Текст книги "Алиса в стране математики"

Автор книги: Лев Генденштейн

КАК РЕШАЮТСЯ ЗАДАЧИ БЕЗ РЕШЕНИЙ

Казалось бы, кому могут быть интересны загадки без отгадок, или, говоря языком математиков, задачи, у которых нет решений? Однако именно такие задачи приковывали внимание математиков в течение тысячелетий: эти непокорные задачи были вызовом человеческому уму, и поэтому они интриговали математиков так же сильно, как сыщиков – тайны загадочных преступлений.

Вот история трёх знаменитых задач, пришедших из глубокой древности.

Первая задача называется «квадратура круга»: как построить круг и квадрат одинаковой площади, пользуясь только циркулем и линейкой без делений?

Примерно так выглядят круг и квадрат одинаковой площади – чтобы закрасить их одним и тем же слоем краски, понадобится одинаковое количество краски

Условие задачи кажется настолько простым, что за неё берётся даже тот, кто только начал знакомиться с геометрией, однако решить её не удалось даже величайшим математикам! Правда, Архимед придумал способ, как можно подойти к точному решению сколь угодно близко.

Шли века и тысячелетия, но задача о квадратуре круга оставалась непобедимой. И только в конце XIX века немецкий математик Линдеман нашёл неожиданное решение этой задачи: он строго доказал, что с помощью только циркуля и линейки построить круг и квадрат одинаковой площади невозможно! Это доказательство произвело на математиков такое сильное впечатление, что Линдемана нарекли «победителем задачи о квадратуре круга». Такой титул говорит, что строгое доказательство отсутствия решения математики считают тоже решением: ведь решить задачу – это найти все решения или доказать, что решений нет!

Вторая знаменитая задача называется «удвоение куба». О происхождении этой задачи существует даже легенда.

Однажды на острове Делос в Эгейском море вспыхнула эпидемия чумы. В те времена перед чумой были бессильны даже мудрые греки. Единственное, что они могли сделать – обратиться за помощью к богам. Однако беседовать с богами напрямую мог не каждый древний грек – этим занимались только «оракулы», то есть «предсказатели судеб». И вот оракул, посоветовавшись с богом искусств Аполлоном, объявил, что для спасения от чумы надо удвоить золотой жертвенник Аполлону. Этот жертвенник имел форму куба, и жители Делоса поспешили как можно скорей отлить из золота ещё один такой же куб и поставили его поверх первого.

Однако чума не прекратилась.

– Надо удвоить жертвенник, сохранив его форму, – объяснил оракул. – Новый жертвенник должен быть тоже кубом, но чтобы найти размеры нового куба, Аполлон разрешает вам пользоваться только циркулем и линейкой!

Бедные делосцы, не сумев сами решить эту задачу, обратились к знаменитому философу Платону (он так уважал математику, что над входом в сад, где он, прогуливаясь, занимался со своими учениками, велел начертать: «Пусть не входит сюда не знающий геометрии»). Однако и Платон не смог решить задачу об удвоении куба.

Взялся за эту задачу и другой греческий математик – Архит. Он был не только выдающимся математиком, но и хорошим полководцем, однако даже математик-полководец не смог победить задачу об удвоении куба: хотя он и нашёл очень красивое решение, но оно требовало не только циркуля и линейки. К многочисленным заслугам Архита принадлежит, между прочим, и спасение Платона от рабства – как видите, жизнь древнегреческих учёных была не такой уж безмятежной: им приходилось не только прогуливаться с учениками по садам!

Второй из этих кубов имеет примерно вдвое больший объем, чем первый: если бы это были сосуды для воды, то во второй из них поместилось бы воды вдвое больше, чем в первый

Примерно в то же время (в IV веке до нашей эры) «удвоением куба» занимался ещё один древнегреческий математик – Менехм. О нём существует красивая легенда. Однажды Александр Македонский обратился к Менехму:

– Я хочу изучить всю премудрость греческой науки. Но скажи: нет ли для царей более короткого пути к геометрии?

– К геометрии нет царских путей, – ответил царю учёный. – Для всех – одна дорога!

Эта беседа настолько замечательна, что её приписывают ещё одному царю и ещё одному учёному: царю Птолемею и математику Евклиду, который действительно собрал «всю премудрость греческой науки» в большую книгу, которую он назвал «Начала» (Евклид уже тогда понимал, что это только начало, однако до сих пор в школах всего мира геометрию изучают почти по Евклиду!).

Среди греческих учёных, занимавшихся задачей об удвоении куба, был и Эратосфен, который первым придумал, как «отсеивать» простые числа от составных. Этот способ называется «решето Эратосфена» и используется до сих пор, хотя вычисления проводятся сегодня на электронно-вычислительных машинах. Эратосфен, кстати, был не только превосходным математиком, но и неплохим спортсменом – олимпийским чемпионом по пятиборью! Но и олимпийский чемпион не смог решить задачу об удвоении куба.

Эта задача «дразнила» математиков больше двух тысяч лет, и, наконец, Декарт заподозрил неладное: употребив сам немало сил на безуспешные попытки «удвоения куба», он предположил, что эта «простая» задача вообще не имеет решения. Однако только через два века после Декарта другой французский математик, Ванцель, смог строго доказать, что задача об удвоении куба действительно неразрешима! Как и в задаче о квадратуре круга, безупречное доказательство отсутствия решения и стало настоящим решением задачи.

Третьей знаменитой задачей древности была задача о «трисекции угла»: как с помощью циркуля и линейки разделить любой угол на три равные части? Эта задача продержалась также больше двух тысячелетий и «победил» её тот же самый Ванцель – доказал, что она неразрешима.

Этот угол разделен примерно на три равные части

«Три знаменитые задачи древности» стали знаменитыми не только потому, что каждая из них оказалась крепким орешком: они сослужили добрую службу математике, потому что при попытках их решения рождались новые области этой науки.

А сейчас мы расскажем о задаче, отсутствие решения у которой изменило весь ход развития математики.

Вот эта задача: как измерить точно длину любого отрезка?

Начать, конечно, надо с выбора «единицы измерения», то есть отрезка, длина которого принята за единицу. А потом надо откладывать эту «единицу» вдоль того отрезка, который мы хотим измерить. Если, например, единичный отрезок умещается в нашем отрезке ровно три раза, мы говорим, что длина отрезка равна трём единицам.

А если три «единицы» не умещаются, а двух – мало? Ничего страшного: надо только вспомнить о дробных числах! Разделим нашу «единицу» на равные части и возьмём новую меру – часть единицы. А поскольку единичный отрезок можно делить на любое число равных частей, то, казалось бы, всегда можно найти такую малую долю единицы, которая умещалась бы на нашем отрезке целое число раз.

По крайней мере так казалось древним грекам. Более того, они были в этом совершенно уверены! Ведь они считали, что целые числа лежат в основе всего мироздания – помните слова Пифагора: «число есть начало всех вещей»?

И надо же: случилось так, что именно Пифагор открыл, что это неверно! Из знаменитой теоремы Пифагора, которую изучают сегодня во всех школах, следовал поразительный вывод: если сторону квадрата принять за единицу, то диагональ этого же квадрата измерить точно невозможно, потому что не существует таких долей единицы, которые укладываются на диагонали целое число раз, какими бы малыми ни были эти доли!

Открытие Пифагора заставило учёных задуматься: можно ли делить отрезок на всё меньшие и меньшие части без конца? Через две тысячи лет эти размышления привели к великим открытиям, о которых мы скоро расскажем.

НЕБЫЛИЦА О ПИФАГОРЕ, КОТОРУЮ ТРУДНО ОТЛИЧИТЬ ОТ БЫЛИ

 
Говорят, что Аполлона
Он любимым сыном был,
Что всю мудрость Вавилона
Он познал, когда там жил,
 
 
Что он слышал, как планеты
Песнь поют в тиши ночей,
Что учил он: числа – это
Есть начало всех вещей,
 
 
Что медведицу словами
Мог он перевоспитать,
Мог беседовать с быками,
Сны надёжно толковать,
 
 
Что в пещере целый месяц
Он совсем один прожил,
Что любил число он десять,
А семнадцать – не любил,
 
 
Что остановить он речью
Мог разбег морских валов,
Что река ему навстречу
Поднялась из берегов...
 
 
Где тут быль, где небылица —
Неизвестно до сих пор.
Но в преданьях говорится,
Что таков был Пифагор.
 

КАК СЪЕСТЬ ЦЕЛЫЙ ТОРТ?

Шляпник сразу же стал вытаскивать блюдо с тортом из-под Сони. Однако Заяц вцепился в блюдо с другой стороны и стал тянуть в противоположную сторону. Блюдо рывками ездило по столу туда-сюда, и всё это время Соня сквозь сон быстро ел торт. Наблюдая эту сцену, Алиса смеялась до слёз.

Когда Шляпнику удалось, наконец, вырвать блюдо, оно было таким чистым, будто на нём никогда и не бывало шоколадного торта! Зато Соня был весь в шоколаде и сладко облизывался, продолжая спать.

Шляпник посмотрел на пустое блюдо и увидел в нём себя – полированное блюдо отражало, как зеркало!

– Привет, дружище! – приподняв цилиндр, обратился Шляпник к своему отражению, и оно ответило ему тем же. – Теперь ты застрял тут надолго – может быть, навсегда: похоже, что шесть часов так и не наступят...

– Мне кажется, шесть часов тут ни при чём, – вмешалась Алиса в разговор Шляпника с его отражением. – Ведь для того, чтобы наступил любой момент времени, должны пройти все предыдущие моменты, а их бесконечно много...

– В том-то и дело! – подхватил Шляпник. – В одной только секунде и то бесконечно много моментов! Как же они все могут пройти?

– Но время всё-таки идёт... – попыталась возразить Алиса.

– Оно стоит! – вскричал Шляпник, показывая на часы. – Разве ты не видишь, что оно стоит?

– А Соне всё-таки достался целый торт одному! – в наступившей тишине заметил Заяц.

– Как ты можешь думать о каком-то торте, когда время остановилось! – упрекнул его Шляпник.

И тут у Алисы родилась удивительная мысль.

– Если бы время остановилось из-за того, что в любом промежутке бесконечно много моментов, Соня не смог бы съесть весь торт! – воскликнула она.

– Ты шутишь? – печально спросил Шляпник. – При чём здесь торт?!

– Когда Соня ел торт, – начала объяснять Алиса, – он должен был сначала съесть половину торта, потом половину оставшейся половины, потом – половину половины половины... и у него всегда должно было что-то оставаться – ведь делить пополам можно без конца!

– Это и правда похоже чем-то на последний момент! – оживился Шляпник.

– Но Соня съел торт до конца! – напомнил Заяц, показывая на сверкающее блюдо.

– До конца... – задумчиво подтвердил Шляпник и посмотрел на блюдо с обеих сторон. – Как же у него это получилось? – спросил он у своего отражения, но оно ответило ему тем же вопросом. – Послушай! – толкнул он Соню. – Как ты ухитрился съесть весь торт?

Соня приоткрыл один глаз, но ничего не ответил.

Тогда Заяц взял чайную ложку, обмакнул её в вазочку с вареньем и начал старательно писать что-то вареньем на скатерти. Он писал в одну строку, и эта строка становилась всё длиннее и длиннее.

Какое-то время Шляпник молча наблюдал за Зайцем, но, наконец, не выдержал:

– Что ты делаешь? – крикнул он. – Это же последнее варенье!

Но Заяц был так увлечён, что ничего не слышал: он встал со своего места, взял вазочку с вареньем и, продолжая писать, пошёл вдоль стола. Время от времени он поднимал голову и, шевеля губами, что-то считал.

Алиса подошла к Зайцу и увидела, что он написал:

– Что это вы складываете? – спросила Алиса.

– Я хочу узнать, сколько Соня съел, – объяснил Заяц, не отрываясь от писания. – Он съел половину торта, потом еще четверть, потом одну восьмую, потом – одну шестнадцатую...

– Так записываются дробные числа! – догадалась Алиса. – Но ведь вы же никогда не допишете эту сумму до конца! – воскликнула она. – У этой суммы нет конца, потому что делить пополам можно без конца!

– А как же тогда Соня съел торт до конца? – недоверчиво спросил Заяц.

– Соня съедал каждую следующую часть вдвое быстрее, – подумав, сказала Алиса, – потому что каждая следующая часть вдвое меньше, чем предыдущая!

– А я, наоборот, на каждое новое слагаемое трачу всё больше и больше времени, – вздохнул Заяц, утирая лапкой пот со лба. – Ведь в числителе каждой дроби единица, а знаменатели становятся всё больше и больше...

– Поразительно! – воскликнул Шляпник, тоже подойдя к Зайцу. – Чем меньше число, тем дольше приходится его писать – я бы никогда в это не поверил!

И тут Алису осенило.

– Дальше можно не писать! – воскликнула она. – Я знаю, чему равна вся эта сумма!

– Ты хочешь сказать, что сложила в уме бесконечно много слагаемых? – удивился Шляпник. – Выписать их нельзя, а сложить в уме можно?!

– Бесконечно много слагаемых только в уме и можно сложить, – ответила Алиса. – Ни на какой бумаге они просто не поместятся. И даже на скатерти, – добавила она, посмотрев на Зайца.

– И чему же, по-твоему, равна эта сумма? – поинтересовался Шляпник.

– Единице, – сказала Алиса. – Она равна в точности единице, потому что Соня съел как раз один торт!

– Но торт был довольно большой, – заметил Заяц.

– Величина торта не имеет значения, – сказала Алиса.

– Теперь, конечно, не имеет, – огорченно вздохнул Заяц. – Ведь торт уже съеден...

– И совсем не поэтому! – начала сердиться Алиса. – Вы же сами приняли весь торт за единицу, когда выписывали эту сумму! Вот, например, одна восьмая – это же одна восьмая всего торта, правильно?

– Правильно! – подтвердил Заяц. – Я писал правильно, даже не понимая, что пишу! – с радостным удивлением повернулся он к Шляпнику.

– Это действительно странно, – отозвался Шляпник. – Ведь обычно ты не понимаешь того, что говоришь.

Заяц аккуратно обмакнул ложечку в варенье и стал писать новые слагаемые: он решил продолжать правильное дело, даже если у него нет конца.

– И всё-таки я не понимаю, как сумма бесконечного числа слагаемых может быть равна единице! – немного помолчав, сказал Шляпник.

– Мне кажется, дело в том, что новые слагаемые становятся всё меньше и меньше, и поэтому с каждым новым слагаемым сумма увеличивается всё медленнее и медленнее... – начала рассуждать вслух Алиса.

– Но увеличивается! – перебил её Шляпник. – С каждым новым слагаемым сумма всё-таки увеличивается! Как же она может не перерасти в конце концов какую-то несчастную единицу?

Это действительно казалось странным, и Алиса задумалась. Она вытащила из кармана карандаш – тот самый, который дал ей Чеширский Кот в межзвёздном пространстве, и нарисовала на скатерти отрезок:

– Представьте себе, что это весь торт, который мы приняли за единицу, – сказала Алиса.

Шляпник нагнулся к столу и внимательно посмотрел на линию, нарисованную на скатерти.

– Представил, – сказал он, наконец.

– А теперь разделим отрезок пополам, – предложила Алиса и поставила точку посредине отрезка:

– Если весь отрезок – единица, то его половина – одна вторая, – сказала Алиса и написала эту дробь под левой половиной отрезка:

– Теперь правую половину снова разделим пополам, – продолжила Алиса и поставила ещё одну точку:

– Каждая из новых частей будет равна одной четвертой, – заметил Шляпник.

– Конечно, – кивнула Алиса и написала ещё одну дробь:

– Самую правую четверть можно опять разделить пополам! – воскликнул Шляпник. – Кажется, я начинаю понимать, к чему ты ведешь... – Он взял у Алисы карандаш, отметил на отрезке ещё одну точку и написал ещё одну дробь:

– Самый правый кусок можно делить пополам снова и снова! – возбужденно продолжал Шляпник, ставя все новые и новые точки и подписывая под ними дроби – каждую новую дробь в два раза меньше предыдущей. – Получаются одна шестнадцатая, одна тридцать вторая, одна шестьдесят четвёртая... как раз те слагаемые, которые написал Заяц! И этих слагаемых будет бесконечно много!

– Но сумма всех этих слагаемых равна в точности единице! – воскликнула Алиса, показывая на рисунок. – Ведь это как раз длина всего отрезка!

– Ты права! – восхищенно произнёс Шляпник, разглядывая рисунок. – Теперь это даже видно!

Алиса была очень довольна: она сама не ожидала, что её доказательство окажется таким наглядным! А присмотревшись к рисунку, она заметила и кое-что ещё!

– Смотрите, – сказала она, – каждая следующая точка правее предыдущей, но все они левее конца отрезка! А последней точки перед концом вообще нет! Так же, как и нет последнего момента перед шестью часами...

– Но до конца отрезка всё-таки можно дойти! – воскликнул Шляпник. – Ведь смогла же ты провести эту линию... – он перевёл взгляд на застывшие стрелки часов, и тут в его взгляде родилась какая-то мысль.

Он схватил первое, что попалось ему под руку – это был Соня – и запустил в часы. Соня на лету развернулся и ловко ухватился за цепь, на которой висели часы – при этом он даже не проснулся!

Часы качнулись и... начали бить!

Алиса и Шляпник, как зачарованные, смотрели и слушали – смотрели, как раскачиваются часы со спящим Соней, и слушали, как они бьют. Заяц тоже оторвался от своей бесконечной писанины и, поражённый, уставился на часы.

Часы звучно пробили шесть раз, и в наступившей тишине стало слышно, что хрипение прекратилось, зато часы начали тикать! Скоро стало не только слышно, но и видно, что часы идут: большая стрелка сдвинулась и пошла по своему привычному кругу.

Минут через десять Алиса вежливо сказала:

– Наверное, я пойду...

Никто не ответил ей: Шляпник и Заяц замерли в неподвижности, слушая тиканье часов, как волшебную музыку, а Соня по-прежнему спал.

Алиса взяла блюдо (это был королевский подарок, и к тому же она любила посмотреться в зеркало!) и направилась к воротам. Выходя, она обернулась.

– Теперь тут всё стало наоборот, – подумала она. – Часы пошли, зато Шляпник и Заяц застыли как вкопанные!

Знакомой тропинкой Алиса пошла через поле и скоро увидела, что впереди на тропинке кто-то сидит.

– Это зверь или птица? – спросила себя Алиса. – Кажется, похоже и на то и на другое...

Подойдя ближе, она поняла, что это Грифон: голова и крылья у него были орлиные, а туловище – как у льва. Алиса хотела поздороваться с Грифоном, но он заговорил первым.

– Она ушла, – сообщил Грифон печальным голосом.

– Кто? – не поняла Алиса.

– Будто, – ответил Грифон.

– Будто ушла? – совсем запуталась Алиса. – А на самом деле не ушла? Но о ком это вы?

Она проследила за взглядом Грифона и увидела, что впереди по тропинке ползёт большая черепаха с телячьей головой и копытами. Черепаха уползала всё дальше и дальше.

– Так это Черепаха Будто! – догадалась Алиса**
  Некоторые думают, что из Черепахи Будто готовят «будто черепаховый суп», но Алиса знала, что на самом деле такой суп готовят из телятины, а Черепаху Будто никто не обижает!


[Закрыть]. – Вы с ней поссорились?

– Что ты! – горячо запротестовал Грифон. – Мы никогда не ссоримся!

– Так почему же она ушла? – удивилась Алиса.

– Не знаю, – сокрушенно ответил Грифон. – Я заснул на солнышке, а она ушла!

– Она, наверное, думает, что вы её догоните, – предположила Алиса. – Она ползёт медленно, а вы ведь бегаете быстро?

– Очень быстро! – глотая слёзы, подтвердил Грифон. – Но догнать её я всё равно не смогу...

– Почему? – удивилась Алиса.

– Пока я добегу до того места, где она сейчас находится, она уползёт ещё дальше! – воскликнул Грифон.

– Бегите и вы дальше! – посоветовала Алиса.

– Но пока я добегу до её нового положения, она опять отползёт, – возразил Грифон.

– Но раз вы бежите быстрее, чем она ползёт, в конце концов вы догоните её! – воскликнула Алиса.

– В том то и дело, что конца не будет, – горестно вздохнул Грифон, – каждый раз, когда я буду добегать до её нового положения, она будет отползать ещё дальше...

– Но расстояние между вами будет всё время уменьшаться! – сказала Алиса.

– Будет, – согласился Грифон. – Оно будет становиться всё меньше и меньше... но равным нулю оно не станет никогда! – и он разрыдался.

Эта душераздирающая сцена напомнила Алисе что-то очень знакомое, но тут она увидела, что по тропинке со стороны дома Мартовского Зайца бежит Белый Кролик. Скоро послышались и его причитания:

– Как я опаздываю! Боже мой, как я опаздываю! Пробегая мимо Алисы и Грифона, Белый Кролик на бегу бросил:

– На суде быть всем обязательно!

– На каком суде? – вдогонку ему крикнула Алиса, но Кролик не обернулся.

– Не волнуйся, на суд тебя приведут, – успокоил Грифон Алису.

– А за что меня будут судить? – встревожилась Алиса.

– Судить, наверное, будут не тебя, – отозвался Грифон и посмотрел в ту сторону, откуда прибежал Белый Кролик. Потом он повернул голову и увидел, что Белый Кролик догнал Черепаху Будто, перебросился с ней несколькими словами и побежал вперёд.

– Он догнал её! И перегнал! – вскричал Грифон. – Значит, это возможно!

Меньше чем за минуту он догнал Черепаху Будто и чинно пошёл с ней рядом.

– Они тут все немного странные, – подумала Алиса. – Но в чём же была ошибка Грифона?

Размышляя об этом, она пошла дальше, надеясь догнать Грифона и Черепаху Будто – она-то знала, что это возможно! Но догнать их Алисе не удалось: через несколько шагов она подошла к развилке и остановилась, чтобы прочитать, что написано на столбе. К столбу были прибиты две стрелки, но обе они указывали в одну сторону – не в ту, куда пошли Черепаха Будто и Грифон. На одной стрелке было написано «ХА-ХА», а на другой «АХ-АХ».

– Грифона и Черепаху Будто я ещё встречу на суде, – подумала Алиса, – а вот кто такие Ха-Ха и Ах-Ах, не мешало бы узнать!

И она пошла по тропинке, на которую указывали стрелки.