Текст книги "Алиса в стране математики"

Автор книги: Лев Генденштейн

НЕБЫЛИЦА ОБ АРХИМЕДЕ, КОТОРЫЙ ПЕРВЫМ ДОГАДАЛСЯ, ЧТО СЧИТАТЬ МОЖНО БЕЗ КОНЦА

 
Решив однажды ночь не спать,
Великий Архимед
Задумал звёзды сосчитать —
Но наступил рассвет.
 
 
Загадку счёта разгадать
Немедленно решив,
Он капли в море стал считать —
Но начался отлив.
 
 
Тогда он тяжело вздохнул,
Потёр себе висок,
И, притащив трехногий стул,
Он сел считать песок.
 
 
Сидел, считал, кряхтел, сопел,
И много насчитал,
Но ветер с моря налетел —
И весь песок смешал.
 
 
– Считать я буду просто вслух! —
Мудрец в сердцах решил.
Он громко досчитал до двух —
И сон его сморил.
 

КАК ДЕЛИТЬ И КАК ДЕЛИТЬСЯ

Летя в межзвёздном пространстве, Алиса чувствовала себя как на мягкой-мягкой (бесконечно мягкой!) перине. Глаза её начинали слипаться, и она заснула.

Когда Алиса проснулась, всё вокруг изменилось до неузнаваемости: небо было уже не звёздным, а голубым, и на нем ярко сияло солнце. Купаться в солнечных лучах было очень приятно – оказалось, что Алиса порядком озябла в межзвёздном пространстве. Вдруг она вспомнила, что летит вслед за Шалтаем-Болтаем, повернула голову и увидела, что падает на город с островерхими башнями! Впереди неё падал Шалтай-Болтай – он всё так же медленно вращался и, кажется, спал.

Город был ещё далеко, и башни казались игрушечными, но они росли прямо на глазах. Алиса различила шпили на башнях и вся съёжилась. Однако скоро стало ясно, что они с Шалтаем-Болтаем падают на городскую площадь, посреди которой бьёт фонтан.

– Что же с нами будет? – в тревоге подумала Алиса, и в тот же миг Шалтай-Болтай упал на площадь и разбился. Скорлупа разлетелась на мелкие кусочки, но желток сохранился в целости.

– Если я упаду на него, то разобью его совсем! – мелькнуло в голове у Алисы.

Она закрыла глаза и изо всех сил пожелала, чтобы она не добила Шалтая-Болтая и не разбилась сама. В ту же секунду она всем телом ощутила упругую прохладу – ей показалось, что она упала на мокрый диван. Открыв глаза, Алиса обнаружила, что покачивается на вершине струи фонтана. Внизу, возле самого фонтана, в обломках скорлупы лежал Шалтай-Болтай.

Алиса соскользнула по струе и бросилась к Шалтаю-Болтаю. Желток всё ещё подрагивал после удара.

– Он жив! – обрадовалась Алиса. – Но как же его собрать?

Она огляделась: кусочки скорлупы были разбросаны по всей площади.

В этот момент на площадь выбежали два воина.

– Это, наверное, королевская рать, – догадалась Алиса. – Но неужели это вся рать? А где же конница?

И тут на площадь вылетел всадник.

– Половина моя! – крикнул всадник воинам, осаживая коня перед самым Шалтаем-Болтаем. – Вам и по четверти хватит!

– Конница у короля тоже не очень большая, – подумала Алиса. – Но они, кажется, хотят не собирать Шалтая-Болтая, а разбирать!

Она хотела уже вмешаться, но вдруг воины и всадник замерли: послышалась барабанная дробь. Алиса оглянулась и увидела, что по одной из улиц к площади приближается целое войско. Впереди шли полковые музыканты, а перед музыкантами на белом коне ехал шахматный Белый Король.

Слева от Короля величественно ступал Лев, а справа вразвалочку шёл Единорог. Алиса вспомнила песенку:

 
Вёл за корону смертный бой со Львом Единорог.
Гонял Единорога Лев вдоль городских дорог,
Кто подавал им чёрный хлеб, а кто давал пирог,
А после их под барабан прогнали за порог...**
  Старинная английская песенка (перевод Д.Г. Орловской). Эта песенка появилась в семнадцатом веке, когда Англия и Шотландия объединились и был принят новый британский герб, на котором английский лев и шотландский единорог поддерживают королевский щит (они его поддерживают до сих пор!).


[Закрыть]
 

Через несколько минут конница и рать заполнили всю площадь.

– Бедные скорлупки! – с жалостью подумала Алиса. – От них, наверное, остались одни крошки...

Она охраняла желток, но толпа всё напирала и напирала.

– Стойте! – изо всех сил крикнула Алиса.

Воины сразу остановились, а Белый Король посмотрел на Алису с изумлением.

– Ты кто такая? – спросил он.

Алиса вежливо представилась и даже сделала реверанс.

– Тебя здесь быть не должно, – решительно заявил Король, – в песне поётся только о Шалтае-Болтае, королевской коннице и королевской рати. Никакой Алисы в песне нет!

– В песне нет, а здесь я есть! – возразила Алиса, загораживая Шалтая-Болтая.

– Его должна собирать королевская конница и королевская рать! – показал Король на Шалтая-Болтая. – Причем вся! – крикнул он, обращаясь к своим воинам, и те в ответ загудели. Толпа снова начала напирать.

– Назад! – отчаянно закричала Алиса. – Если уж на то пошло, – обратилась она к Королю, – то в песне поётся, что вся королевская конница и вся королевская рать не сможет Шалтая-Болтая собрать!

– А ведь и правда, – удивился Король и оглянулся. – Неужели у меня такое маленькое войско?

– Оно, наоборот, слишком большое, – сказала Алиса. – Всадников и воинов много, а Шалтай-Болтай – один!

– Ну и что? – возразил Король. – Единица делится на любое число!

– Единица делится только на единицу! – заявила Алиса. – И поэтому собирать Шалтая-Болтая должна я одна.

Тогда Белый Король полез в карман, вытащил платок с королевским вензелем и помахал им перед Алисой.

– Этот платок один? – спросил он.

– Один, – подтвердила Алиса, и Король одним движением разорвал платок пополам.

– Вот я и разделил один на два, – сказал Король, держа в каждой руке по половинке платка. – Можно делить и дальше, – добавил он и разорвал пополам половинки.

– Хватит, – остановила его Алиса. – Я поняла.

– Ты, наверное, знакома пока только с натуральными числами, —предположил Король, раскладывая по карманам четвертушки платка. – Надо бы познакомить тебя и с дробными... Где Лев и Единорог? – неожиданно обернулся он.

– Мы здесь, – выбрались из толпы Лев и Единорог.

– Вот вам два яблока на троих, – сказал Король, вынимая из кармана мантии два больших красных яблока и протягивая их Алисе. – Разделите!

– Мне – львиную долю! – тут же предложил Лев.

– А что это значит? – поинтересовалась Алиса, держа в каждой руке по яблоку.

– Половина яблока полагается мне как царю зверей, – начал объяснять Лев, – ещё половину должна получить моя жена-львица, и половина яблока причитается моим львятам...

– Всем львятам – только пол-яблока? – не удержалась Алиса. – По сколько же достанется каждому?

– Это неизвестно, – пожал плечами Лев. – Ведь одни львята сильнее, а другие слабее...

– А кому, по-твоему, должна достаться последняя половина яблока? – перебил его Король.

– За неё я готов вести смертный бой с кем угодно! – заявил Лев, и Единорог вытащил руки из карманов.

– Твой способ деления мне не очень нравится, – сказал Король, обращаясь ко Льву. – Я хотел бы, чтобы вы разделили эти яблоки поровну.

– Поровну я делить не умею, – извиняющимся тоном сказал Лев. – Как-то не приходилось...

– Можно очень просто разделить эти яблоки так, чтобы они получили поровну, – неожиданно произнёс Единорог, показывая на Льва и на Алису.

– Как? – заинтересовался Король.

– Надо отдать оба яблока мне! – ответил Единорог.

– Этот способ слишком прост, – заметил Король. – Я хочу, чтобы вы все получили поровну!

– Давайте я попробую разделить яблоки, – предложила Алиса. – Только мне нужен нож.

Король вынул из кармана мантии перочинный ножик, раскрыл его и протянул Алисе.

– Если бы у нас было одно яблоко на троих, каждому досталась бы одна третья часть яблока, – рассудила Алиса.

Она разрезала одно яблоко на три равные части и дала Льву и Единорогу по одной трети.

– А теперь разделим так же и второе яблоко... – и она протянула Льву и Единорогу ещё по одной трети яблока.

– Ну вот, делить два на три ты уже умеешь, – сказал Король. – Получается каждому по две трети...

– Каждому не получается, – возразил Лев, возвращая Алисе свои две трети яблока. – Деление поровну наводит на меня тоску!

– Вы же были готовы вести смертный бой за половину яблока, – удивилась Алиса. – А две трети – это, кажется, больше, чем половина?

– Больше, – подтвердил Король. – Я вижу, ты уже поняла, что такое дробные числа.

– Ещё не совсем, – честно призналась Алиса.

– Ты просто ещё не поняла, что уже поняла, – объяснил Король. – Половина, четверть, одна треть, две трети, одна шестая – это все дробные числа.

– Благодаря этим числам ты можешь делить теперь любое число на любое, – небрежно заметил Единорог.

– Не на любое, – вмешался вдруг Лев. – Вот тут уж я действительно готов вести смертный бой!

– Не надо, старина, – остановил его Единорог. – Ты прав: нельзя делить на нуль!

– Даже если очень захочется, – добавил Лев.

– Я не буду делить на нуль, – пообещала Алиса. – А на все остальные числа делить можно?

– Можно, – ответил Король.

– Делить можно, а делиться нужно! – заметил Единорог и выразительно посмотрел на «львиные» две трети яблока в руках у Алисы.

Алиса протянула Единорогу одну треть яблока и с беспокойством посмотрела на Шалтая-Болтая.

– Его надо поскорее собрать! – озабоченно сказала она.

– Сейчас мы соберём его все вместе! – воскликнул Король. – Раз единицу можно делить на сколько угодно частей, работа найдётся каждому...

– Не надо делить Шалтая-Болтая на сколько угодно частей! – взмолилась Алиса. – Давайте я соберу его сама.

– Хорошо, – подумав, согласился Король. – И за это ты получишь награду!

– Не нужна мне никакая награда, – сказала Алиса, – пусть только ваши воины уйдут с площади, чтобы я могла собрать Шалтая-Болтая!

– От королевских наград не отказываются! – обиженно заявил Король.

– А какая награда? – поинтересовалась Алиса.

– Большой шоколадный торт с орехами, – торжественно произнёс Король.

– От такой награды отказаться трудно! – признала Алиса.

– Только давай так, – сказал Король, – если ты сама не сможешь собрать Шалтая-Болтая, тогда ты мне дашь шоколадный торт!

– Где же я его возьму? – развела руками Алиса.

– Где хочешь, – сказал Король. – Иначе я не согласен.

– Что же делать? – с тревогой подумала Алиса. – Они вот-вот растопчут бедного Шалтая-Болтая!

– Хорошо, я согласна! – решилась она.

Король подал знак, но на площади скопилось так много воинов, что они не могли развернуться, и поэтому им пришлось уходить задом-наперёд. Из-за этого Алисе показалось, будто время потекло вспять.

– Вот если бы всё так и шло в обратном порядке до того момента, когда Шалтай-Болтай был ещё цел! – подумала она. – Но только побыстрее...

И сразу же движение воинов ускорилось; через минуту войско, пятясь, замаршировало по улице; за войском, тоже задом-наперёд, гордо шли барабанщики с высоко поднятыми головами – барабанная дробь слилась в сплошной треск. За барабанщиками бегом пятились Лев и Единорог, а последним ехал Белый Король: он величественно держался в седле, а конь его бежал задом-наперёд, перебирая стройными ногами.

Не успела Алиса опомниться, как площадь опустела – возле Шалтая-Болтая остались только всадник и те два воина, которые появились первыми. Всадник что-то пискнул на непонятном языке («в его словах все звуки тоже наоборот!» – догадалась Алиса), и, двигаясь задом-наперед, всадник и воины умчались с площади.

В следующую секунду неведомая сила потащила Алису в бассейн, окунула в воду и подбросила на вершину струи фонтана. Ещё мгновение – и Алиса, совершенно сухая, взлетела со струи вверх и стала подниматься все выше и выше.

Сверху она увидела, как со всей площади к Шалтаю-Болтаю начали слетаться кусочки скорлупы, и вот уже он, целый и невредимый (и даже спящий!) полетел вверх, вслед за Алисой.

– Стоп! – крикнула Алиса. – Теперь снова вниз, но пусть никто из нас не разобьётся!

На этот раз оба – Шалтай-Болтай и Алиса – упали в фонтан: Шалтай-Болтай попал на струю, а Алиса упала в бассейн.

– Где я?! – завопил Шалтай-Болтай, сразу проснувшись.

– Прыгайте в бассейн! – крикнула снизу Алиса. – Вы не разобьётесь!

Шалтай-Болтай прокатился по верхушке струи и плюхнулся вниз, подняв тучу брызг. Алиса схватила его за руку, и они выбрались из воды.

Посмотрев в ту сторону, куда ушла королевская рать, Алиса увидела Короля. На этот раз он шёл пешком, а за ним в две шеренги по четыре в ряд вышагивали поварята в больших белых колпаках.

– Теперь у Короля совсем другая рать, – подумала Алиса.

Король подошел к Шалтаю-Болтаю и внимательно его осмотрел. Тот, скосив глаза, с подозрением следил за Королём.

– Ни одной трещинки! – произнёс, наконец, Король и дружески похлопал Шалтая-Болтая по плечу (или по щеке?).

Неизвестно, понравилось это Шалтаю-Болтаю или нет, но он тут же побежал к стене, идущей вдоль одной стороны площади, и, высоко подпрыгнув, уселся на стене, скрестив ножки по-турецки.

– Неплохо, – одобрительно отозвался Король, проследив взглядом за Шалтаем-Болтаем.

Алиса тоже посмотрела в ту сторону, и ей бросилось в глаза, что стена увита плющом с огромными листьями – листья были в половину её роста. А, кроме того, она увидела, что Шалтай-Болтай превратился в нуль!

– А где же другие числа? – почему-то подумала Алиса и тут же увидела их: справа от нуля вдоль стены на равных расстояниях друг от друга стояли красивые цифры 1, 2, 3, 4... – Алиса сразу узнала натуральный ряд!

А посмотрев вдоль стены влево, Алиса увидела те же числа. Но они стояли в обратном порядке, причем перед каждым числом почему-то стоял знак «минус»!

– Этими числами размечена дорога для королевских прогулок, – объяснил Король. – Дорога идёт вдоль стены, и расстояние между соседними числами равно как раз одному королевскому шагу. – Он повернулся к поварятам и приказал:

– Бегом на кухню, испеките торт и принесите его к «минус тысяче»! Но имейте в виду: этот торт – королевская награда, – со значением добавил он.

– К «минус тысяче»? – удивилась Алиса. – Что бы это значило?

Однако поварята всё поняли: они мигом развернулись и, обгоняя друг друга, умчались.

– Давай прогуляемся в ожидании торта, – предложил Король. – Заодно нагуляешь аппетит.

– Для торта у меня всегда есть аппетит, – призналась Алиса.

– Для такого торта, какой тебе принесут, аппетит нужен особый, – заверил Король, подал Алисе руку и повёл её по дороге для королевских прогулок вправо от нуля.

КОГДА ЧЕЛОВЕК ПОБЕДИЛ ДРОБИ

Лет триста назад дроби считались вершиной премудрости: правилам действий с дробями обучали не в школах, а в университетах! Даже сами учёные находили эти правила весьма странными – один итальянский учёный писал: «Как получается, что умножение на дробь приводит к уменьшению? Ведь умножение должно всегда увеличивать!».

Что же заставило заняться «укрощением» дробей – делом, которое растянулось на тысячелетия?

У немцев до сих пор сохранилась поговорка «попал в дроби» – это значит: человек попал в такое положение, что ему не позавидуешь

Первым «упражнением на дроби» был делёж охотничьей добычи: убитого медведя или мамонта надо было разделить на всех членов племени. При этом, конечно, не всегда удавалось разделить на равные части! Отголосок тех времён сохранился и в нашем языке: когда мы делим что-то на две неравные части, мы иногда говорим «большая половина» и «меньшая половина», не замечая даже, что половина не может быть «большей» или «меньшей»!

Со временем, однако, появилась потребность делить и на равные части – например, зерно или поле для посева. И тогда появились дроби: одна вторая, одна треть, одна четвёртая и так далее – такие дроби называются основными.

Другой причиной появления дробей была потребность в измерениях. Чтобы делить поле на участки, обменивать зерно и ткани или следить за временем, надо было научиться измерять площадь, объём, длину, время. Однако в результате измерения не всегда получалось натуральное число: часто приходилось учитывать и части меры – половину, четверть, одну шестую и так далее

При измерениях важно сравнивать величины, а для этого основные дроби совсем не подходят: попробуйте, например, сразу сказать, что больше – одна вторая плюс одна двенадцатая или одна треть плюс одна четверть?

Намного удобнее было бы, конечно, использовать при измерениях одни и те же части и указывать, сколько таких частей надо взять: например, сразу ясно, что двадцать три шестидесятых меньше, чем двадцать пять шестидесятых. И можно даже сразу сказать, на сколько меньше – ровно на две шестидесятых! Мы не случайно взяли шестидесятые части: первыми делить на одинаковые доли догадались древние вавилоняне, которые считали не десятками, а «шестидесятками», поэтому и доли у них были шестидесятые. А когда деления на шестьдесят частей было недостаточно, одну шестидесятую часть делили ещё на шестьдесят частей – получались «три тысячи шестисотые» части. Вам это ничего не напоминает? Тогда взгляните на часы: каждый час разделен на шестьдесят минут, а каждая минута – на шестьдесят секунд! Это привет от вавилонян, которых давно уже нет!

Вавилонские дроби оказались очень удобными для научных измерений (особенно в астрономии), и этими дробями европейские учёные пользовались даже в эпоху Возрождения: натуральные числа записывались в десятиричной системе – так же, как мы это делаем сегодня, а дроби всё ещё оставались «шестидесятиричными»! Казалось бы, надо сделать всего один шаг, чтобы перейти от шестидесятых и «три тысячи шестисотых» долей к десятым и сотым долям, но этот шаг оказался почему-то очень трудным: десятичные дроби ввёл арабский математик ал-Каши только в XV веке. Однако и тогда эти дроби до Европы не добрались – их ввёл в употребление голландский учёный Стевин только в конце XVI века!

Меры в старину отличались удивительным разнообразием! Скажем, расстояние между деревнями измерялось иногда в курительных трубках: сколько можно выкурить трубок, идя от одной деревни до другой. А в Англии долгое время использовалась мера длины «ярд» – эта мера была установлена указом короля Генриха I и равнялась расстоянию от кончика носа короля до конца среднего пальца его вытянутой руки. Это была очень удобная мера: для проверки ее правильности достаточно было просто позвать короля и попросить его вытянуть руку!

Сегодня мы пользуемся главным образом десятичными дробями, чаще всего – в виде процентов. Слово «процент» происходит от латинского слова «центум» (сто): один процент – это одна сотая часть.

Об отношении древних греков к дробям стоит сказать особо: здесь, как и во многом другом, греки оказались непохожими на других. Греческие купцы и строители пользовались дробями вовсю – как без дробей торговать и строить? А вот учёные дробей не признавали! Греческий учёный Платон, который жил в IV веке до нашей эры, писал: «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать».

Как ни странно, причиной такого удивительного непризнания дробей был именно высокий уровень греческой математики: греки считали математику наукой строгой и точной, а дроби представлялись им чем-то приближенным, неточным, и, значит, недостойным настоящего учёного. Единственное исключение сделали для музыки: когда Пифагор создал первую теорию музыки, он связал основные гармонические интервалы – октаву, квинту и кварту с дробями – одной второй, двумя третями и тремя четвертями.

И только Архимед, который много занимался практическими приложениями математики (например, он строил боевые машины для защиты Сиракуз от римлян), решился нарушить запрет на использование дробей в «чистой» науке. При этом он сразу ввёл в употребление дроби общего вида – такие, как пять девятых или двадцать две седьмых, то есть любое число любых долей.

Через шестьсот лет после Архимеда другой греческий математик, Диофант, впервые стал рассматривать дроби как числа, а не как доли какого-то предмета или меры. Однако и после Диофанта прошло ещё больше тысячи лет, прежде чем учёные начали изучать дробные числа «сами по себе».

Так произошло первое увеличение «семьи чисел»: к натуральным числам присоединились дробные. С тех пор продолжают появляться всё новые и новые числа и, пока на свете существуют математики, конца новым числам не будет!

НЕБЫЛИЦА О САДЕ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ, КОТОРЫЙ НАЗЫВАЛСЯ АКАДЕМИЕЙ

 
В Древней Греции когда-то
Был довольно странный сад:
Почему-то не пускали
В этот странный сад ребят!
 
 
Там, гуляя по аллеям,
Мудрецами окружён,
Рассуждал о мирозданьи
Их учитель, сам Платон.
 
 
Больше двух тысячелетий
С той поры прошло, и вот
Академий стало много —
Им давно утерян счёт.
 
 
Но, как прежде, не пускают
В академии детей,
Потому там не бывает
Неожиданных затей,
 
 
Ни в одной из академий
Нет весёлых сорванцов,
Ну а в некоторых даже...
Не увидишь мудрецов.
 

КОРОЛЕВСКАЯ ПРОГУЛКА

– А если бы я не собрала Шалтая-Болтая? – спросила Алиса, когда они с Белым Королём пошли по дороге для королевских прогулок. – Ведь я не смогла бы дать вам торт: у меня ничего нет!

– Ну что ж, – пожал плечами Король, – значит, у тебя стало бы тогда ещё меньше, чем ничего!

– Но разве бывает меньше, чем ничего? – удивилась Алиса.

– Конечно, бывает, – сказал Король. – Например, если ты кому-то должна, у тебя ведь меньше чем ничего, правда?

– Правда, – согласилась Алиса.

– Вот ты и была бы должна мне один торт. Можно сказать, – добавил Король, – что у тебя тогда стал бы минус один торт.

– Минус один? – переспросила Алиса.

– Это число, которое на единицу меньше нуля, – пояснил Король.

– Но разве бывают числа меньше нуля? – ещё больше удивилась Алиса.

– Сколько угодно, – охотно отозвался Король. – Берёшь любое число, большее нуля, скажем, пять, отнимаешь его от нуля – и, пожалуйста – получаешь «минус пять», число, которое на пять меньше нуля! У таких чисел и название есть – отрицательные числа.

– А как называются числа, которые больше нуля? – спросила Алиса.

– Положительные, – ответил Король.

– Значит, отрицательных чисел столько же, сколько положительных? – догадалась Алиса.

– Ровно столько же, – подтвердил Король. – И тех и других бесконечно много!

– А сам нуль – какое число, положительное или отрицательное? – спросила Алиса.

– Нуль – единственное число, которое не положительное и не отрицательное, – сказал Король.

– Так вот почему Шалтай-Болтай согласился теперь быть нулём! – подумала Алиса. – Он ведь так любит быть единственным в своём роде! Но зачем нужно так много отрицательных чисел? – снова спросила она. – Неужели только для долгов?

– Ты, наверное, думаешь, что число может отвечать только на вопрос «сколько?» – предположил Король.

– А на какой же ещё? – удивилась Алиса.

– Если я тебя спрошу, где мы сейчас находимся, что ты ответишь? – поинтересовался Король.

Алиса посмотрела по сторонам в поисках какой-нибудь приметы и обратила внимание, что они с Королём как раз проходят мимо числа «сто».

– Я бы сказала, что мы находимся на дороге для королевских прогулок возле числа «сто», – ответила Алиса.

– Ну вот, ты сама и ответила числом на вопрос «где?»! – воскликнул Король.

– Но ведь это число тоже отвечает на вопрос «сколько?» – возразила Алиса. – Оно говорит, сколько шагов вы сделали, отойдя от нуля.

– Дорога для королевских прогулок идёт от нуля в две стороны, – заметил Король. – Мы с тобой пошли вправо, но ведь могли пойти и влево! Однако если бы я прошёл сто шагов влево от нуля, разве я был бы там, где нахожусь сейчас?

– Конечно, нет! – сказала Алиса. – Вы были бы... – она секунду подумала, – вы были бы за двести шагов отсюда.

– Правильно, – отозвался Король. – Так вот: число «сто» говорит не только о том, сколько шагов я сделал, отойдя от нуля, но и в какую сторону я шел! Ведь «сто» – положительное число, а все положительные числа расположены справа от нуля.

– А сто шагов влево от нуля – это будет «минус сто»? – догадалась Алиса.

– Конечно, – подтвердил Король. – «Сто» и «минус сто» называют противоположными числами: они расположены на равных расстояниях от нуля, но с противоположных сторон.

– Так почему бы не говорить просто «сто шагов влево от нуля» или «сто шагов вправо от нуля»? – спросила Алиса. – По-моему, это было бы понятнее.

– Но зато не так удобно, – возразил Король. – Сейчас дорога размечена так, что когда идёшь вправо, числа всегда увеличиваются, а когда идёшь влево – уменьшаются!

– Даже если идти влево от нуля? – спросила Алиса. – Ведь тогда после числа «минус один» будет число «минус два»...

– Ты, наверное, забыла, что «минус два» на единицу меньше, чем «минус один», – напомнил Король.

– Действительно, забыла, – призналась Алиса. – Но почему мы идём всё дальше и дальше вправо от нуля, если торт принесут к числу «минус тысяча»? – спохватилась она. – Может, нам лучше развернуться и пойти влево – ведь аппетит можно нагуливать, гуляя в любую сторону!

– Во-первых, торт испекут не так скоро, – сказал Король, – а, во-вторых, короли просто так не гуляют. Как ты думаешь, зачем размечена дорога для королевских прогулок?

– Действительно, зачем? – удивилась Алиса.

– Во время прогулок я занимаюсь королевскими делами, и у меня бывают важные встречи, – объяснил Король. – А чтобы удобнее было назначать место встречи, я и приказал разметить эту дорогу.

– Это вы хорошо придумали, – сказала Алиса. – А где вы назначили встречу? Возле какого числа?

– Вот ты уже и привыкла, что число может отвечать на вопрос «где?», – заметил Король. – Меня должны ждать возле числа «триста», и, кажется, уже ждут!

И действительно, Алиса увидела впереди фигуры двух всадников. Скоро она различила, что это тоже шахматные фигуры – Белый Рыцарь и Чёрный Рыцарь**
  В Англии шахматный конь называется «рыцарем».


[Закрыть]. Каждый Рыцарь держал большую булаву с шипами.

Когда Алиса и Король подошли поближе, Рыцари почтительно поклонились.

– Что просил передать мне Чёрный Король? – спросил Белый Король.

Рыцари посмотрели друг на друга, и после некоторого молчания Белый Рыцарь торжественно произнёс:

– Я уступаю сэру Чёрному Рыцарю честь ответить на вопрос Вашего Величества.

Король вопросительно посмотрел на Чёрного Рыцаря, но тот произнёс не менее торжественно:

– А я уступаю эту честь сэру Белому Рыцарю. И снова воцарилось молчание.

– Они что – так и будут молчать всё время? – тихо спросила Алиса, и Король так же тихо ответил:

– Наверное, им придётся сразиться за право уступить другому: оба они очень благородны, потому что происходят из самых древних родов!

После молчания, которое затянулось минут на пять, Чёрный Рыцарь предложил:

– Решим наш спор в честном поединке.

Рыцари размахнулись своими страшными дубинами и первым же ударом свалили друг друга на землю – при этом раздался такой грохот, будто с третьего этажа бросили дюжину каминных щипцов.

Встревоженная Алиса подбежала к Рыцарям и увидела, что они, к счастью, живы: оба моргали глазами, пытаясь понять, что произошло. Разобрать, какой Рыцарь Белый, а какой Чёрный, стало невозможно: от пыли они стали серыми.

– Мы победили оба? – подняв голову, спросил один из Рыцарей.

– Вы оба побеждены! – заявил Белый Король. – И поэтому оба должны отвечать на мой вопрос первыми!

Гремя доспехами, Рыцари поднялись и сказали хором:

– Их Чёрное Величество передаёт привет Вашему Белому Величеству.

– Спасибо, – отозвался Король. – Может быть, Белый Король просил передать мне что-нибудь ещё, кроме привета?

– Кажется, просил, – так же хором сказали Рыцари и, наморщив лбы, уставились друг на друга.

– Наверное, у них при падении всё остальное вылетело из голов, – шепнула Алиса Королю.

– Уж лучше бы вылетел привет, – тихо отозвался Король.

– Их Чёрное Величество приглашает Ваше Белое Величество совершить прогулку по Китайскому Саду! – вспомнили одновременно оба Рыцаря.

– А где мы должны встретиться с Чёрным Королём? – спросил Белый Король.

– На перекрёстке двух аллей! – дружно ответили Рыцари.

– До этого я бы и сам догадался, – сказал Белый Король. – Но на каком перекрёстке? Ведь в Китайском Саду много аллей – и продольных и поперечных!

Рыцари снова наморщили лбы и посмотрели друг на друга.

– Придётся мне, видно, искать Чёрного Короля по всему саду... – огорчился Белый Король, но тут один из Рыцарей хлопнул по своему шлему железной перчаткой.

– Вспомнил! – воскликнул он, пошатнувшись от удара. – Этот перекрёсток находится на третьей продольной аллее!

– И на седьмой поперечной! – добавил второй Рыцарь, ударив по своему шлему.

– Хорошо, что вас двое! – обрадовался Белый Король. – Китайский Сад недалеко отсюда, – обратился он к Алисе. – Хочешь, я познакомлю тебя с Чёрным Королём?

– Мне бы очень хотелось, – сказала Алиса, предвкушая ещё одну королевскую прогулку, на этот раз с двумя королями!

Попрощавшись с Рыцарями, Король и Алиса свернули на боковую улочку и через несколько минут вышли к Китайскому Саду – он раскинулся внизу и был похож на шахматную доску с большими белыми и фиолетовыми клетками. Между клетками шли продольные и поперечные аллеи золотистого цвета.

– Как красиво! – воскликнула Алиса. – Но, по-моему, этот сад больше похож на шахматный, чем на китайский.

– Он и есть шахматный, – отозвался Король. – Только китайский шахматный.

– Что это значит? – не поняла Алиса.

– В китайских шахматах фигуры ходят не по клеткам, а по линиям, которые разделяют клетки, – объяснил Король. – И мы в нашем саду тоже гуляем по аллеям, а встречи назначаем на перекрёстках аллей.

– Странные деревья в этом саду, – заметила Алиса, когда они с Королём спускались в сад по красивой лестнице (лестница тоже была выложена в шахматную клетку). – Они похожи на огромные колокольчики – белые и фиолетовые...

– Это и есть колокольчики, – сказал Король. – Но почему ты говоришь, что они огромные? Они, правда, выше меня, но ведь колокольчики и должны быть выше шахматного короля!

– Значит, это я стала такой маленькой, – догадалась Алиса и вспомнила свой спор с Чеширским Котом, когда они встретились в межзвёздном пространстве.

– Получается, что прав был всё-таки Чеширский Кот, – подумала Алиса, – и это я тогда уменьшилась, а не он увеличился! Ну конечно, ведь я стала одного роста и с Шалтаем-Болтаем, и с шахматными фигурами... – Алисе вспомнились ещё огромные листья плюща на стене вдоль дороги для королевских прогулок, и она окончательно уверилась в том, что стала очень маленькой.

В другое время это, может быть, и огорчило бы Алису, но сейчас ей очень нравилось идти рядом с Белым Королём по аллеям, посыпанным золотым песком, под сенью белых и фиолетовых колокольчиков, которые тихо позванивали, наполняя воздух прозрачной музыкой.

Алиса заметила, что на каждом перекрёстке двух аллей стоит шахматная ладья, похожая на башню крошечного замка, и на каждой ладье написаны два числа.

– Это номера двух пересекающихся аллей – продольной и поперечной, – объяснил Король. – Как видишь, чтобы договориться о встрече на перекрёстке Китайского Сада, надо указывать не одно число, а два!

– А если бы на перекрёстках стояли многоэтажные башни, и встречи назначались в этих башнях, то понадобились бы три числа, – заметила Алиса. – Ведь надо было бы указывать ещё, на каком этаже башни назначена встреча!

– Это хорошая идея, – подумав, отозвался Белый Король. – Пожалуй, мы так и сделаем: построим на перекрёстках многоэтажные башни!

– Только вот может ли этаж быть отрицательным? – усомнилась Алиса.

– Конечно, может, – ответил Король. – У каждой уважающей себя башни должно быть по крайней мере несколько этажей внизу, под землёй!