Текст книги "Алиса в стране математики"

Автор книги: Лев Генденштейн

НЕБЫЛИЦА О КАНТОРЕ, В КОТОРОЙ ВСЁ – ПРАВДА!

 
Разные множества есть в этом мире:
Множество тапочек в нашей квартире,
Множество ветров, гуляющих в поле,
Множество тигров, живущих на воле,
 
 
Множество фильмов, в которых стреляют,
Множество звёзд, что ночами мерцают,
Множество тех, кто не спит до рассвета,
Множество тех, кто не шлёт нам привета,
 
 
Множество тех, кто хотел бы подраться,
Множество тех, кто умеет смеяться.
Множество тех, чей приятель – блондин...
Есть множество множеств,
    Но Кантор – один!
 

ШАХМАТНЫЙ БАЛ

Алиса с Чеширским Котом вышли к берегу моря и остановились перед обрывом. Далеко внизу пенился прибой.

– Как же мы попадём отсюда на бал? – удивлённо спросила Алиса и посмотрела на Кота.

Кот не ответил – он вглядывался вдаль и, казалось, чего-то ждал.

– За нами, наверное, должен прийти корабль, – подумала Алиса. – А, может быть, бал будет на самом корабле?

Она посмотрела туда, куда смотрел Кот, но не увидела ничего, кроме линии горизонта.

– Эта линия очень похожа на прямую, – сказала Алиса, показывая на линию горизонта.

– Ты уверена? – отозвался Кот.

– Ничего прямее даже представить невозможно! – воскликнула Алиса.

– Тогда посмотри кругом, – предложил Кот.

Алиса повела взглядом вдоль линии горизонта и с удивлением обнаружила, что море окружает их со всех сторон – они с Котом стояли теперь на одинокой скале посреди моря!

– Ну что? – широко улыбаясь, спросил Кот. – Ты по-прежнему считаешь, что линия горизонта похожа на прямую?

Алиса ещё раз обвела взглядом всю линию горизонта – для этого ей пришлось снова повернуться кругом!

– Нет, – признала она. – Линия горизонта возвращается в ту же точку, а прямая – не возвращается!

– Значит, линия горизонта – не прямая, – заключил Кот и, видя удивление Алисы, добавил: – Это окружность.

– Окружность рисуют циркулем, – вспомнила Алиса (она успела прочесть об этом в учебнике математики). – Но где же здесь циркуль?

– Циркуль – это твой взгляд, – пояснил Кот. – Все точки окружности находятся на одном и том же расстоянии от её центра – потому её и рисуют циркулем! А все точки линии горизонта находятся на одном и том же расстоянии от нас.

– Действительно, – согласилась Алиса, еще раз поворачиваясь вокруг себя и глядя на линию горизонта. – Скажите, мы ждём, когда за нами придёт корабль?

– Нет, – ответил Кот. – Мы ждём, когда уйдёт линия горизонта.

– Что?! – поразилась Алиса. – Куда же она может уйти?

– В бесконечность, – отозвался Кот. – Наша планета начнёт сейчас увеличиваться, а чем больше планета, тем дальше линия горизонта!

– Но зачем планете увеличиваться? – удивилась Алиса. – По-моему, она и так уже достаточно большая – наверное, не меньше Земли!

– Даже если бы она была в миллион раз больше Земли, на ней не смогло бы уместиться бесконечное множество танцующих, – ответил Кот. – Для этого планета должна стать бесконечно большой!

– Бесконечное множество танцующих? – переспросила Алиса. – Неужели будет такой большой бал?

– Уверяю тебя, такого бала ты никогда ещё не видела! – воскликнул Кот и вдруг показал лапой вдаль: – Смотри!

Алиса внимательно посмотрела на линию горизонта и увидела, что линия действительно начала удаляться! Она уходила всё дальше и дальше и, наконец, ушла в невообразимую даль.

Сразу же вслед за этим налетели резкие порывы ветра, и всё море подёрнулось пятнами ряби. Кое-где появились даже барашки, причём барашки были не только белыми, но и чёрными!

Вдруг Алиса заметила, что пятна на море начали превращаться в белые и чёрные квадраты, а барашки – в белые и чёрные шахматные фигуры! Она перевела удивлённый взгляд на Кота и... почувствовала, будто скала под нею качнулась! Алиса невольно схватилась за Кота.

– Не бойся, – улыбнулся Кот. – Просто мы летим!

И действительно, Алиса с Котом находились теперь в большой корзине, от которой уходили вверх туго натянутые канаты. Подняв голову, Алиса увидела над собою большой воздушный шар!

Она посмотрела вниз – никакой скалы не было и в помине: под ними расстилалась бескрайняя шахматная доска, а на ней, насколько хватал глаз, стояли шахматные фигуры.

Алисе захотелось рассмотреть фигуры получше.

– Жаль, что у нас нет подзорной... – начала думать она, и Кот протянул ей длинную подзорную трубу.

Направив трубу вниз, Алиса увидела много интересного.

Прежде всего, фигуры были живыми! Они стояли небольшими группами одного цвета: король, королева и восемь пешек-пажей в каждой группе. На королях и королевах были длинные мантии, которые развевались при каждом движении, а на пажах – короткие плащи, легкие, как ветер.

Присмотревшись, Алиса увидела, что на одежде каждой фигуры красиво вышито число: на белых фигурах цифры были чёрными, а на чёрных – белыми.

В одной из групп белых фигур Алиса узнала своего знакомого Белого Короля; на его мантии и на мантии стоящей рядом с ним Белой Королевы были вышиты большие чёрные единицы. Почувствовав на себе взгляд Алисы, Король поднял голову и помахал Алисе рукой. Она ответила ему, и вдруг белые пешки-пажи тоже стали её приветствовать (Алисе, конечно, трудно было узнать в этих изящных пажах своих знакомых-поварят, но они её узнали!). На белых плащах пажей были вышиты числа от одного до восьми.

Рядом с этой группой белых фигур стояла группа чёрных фигур. Алиса заметила, что на мантиях Чёрного Короля и Чёрной Королевы вышиты белые единицы, а на плащах пажей – тоже числа от одного до восьми.

– Что означают числа на одежде фигур? – спросила Алиса.

– Каждая фигура имеет свой номер, – пояснил Кот.

– А здесь есть фигуры с любыми номерами? – снова спросила Алиса, пытаясь окинуть взглядом безбрежное море фигур.

– С любыми, – подтвердил Кот. – Какое натуральное число ни возьми, здесь есть один белый король с таким номером, одна белая королева и одна белая пешка. И чёрные фигуры пронумерованы точно так же.

– Но зачем нужны эти номера? – спросила Алиса, но в этот момент заиграла музыка.

Первым танцем был менуэт – «король танцев» и «танец королей». Белые короли вели чёрных королев, а чёрные короли – белых королев. Это было великолепное зрелище: сверху казалось, будто по всей шахматной доске под медленную музыку двигаются чёрно-белые волны.

– Обрати внимание на важное правило танца, – сказал Кот, любуясь танцующими парами, – каждый король ведёт королеву с точно таким же номером, как у него самого.

– Действительно, – подтвердила Алиса, внимательно посмотрев в подзорную трубу. – Но разве это так важно?

– Очень важно, – отозвался Кот. – Ведь только благодаря этому правилу можно быть уверенным, что каждый король пригласил королеву и каждая королева приглашена королём.

– Но это же и так видно! – воскликнула Алиса.

– Увидеть бесконечное число фигур невозможно, – возразил Кот. – И если бы не это правило – одинаковые числа в каждой паре, – то многие королевы могли бы остаться неприглашёнными!

– А все короли при этом танцевали бы? – недоверчиво спросила Алиса.

– Все до единого, – ответил Кот.

– Не может быть! – воскликнула Алиса.

– Ещё как может! – отозвался Кот. – Даже бесконечно много королев могли бы остаться неприглашёнными...

Алиса хотела возразить Коту, но в этот момент музыка смолкла, и Кот сказал:

– Следующие два танца с королевами будут танцевать пажи.

– А как же короли? – удивилась Алиса.

– Королям надо обсудить кое-какие дела друг с другом, – пояснил Кот.

– Я вижу, короли занимаются королевскими делами даже на балах, – заметила Алиса.

Фигуры на шахматной доске быстро перестроились, и грянул какой-то веселый танец. Чёрные пешки как по команде окружили белых королев, а белые – чёрных, и через секунду вокруг каждой королевы, взявшись за руки, кружились восемь пешек. Сверху казалось, будто под стремительную музыку вскипает океан!

Алиса тоже невольно начала приплясывать, и Кот тут же последовал её примеру. Маленькая корзина воздушного шара закачалась под музыку из стороны в сторону.

– Неужели короли могут сейчас что-то обсуждать? – со смехом спросила Алиса.

– Могут, – ответил Кот, тоже смеясь. – На то они и короли!

И вдруг быстрый танец сменился красивым медленным вальсом.

– Как же теперь пажи будут танцевать с королевами? – удивилась Алиса. – Вальс ведь танцуют парами, а на каждую королеву приходится по восемь пажей!

– Сейчас увидишь, – отозвался Кот.

Фигуры внизу снова перестроились, и Алиса увидела, что пажи и королевы танцуют парами! Белые пажи вели чёрных королев, а чёрные – белых: казалось, вся шахматная доска внизу кружится в ритме вальса, и у Алисы закружилась голова.

– Как это получилось? – тряхнув головой, с недоумением спросила Алиса.

– Присмотрись к номерам, и ты всё поймёшь, – посоветовал Кот.

Алиса взяла подзорную трубу и увидела, что номер каждой королевы совпадает с номером той пешки, которая с ней танцует!

– Я поняла! – воскликнула Алиса. – Раз Королевы и пешки есть со всеми номерами, то для любой пешки нашлась королева с таким же номером! И ни одна пешка не осталась в стороне. Действительно, очень удобно, что на этом балу у всех фигур есть номера!

– На таком балу это просто необходимо! – отозвался Кот. – Но смотри: сейчас будут танцевать все фигуры!

– Неужели каждый король будет танцевать с королевой и пажом? – удивилась Алиса. – Странный какой-то танец втроём...

Вальс сменился котильоном, и, к удивлению Алисы, оказалось, что все снова танцуют парами! Взяв подзорную трубу, Алиса увидела, что королевы с чётными номерами танцуют с пажами, а королевы с нечётными номерами – с королями. И поэтому королев хватило и пажам и королям!

– Всё это очень похоже на фокусы! – воскликнула Алиса.

– Никаких фокусов! – торжественно заявил Кот. – Всё строго по правилам. Просто ты ещё не привыкла к бесконечным множествам... Приглашаю тебя на танец!

– Как же мы будем здесь танцевать? – удивилась Алиса, показывая на маленькую корзину воздушного шара.

Вместо ответа Кот потянул какую-то верёвочку, и шар начал плавно снижаться.

Через несколько минут корзина коснулась шахматного паркета. Кот привязал её к серебряному крюку, который оказался как раз рядом с ними, и Алиса под руку с Чеширским Котом ступила на паркет.

Алисе никогда в жизни не приходилось танцевать котильон, но оказалось, что она прекрасно знает все фигуры. А Чеширский Кот танцевал с такой поразительной грацией, будто всю жизнь занимался только бальными танцами!

Скоро Алиса заметила, что вокруг них начали появляться её знакомые.

Кубарем катался под музыку Шалтай-Болтай: он был цел-целёхонек!

Лев и Единорог исполняли танец, похожий чем-то на смертный бой за корону.

Белый и Чёрный Рыцари гарцевали на белой и чёрной лошадях; при этом и Рыцари, и лошади вежливо раскланивались друг с другом.

Шляпник и Мартовский Заяц, пританцовывая, пили чай. Они держали большой поднос, на котором крепко спал Соня – он сидел верхом на чайнике и качал головой точно в такт музыке.

Грифон танцевал с Черепахой Будто; она танцевала в три раза медленнее, чем Грифон, но оба они танцевали с большим удовольствием.

Братья Ха-Ха и Ах-Ах весело отплясывали в своих шляпах для ног – при этом братцы так высоко подбрасывали ноги, что их шляпы для ног оказывались выше, чем настоящие шляпы!

Король Червей галантно вёл Королеву Червей – она была всё так же сурова, но здесь её никто не боялся.

Валет Червей танцевал... угадайте, с кем? С Герцогиней!

– Неужели Младенец всё-таки заснул? – с улыбкой спросила Алиса Герцогиню.

Вместо ответа Герцогиня показала глазами на воздушный шар: в корзине сидел Младенец и с интересом смотрел по сторонам.

Вдруг Алиса заметила, что канат, которым корзина привязана к серебряному крюку, вот-вот развяжется!

– Младенца сейчас унесёт одного! – мелькнуло в голове у Алисы.

Она бросилась к воздушному шару, но не успела: узел развязался совсем, и корзина уже оторвалась от паркета. В последний момент Алиса прыгнула в корзину.

– Вдвоём нам будет веселей! – обрадовался Младенец. Шар начал набирать высоту. Алиса глянула вниз: все подняли головы и смотрели вслед улетающему воздушному шару. Алиса помахала рукой, и в ответ внизу закачался лес рук.

– До свидания! – крикнула Алиса, и руки замахали чаще. Она погладила Младенца по голове, и он почему-то замурлыкал; волосы у Младенца оказались удивительно пушистыми.

Чем выше поднималась Алиса, тем ярче сверкали короны на головах королей и королев. Наконец, блеск бесконечного множества корон стал нестерпимым, Алиса зажмурилась и... проснулась!

Она сидела на диване, свернувшись калачиком. Прямо в лицо ей светили из окна лучи заходящего солнца, на коленях лежал раскрытый учебник математики, а пальцы Алисы погрузились в тёплую шерсть Дины – кошка спала рядом с Алисой и тихонько мурлыкала.

– Ты даже не представляешь, какой мне приснился удивительный сон! – сказала Алиса.

Кошка приоткрыла глаза и посмотрела на Алису таким взглядом, что Алиса поняла: Дина всё знает, но просто не считает нужным об этом рассказывать...

Алиса перевернула несколько страниц учебника, и ей показалось, будто числа и фигуры подмигивают ей, как старые знакомые.

– Я должна рассказать свой сон мистеру Доджсону, – подумала Алиса. – В моём сне была и сказка и математика – и в том и в другом мистер Доджсон разбирается лучше всех!

МОЖЕТ ЛИ ЧАСТЬ РАВНЯТЬСЯ ЦЕЛОМУ?

Любой нормальный человек скажет, что не может, потому что часть меньше целого!

Однако Галилей не был нормальным человеком – он был великим учёным. Поэтому он сомневался во всём и подвергал проверке всё, что мог проверить. Возьмём, сказал он, бесконечный ряд натуральных чисел:

В этом ряду некоторые числа являются квадратами, например, 1, 4, 9, 16. Однако чем дальше движемся мы вдоль натурального ряда, тем реже будут встречаться квадраты: среди первых ста натуральных чисел мы найдём десять квадратов (одна десятая часть от ста), а среди первого миллиона натуральных чисел – только тысячу квадратов (это всего одна тысячная часть от миллиона). В путешествии по натуральному ряду нам встретятся участки любой длины, состоящие только из чисел – «неквадратов»: например, после триллиона идут подряд два миллиона чисел, каждое из которых не является квадратом! Зато стоящие рядом квадраты не попадутся нам никогда!

А теперь, зная всё это, скажите – чего больше: всех натуральных чисел или только квадратов?

Ответ, казалось бы, не вызывает сомнений: ведь числа-квадраты – это только малая часть всех чисел! Однако давайте, следуя Галилею, напишем под каждым натуральным числом его квадрат:

Этот ряд мы можем продолжать сколько угодно: ведь у любого натурального числа есть квадрат. Но это как раз и означает, что квадратов столько же, сколько всех натуральных чисел! А значит, часть действительно равна целому!

Таково поразительное свойство бесконечных множеств, открытое Галилеем. Этим свойством обладают, конечно, только бесконечные множества! Потому оно и кажется нам таким необычным – ведь в жизни мы не встречаемся и никогда не встретимся с бесконечными множествами.

Бесконечность – это гениальная выдумка математиков, и единственное требование к этой выдумке состоит в том, чтобы в ней не было «обмана», то есть противоречий. Однако для того, чтобы выполнить это требование, приходится отказаться от многого из того, к чему мы привыкли, имея дело с конечными множествами. И прежде всего – от аксиомы, что часть всегда меньше целого!

Чтобы вам легче было отказываться от «конечных» привычек, приведём ещё один пример. Оставим в ряду натуральных чисел только каждое десятое число:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...

Заметьте, что «девять десятых» всех натуральных чисел мы при этом отбросили! А теперь сделаем «фокус» – зачеркнём у каждого из оставленных чисел нуль в конце. Что мы получим? Конечно, снова весь натуральный ряд – он, оказывается, ничуть не уменьшился от того, что мы оставили только «одну десятую» его часть!

Если хотите, можете оставить всего лишь «одну миллионную» часть натурального ряда, то есть числа:

1 000 000, 2 000 000, 3 000 000, 4 000 000, ...

Зачеркните теперь у всех чисел последние шесть нулей, и... «одна миллионная» часть тут же превратится в «целый» натуральный ряд! Он поистине «возрождается из пепла», как сказочная птица Феникс. Теперь вам, наверное, стали понятней и те правила грандиозного «шахматного бала», который наблюдали Алиса с Чеширским Котом.

Теорию бесконечных множеств создали в XIX веке чешский математик Больцано и немецкий математик Кантор. Они догадались, что сравнивать бесконечные множества можно единственным способом: составляя из элементов этих множеств пары (помните танцующие пары на «шахматном балу»?). И если можно составить пары так, что любому элементу первого множества найдется «компаньон» среди элементов второго множества, а любому элементу второго – «компаньон» среди элементов первого множества, причём каждый элемент входит в одну пару, то следует считать, что оба множества содержат элементов поровну.

Было строго доказано, что такой способ сравнения множеств не приводит к противоречиям, хотя при этом и возникают «чудеса», подобные описанным выше. Более того, появляются и новые «чудеса»: например, оказывается, что отрезки разной длины содержат одинаковое «число» точек! Вот как это доказывается:

Из этого рисунка видно, как можно составлять «пары» из точек двух отрезков – короткого и длинного. При этом, действительно, все точки обоих отрезков «собираются в пары»!

Можно доказать и большее – что на любом отрезке столько же точек, сколько на всей бесконечной прямой! Мы это сделаем в два приёма. Сначала докажем, что на отрезке столько же точек, как на полуокружности:

А теперь докажем, что на полуокружности столько же точек, сколько на всей прямой:

(может быть, некоторые из вас заметили, что для двух крайних точек полуокружности не нашлось точек-«компаньонов» среди точек прямой, но эта проблема легко решается: можно было, например, с самого начала взять отрезок без крайних точек).

А как вы думаете, где больше точек – во всём квадрате (включая его «внутренность») или только на одной его стороне?

Сам Кантор, «отец» теории бесконечных множеств, был уверен, что в квадрате точек больше. На поиски доказательства этого «очевидного» факта у него ушло три года, и в конце концов он доказал, что... точек в квадрате столько же, сколько на одной его стороне! Поражённый этим выводом, Кантор писал другому математику: «Я вижу это, но не верю этому». И тем не менее доказательство было безупречным (мы его здесь не приводим – оно не очень простое!).

Может быть, вы решили уже, что все бесконечные множества «одинаковы», то есть содержат одинаковое «число» элементов? Оказывается, и это не так: тот же Кантор показал, что существует бесконечно много разных бесконечных множеств, причем одни из них в «бесконечное число раз» больше других! Например, точек на отрезке «больше», чем всех натуральных чисел. Однако точный смысл слова «больше» для бесконечных множеств не так просто объяснить, да и, кроме того, мы побаиваемся, что у вас и так уже закружилась голова от «бесконечных чудес» с бесконечными множествами!

А если она еще не совсем закружилась, то вы, наверное, задались вопросом: зачем нужны бесконечные множества? Может, это только блестящая игра ума, которую математики придумали себе для развлечения?

Дело в том, что вся математика пронизана идеей бесконечности: ведь почти в любой теореме говорится о бесконечном множестве каких-то предметов, например, чисел или фигур (помните теорему о сумме углов любого треугольника?). И вот для того, чтобы математические доказательства были строгими, математикам и пришлось овладеть бесконечностью – иного способа доказывать, что в их великой «выдумке» нет «обмана», просто не существует!

Напомним на прощанье слова великих математиков двадцатого века.

Пуанкаре: «Если кто-нибудь захочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что математика – это наука о бесконечности».

Гильберт: «Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу, как проблема бесконечности».

НЕБЫЛИЦА О ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЕ, ЖИВУЩЕМ В БЕСКОНЕЧНОЙ ВСЕЛЕННОЙ

 
Галилей глядит на небо
В самодельный телескоп,
Галилей от удивленья
Морщит свой высокий лоб:
 
 
Там, где Млечный путь проходит,
Видит ясно наш герой
Вместо чуть заметной дымки
Бесконечный звёздный рой!
 
 
– Как огромно мирозданье! —
Восклицает Галилей,
И его воображенье
Разгорается сильней:
 
 
Может, где-то есть планета,
Очень сходная с Землёй,
Может, там есть тоже море,
И шумит морской прибой?
 
 
Галилей глядит на небо,
И фантазия его
Обнимает мирозданье...
Но не знает он того,
 
 
Что сейчас на той планете
Кто-то тоже морщит лоб
И разглядывает небо
В самодельный телескоп,
 
 
И его воображенье
Тоже всё смелей, смелей...
И он тоже носит имя —
Галилео Галилей!