Лорина. – Ведь ты начала с трёх и прибавляла каждый раз по два.
– Значит, у дракона не может быть чётного числа голов! – догадалась Алиса. – Так вот почему мистеру Доджсону ничего не надо было считать – он мог просто назвать любое чётное число, и противоречие готово!
– Так я и сделал, – признался мистер Доджсон, и все рассмеялись.
– А знаете, откуда берутся драконы с семью головами? – спросила вдруг Эдит. – Это драконы, у которых вначале было три головы, но две из них уже отрубили...
– А драконы с тремя головами – это те, у которых сначала была только одна голова, – добавила Алиса.
– Но откуда же тогда берутся драконы с одной головой? – озадаченно спросила Эдит, но вопрос её остался без ответа: лодка пристала к берегу и все начали выходить.
Мистер Доджсон предложил зайти к нему – он хотел угостить девочек чаем и заодно показать им свои фотографии (в те времена фотографии были ещё редкостью, но мистер Доджсон уже успел стать страстным фотографом). Во время этого краткого визита произошел ещё один любопытный разговор.
Перед самым уходом Алиса подошла к большому книжному шкафу, который стоял слева от камина, и, склонив голову, попыталась прочесть на корешках названия книг. Однако у неё ничего не получилось, хотя названия были написаны английскими буквами: дело в том, что слова на корешках книг были почти все незнакомы Алисе!
– О чём эти книги? – спросила Алиса у мистера Доджсона.
– Это книги по математике, – ответил он.
– А что такое математика?
– Это... – в глазах у мистера Доджсона мелькнула улыбка. – Это большая выдумка без обмана!
– Это всё выдумка?! – поразилась Алиса, глядя снизу вверх на длинные полки, уставленные толстыми книгами.
Мистер Доджсон проводил девочек домой и, вернувшись, сел записывать сказку, рассказанную им во время прогулки.
«Я просидел целую ночь, записывая в большую тетрадь все глупости, какие запомнились», – рассказывал он потом.
ГДЕ И КОГДА ЗАРОДИЛАСЬ МАТЕМАТИКА
Однажды немецкого математика Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
– Он стал поэтом, – ответил Гильберт. – Для математика у него было слишком мало воображения.
Такой ответ мог бы удивить кого угодно, только не математика: любой математик знает, что воображение – главное качество математика (тот, кто этого не знает, не математик!). Однако это не единственное качество – математик должен ещё уметь чётко рассуждать, чтобы доказать, что в его выдумке нет «обмана», то есть нет противоречий.
Как же возникла математика – наука, в которой удивительным образом соединяется то, что кажется несовместимым – яркое воображение и строгая логика? (Логикой называют правила рассуждений.)
Начиналась математика в древнем мире с расчётов, нужных для строительства, торговли и земледелия. До наших дней сохранились древнеегипетские папирусы и древневавилонские глиняные таблички с чертежами и вычислениями. Им около четырёх тысяч лет! Один из папирусов начинается словами: «Наставление, как достигнуть знания всех непонятных вещей, всех тёмных тайн». Однако никакой науки там ещё нет – действительно, разве можно назвать наукой большое число примеров, как вычислить площадь поля для посева или количество камней для постройки пирамиды? Рассуждений при этом не приводилось, вместо этого писали: «Делай то же самое при любом подобном случае». Здесь не было ни полёта фантазии, ни доказательств.
Всё изменилось, когда математические знания египтян и вавилонян попали к грекам – именно в Древней Греции и родилась настоящая математика!
Древнеегипетский папирус. Так выглядели учебники, по которым четыре тысячи лет назад обучали в школах египетских писцов
А так выглядел сам египетский писец. В Древнем Египте писцы пользовались большим почетом, потому что они умели не только читать и писать, но и считать! Внизу изображен «письменный прибор» египетского писца
На таких глиняных табличках писали древневавилонские «школьники». Точнее, не писали, а выдавливали особой палочкой – поэтому исправлять ошибки в таких «тетрадках» было очень удобно
Это «страница» из древневавилонского «учебника математики»: в нем было около сорока «страниц» – огромных глиняных таблиц. Древневавилонские «книги» не боялись огня – наоборот, их надо было обжечь, чтобы глина затвердела
Любимым вопросом древних греков был вопрос «почему?», а с этого вопроса начинается любая наука. Греки начали доискиваться: почему надо применять в расчетах то или иное правило? Всегда ли оно даёт правильный результат? Как доказать правильность? Древнегреческий учёный Фале́с, который жил за шестьсот лет до нашей эры, первым ввел в математику доказательства, и поэтому его считают первым математиком в истории. Однажды греки решили подарить мудрейшему из людей золотую чашу, и этим мудрейшим был избран именно Фалес. Но Фалес передал подарок другому мудрецу, которого он считал более достойным, тот – третьему, и так чаша обошла по кругу семерых мудрецов, вернувшись в конце концов снова к Фалесу.
В искусстве рассуждений греки превзошли всех, кто жил до них, и очень многих из тех, кто жил после. Умению рассуждать и доказывать мы учимся у древних греков до сих пор: древнегреческая математика – единственная наука, которая прошла испытание тысячелетиями.
Когда греков завоевали римляне, развитие математики надолго остановилось – на целую тысячу лет! Возродили математику арабы, которые изучили и перевели на арабский язык книги древнегреческих учёных. Кстати, у арабов был и выдающийся поэт-математик, звали его Омар Хайям. О некоторых его математических открытиях мы расскажем позже, а вот одно из его стихотворений**
Перевод Ц. Бану
[Закрыть]:
Мне мудрость не была чужда земная,
Разгадки тайн ища, не ведал сна я.
За семьдесят перевалило мне,
Что ж я узнал! – Что ничего не знаю.
Однако вернемся к грекам – это они принесли в математику не только логику, но и воображение: они стали изучать числа и фигуры не только для «жизненных потребностей», но и просто потому, что это оказалось необычайно интересным. Так числа и фигуры начали жить в воображении математиков своей жизнью, и вот что самое удивительное: открытия, сделанные в воображаемом мире, помогали открывать законы окружающего мира! Итальянский учёный Галилей писал: «Великая книга природы может быть прочитана только теми, кто знает язык, на котором она написана, и язык этот – математика».
Древнегреческие учёные подробно изучили «конические сечения» – фигуры, которые получаются при пересечении конуса плоскостью (такое «сечение конуса» изображено на рисунке черным цветом). Никому из древних греков и в голову не приходило, что планеты, которые они видят на небе, движутся вокруг Солнца, описывая именно такие фигуры!
Бывало, что проходили тысячелетия, прежде чем открытие математиков находило применение. Вот, наверное, самый поразительный пример. За несколько веков до нашей эры греческие учёные Евклид, Архимед и Аполлоний из «чистого интереса» изучили свойства эллипса – фигуры, похожей на сплюснутую окружность. Прошло больше полутора тысяч лет, и немецкий астроном Кеплер обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца именно по эллипсам – тем самым «древнегреческим» эллипсам! А через пятьдесят лет после Кеплера «чисто математическая» теория древних греков помогла английскому учёному Ньютону открыть закон всемирного тяготения, «управляющий» движением планет.
А вот ещё один пример. В начале XIX века трое учёных: русский математик Лобачевский, венгр Больяи и немец Гаусс независимо друг от друга придумали (именно придумали!) необычную геометрию, настолько необычную, что Гаусс, который считался тогда «королем математиков», не решился даже обнародовать свою работу. Лобачевский же посвятил разъяснению своей геометрии всю жизнь, но так и не получил признания учёного мира – уж очень странной казалась эта «выдумка». Однако «обмана» в ней не было: геометрия Лобачевского не содержала противоречий! Идеи Лобачевского развил немецкий учёный Риман (он родился как раз в том году, когда Лобачевский представил свою работу для опубликования!). Риман показал, что можно построить бесконечно много разных геометрий, среди которых – и привычная «школьная» геометрия (ее называют «евклидовой» по имени древнегреческого математика Евклида), и геометрия Лобачевского.
А в начале XX века оказалось, что риманова геометрия имеет самое непосредственное отношение к реальному миру: согласно теории относительности Эйнштейна геометрия нашего мира не «евклидова», а именно «риманова»!
И, наконец, третий пример. Тот самый Гильберт, с которого мы начали свой рассказ, в самом начале XX века придумал совсем уж странную вещь: он изобрел пространство, в котором не три измерения, как в нашем обычном пространстве (длина, ширина и высота), а бесконечное число измерений! Такое даже представить невозможно!
В нашем пространстве три измерения, и поэтому любой настоящий предмет имеет длину, ширину и высоту
Однако через четверть века оказалось, что без гильбертова пространства (так его назвали) было бы невозможно описывать мир атомов. А поскольку все мы состоим из атомов, значит, в каждом из нас на самом деле существует это удивительное пространство с бесконечным числом измерений! «Я развил свою теорию из чисто математических интересов, – вспоминал потом Гильберт, – абсолютно не подозревая, что позже она найдет применение в физике».
