Текст книги "Алиса в стране математики"

Автор книги: Лев Генденштейн

ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ?

Есть ли кто-нибудь в целом мире, кто был бы больше похож на вас, чем ваше собственное отражение в зеркале? Но присмотритесь – человек «за зеркалом» всё-таки отличается от вас! Например, часы он носит на другой руке, да и пуговицы на одежде застегнуты у него на другую сторону...

Сходство-различие нашего настоящего мира и «зазеркалья» привлекало во все времена детей, учёных и сказочников. А Льюис Кэрролл, который был и учёным и сказочником, сделал его главным мотивом своей замечательной сказки «Алиса в Зазеркалье».

«Зазеркальный мир» так похож на настоящий, что если сделать «зеркальную фотографию» – для этого достаточно перевернуть негатив – то почти никто не сможет отличить такую фотографию от правильной (если, конечно, на ней не будет вывесок!).

Разгадка удивительного сходства двух миров – «зазеркального» и настоящего – состоит в том, что почти все предметы вокруг нас обладают зеркальной симметрией. Это означает, что левая и правая стороны у них одинаковы. (А если некоторые различия всё-таки есть, то благодаря им можно отличить зеркальное отражение от самого предмета – помните родинку на щеке у Алисы и её бант?)

Понятие симметрии родилось применительно к искусству: само слово «симметрия» означает по-гречески «гармония», «соразмерность». Действительно, симметричные предметы кажутся нам красивыми. И не только нам: все народы во все времена старались сделать симметричными здания, узоры и скульптуры.

Обычно говорят, что предмет обладает симметрией, если с ним можно что-то сделать, но он при этом останется таким же. Например, если можно незаметно поменять левую и правую стороны предмета, то он обладает зеркальной симметрией. Такой же симметрией обладает и предмет, у которого можно незаметно поменять «верх» и «низ».

Симметрия может быть не только зеркальной. Многие предметы не изменяются, если повернуть их на какой-то угол. Например, любую снежинку можно повернуть на одну шестую часть полного оборота, и после этого никто не отличит её от неповернутой! Такой же «поворотной симметрией» обладают многие цветы и узоры

А вот шар можно поворачивать как угодно, да ещё у него можно менять левую и правую стороны или верхнюю и нижнюю – он останется тем же шаром! Поэтому говорят, что шар обладает самой высокой симметрией

Ещё один вид симметрии связан с переносом: например, если идти вдоль забора, он «не изменяется». Таким же видом симметрии обладают узоры на обоях. Эта симметрия называется «переносной»

Переносная симметрия является главным свойством всех кристаллов: атомы в кристаллах расположены в совершенно правильном порядке. На этом рисунке изображена модель одного из кристаллов (шарики обозначают отдельные атомы). Полный перечень всех возможных видов симметрии кристаллов составил русский учёный Фёдоров; таких видов оказалось 230

До работы Фёдорова симметрией, в основном, интересовались математики, художники и архитекторы: математики – потому что они вообще интересуются любыми закономерностями, а художники и архитекторы – красоты ради. Однако в XX веке симметрией всерьёз заинтересовались и физики – они догадались, что симметрия многих предметов вокруг нас обусловлена симметрией законов природы!

Тогда физики начали искать новые виды симметрии – и нашли, причём неожиданно много. Знаменитые слова Галилея о том, что природа говорит с нами на языке математики, подтвердились опять.

Новые виды симметрии поражают воображение.

Например, у каждой элементарной частицы (мельчайшей частицы вещества) есть двойник – античастица, причем частица и античастица действительно напоминают зеркальных двойников – например, у них одинаковые массы (помните одинаковый рост у Ха-Ха и Ах-Аха?). А вот, скажем, электрические заряды у частицы и античастицы имеют противоположные знаки: если одна из них заряжена положительно, то другая – отрицательно. Так вот, если при каком-то столкновении частиц заменить все частицы на античастицы, то столкновение будет «выглядеть» точно так же – согласитесь, что это и правда очень похоже на сходство нашего мира с «Зазеркальем», только при новом виде «отражения» частицы переходят в античастицы.

Кстати «обычная» зеркальная симметрия тоже преподнесла физикам неожиданный сюрприз: оказалось, что «зазеркальный» мир на самом деле отличается от настоящего! Американские физики Ли и Янг изучили радиоактивный распад ядер некоторых атомов, и... обнаружилось, что точной симметрии между правым и левым в законах природы нет! Правда, нарушение зеркальной симметрии оказалось очень слабым – оно проявляется только в так называемых «слабых взаимодействиях» элементарных частиц, но удивительно то, что Природа отказалась всё-таки от точной симметрии!

НЕБЫЛИЦА О ПРИРОДЕ, КОТОРАЯ УЗНАЛА, ЧТО ЕСТЬ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ЛЕВЫМ И ПРАВЫМ

 
Природа не знала, где лево, где право,
И даже не знала, зачем это знать.
Века пролетали в трудах и забавах,
И звёзды рождались и гасли опять.
 
 
Но вот на какой-то далёкой планете
Какие-то физики вдруг завелись.
Они любопытными были как дети,
И вот как с Природой они обошлись:
 
 
Где лево, где право, они разгадали —
Для этого в атом пришлось им залезть.
Всё это Природе потом втолковали,
Причём повторили раз пять или шесть.
 
 
Где лево, где право, теперь она знает,
Но знание это мешает ей спать —
Полночи Природа не спит и решает:
С какой же ноги ей назавтра вставать?
 

ЗА́МОК, КОТОРЫЙ НЕВОЗМОЖНО ОБОЙТИ

Когда Алиса и Белый Кролик сели в лодку, Кролик взялся за вёсла и первым же взмахом обдал Алису брызгами с головы до ног.

– Как же я появлюсь теперь на королевском приёме в мокром платье? – огорчилась она. – Впрочем, до приёма мы, наверное, не доберёмся...

И действительно, хотя Кролик изо всех сил бил вёслами по воде, лодка только крутилась на месте, несмотря на все усилия Алисы, которая пыталась править, сидя в облаке брызг.

– Ты совсем не умеешь править! – упрекнул, наконец, Кролик Алису.

– Давайте поменяемся местами, – сразу же предложила Алиса.

Когда они пересаживались, лодка сильно качнулась. Алису это не испугало – плавать она умела, а её платье всё равно уже стало мокрым от брызг, но Кролик от страха часто-часто застучал зубами. Алису это так рассмешило, что она никак не могла начать грести.

– Мы с-т-т-т-трашно опазды-ды-дываем! – напомнил Кролик.

Алиса налегла на вёсла, и лодка двинулась вперёд. Белый Кролик успокоился и стал править с таким важным видом, будто вёл не лодочку, а корабль. Скоро он увидел что-то впереди и с волнением воскликнул:

– Приём уже начинается!

Теперь Алиса пожалела, что сидела на вёслах: смотреть вперёд ей было очень неудобно, да к тому же она боялась свернуть шею перед королевским приёмом.

– Предстать перед королевой в мокром платье да ещё со свёрнутой шеей совсем некрасиво, – рассудила она. – Что королева обо мне подумает?

Минут через пять лодка пристала к берегу. Алиса и Кролик выскочили и сразу оказались в толпе странных существ: туловище у них было прямоугольным и плоским, а на спине у всех был одинаковый узор.

– Это карты! – догадалась Алиса. – Ведь приём устраивает Королева Червей!

Тут она обнаружила, что Белый Кролик куда-то исчез. Ей захотелось с кем-нибудь познакомиться, и она сделала реверанс Трефовым Королю и Королеве, но они удостоили Алису только коротким кивком. Зато Валет Червей, увидев Алису, снял шляпу и, поклонившись, сделал шляпой широкий жест. В ответ Алиса улыбнулась и решила, что может начать разговор первой.

– Вы не знаете случайно, по какому поводу Королева Червей устраивает сегодня приём? – спросила она так, будто ей каждый день приходится бывать на королевских приёмах.

– По поводу окончания строительства нового королевского за́мка, – ответил Валет и показал на странное сооружение, возвышавшееся на ближайшем холме.

Алисе случалось видеть за́мки – и нарисованные, и даже настоящие, но такого за́мка она не видела никогда! На вершине холма стоял дом, весь окруженный колоннами – Алиса вспомнила, что похожие дома она видела на рисунках в учебнике Древней истории. От дома с колоннами отходили три широкие крепостные стены с прямоугольными зубцами. Эти стены соединяли дом с тремя ещё более загадочными строениями: одно из них напоминало по форме египетскую пирамиду, второе – величественный торт с правильными очертаниями, а третье – огромную круглую чашу, только перевёрнутую. «Пирамида», «торт» и «чаша» тоже были соединены друг с другом крепостными стенами.

Алиса хотела спросить Валета, почему за́мок имеет такой странный вид, но тут зазвучали фанфары. Все замолчали, и в наступившей тишине чей-то голос торжественно произнёс:

– Король и Королева Червей!

Алиса стала на цыпочки, чтобы увидеть Короля и Королеву, но Валет тихо сказал:

– Склони голову, если не хочешь, чтобы Королева приказала отрубить её!

Алиса наклонила голову и исподлобья посмотрела по сторонам: все стояли, низко склонив головы.

– Так вот что имел в виду Ах-Ах, когда говорил, что Королева Червей очень добрая и никогда не приказывает рубить головы! – только сейчас догадалась Алиса. – Ведь его слова надо понимать наоборот! Но неужели Королеве приятней видеть затылки, чем лица?

В это время послышались чёткие шаги.

– Это похоже на строй солдат, а не на Короля и Королеву, – с удивлением подумала Алиса, и голова её поднялась сама собою.

Взгляд Алисы сразу же встретился со взглядом Королевы Червей – она шла под руку с Королём, а за ними строем маршировали младшие карты – от двойки до десятки. Они держали алебарды, и вид у них был довольно устрашающий.

– Ты кто? – спросила Королева резким голосом и остановилась.

Алиса вежливо представилась.

– Это та девочка, о которой нам рассказал Белый Король, – напомнил Король Червей Королеве. – Вы захотели с ней познакомиться и приказали привести её на приём.

– Привести? Меня?! – возмущенно воскликнула Алиса, забыв о всякой осторожности. – Если бы я знала, что меня приказали привести, я бы ни за что не пришла!

Королева гневно сверкнула глазами, но Король коснулся её руки и объяснил Алисе:

– Королева приказала Белому Кролику привести тебя, потому что ты сама не знала дороги.

– Тогда другое дело, – сказала Алиса, удивляясь собственной смелости.

– Дела́ будем слушать на суде, – отрезала Королева. – А сейчас, – громко крикнула она, – мы все идём осматривать новый королевский за́мок!

Король пригласил Алису идти рядом с ним и Королевой, и они направились в сторону нового королевского за́мка. За ними последовали стражники с алебардами, а за стражниками – все гости.

– Почему новый королевский за́мок имеет такой странный вид? – спросила Алиса.

– Мой архитектор – большой чудак! – пожала плечами Королева.

– Он любитель математики, – уточнил Король.

– Но при чём здесь математика? – удивилась Алиса, показывая на диковинные башни за́мка.

– По замыслу архитектора за́мок должен напоминать о тех странах, где зародилась математика, – пояснил Король. – Средняя башня, например, построена в форме древнегреческого храма...

– Понятно, – со знанием дела кивнула Алиса. – В Древней Греции все, наверное, были математиками!

– Почему ты так решила? – удивилась Королева.

– В учебнике математики нарисовано больше древних греков, чем в учебнике истории, – объяснила Алиса.

– В Древней Греции математику действительно уважали, – подтвердил Король. – А своими учителями в математике греки считали египтян, – показал он на «египетскую пирамиду». – Однако ученики намного превзошли своих учителей!

– А торт? – спросила Алиса, показывая на другую башню за́мка.

– Это не торт, – улыбнулся Король. – Это уменьшенная копия знаменитой Вавилонской башни. Древние вавилоняне умели хорошо вычислять – в этом они превзошли даже греков!

– А перевёрнутая чаша? – поинтересовалась Алиса.

– Это копия индийского храма, тоже уменьшенная, – ответил Король. – Индийцы изобрели нуль и все остальные цифры, которыми мы пользуемся.

– А почему о нуле вы говорите отдельно? – удивилась Алиса.

– О, нуль – это самая главная из всех цифр! – воскликнула Королева. – Не будь нулей, нельзя было бы отличить единицу от миллиона!

– И правда, – подумала Алиса. – Единицу в миллион превращают нули! Может быть, ещё и потому Шалтай-Болтай захотел стать нулём?

Тут она вспомнила о стене, идущей вдоль дороги для королевских прогулок, и об отрицательных числах, которые так удивили её. Алиса решила воспользоваться случаем и показать, что она тоже кое-что знает по математике.

– А кто изобрёл отрицательные числа? – спросила она.

– Китайцы, – сразу же ответил Король.

– Но почему ты спрашиваешь об этих числах? – прищурившись, поинтересовалась Королева.

– Отрицательных чисел бесконечно много, – охотно объяснила Алиса. – Вот я и думаю: почему же в вашем новом за́мке нет ничего китайского?

– Это действительно странно, – согласилась Королева. – Придётся отрубить голову моему архитектору!

– Ой! – ужаснулась про себя Алиса. – И зачем я вспомнила об отрицательных числах?

– Вы не обратили внимания на стены за́мка, – сказал Король, обращаясь к Королеве. – Эти стены – уменьшенные копии Великой Китайской стены, и они соединяют каждую башню за́мка со всеми остальными башнями!

– Стены такие широкие, что по ним можно гулять, – заметила Алиса, довольная, что опасность для архитектора миновала.

Войдя в за́мок, гости на время забыли о суровости Королевы и стали с любопытством расхаживать по стенам и заходить в башни.

Алиса тоже пробежала по всем стенам и побывала во всех башнях. За́мок был построен так искусно, что Алисе показалось, будто она и вправду побывала сразу в Греции, Вавилоне, Египте, Индии и Китае!

Притомившись, Алиса остановилась под колоннами «греческого храма»: отсюда было хорошо видно, как по стенам за́мка снуют гости.

– Тебе нравится мой новый за́мок? – раздался вдруг над самым ухом Алисы голос Королевы Червей.

– Очень нравится, – чуть вздрогнув, ответила Алиса.

– Я прикажу, чтобы моему архитектору не рубили голову, – милостиво произнесла Королева.

– За что? – не поняла Алиса.

– За то, что он построил этот за́мок, – сказала Королева.

– За это рубить голову? – поразилась Алиса.

– За это не рубить голову! – воскликнула Королева, начиная сердиться. – Если кто-то хочет, чтобы ему не отрубили голову, он должен заслужить это: ведь голова – это королевская награда!

– Так вот о какой королевской награде говорил Белый Кролик! – вспомнила Алиса, и ей стало немного не по себе.

Вдруг Королева пошатнулась.

– Что с вами, дорогая? – озабоченно спросил Король Червей: он сразу же оказался возле Королевы и поддержал её.

– От всего этого мелькания у меня закружилась голова, – показала Королева на гостей, разгуливающих по стенам. – Прикажите им: пусть ходят по одному и медленно!

– А не станет ли тогда скучно? – усомнился Король.

– Давайте устроим какую-нибудь игру! – предложила Алиса.

– Это прекрасная мысль! – оживилась Королева.

– Вы так любите играть? – спросила Алиса, радуясь изменению настроения Королевы.

– Я люблю выигрывать! – ответила Королева.

– Я тоже люблю выигрывать, – призналась Алиса. – Но ведь на то и игра, что заранее не известно, кто выиграет!

– Мне интересней играть, когда заранее известно, что выиграю я! – заявила Королева.

– Зачем же тогда вообще играть? – удивилась Алиса.

– Я придумал интересную игру, – неожиданно произнёс Король.

– Слушайте Короля! – крикнула Королева, и все замерли.

– Сейчас мы сыграем в новую игру, – объявил Король. – Пусть каждый из вас попробует обойти весь за́мок, но так, чтобы по каждой стене за́мка пройти только один раз!

– Тот, кто это сделает, получит королевскую награду! – пообещала Королева.

Гости почему-то не выразили особого восторга щедростью Королевы, но это не смутило её.

– Иди ты первым! – приказала Королева, указывая на Пикового Валета.

– С какой башни начинать обход? – спросил Валет.

– С любой, – разрешил Король, окинув взглядом весь за́мок.

Валет начал с «египетской пирамиды», прошёл к «вавилонской башне», от неё – к «индийскому храму», а оттуда к «греческому храму» в центре за́мка.

Подойдя к Королю и Королеве Червей, Валет доложил:

– Я обошёл весь за́мок и по каждой стене прошёл только один раз.

– По каждой стене, по которой ты шёл, ты действительно прошёл только один раз, – сказал Король. – Но по условиям игры надо пройти по каждой стене за́мка, а ты прошёл только по трём стенам из шести.

– Значит, идти дальше? – спросил Валет.

– Иди, – отозвался Король. – У тебя даже есть выбор: ты можешь пойти сейчас к «вавилонской башне», а можешь – к «египетской пирамиде».

Валет посмотрел в сторону «вавилонской башни», а затем – в сторону «египетской пирамиды».

– Куда же ему лучше идти? – спросила себя Алиса и мысленно повторила путь, пройденный Валетом. – Если он пойдёт к «вавилонской башне», то выйти из неё он не сможет, потому что все три стены, ведущие к этой башне, будут уже пройдены... значит, он должен идти к «египетской пирамиде»!

Она с волнением следила за Валетом, не зная, как подсказать ему, куда надо идти, но он, кажется, догадался сам, потому что повернул именно в сторону «египетской пирамиды».

От «пирамиды» Валет мог идти только к «индийскому храму». Но тут ему пришлось остановиться: все три стены, идущие от «индийского храма», были им уже пройдены!

– Осталась непройденной всего одна стена за́мка! – огорчился Валет. – Еще чуть-чуть, и я бы выиграл!

– «Чуть-чуть» не считается, – холодно произнесла Королева. – Ты проиграл, а в справедливой игре проигрыш такой же, как выигрыш!

И стражники с алебардами увели несчастного Валета.

– Кажется, игра становится слишком серьёзной, – подумала Алиса. – Вот вырасту сейчас и сдую их всех – ведь это всего-навсего колода карт!

Она уже собралась расти, но в этот момент её руки коснулся Король Червей.

– Валета ты этим не спасёшь, – тихо сказал он.

– Почему? – вздрогнула от неожиданности Алиса.

– Если ты дунешь, мы разлетимся, и все карты перестанут быть живыми, – объяснил Король.

– Так как же тогда спасти Валета? – спросила Алиса.

– Ты должна догадаться сама, – ответил Король. – Кто хочет идти следующим? – обратился он к гостям.

Желающих почему-то не оказалось.

– Неужели никто не хочет выиграть собственную голову? – удивилась Королева. – Раз уж мы начали с одного Валета, пусть сыграют все Валеты! – И она показала на Бубнового Валета.

Бубновый Валет начал с «вавилонской башни» и прежде всего прошёл ту стену, которая осталась непройденной Пиковым Валетом – от «вавилонской башни» к «греческому храму».

Проходя мимо Короля и Королевы Червей, Бубновый Валет поклонился. Королева не ответила ему, а Король кивнул и проследил за ним взглядом: Валет направился в сторону «египетской пирамиды».

– Как ты думаешь, он ещё вернётся сюда? – неожиданно спросил Король Алису.

– Не знаю, – сказала она. – Но почему вы об этом спрашиваете?

Король не ответил, и Алиса стала размышлять над его вопросом.

– Валет прошёл две стены, идущие от «греческого храма», – думала она, – по одной стене он пришёл и по другой ушёл. Но от «греческого храма» отходят три стены – значит, чтобы пройти и третью стену, Валет обязательно должен сюда вернуться!

– Он вернётся сюда! – воскликнула Алиса, обращаясь к Королю. – Если, конечно, ему удастся обойти все стены, – добавила она. – Но тогда, – родилась у неё новая мысль, – Валету придётся здесь и закончить обход – ведь все три стены, идущие от «греческого храма» будут им уже пройдены!

– В том-то и дело, – загадочно отозвался Король и стал снова следить за Бубновым Валетом – он как раз дошёл до «египетской пирамиды» и остановился в раздумье.

– Куда же он сейчас повернёт? – подумала Алиса, и вдруг её осенило.

– Он уже не сможет выиграть! – воскликнула она,

– Почему ты так решила? – удивилась Королева. – Ведь он только начал обход!

– Куда бы он сейчас ни пошёл, две стены, которые отходят от «египетской пирамиды», будут пройдены, – сказала Алиса. – А чтобы пройти третью стену, Валету придётся вернуться в «египетскую пирамиду» и закончить в ней обход!

– Ну и что? – спросила Королева. – Почему бы ему не закончить обход в «египетской пирамиде»?

– Но ведь с «греческим храмом» уже получилось то же самое, – ответила Алиса, – здесь тоже пройдены две стены из трёх. И поэтому получается, что Валет должен закончить обход и в «греческом храме», и в «египетской пирамиде» – но ведь не может же он закончить обход сразу в двух башнях за́мка!

– Это не под силу даже Королю, – согласилась Королева, и стражники увели Бубнового Валета.

В третий раз выбор Королевы пал на Валета Червей.

– А если и он не сможет пройти? – с тревогой за своего нового знакомого подумала Алиса. – Чтобы его спасти, я должна до чего-то догадаться, – вспомнила она слова Короля. – Только вот до чего?

Валет Червей начал обход с «греческого храма» и направился в сторону «индийского храма». Алиса посмотрела вслед Валету, окинула взглядом весь за́мок и... догадалась!

– Обойти этот за́мок так, как предложил Король, вообще невозможно! – воскликнула она.

– Ну, это уж слишком! – возмутилась Королева. – Валет не прошел и одной стены, а ты уже заявляешь, что обойти весь за́мок вообще невозможно! Откуда ты это знаешь?

– В каждой башне за́мка сходятся три стены, – сказала Алиса. – А это значит, что каждая из четырёх башен может быть только либо началом, либо концом обхода!

– Почему? – не поняла Королева.

– Потому что в середине обхода могут быть только башни, в которых сходится чётное число стен, – объяснила Алиса. – Ведь при каждом «заходе» в такую башню надо пройти две стены: по одной стене прийти в башню, а по второй – уйти из башни! Поэтому ни одна из четырёх башен вашего нового за́мка не может быть в середине обхода, и, значит, обойти весь за́мок так, как предложил Король, невозможно! – закончила свое рассуждение Алиса.

Королева, нахмурив лоб, задумалась. Все гости стояли молча и смотрели на нее. Наконец, Королева заговорила.

– Зачем вы придумали такую игру, в которую невозможно выиграть? – с упрёком обратилась она к Королю.

– Почему невозможно? – возразил Король. – Как раз вы-то всё время выигрываете! Вы же любите выигрывать? Теперь вы даже заранее знаете, что выиграете – вы говорили, что тогда вам играть интереснее всего?

– Но теперь и они все знают, что не смогут выиграть! – воскликнула Королева, показывая на гостей.

– Тем лучше, – отозвался Король. – Значит, теперь вы можете выигрывать, даже не играя – разве это не самое интересное?

Гости по-прежнему не сводили глаз с Королевы. Она медленно обвела гостей взглядом и обратилась к Алисе:

– Наверное, ты была права: выигрывать без игры не так интересно... Игра отменяется! – громко объявила она.

Валет Червей благодарно посмотрел на Алису, и она ответила ему кивком.

– Раз игра отменяется, надо помиловать и двух приговорённых Валетов, – сказала Алиса, обращаясь к Королеве.

– Конечно, – поддержал Король Алису. – Если отменяется игра, то отменяются и все проигрыши!

Гости с облегчением вздохнули, но тут Королева сказала:

– Переходим к суду.