Текст книги "Алиса в стране математики"

Автор книги: Лев Генденштейн

НЕБЫЛИЦА О ФАЛЕСЕ ИЗ МИЛЕТА, ЗНАМЕНИТОМ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОМ МУДРЕЦЕ, КОТОРЫЙ ПЕРВЫМ ПРЕДСКАЗАЛ СОЛНЕЧНОЕ ЗАТМЕНИЕ

 
Помнят люди историю эту,
Хоть прошло с той поры много лет.
Шёл однажды Фалес из Милета,
А, быть может, шагал он в Милет.
 
 
Размышлял он о тайнах природы,
О строеньи Земли и небес —
Ведь из всех мудрецов всенародно
Самым мудрым был признан Фалес.
 
 
Предсказал он недавно затменье,
И теперь каждый день его ждал...
Так, задумавшись, он не заметил,
Что в колодец случайно упал.
 
 
– Я слыву мудрецом не напрасно! —
Он вскричал. – Знаю я, почему
Среди дня наше солнце погасло,
И весь мир погрузился во тьму!
 

НАСТОЯЩЕЕ И ВООБРАЖАЕМОЕ

Слова мистера Доджсона о математике не шли из головы у Алисы. На следующий день она попросила у Лорины её учебник математики и удобно устроилась на диване вместе с учебником и кошкой Диной.

– Сейчас мы посмотрим, что это за выдумка без обмана! – сказала Алиса и раскрыла книгу.

Увы – эта книга оказалась не похожей на книгу сказок!

Она вообще не была похожа ни на одну из книг, которые Алиса читала до сих пор.

– Что толку в книге, если буквы в ней не всегда складываются в слова? – удивлённо думала Алиса. – Всё это действительно похоже на выдумку... Но о чём же эта выдумка? Я вижу здесь только числа и фигуры... Впрочем нет, тут есть и портреты! Какие красивые имена: Пифагор, Евклид, Архимед... Здесь написано, что это великие математики... Значит, они и придумали всю эту историю о числах и фигурах? Но как можно проверить, что в этой выдумке нет обмана? Этого я себе даже не представляю!

Алиса посмотрела на Дину и увидела, что та уставилась в книгу немигающими глазами.

– Кажется, ты тоже не всё тут понимаешь, – сказала Алиса. – Однако тут есть и слова... попробуем их прочитать...

Первыми ей попались на глаза слова «параллельные прямые». Слово «параллельные» Алиса прочла только со второй попытки (такое слово стоило запомнить, чтобы при случае удивить им кого-нибудь в разговоре), зато слово «прямые» было совсем простым и понятным! И к тому же Алиса увидела рисунок, под которым была подпись: «параллельные прямые».

– Это же просто линии, похожие на рельсы! – воскликнула Алиса. – Но зачем для таких простых вещей нужны такие непростые слова?

Она стала читать дальше и обнаружила, что простое слово «прямая» не такое уж простое: оказывается, так называется бесконечная прямая линия, то есть прямая линия, у которой нет концов!

Алиса честно попыталась представить себе такую линию: сначала она представила просто длинную прямую линию, потом очень длинную линию, потом очень-очень длинную линию... Концы линии уходили всё дальше и дальше, но они оставались!

Алиса закрыла глаза и представила, что прямая линия пронизывает стены комнаты, выходит за пределы Оксфорда, всей Англии, уходит к звёздам и простирается в обе стороны всё дальше и дальше... дальше самых далёких звёзд... и ещё дальше... У Алисы даже голова закружилась.

– Вот это выдумка! – признала Алиса. – Такой выдумки я не встречала ни в одной сказке...

Ей представилось, что она идёт по прямой дороге, у которой нет конца... идёт, идёт и идёт...

И вдруг её обогнал Белый Кролик – тот самый Белый Кролик, из той самой Страны Чудес, о которой вчера рассказывал мистер Доджсон. На бегу Кролик то и дело вытаскивал часы из жилетного кармана и причитал:

– Боже мой! Боже мой! Как я опаздываю!

– По этой дороге вы никуда не дойдете! – хотела крикнуть ему вслед Алиса и проснулась.

– Когда же я заснула? – удивилась она и вздохнула. – Бедный Кролик! Теперь его никто уже не остановит, и ему придётся бежать вечно...

Стряхнув сон, Алиса захотела посмотреть рисунки – к счастью, их в книге было много. Однако почти все рисунки оказались какими-то безжизненными: прямые линии да кружочки!

– Почему так мало портретов? – удивлялась Алиса, листая учебник. – Неужели это всё математики? Как же они тогда смогли придумать столько книг по математике – целый шкаф? Наверное, дело в другом, – догадалась она, – просто художник только учился рисовать, и ему ещё не разрешали часто рисовать людей!

Алиса вспомнила, что когда она сама училась рисовать, ей тоже задавали сначала рисовать прямые линии и кружочки. Зато потом оказалось, что с их помощью можно нарисовать очень многое! И Алиса решила, что сейчас как раз подходящий случай применить свои знания. Она взяла карандаш и в одном из кружков нарисовала два глаза, нос и рот – страница сразу ожила:

– Вот и стало одним портретом больше! – обрадовалась Алиса. – Только чей же это портрет?

И тут она увидела, что квадрат, нарисованный на той же странице, тихо соскользнул со своего места, подхватил с соседних рисунков чёрточку и два маленьких кружочка и направился к новому портрету – через секунду на Алису уже смотрел человек в шляпе-цилиндре:

– Ты отгадала загадку? – спросил он после некоторого молчания. – Что общего у ворона с конторкой?

– Это Шляпник из Страны Чудес! – догадалась Алиса и начала вежливо объяснять ему, что он перепутал её с другой Алисой – той, что была в Стране Чудес. Но Шляпник молча смотрел на Алису широко раскрытыми глазами, и было непонятно: слышит он её или нет, а если слышит, то понимает ли?

– До свидания, – сказала Алиса Шляпнику, перевернула страницу и вздрогнула: прямо со страницы на неё в упор смотрел огромный глаз!

Под рисунком было написано, что это – окружность, а точка в самой середине – «центр окружности». Чтобы нарисовать окружность, прочитала Алиса, надо поставить одну ножку циркуля в центр окружности, и тогда вторая ножка как раз обежит окружность.

«Взгляд окружности» словно пронизывал Алису, и ей пришла в голову удивительная мысль:

– Может, это не точка, а прямая, которая идет оттуда сюда или... или отсюда туда?

Вдруг Алиса заметила, что бумага внутри окружности стала темнеть, и там начали зажигаться звёзды, как на ночном небе. Алиса подалась вперёд: в голове у неё пронеслось, что такого она ещё никогда не видела!

То ли окружность выросла, то ли Алиса уменьшилась, но в следующее мгновение Алиса оказалась внутри окружности – она стояла на светящейся туго натянутой струне, которая уходила в звёздное небо. Сгорая от любопытства, Алиса побежала по струне.

Пробежав несколько шагов, она остановилась и осмотрелась: со всех сторон её окружало звёздное небо – звёзды были даже внизу! Алиса испугалась, что упадёт, но тут же успокоила себя:

– Даже если я упаду, то не разобьюсь – здесь просто не обо что удариться!

Обернувшись назад, Алиса увидела, что струна, на которой она стоит, выходит из центра большой светящейся окружности.

– Значит, то была действительно не точка, а прямая! – воскликнула Алиса. – И теперь я смогу сама проверить – есть концы у прямой или нет!

Она проследила взглядом вдоль струны в обе стороны – концов струны не было видно.

– Но это ещё не значит, что концов нет, – рассудила Алиса. – Может, они просто очень далеко отсюда?

И Алиса побежала по струне дальше. Бежать было на удивление легко: казалось, ноги её вот-вот оторвутся от струны, и она полетит.

– Да я уже лечу! – поняла вдруг Алиса.

И действительно, обернувшись, она увидела, что светящаяся окружность стремительно удаляется, становясь всё меньше и меньше – через несколько минут она стала такой маленькой, что Алиса совсем перестала её различать.

– Как же теперь узнать, лечу я или не лечу? – забеспокоилась Алиса: взгляд её скользил по струне, и ему не за что было зацепиться!

Алиса с надеждой посмотрела на звёзды, но они были так далеки, что по ним никак нельзя было определить, движется она или нет. К тому же, оглядываясь, она повернулась несколько раз кругом, и поэтому теперь не знала даже, откуда и куда она летела!

– Никогда ещё я не попадала в такое глупое положение! – огорчилась Алиса. – Заблудиться на одной-единственной струне – я бы ни за что не поверила, что такое возможно!

Она посмотрела на безумно далёкие звёзды, и ей стало так жалко себя, что слёзы брызнули у неё из глаз.

– Как бы я хотела, чтобы рядом со мной появился хоть кто-нибудь! – подумала Алиса.

И тут же рядом с ней кто-то появился.

Смахнув слёзы, Алиса увидела огромного кота – причём не целого кота, а только одну голову! Голова улыбалась во весь рот, и при этом было видно очень много зубов.

– Я подойду в качестве «кого-нибудь»? – осведомилась голова.

Алиса кивнула (говорить она не могла!), и кот, не торопясь, стал появляться дальше.

– Это Чеширский Кот из Страны Чудес! – мелькнуло в голове у Алисы. – Так появляться умеет только он!

– Ты угадала, – потягиваясь, произнёс Кот: он уже появился полностью и оказался ростом как раз с Алису.

Для начала беседы Алиса решила задать вопрос, довольно важный для нее:

– Скажите, пожалуйста, куда я попала? Это Страна Чудес?

– Смотря что ты называешь чудесами, – отозвался Кот.

– Чудеса – это то, чего не бывает на самом деле, – сказала Алиса, удивляясь, что Кот не знает таких простых вещей.

– А где же тогда это бывает? – поинтересовался Кот.

– Это бывает только в нашем воображении, – подумав, ответила Алиса.

– В воображении? – переспросил Кот. – Тогда считай, что ты действительно попала в Страну Чудес, потому что всё здесь – одна сплошная выдумка! Правда, довольно большая...

И тут Алису осенила внезапная догадка.

– Эта выдумка – без обмана? – быстро спросила она. В ответ Кот обиженно пожал плечами.

– Значит, я попала в Страну Математики! – воскликнула Алиса.

– Ты опять угадала! – ответил Кот.

– А что-нибудь настоящее тут есть? – поинтересовалась Алиса. – Или всё только воображаемое?

– Разве ты умеешь отделять одно от другого? – удивился Кот.

Алиса внимательно посмотрела на Кота, пытаясь понять: шутит он или говорит серьёзно. Но понять это было довольно трудно, потому что Кот улыбался всё время.

И Алиса продолжила разговор.

– Настоящее можно увидеть, а воображаемое – нельзя, – сказала она.

– Увидеть? – задумчиво повторил Кот. – А ты когда-нибудь видела линию горизонта?

– Много раз, – с готовностью ответила Алиса. – Особенно хорошо эта линия видна на море...

– Значит, по-твоему, линия горизонта – настоящая? – спросил Кот.

– Я этого не говорила, – возразила Алиса.

– Как? – удивился Кот. – Ты же сказала, что видела линию горизонта, и что увидеть можно только настоящее!

Вопросы Кота становились всё труднее!

– Жаль, что здесь нет глобуса или хотя бы мяча, – сказала Алиса. – Я бы показала вам, что такое линия горизонта, и вы бы тогда поняли...

– Лови! – крикнул Кот, бросая Алисе неизвестно откуда взявшийся голубой мяч.

Она поймала мяч и стала объяснять дальше.

– Представьте, что это земной шар, и здесь находится корабль, – прикоснулась Алиса к мячу. – И пусть этот корабль уплывает от нас... – Она повела пальцем по поверхности мяча. – Видите: когда корабль уплывает далеко, он как бы прячется за Землю! Это и означает, что корабль уходит за линию горизонта... Так что, как видите, линия горизонта – это воображаемая линия...

– Вижу? – перебил Кот. – Но ты же говорила, что воображаемое увидеть нельзя!

– Получается, что можно, – признала Алиса.

– То-то же, – сказал Кот. – Настоящее и воображаемое так переплетены друг с другом, что в одном без другого просто не разберёшься! А вот скажи: у мяча линия горизонта – настоящая или воображаемая?

– Но разве у мяча есть линия горизонта? – удивилась Алиса и вдруг заметила, что на голубом мяче начали проступать жёлто-зелёные пятна со знакомыми очертаниями: она держала в руках уже не мяч, а глобус!

Алиса держала глобус, касаясь Северного и Южного полюсов, и в следующее мгновение ощутила жгучий холод: глобус превратился в маленький земной шар! Она отдернула руки, и земной шар медленно поплыл в пространстве.

Когда Алиса пришла в себя от удивления, земной шар был уже далеко.

– Земля и мяч действительно очень похожи друг на друга, – сказала Алиса, провожая взглядом уплывающий мяч-глобус-земной шар.

– Они не просто похожи, – отозвался Кот. – Они подобны друг другу!

– Что это значит? – не поняла Алиса.

– Это значит, что у них одинаковая форма, – ответил Кот.

– А что такое форма? – задала Алиса новый вопрос (она была довольна, что теперь, наконец, спрашивает она!).

– Сейчас ты поймёшь это на собственном примере, – сказал Кот и стал так быстро увеличиваться, что Алиса испугалась.

– Ты стала сейчас в десять раз меньше, – к её удивлению сказал Кот, – но форма твоя осталась прежней.

– По-моему, я осталась такой же, какой была, – возразила Алиса, оправившись от испуга. – А вот вы стали в десять раз больше!

– Нет, – стоял на своем Кот. – Это ты стала меньше! Впрочем, – посмотрел он по сторонам, – здесь мы всё равно не сможем разрешить наш спор.

– Конечно, – согласилась Алиса, тоже посмотрев вокруг. – Ведь здесь мы можем сравнивать себя только друг с другом!

И Кот сразу же уменьшился до размеров Алисы. (Или Алиса увеличилась до размеров Кота? Это осталось загадкой!).

– Кажется, я поняла, что такое форма, – сказала Алиса. – Это то, что сохраняется, когда меняются только размеры!

– Правильно, – подтвердил Кот. – Так вот, скажи: форма – это что-то настоящее или воображаемое?

– Наверное, воображаемое, – ответила Алиса. – Хотя все настоящие предметы обязательно имеют какую-то форму, но ведь самой по себе формы без предмета не существует!

– В том-то и дело, – отозвался Кот. – А ты говорила, что настоящее так просто отделить от воображаемого!

– Теперь я вижу, что это действительно не так просто, – согласилась Алиса.

Она хотела обдумать это получше, но Кот спросил:

– А как ты думаешь: числа – настоящие или воображаемые?

– С помощью чисел считают настоящие предметы, – начала размышлять вслух Алиса, – числа можно увидеть...

– Ты когда-нибудь видела хотя бы одно число? – удивился Кот.

– Я видела много разных чисел! – воскликнула Алиса. – Если бы здесь были карандаш и бумага...

Кот протянул Алисе большой белый лист бумаги и карандаш, и она нарисовала большую красивую пятерку.

– Вот число «пять», – сказала Алиса.

– Я вижу только цифру «пять», – возразил Кот.

– Но разве цифра – это не число? – удивилась Алиса.

– Конечно, нет! – воскликнул Кот. – С помощью цифр только записывают числа, да и то в разные времена разные народы делали это по-разному. Древние египтяне, например, записывали число «пять» так, Кот нарисовал пять палочек:

– А у древних римлян, – продолжал Кот, – для числа «пять» был такой знак:

– Действительно, числа и цифры – это не одно и то же, – признала Алиса, глядя на разные записи числа «пять». – И всё-таки мне трудно поверить, что числа – только воображаемые... Например, пять девочек можно не только вообразить – они могут быть и на самом деле! У меня как раз пять подружек...

– Они приходят к тебе в гости? – поинтересовался Кот.

– Как раз позавчера они приходили на чай, – сказала Алиса.

– И перед каждой из них поставили одну чашку? – спросил Кот.

– Конечно! – удивилась Алиса такому странному вопросу.

– Тогда скажи, – продолжал Кот, – было ли что-нибудь общее у девочек и чашек?

Алиса закрыла глаза и представила стол, за которым сидят пять ее подружек, и перед каждой из них стоит чашка чая – чашек, конечно, тоже было пять...

– Тоже пять! – осенило Алису, и она радостно воскликнула: – Девочек и чашек одинаковое число!

– Правильно! – обрадовался Кот не меньше Алисы. – Число – это и есть то общее, что есть у пяти девочек, пяти чашек, пяти пальцев и даже пяти чувств! Вот и скажи теперь: число – это настоящее или воображаемое?

– Наверное, тоже воображаемое, – признала Алиса. – Но отделить число девочек от самих девочек довольно трудно...

– Трудно, – согласился Кот, – но можно! Как видишь, для того, чтобы по-настоящему разобраться в настоящем, надо иметь хорошее воображение!

Кот сделал знак лапой, и от Алисы к звёздам протянулся ряд светящихся цифр – ими были записаны числа, которые стояли по порядку: 1, 2, 3, 4, 5... Числа выстроились как раз вдоль светящейся струны и уходили вдаль, насколько хватал глаз. Алиса, как зачарованная, смотрела на светящийся ряд чисел: он был очень красив на фоне звёздного неба!

– Вот чудо, с которого начинается вся математика, – торжественно произнёс Кот. – Оно называется «натуральный ряд».

Алиса повернулась к Коту, но обнаружила, что от него осталась одна улыбка. Несколько секунд улыбка Кота ещё витала в пространстве и, наконец, исчезла совсем.

Алиса ступила на струну и пошла вдоль светящихся чисел.

КАК ЛЮДИ УЧИЛИСЬ СЧИТАТЬ

Было время, когда человек уже был человеком, но считать ещё не умел. Точнее, он знал только два числа: «один» и «много». Потом это «много» стало отодвигаться всё дальше и дальше – появились числа «два», «три»... – но это было так медленно, что на каждое новое число уходили столетия, а то и тысячелетия!

Представьте себе: человек уже делал замечательные каменные орудия, западни для диких зверей, шил одежду из шкур – и всё это – проявляя чудеса изобретательности! А вот считать человек не умел. Почему?

Как ни странно, потому, что ему трудно было заметить сходство предметов! Считать ведь можно только предметы, похожие чем-то друг на друга, а первобытному человеку всё казалось различным. Каждый человек из его племени был для него особенным – с каждым его связывали свои особые отношения: ведь всё племя было одной большой семьёй. Каждый зверь, убитый на охоте, тоже был единственным в своем роде – ведь каждая охота запоминалась надолго: она была настолько опасной, что могла стать последней. Вообще мир виделся первобытному человеку намного ярче, чем нам сегодня: даже деревья в лесу не казались ему одинаковыми – глаз его всегда искал, чем отличается одно дерево от другого (иначе легко было заблудиться и погибнуть!).

Однако постепенно человек начинал замечать сходство предметов, а когда люди стали чем-то обмениваться друг с другом, например, менять шкуры зверей на каменные топоры, появилась и потребность в счёте. Самый важный шаг был сделан, когда человек догадался заменить при счёте одни предметы другими, более удобными, потому что они всегда под рукой – например, камешками или раковинами. И когда человек заметил, что у двух шкур и двух камешков есть что-то общее, он сделал одно из величайших изобретений за всю человеческую историю – он изобрёл число!

Со временем человек обнаружил, что удобнее всего пользоваться для счёта предметами, которые находятся на самой его руке, то есть пальцами. Так человек начал считать пятёрками, десятками и двадцатками (в ход шли и пальцы ног!). Счёт десятками сохранился и в нашей десятичной системе счисления. Сохранились и названия некоторых чисел, связанные с первой «вычислительной машиной» – пальцами рук и ног: например, слово «пять» в русском языке происходит от древнеславянского слова «пясть» – рука (вспомните слово «запястье»). А у некоторых племён число «двадцать» называлось «весь человек»!

Этот первобытный человек сделал сейчас великое открытие – он понял, что у двух шкур и двух пальцев есть что то общее!

Записывали числа поначалу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости.

На этой кости тридцать тысяч лет назад сделаны нарезки – они показывают, что уже тогда наши предки умели не только считать, но и записывать результаты счета!

Когда понадобилось записывать большие числа, то для пятёрок или десяток стали придумывать новые знаки. Со временем понадобились знаки для десятка десятков и так далее. Очень наглядной была система таких знаков у древних египтян:

Вот как египтяне записывали, скажем, число 3246:

Несмотря на свою громоздкость, такая запись чисел была довольно удобной. Однако у неё был очень большой недостаток. Хотите знать, какой? Попробуйте умножить или разделить два числа, записанных древнеегипетским способом!

Запись чисел, похожую на египетскую, использовали и древние римляне, только цифры у них были другими, и обозначались ими не только десятки, но и пятерки, например:

Скажем, число 36 римляне записывали так:

Римскими цифрами иногда пользуются и сегодня: например, ими часто нумеруют главы в книгах. Однако вычислять с помощью римских цифр так же неудобно, как и с помощью египетских.

Казалось бы, удобные цифры должны были изобрести древние греки, которые создали математику как науку. Однако вычислениями греки не увлекались, и поэтому ограничились просто тем, что обозначили числа буквами своего алфавита. Так же, буквами, обозначали числа и в Древней Руси.

Те очень удобные числа, которыми мы пользуемся сегодня, изобрели индийцы: они так любили вычислять, что даже писали математические книги в стихах! (Представляете себе, насколько легче было бы выучить таблицу умножения, если бы она была записана стихами?). Индийцы догадались, что значение цифры может зависеть от её места в записи числа – именно благодаря этому оказалось возможным записывать все числа с помощью всего десяти цифр.

Индийские цифры так сильно упростили вычисления, что со временем завоевали весь мир. В Европу эти цифры попали благодаря арабам, поэтому индийские цифры часто называют арабскими.

До этого в Европе пользовались римскими цифрами. О том, насколько трудны были вычисления с этими цифрами, говорят слова одного европейского учёного, который жил около 700 года: «В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее четырёх действий арифметики»!