Текст книги "Алиса в стране математики"
Автор книги: Лев Генденштейн
сообщить о нарушении
Текущая страница: 3 (всего у книги 12 страниц)
НЕБЫЛИЦА О ДЕТСКОМ САДЕ, КОТОРЫЙ БЫЛ УЖЕ ТОГДА, КОГДА СЧИТАТЬ ЕЩЕ НЕ УМЕЛИ
В лесу первобытном под грохот там-тама
Открыт первобытный детсад,
И каждое утро ведут туда мамы
Своих первобытных ребят.
Приходят они в этот сад очень рано,
Но дети не плачут совсем.
И каждый ребёнок несёт по банану —
Вы скоро поймёте, зачем.
С улыбкою доброю няня встречает
Детей возле самых ворот,
И сразу бананы она собирает
И в сумку большую кладёт.
С детишками няня по джунглям гуляет,
Пока не стемнеет совсем,
И сумку с собою всё время таскает —
Сейчас вы поймёте, зачем.
Когда возвращаются дети с гулянья,
От шума устав и от игр,
Должна обязательно выяснить няня:
Не съел ли кого-нибудь тигр?
В кружок тогда няня детишек сажает
И сумку свою достаёт,
И всем по банану она предлагает,
И каждый, конечно, берёт.
И если кончаются в сумке бананы,
Уверена няня – все тут!
И прыгают дети тогда на лианы
И песни, качаясь, поют.
Качаются джунгли от шума и гама,
Когда забирают ребят.
И счастлива нянечка, зная, что мамы
Сегодня её не съедят.
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД В НАТУРАЛЬНУЮ ВЕЛИЧИНУ
Пройдя мимо нескольких чисел, Алиса оглянулась и с удивлением обнаружила, что перед единицей появилось что-то круглое.
– Это нуль! – воскликнула Алиса. – Но как я не заметила его раньше?
Она повернула обратно, но, чем ближе к нулю она подходила, тем удивительнее он ей казался. Во-первых, сама его форма была странной – он почему-то был похож на яйцо. А во-вторых, Алиса ясно различила глаза, нос и рот!
– Да это же Шалтай-Болтай! – догадалась Алиса. И действительно, это был Шалтай-Болтай собственной персоной – он сидел на струне, скрестив по-турецки маленькие ножки. И Алиса начала тихонько напевать:
– Ну уж если он отсюда свалится, его вообще никто не соберёт! – рассудила вслух Алиса.
– «Никто» не соберёт, а кто-то соберёт! – неожиданно заявил Шалтай-Болтай и покачнулся. – Это твоя четвёртая ошибка.
– Почему четвёртая? – опешила Алиса: такого начала разговора она никак не ожидала!
– Во-первых, ты приняла меня за нуль, – начал загибать пальцы Шалтай-Болтай. – А это, знаешь, не очень приятно, когда тебя принимают за нуль!
– Простите, пожалуйста, – сказала Алиса. – Я совсем не хотела вас обидеть. А какая моя вторая ошибка?
– Ты приняла нуль за натуральное число, – произнёс Шалтай-Болтай. – Разве ты не знала, что это натуральный ряд? – показал он на ряд светящихся чисел.
– Мне об этом сказал Чеширский Кот, – ответила Алиса. – Но что это значит, я ещё не знаю.
– Натуральный ряд состоит из натуральных чисел, – важно пояснил Шалтай-Болтай. – Это числа, которые получаются при счёте, а счёт обычно начинается с единицы.
– Я постараюсь это запомнить, – пообещала Алиса. – А какая моя третья ошибка?
– Ты забыла представиться! – упрекнул Шалтай-Болтай.
– Но ведь и вы не представились, – попыталась оправдаться Алиса.
– Ты же знаешь, как меня зовут, – возразил Шалтай-Болтай, – только что ты даже пела обо мне песню!
– Пожалуй, он прав, – подумала Алиса и сказала:
– Меня зовут Алиса.
– Ужасное имя! – скривился Шалтай-Болтай.
– Почему? – обиделась Алиса.
– Алис много, – объяснил Шалтай-Болтай. – Разве у тебя не бывало такого: слышишь «Алиса!», оборачиваешься, а зовут, оказывается, совсем не тебя?
– Бывало, – вспомнила Алиса.
– Это, наверное, было не очень приятно, – заметил Шалтай-Болтай. – А вот если я слышу «Шалтай-Болтай!», то знаю, что зовут именно меня, потому что я – единственный Шалтай-Болтай во всем мире! – и он попытался выпятить грудь ещё больше.
– Не могут же у всех людей быть разные имена, – возразила Алиса. – Людей очень много – на всех просто не хватит имён!
– А сколько всего людей? – поинтересовался Шалтай-Болтай.
– Я не знаю точно, – сказала Алиса, – но, кажется, больше миллиарда, а ведь миллиард – это тысяча миллионов...
– Разве это много? – пренебрежительно перебил Шалтай-Болтай. – Вот что такое много! – круто повернулся он в сторону натурального ряда. – Натуральных чисел бесконечно много, но среди них нет даже двух с одинаковыми именами!
– И правда, – поразилась Алиса, посмотрев на уходящий вдаль ряд чисел, – все числа здесь разные, а ведь у разных чисел и названия разные!
– Это потому, что числа себя уважают, – пояснил Шалтай-Болтай. – Каждое из них – чем-то особенное!
– Неужели каждое? – усомнилась Алиса. – А по-моему, числа, которые стоят рядом, очень похожи друг на друга...
– А вот и нет, – возразил Шалтай-Болтай, – ведь одно из них обязательно чётное, а другое – нечётное!
И в тот же миг все чётные числа стали оранжевыми, а нечётные – голубыми. Алиса посмотрела на разноцветный ряд чисел – он стал ещё красивей, и ей захотелось, чтобы цветов стало больше.
– Хорошо, если бы здесь были все цвета радуги! – тихо сказала она, и по натуральному ряду сразу же побежала разноцветная волна: единица стала красной, двойка осталась оранжевой, тройка стала жёлтой, четвёрка – зелёной, пятёрка – осталась голубой, шестёрка – стала синей, семёрка – фиолетовой, – и снова: красное число, оранжевое, жёлтое...
– Как красиво! – невольно вырвалось у Алисы.
– Не только красиво, но и удобно, – одобрил Шалтай-Болтай. – Теперь сразу видно, какие числа делятся на семь!
– Действительно, – присмотревшись, согласилась Алиса. – Все такие числа – фиолетовые!
– Кстати о делении, – воскликнул Шалтай-Болтай. – Сейчас я покажу тебе особенно замечательное число! – с неожиданной легкостью он вскочил на ножки, взял Алису за руку, и они побежали по струне.
Вдруг Шалтай-Болтай так резко остановился, что Алиса чуть не столкнула его со струны.
– Вот! – показал он на число «60».
– Чем же это число замечательно? – поинтересовалась Алиса.
– Разве тебе не видно? – удивился Шалтай-Болтай. – Шестьдесят делится на один, на два, на три, на четыре, на пять, на шесть, на десять, на двенадцать, на пятнадцать, на двадцать, на тридцать и на шестьдесят!
– Это действительно замечательно, – согласилась Алиса. – Но разве это можно увидеть?
– Конечно, Можно! – сказал Шалтай-Болтай. – Представь, что у тебя шестьдесят солдатиков...
– Мне легче представить кукол, чем солдатиков, – заметила Алиса.
– Представляй, – согласился Шалтай-Болтай. – Но чтобы их было ровно шестьдесят!
И Алиса постаралась представить шестьдесят кукол – это было не так просто, потому что, представляя кукол, она должна была их считать!
Через минуту куклы уже кружились вокруг Алисы и Шалтая-Болтая.
– Ты уверена, что их шестьдесят? – спросил Шалтай-Болтай, уворачиваясь от кукол, которые налетали на него со всех сторон.
– Не очень, – призналась Алиса.
– А ну-ка, станьте в пары! – крикнул куклам Шалтай-Болтай.
И хотя куклы не солдатики, они тут же выполнили приказание. Каждой кукле нашлась пара.
– Число кукол делится на два, – заключил Шалтай-Болтай. – Ты это видишь?
– Да, – подтвердила Алиса.
– А теперь возьмитесь за руки по три! – снова скомандовал Шалтай-Болтай.
Куклы опять послушались; и на этот раз «лишних» кукол тоже не осталось.
– Число кукол делится и на три! – воскликнула Алиса и приказала сама:
– Возьмитесь за руки по четыре!
Таким образом Алиса быстро проверила, что число кукол делится на четыре, на пять и на шесть; когда куклы взялись за руки по шесть, они образовали кружки, и Алиса легко пересчитала, что кружков как раз десять.
– Их ровно шестьдесят – теперь это видно! – воскликнула Алиса. – И то, что шестьдесят делится на два, на три, на четыре, на пять, на шесть и на десять, я тоже видела. Действительно, шестьдесят – замечательное число!
– А теперь посмотри на числа, которые стоят с ним рядом, – предложил Шалтай-Болтай. – Ни пятьдесят девять, ни шестьдесят один не делятся ни на одно число, кроме, конечно, единицы и самих себя.
– Значит, эти числа – ничем не замечательные? – спросила Алиса.
– Наоборот! – возразил Шалтай-Болтай. – Они как раз тем и замечательны, что делятся только на два числа – на единицу и само себя. Такие числа называются простыми.
– А как называются остальные числа? – поинтересовалась Алиса.
– Почти все остальные числа называются составными, – ответил Шалтай-Болтай. – Любое из них можно составить, умножая простые числа друг на друга: например, шесть – это два умножить на три, а шестьдесят – это два умножить на два, потом на три и еще на пять.
– Понятно, – сказала Алиса. – Но почему вы сказали «почти»? Разве есть числа, которые не простые и не составные?
– Есть, – загадочно произнёс Шалтай-Болтай. – Правда, такое число – одно-единственное!
– Какое? – заинтересовалась Алиса.
– Попробуй угадать, – ответил Шалтай-Болтай. – Мы сейчас мимо него пройдём: смотри внимательно! – И, покачиваясь на тонких ножках, он пошёл по струне к началу натурального ряда.
Алиса последовала за ним, глядя на числа, мимо которых они проходили: какое же из них то единственное число, которое и не простое и не составное?
– Пятьдесят восемь? – думала Алиса. – Это число делится на два – значит, оно составное... Пятьдесят семь? Делится на три – составное... Пятьдесят шесть? Тоже делится на два... кстати, все чётные числа делятся на два, значит, все они составные – буду поэтому следить только за нечетными числами! Пятьдесят пять делится на пять – составное... Пятьдесят три... на что же оно делится? Кажется, ни на что! Может, это и есть то число, которое не простое и не составное? Ах нет, оно же делится на само себя и на единицу – значит, это простое число! Так ведь любое же число делится на себя и на единицу! И если оно ни на что больше не делится, то оно простое, а если делится, то составное! Неужели Шалтай-Болтай меня просто дурачит?
Пройдя мимо всех чисел, Шалтай-Болтай уселся на то место, где сидел вначале, когда Алиса приняла его за нуль. Сама Алиса остановилась рядом с ним, перед единицей.
– Ну что? – спросил Шалтай-Болтай. – Догадалась, какое число не простое и не составное?
– По-моему, такого числа нет, – решительно сказала Алиса. – Любое натуральное число либо простое, либо составное: если оно делится на какое-то другое число, то оно составное, а если не делится, то простое – ведь на единицу и само себя делится любое число!
– И! – воскликнул Шалтай-Болтай.
– Что «и»? – испугалась Алиса: она решила, что Шалтаю-Болтаю стало плохо.
– На единицу и само себя! – спокойно пояснил Шалтай-Болтай. – Любое простое число делится на два разных числа: единицу и само себя. Но есть такое число, которое делится только на одно число...
– Это единица! – догадалась Алиса, глядя на число, перед которым она как раз стояла.
– Ну что, ловко я тебя провёл? – с довольным видом спросил Шалтай-Болтай. – Но ты не огорчайся: зато теперь ты знаешь, что особенного в числе «один»! А вот скажи: что особенного в числе «два»?
– Это чётное число, – начала размышлять вслух Алиса, – но ведь чётных чисел много...
– Их бесконечно много, – заверил Шалтай-Болтай. – Ведь к любому чётному числу можно прибавить два, и получится большее чётное число!
– Значит, в том, что два – чётное число, ничего особенного нет, – заключила Алиса, продолжая рассуждать вслух. – Кроме того, два – простое число, потому что оно делится на два разных числа – на само себя и на единицу... Но ведь простых чисел тоже, наверное, много?
– Давай посмотрим, – предложил Шалтай-Болтай, и ряд чисел померк: многие числа погасли. В начале ряда, например, светились только числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
– Это простые числа! – догадалась Алиса. – И конца им не видно...
– Не видно, – согласился Шалтай-Болтай. – А что видно?
– Видно, что некоторые простые числа стоят почти рядом, а между другими – большие промежутки... – заметила Алиса.
– У тебя неплохое зрение, – отметил Шалтай-Болтай. – А что тебе ещё видно?
– Чем дальше, тем промежутки становятся всё больше и больше, – присмотревшись, ответила Алиса, – поэтому кажется, что ряд простых чисел становится всё реже и реже...
– Это не только кажется, – отозвался Шалтай-Болтай. – Так оно и есть на самом деле. Не наводит ли это тебя на какую-то мысль?
— Наводит, – подумав, сказала Алиса. – Если простые числа встречаются всё реже и реже, значит, где-то они заканчиваются совсем?
– То есть, ты думаешь, что есть какое-то самое большое простое число? – уточнил Шалтай-Болтай.
– Так мне кажется, – осторожно ответила Алиса.
– А вот это тебе действительно только кажется! – обрадовался Шалтай-Болтай так сильно, что стал даже подскакивать на струне, то и дело рискуя свалиться с неё. – Я тебя снова провёл! Самого большого простого числа не существует, потому что простых чисел бесконечно много!
– Но откуда это известно? – возразила Алиса. – Ведь если к простому числу прибавить два, то совсем не обязательно получится снова простое число: например если к семи...
– С простыми числами не всё так просто! – перебил Шалтай-Болтай. – Хотя они и называются простыми, разобраться в них труднее всего! Но то, что их бесконечно много, доказать не так трудно. Это доказал еще Евклид...
– Евклид? – радостно воскликнула Алиса. – Я видела его...
– Евклида?! – поразился Шалтай-Болтай и с интересом посмотрел на Алису. – Тогда ты неплохо сохранилась!
– Я видела его портрет в учебнике математики, – объяснила Алиса. – Кажется, он был древним греком?
– Не таким уж он был и древним, – отозвался Шалтай-Болтай. – Он и до шестидесяти не дожил... Так ты поняла уже, что особенного в числе два?
– Ещё нет, – сказала Алиса. – Два – число чётное и простое... но ведь и тех и других чисел бесконечно много...
– Два – это единственное число, которое и чётное и простое одновременно! – торжественно произнёс Шалтай-Болтай, показывая на двойку. – Подумай только – единственное из бесконечно многих!
– А я уже было решила, что все чётные числа – составные! – призналась Алиса.
– Три – тоже особенное число, – важно заметил Шалтай-Болтай.
– Это единственное простое число, которое делится на три? – спросила Алиса.
– Не только, – ответил Шалтай-Болтай. – Три – единственное натуральное число, равное сумме всех предыдущих натуральных чисел! И ещё: посмотри на эти два числа, – показал он на двойку и тройку.
– Это единственные простые числа, которые стоят рядом! – воскликнула Алиса.
В этот момент все числа в натуральном ряду зажглись снова, и Алиса обратила внимание на появившуюся четвёрку.
– Четыре – тоже замечательное число! – тут же сказала Алиса. – Ведь это первое составное число!
– Мало этого, – подхватил Шалтай-Болтай. – Ты заметила, что четыре – это дважды два и в то же время – два плюс два?
– Что же тут особенного? – спросила Алиса.
– Как? —воскликнул Шалтай-Болтай. – Ты берёшь два одинаковых числа, один раз умножаешь их, а другой раз складываешь – но получаешь одно и то же! Разве это не удивительно?
– Удивительно, – согласилась Алиса. – Но разве так получается только для четырёх?
– Только! – радостно подтвердил Шалтай-Болтай.
– А что замечательного в числе пять? – спросила Алиса: она уже поверила, что каждое натуральное число и правда чем-то замечательно. Ей показалось даже, что числа в натуральном ряду ожили – каждое число превратилось в живое существо!
Шалтай-Болтай не ответил на вопрос Алисы. Она взглянула на него и увидела, что он начал засыпать. В голове у Алисы вихрем пронеслась строка из песенки: «Шалтай-Болтай свалился во сне»!
– Не засыпайте! – крикнула Алиса и бросилась к Шалтаю-Болтаю. Но не успела: Шалтай-Болтай покачнулся во сне и... свалился со струны!
Алиса посмотрела вслед Шалтаю-Болтаю – он летел, медленно вращаясь в полете.
– Вся королевская конница и вся королевская рать не сможет Шалтая-Болтая собрать! – вспомнила Алиса и, оттолкнувшись от струны, полетела за Шалтаем-Болтаем.
БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД ЗАГАДОК
В игру «Кто назовёт самое большое число?» сегодня играют только дети, но было время, когда этим увлекались величайшие мудрецы. В индийской легенде рассказывается, как наставник обучал юного Будду:
«И сказал Висвамитра:
– Перейдем к числам. Считай, повторяя за мной, пока не дойдём до ста тысяч: один, два, три, четыре... затем десятки, сотни и тысячи.
И назвал отрок вслед за наставником единицы, десятки, сотни, но не остановился на сотне тысяч; нет, он шептал дальше до тех чисел, которыми можно считать всё, начиная от зёрен в поле... Потом он перешёл к счёту звёзд ночных, капель в море, и далее к счёту песчинок великой реки Ганг, и к счёту песчинок в миллионах таких рек... Затем пошли ещё более громадные числа... и, наконец, число, при помощи которого боги вычисляют свое прошедшее и будущее...»
В этой прекрасной легенде есть очень важное слово – «наконец»! Как бы ни был искусен в счёте Будда, он всё-таки считал, что самое большое число существует! Правда, число это и по нашим сегодняшним меркам очень большое: в другой легенде о Будде говорится, что оно изображается единицей с 54-мя нулями. Как видите, фантазии у Будды хватало.
Так выглядят Будда и его огромное число. Записать это число не так уж сложно, но представить невозможно: оно намного больше, чем число атомов во всем земном шаре!
И всё-таки его намного превзошёл древнегреческий учёный Архимед. Он написал книгу, которая называется: «Исчисление песчинок». Посвящена эта книга царю, который правил тогда в Сиракузах, городе, где жил Архимед. Вот как начинается книга Архимеда:
«Многие думают, государь, что число песчинок бесконечно. Я говорю не только о песке кругом Сиракуз и во всей Сицилии, но о песке на всей суше, как обитаемой, так и необитаемой. Другие не считают это число бесконечным, но думают, что назвать такое число невозможно.
Я же постараюсь показать тебе, что можно назвать числа, намного превосходящие не только число песчинок в песчаной куче размером со всю Землю, но даже число песчинок, нужное для того, чтобы наполнить песком всю Вселенную...»
Архимед считал Вселенную не бесконечной, но всё-таки довольно большой: в сто миллионов раз больше Земли. И вот, по расчётам Архимеда, в такой Вселенной уместилось бы количество песчинок, равное числу с 63-мя цифрами. Казалось бы, это почти то же самое, что и «число Будды», но на самом деле оно в миллиард раз больше!
Однако Архимед не остановился на этом числе: он придумал названия для чисел, которые записываются с помощью восьмидесяти миллионов миллиардов нулей! Тут уж не только само число, но даже запись числа представить трудно. И все же попробуем. Предположим, что это число записано цифрами размером в один сантиметр, вот так:
Если бы Архимед, назвав своё число, сразу же сел в космический корабль и полетел на нём вдоль записи этого числа, то до конца записи он долетел бы как раз к нашему времени – лететь ему пришлось бы больше двух тысяч лет!
Однако Архимед не мог бы даже начать записывать это число: ведь он не знал индийских (арабских) цифр. Но он смог такое число назвать! Вот это название: мириада мириад мириадо-мириадных чисел мириадомириадного периода. Название, конечно, длинновато, но во сколько раз оно короче записи!
Но самое главное даже не в том, что Архимед смог назвать число, которое намного превосходит потребности даже современной науки. Главное в том, что он впервые ясно высказал идею о бесконечности натурального ряда – это, может быть, самая смелая «выдумка» за всю человеческую историю!
Поразив воображение древних греков, идея бесконечности стала с тех пор одной из главных во всей математике. Вот что пишут об этом самые крупные математики двадцатого столетия – немецкий учёный Гильберт и французский учёный Пуанкаре.
Гильберт: «Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу, как проблема бесконечности...»
Пуанкаре: «Если кто-нибудь захочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что математика – это наука о бесконечности».
Один древнегреческий учёный так выразил идею бесконечности: «где бы ни стал воин, он всегда сможет протянуть свое копье еще дальше»
Первыми начали изучать свойства натуральных чисел индийцы и греки – они заметили, что каждое натуральное число чем-то замечательно и не похоже на другие числа. Изменение всего-навсего на единицу меняет многие свойства числа – например, соседние числа никогда не делятся на одно и то же число. В древности были открыты и признаки делимости чисел (кстати, семь – единственное число из первого десятка, для которого нет удобного признака делимости – потому-то Шалтай-Болтай и похвалил Алису за расцвечивание натурального ряда всеми цветами радуги!).
То, что в воображаемом мире чисел существуют свои законы (например, сумма двух нечётных чисел – всегда чётное число!), навело учёных на мысль, что законы чисел могут быть связаны с закономерностями в окружающем мире. И действительно, древнегреческий учёный Пифагор, который жил в VI веке до нашей эры, открыл удивительную связь между законами чисел и законами музыки: например, если уменьшить длину струны или флейты вдвое, тон звука повышается точно на одну октаву. Это произвело на Пифагора такое впечатление, что он провозгласил: «число есть начало всех вещей».
Пифагор установил и первую связь между числами и фигурами: он ввел «треугольные» и «квадратные» числа.
Древние греки любили изображать числа камешками, раскладывая их на морском берегу. Так, например, они выкладывали «треугольные» числа. Как вы думаете, какие следующие «треугольные» числа?
Так выглядят «квадратные» числа. Мы и сейчас называем их «квадратами» – например, мы говорим: четыре в квадрате – шестнадцать. Какие следующие «квадратные» числа?
Пифагор обнаружил интересную связь между нечётными числами и «квадратными»: сумма последовательных нечётных чисел, начиная с единицы, обязательно будет «квадратным» числом! Например, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и так далее. На этом рисунке видно, как нечётное число, «пристраиваясь» к «квадратному», превращает его в следующее «квадратное» число
Прошло две тысячи лет после того, как Пифагор открыл связь между нечётными и «квадратными» числами, и это открытие помогло Галилею открыть один из важнейших законов природы. Когда Галилей изучал падение тел, он заметил, что путь, пройденный падающим телом за вторую секунду, втрое больше, чем за первую секунду, а путь, пройденный за третью секунду, в пять раз больше, чем за первую, и так далее. Отсюда Галилей сделал вывод, что путь прямо пропорционален квадрату времени движения – так и был открыт закон падения тел
