Текст книги "Алиса в стране математики"

Автор книги: Лев Генденштейн

НЕБЫЛИЦА О ТОМ, КАК ЛЕЙБНИЦ И БУЛЬ ИЗОБРЕЛИ ЯЗЫК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

 
Однажды заспорили Лейбниц и Буль —
Был жарким тот спор небывало!
К тому же учтите: был знойный июль,
И солнце в зените стояло.
 
 
Обоих манила прохладой вода,
Но спор всё сильней разгорался.
И Лейбница вдруг осенило тогда —
Он вот до чего догадался:
 
 
– Слова надо знаками нам заменять —
Ведь мы математики оба.
Мы истину сможем тогда вычислять!
А Буль отвечал: – Хорошо бы!
 
 
Пришлось им придумать особый язык,
Для поиска истин удобный —
Они превратили песок в черновик,
И все записали подробно.
 
 
Им истина сразу же стала видна,
Лишь только на запись взглянули!
Буль первым нырнул. Уж светила луна.
А Лейбниц нырнул вслед за Булем.
 

СЛИШКОМ СТРАШНАЯ ИСТОРИЯ

Алиса шла вдоль берега озера и радовалась, что суматоха королевского приёма и бестолковый суд остались позади: ей хотелось побыть одной и отдохнуть от всяких головоломок. Напевая песенку, она побежала вприпрыжку.

– Скорей бы попасть на бал! – крутилось у неё в голове. – Ой, а не разучилась ли я танцевать? Надо проверить... начнём с кадрили!

И Алиса начала выделывать танцевальные фигуры, старательно повторяя те, которые получались не очень хорошо. Так, танцуя, она двигалась вперёд, глядя на свои ноги, и не заметила, что дорога повернула в лес. Лес становился всё гуще, и, наконец, стемнело так, что Алиса с удивлением подняла голову – лучи солнца с трудом пробивались сквозь листву!

– Когда в лесу темнеет, это обычно из-за того, что прилетает дракон, – вспомнила Алиса слова Эдит и на всякий случай внимательно посмотрела по сторонам.

Дракона она не увидела, но зато ей показалось, что на неё кто-то смотрит.

– Меня, наверное, приняли за сумасшедшую, – с досадой подумала Алиса. – Разве тот, кто в своём уме, станет танцевать кадриль в лесу?

И тут она заметила, что над грибом, возле которого она стояла, поднялись клубы дыма. Гриб был ростом с Алису (точнее, она была ростом с гриб: ведь она так и осталась маленькой!), и поэтому Алисе не было видно, откуда идёт дым.

– Может, там сидит дракон? – встревожилась она. – Маленький, но огнедышащий!

Алиса поднялась на цыпочки и... глаза её встретились с круглыми глазами дракона, который пустил струю дыма прямо в лицо Алисе! Она в ужасе отпрянула и спряталась за ближайшее дерево.

– Первым делом надо вырасти! – подумала Алиса, и всё вокруг сразу же уменьшилось.

Выглянув из-за дерева, Алиса увидела, что на шляпке гриба сидит Синяя Гусеница и преспокойно курит кальян. Алисе стало стыдно, что она приняла Гусеницу за дракона, и она вышла из-за дерева.

– Ты кто? – спросила Гусеница ленивым голосом.

– Алиса, – ответила Алиса, довольная, что разговор начался.

– Значит, вот они какие – Алисы... – задумчиво произнесла Гусеница, разглядывая Алису с головы до ног. – Скажи, а все Алисы такие – двуногие, танцующие, пугливые, быстрорастущие и с бантом?

– Алиса – это моё имя, – пояснила Алиса. – Я – девочка, а зовут меня Алисой.

– Ты хочешь сказать, что ты принадлежишь множеству девочек и множеству тех, кого зовут Алисами? – спросила Гусеница.

– Я не уверена, что хотела сказать именно это, – призналась Алиса. – Честно говоря, я даже не знала, что принадлежу каким-то множествам!

– Все принадлежат каким-то множествам, – отозвалась Гусеница, пуская новые клубы дыма.

– И вы тоже? – спросила Алиса.

– И я, – подтвердила Гусеница. – Я принадлежу множеству гусениц и множеству тех, кто живёт в этом лесу... Кстати, есть и такие множества, которым мы с тобой принадлежим вместе!

– Мы с вами? – поразилась Алиса. – Но у нас же нет ничего общего!

– Так уж и ничего? – спросила Гусеница, и Алисе показалось, что та на неё немного обиделась.

– Есть, есть общее! – спохватилась Алиса (ей совсем не хотелось обижать Гусеницу). – У нас обеих есть глаза, мы обе умеем разговаривать, и ещё...

– ... и ещё много чего общего, – согласилась Гусеница, хотя нотки обиды всё ещё сквозили в её голосе.

– Значит, мы с вами вместе принадлежим множеству тех, у кого есть глаза, и множеству тех, кто умеет разговаривать? – спросила Алиса.

– Конечно, – сказала Гусеница. – Но даже если бы у нас с тобой не было совсем ничего общего, всё равно мы принадлежали бы каким-то множествам вместе!

– Каким же? – удивилась Алиса.

– Например, множеству, которое состоит из тебя и меня, – ответила Гусеница.

– Но разве может множество состоять всего из двоих? – спросила Алиса.

– Множество может состоять даже из одного элемента, – отозвалась Гусеница. – Например, ты – единственный элемент множества, которое состоит из одной тебя!

– Я не элемент, а девочка! – обиделась на этот раз Алиса.

– Элементами называют то, из чего состоят множества, – пояснила Гусеница. – Ты – элемент множества девочек, и ещё множества тех, кого зовут Алисой, и ещё... – Гусеница внимательно посмотрела на Алису, – ...множества тех, у кого есть карманы. В это множество, кстати, ты входишь вместе с кенгуру...

– Но я не хочу быть в одном множестве с кенгуру! – перебила Алиса.

– Ты в одном множестве даже с лягушками, – невозмутимо отозвалась Гусеница. – Это, например, множество тех, у кого есть голова...

– Но тогда получается, что я вхожу в любое множество, – рассудила Алиса.

– Не в любое, – сказала Гусеница. – Ты не входишь, например, в множество лягушек...

– Вы же сами только что сказали, что я с ними в одном множестве! – перебила Алиса.

– Даже не в одном, – попыхивая кальяном, произнесла Гусеница. – Ты вместе с лягушками входишь в много разных множеств. Но в само множество лягушек ты не входишь!

– Почему? – спросила Алиса, совсем сбитая с толку.

– Потому что ты не лягушка, – спокойно ответила Гусеница и снова внимательно посмотрела на Алису.

Бедная Алиса даже не могла придумать, как продолжить этот разговор!

– Ещё ты не входишь в множество тех, кто знает всё! – после недолгого молчания глубокомысленно изрекла Гусеница.

– Но разве кто-нибудь знает всё? – удивилась Алиса.

– Никто! – коротко ответила Гусеница.

– Значит, множества тех, кто знает всё, просто не существует, – сказала Алиса.

– Оно существует, – возразила Гусеница и, помолчав, добавила: – Но это множество пустое.

– Что это значит? – не поняла Алиса.

– Это значит, что в нём нет ни одного элемента, – ответила Гусеница.

– Зачем же нужно такое множество, в котором ничего нет? – удивилась Алиса.

– Без него нельзя было бы, например, умножать одни множества на другие, – спокойно произнесла Гусеница.

– Умножать множества? – воскликнула Алиса. – Но разве это числа?

– Множества не числа, – отозвалась Гусеница. – Поэтому и умножают их иначе. Мы с тобой, кстати, с этого начали!

– Я этого не заметила, – призналась Алиса.

– Ты сказала, что ты девочка, которую зовут Алисой, – напомнила Гусеница. – Так вот: если умножить множество всех девочек на множество всех Алис, то получится множество всех девочек, которых зовут Алисами...

– Я поняла! – воскликнула Алиса. – А если умножить множество всех кошек на множество всех жителей Оксфорда, то получится множество всех кошек, которые живут в Оксфорде, правильно?

– Мне никогда не приходилось бывать в Оксфорде, и я никогда не видела кошек, – сказала Гусеница, – но всё равно я могу подтвердить, что ты права!

– По одной из этих кошек я уже, кажется, соскучилась, – призналась Алиса.

– А что едят кошки? – поинтересовалась Гусеница.

– Гусениц они не трогают, – успокоила её Алиса. – Но я так и не поняла, зачем для умножения множеств нужно пустое множество?

– Попробуй умножить множество всех тигров на множество всех лягушек, – предложила Гусеница..

– Получится... получится множество всех тигров, которые являются лягушками... Но ведь таких нет! – воскликнула Алиса.

– Это и значит, что множество тигров-лягушек – пустое множество, – с довольным видом сказала Гусеница.

– Пустое множество похоже на нуль, – заметила Алиса. – Ведь нуль – это тоже ничто!

– Похоже, – согласилась Гусеница. – Но всё-таки пустое множество – это не нуль.

– Чем же отличается пустое множество от нуля? – заинтересовалась Алиса.

– Скажи – когда при умножении двух чисел получается нуль? – спросила Гусеница.

– Когда хотя бы одно из этих двух чисел равно нулю! – подумав, ответила Алиса.

– Правильно, – подтвердила Гусеница. – А вот для множеств это не так: можно перемножить два непустых множества и получить пустое множество!

– Конечно, – тут же согласилась Алиса. – Например, наши тигры-лягушки!

– Множества можно не только умножать, – сказала гусеница. – Их можно ещё складывать и вычитать.

– А как это делается? – спросила Алиса. – Нет, я лучше попробую сама! Если множество всех девочек сложить с множеством всех мальчиков, то получится множество всех детей, правильно?

– Я никогда не видела мальчиков, – произнесла Гусеница, – и не знаю, что такое дети. Но если дети состоят только из мальчиков и девочек, то ты права.

– Кажется, я догадываюсь, и как вычитать множества, – сказала Алиса. – Если из множества всех детей вычесть множество всех мальчиков, получится множество всех девочек, правильно?

– Правильно, – подтвердила Гусеница. – А теперь попробуй наоборот: вычти из множества всех девочек множество всех детей – что получится?

– Получится... – задумалась Алиса, – получится пустое множество – ведь нет таких девочек, которые не были бы детьми!

– Как видишь, пустое множество нужно не только для умножения множеств, но и для вычитания, – сказала Гусеница.

– Я вижу, что вычитаются множества тоже не так, как числа, – заметила Алиса. – Для чисел нуль получается только тогда, когда мы вычитаем из числа такое же число!

– Складываются множества тоже не так, как числа, – сказала Гусеница. – Если, например, к числу пять прибавить какое-то число, может получиться снова пять?

– Конечно, нет! – ответила Алиса.

– А если мы прибавим нуль? – прищурившись, спросила Гусеница и выпустила ровно пять клубов дыма.

– Про нуль я забыла, – призналась Алиса. – Но ведь и с множествами так же: если к любому множеству прибавить пустое множество, получится снова то же самое множество!

– Конечно, – согласилась Гусеница. – А как ты думаешь, что получится, если к множеству всех насекомых прибавить множество всех гусениц?

– Получится... получится снова множество всех насекомых! – воскликнула Алиса. – Ведь все гусеницы – насекомые!

– Но разве множество всех гусениц – пустое? – спросила Гусеница. – Ты же сама видишь, что хотя бы одна гусеница существует!

– Я поняла, – сказала Алиса. – К множеству можно прибавить непустое множество, но получить то же самое множество! Значит, множества действительно складываются не так, как числа...

Беседа становилась всё более интересной, но тут Алиса вспомнила, что она может опоздать на бал.

– Извините, – вежливо сказала она, – но я спешу на бал. А вы хотите попасть на бал? Я могу вас пригласить.

– Что мне там делать? – отозвалась Гусеница. – Ведь я не принадлежу множеству тех, кто умеет танцевать!

Сказав это, она сползла с гриба и тут же скрылась в траве.

– Вы так быстро ползаете, что вполне могли бы танцевать медленные танцы! – крикнула Алиса вслед Гусенице, но та не ответила.

Алиса побежала дальше. Постепенно лес начал редеть, и вскоре она выбежала на опушку.

Впереди у самой дороги Алиса увидела маленький домик. Из него доносились какие-то странные звуки – казалось, будто в домике кто-то прыгает по клавишам рояля. Это очень заинтересовало Алису; она подошла к двери домика и увидела медную табличку с надписью «Герцогиня».

– Неужели герцогини так играют на роялях? – удивилась Алиса. – Интересно, как они выглядят? Королей и королев я уже видела, а вот герцогини как-то не попадались!

Алисе очень хотелось зайти к Герцогине, но она боялась, что опоздает на бал. И вдруг она расслышала в домике детский плач: бедный ребёнок пытался перекричать рояль! Алиса открыла дверь и застыла на пороге как вкопанная.

Почти всю комнату занимал огромный рояль. По его клавишам носился галопом Чеширский Кот, аккомпанируя сам себе. На крышке рояля сидела Герцогиня и в такт музыке высоко подбрасывала Младенца, который извивался и визжал в полёте.

– Что вы делаете? – вскричала Алиса, пытаясь перекричать музыку и Младенца.

– Мы его укачиваем, – объяснил Кот, не прерывая своего дикого танца.

– Разве так укачивают? – воскликнула Алиса. – Он сейчас разорвётся от плача!

– Он не плачет, а хохочет, – возразила Герцогиня. И действительно, присмотревшись, Алиса поняла, что Младенец корчится от смеха: всё происходящее ему очень нравилось!

– Всё равно так не укачивают, – сказала Алиса, входя в домик и немного успокаиваясь. – Вы его только разыгрываете!

– Нахохочется – спать будет крепче! – отозвался Кот. – А мы сможем пойти с тобой на бал.

– Хватит меня укачивать, – заявил вдруг Младенец. – Расскажите лучше страшную историю!

– Кто же перед сном слушает страшные истории? – удивилась Алиса.

– Нестрашные истории слушать неинтересно, – ответил Младенец, устраиваясь поудобнее на руках у Герцогини.

– Смени музыку! – попросила Кота Герцогиня.

Кот перешел на левую часть клавиатуры, где были низкие ноты, и стал тяжело топать. Раздались такие жуткие звуки, что у Алисы мурашки по коже побежали. А когда Кот начал ещё и завывать, она не выдержала и попросила:

– Хватит! Страшнее некуда!

– У тебя, наверное, нервы не в порядке, – заметил Младенец, с сожалением глядя на Алису. – Начинайте историю! – потребовал он у Герцогини.

– Во время ужасного шторма на корабль напали пираты... – начала Герцогиня.

– Начало неплохое, – похвалил Младенец. – А на этом корабле были тоже пираты?

– Одни пираты, – ответила Герцогиня.

– Вот это да! – восхищенно воскликнул Младенец. – Пираты напали на пиратов! Началась, конечно, страшная драка?

– Ещё бы! – с жаром подтвердила Герцогиня. – В этой драке шестьдесят три пирата потеряли левый глаз и пятьдесят семь – правый!

– А сколько всего пиратов было на обоих кораблях? – деловито осведомился Младенец.

– Сто, – ответила Герцогиня.

– Тогда это слишком страшная история! – вскричал Младенец так громко, что Герцогиня испугалась.

– Почему ты так решил? – спросила она, оправившись от испуга.

– Скажите сначала, все сто пиратов пострадали или не все? – поинтересовался Младенец.

– Все, – сокрушенно произнесла Герцогиня. – Драка была просто ужасная!

– А вначале у каждого пирата было по два глаза? – спросил Младенец.

– Да, – ответила Герцогиня.

– Тоже мне пираты! – пренебрежительно отозвался Младенец. – Так вот: получается, что после вашей драки двадцать пиратов остались без обоих глаз! Подумайте только – что будут делать двадцать слепых пиратов?! Пиратством они жить уже не смогут, а ничего больше они делать не умеют!

– А если бы пострадали не все пираты? – осторожно спросила Герцогиня.

– Было бы ещё страшнее! – воскликнул Младенец. – Если бы, например, пострадало только семьдесят пиратов, то пятьдесят из них стали бы слепыми! Это уже был бы не страх, а ужас какой-то!

Младенец так разошёлся, что соскочил с рук Герцогини и забегал по крышке рояля.

– А ты правильно подсчитал? – спросила Алиса у Младенца.

– Что же тут считать? – не переставая бегать, пожал плечами Младенец. – Надо всего-навсего перемножить два множества!

– Каких? – удивилась Алиса.

– Множество пиратов, потерявших левый глаз, надо умножить на множество пиратов, потерявших правый глаз! – ответил Младенец. – Вот и получится множество пиратов, потерявших оба глаза!

– Какой способный ребёнок! – подумала Алиса.

– Придётся вам сочинить другую историю, – серьёзно сказал Младенец, останавливаясь перед Герцогиней. – Страшную, но в меру!

– Идите на бал без меня, – вздохнув, обратилась Герцогиня к Коту и Алисе.

– Она придёт позже, – пообещал Младенец, – если, конечно, сочинит подходящую историю!

Кот мягко спрыгнул с клавиатуры, взял Алису под руку, и они вышли из домика.

– Как он так быстро перемножил два множества? – спросила Алиса Кота, когда они зашагали по дороге. – И почему получилось двадцать пиратов? Я умножила шестьдесят три на пятьдесят семь, но у меня получилось совсем не двадцать, а три тысячи пятьсот девяносто один!

– Ты умножила число одних пиратов на число других, – отозвался Кот. – Но умножать-то надо не числа, а множества!

– А как это делать? – поинтересовалась Алиса.

– Сложи число пиратов, которые потеряли левый глаз и число пиратов, которые потеряли правый глаз, – предложил Кот.

– Получится сто двадцать, – сказала Алиса. – Но это тоже слишком много: на двадцать больше, чем было всех пиратов!

– Это как раз и значит, что двадцать пиратов потеряли оба глаза, – сказал Кот. – Ведь когда ты складывала, то таких пиратов ты посчитала дважды!

– Ну конечно! – воскликнула Алиса. – Как раз эти пираты и входят в оба множества! Но я никогда бы не подумала, что при умножении множеств складываются числа...

– Не только складываются, но и вычитаются, – добавил Кот. – Жаль, что Герцогиня ошиблась!

– А почему вы решили, что она ошиблась? – спросила Алиса. – Может, она просто хотела, чтобы история получилась пострашнее?

– В этом и была её ошибка, – сказал Кот. – И теперь из-за этой ошибки она может не попасть на бал!

Алиса оглянулась, но домик уже скрылся из виду. А посмотрев снова вперёд, Алиса увидела море!

– Странно, – подумала она. – Какой же бал может быть на море?

О МНОЖЕСТВЕ МНОЖЕСТВ

Невозможно даже представить себе, как мы могли бы жить в мире, где всё было бы совершенно непохожим одно на другое! Например, на небе сияли бы совершенно разные звёзды, настолько разные, что их нельзя было бы даже назвать одним словом «звёзды»...

Но, к счастью, в том мире, где мы живём, многие предметы чем-то похожи друг на друга, то есть имеют что-то общее. А когда мы замечаем, что предметы имеют что-то общее, мы – вольно или невольно – объединяем их в одно множество. Только благодаря этому мы можем говорить – ведь любое слово обозначает множество сходных предметов. Например, когда мы говорим «человек», мы имеем в виду одного из множества всех людей, когда говорим «зелёный» – предмет из множества всех зелёных предметов. Можно говорить о множестве дней недели и о множестве цветов радуги, множестве книг и о множестве друзей – множества окружают нас со всех сторон!

Немецкий математик Кантор, основатель теории множеств, писал: «Множество – это многое, мыслимое нами как единое»

Кантор жил в XIX веке, однако множествами учёные пользовались очень давно – с тех пор, как начали классифицировать предметы, то есть искать в них общее и различное. (Любая наука начинается именно с классификации!).

Один аргентинский писатель привёл замечательный пример, как не надо классифицировать. Он придумал «некую китайскую энциклопедию», в которой написано, что животные подразделяются на:

а) принадлежащих императору

б) бальзамированных

в) приручённых

г) молочных поросят

д) сирен

е) сказочных

ж) бродячих собак

з) включённых в настоящую классификацию

и) буйствующих, как в безумии

к) неисчислимых

л) нарисованных очень тонкой кисточкой из верблюжьей шерсти

м) прочих

н) только что разбивших кувшин

о) издалека похожих на мух

Эта удивительная «классификация» предоставляет нам прекрасную возможность порассуждать о множествах.

Прежде всего заметим, что каждая строка определяет какое-то множество животных – пусть странное, но множество!

Некоторые из этих множеств не имеют общих элементов – например, множество молочных поросят и множество бродячих собак. А другие множества, наоборот, имеют общие элементы – скажем, множество бродячих собак и множество животных, буйствующих, как в безумии: ведь среди бродячих собак есть и бешеные. Если два множества не имеют общих элементов, говорят, что эти множества не пересекаются, а если общие элементы есть, то говорят, что множества пересекаются. Слово «пересечение» связано с геометрическими фигурами – если две фигуры пересекаются, у них есть общие точки (хотя бы одна!).

Например, эти две прямые пересекаются в одной точке:

А эти два круга имеют бесконечно много общих точек:

Если же две фигуры не пересекаются, у них нет ни одной общей точки. Таковы, например, параллельные прямые:

или эти два квадрата:

Множество общих элементов двух множеств называется пересечением этих множеств. Например, пересечение множеств всех девочек и множеств всех Алис – это девочки, которых зовут Алисами. Вы уже догадались, конечно, что пересечение множеств и произведение множеств, о котором беседовали Алиса и Гусеница – это одно и то же!

Сумма множеств тоже имеет второе название – «объединение множеств». Например, объединением множеств приручённых животных и сказочных животных будет множество, состоящее из животных, каждое из которых приручённое или сказочное (при этом оно может быть и приручённым и сказочным одновременно!). К такому множеству принадлежат, скажем, дрессированные собачки (приручённые животные), Белый Кролик с часами в жилетном кармане (сказочное животное), а также дрессированные драконы (приручённые и сказочные одновременно). А вот, например, динозавры, действительно жившие на Земле миллионы лет назад, к такому множеству не принадлежат (во-первых, приручить их тогда ещё было некому, а, во-вторых, хотя они и были похожи на драконов, они всё-таки были не сказочными, а настоящими!).

Множество можно задавать не только указанием общего свойства всех предметов, входящих в это множество (как мы это делали до сих пор). Есть и другой способ: просто перечислить все элементы множества (помните множество, состоящее из Алисы и Гусеницы?).

Для того, чтобы легче было разбираться в том, как связаны различные множества, то есть каковы их объединение и пересечение, математик Эйлер (о нём мы уже писали) предложил обозначать множества кругами – эти круги называются обычно «кругами Эйлера». Например, для «слишком страшной истории», которую Герцогиня рассказывала Младенцу, круги Эйлера выглядят так:

Горизонтальными линиями здесь заштриховано «множество пиратов, потерявших левый глаз», вертикальными – «множество пиратов, потерявших правый глаз», а двойная штриховка обозначает пересечение этих множеств, то есть «множество пиратов, потерявших оба глаза».

Раз для множеств можно определить сложение и умножение (пусть даже и с несколько необычными свойствами), значит, можно построить и «алгебру множеств». Эта алгебра действительно была построена, и оказалось, что она в точности совпадает с той «алгеброй логики», которую построил Буль (с ним мы тоже уже знакомы)!

Совпадение это, конечно, не случайно: дело в том, что логика имеет дело с высказываниями, а каждое высказывание – это утверждение о каких-то множествах. Возьмём, например, такое высказывание: «Миша хочет шоколадку или заводную машину!». Здесь речь идёт о предмете, который принадлежит сумме множеств «шоколадки» и «заводные машины». Предположим, выбрана заводная машина.

– Какую машину Миша хочет?

– Красную и большую!

Тут уже говорится о произведении двух множеств: «красных заводных машин» и «больших заводных машин»!

Пока учёные ограничивались конечными множествами, то есть множествами, содержащими конечное число элементов, никаких неожиданностей не возникало: использование множеств позволяло только, как говорил Эйлер, «облегчать рассуждения».

А вот когда стали изучать бесконечные множества, начались чудеса! К ним мы сейчас и перейдём.