Текст книги "Алиса в стране математики"

Автор книги: Лев Генденштейн

О БЕЗГРАНИЧНОЙ ДЕЛИМОСТИ И ЗАГАДКЕ ДВИЖЕНИЯ

В V веке до нашей эры в Древней Греции жил очень странный учёный: он прославился тем, что доказывал, будто не может быть того, что есть! Но даже самые великие из древних греков не могли найти ошибок в его рассуждениях.

Звали этого учёного Зенон. Например, он доказывал, что легендарный герой Ахилл, прекрасный бегун, не сможет догнать обыкновенную черепаху (рассуждения Зенона были очень похожи на рассуждения Грифона – помните, как тот сокрушался, что не сможет догнать Черепаху Будто?).

Вот как Зенон доказывал, что движение вообще невозможно. Прежде чем дойти до конца пути, говорил Зенон, надо дойти до половины пути. Однако прежде чем достигнуть половины пути, надо сначала пройти половину этой половины, то есть четверть пути, и так далее. А поскольку делить пополам можно без конца, то получается, что невозможно даже стронуться с места! Так же Зенон доказывал, что если кому-то все-таки удалось сойти с места, то дойти до конца пути ему никогда не удастся: ведь ему придётся пройти сначала половину всего пути, потом половину оставшейся половины и так далее... (помните рассуждения Алисы о том, что Соня не смог бы съесть весь торт?)

О Зеноне писал даже далёкий от математики Пушкин:

 
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
 

«Брадатый мудрец» – это и есть Зенон, а тот, который смолчал и стал ходить – известный философ Диоген (тоже, кстати, странный человек: он жил в бочке, считая, что лучшего жилья философу и не надо, и ходил днём с фонарём, приговаривая: «Я ищу человека»).

Зенон, конечно, видел, что движение есть, но дело в том, что древнегреческие учёные не умели описывать движение! Ведь движение непрерывно: за очень малые промежутки времени движущееся тело проходит очень малые расстояния, причём промежутки времени и расстояния можно делить на всё меньшие и меньшие части. Но как раз безграничной делимости древние греки и не признавали! Они считали, что при этом разрушается понятие числа – главное понятие всей греческой математики.

Представьте себе, какая огромная разница между целыми числами и дробными: у любого целого числа есть два ближайших «целых» соседа (целое число, которое на единицу меньше, и целое число, которое на единицу больше), а между любыми дробными числами находится бесконечно много других дробных чисел – ни у одного дробного числа ближайших «дробных» соседей нет! (Не напоминает ли это вам отсутствие последнего момента перед шестью часами?)

А благодаря открытию Пифагора, о котором мы недавно рассказывали, обнаружилось, что существуют числа, которые невозможно записать даже в виде дроби! Действительно, какой дробью можно представить длину диагонали квадрата со стороной единица, если у диагонали нет никакой общей меры со стороной? Когда сам Пифагор осознал значение своего открытия, он даже испугался (хотя был олимпийским чемпионом по кулачному бою!) и потребовал от своих учеников, чтобы они ни в коем случае не разглашали это открытие. Один ученик ослушался, и, согласно легенде, боги покарали его за это: он погиб во время кораблекрушения.

Страх перед безграничной делимостью длился почти два тысячелетия, и первые подходы к описанию непрерывного движения предприняли только Галилей и Декарт в XVII веке. (Мы уже писали о том, как Галилей открыл закон свободного падения тел). Становилось ясно, что для описания движения нужна совершенно новая математика, в которой возможность безграничной делимости принята за основу.

Создали такую математику в конце XVII века независимо друг от друга двое учёных – англичанин Ньютон и немец Лейбниц (хотя друзьями-то они как раз и не были!). Называется она «дифференциальное и интегральное исчисление». Справедливость требует сказать ещё, что «почву» для великого немца и великого англичанина подготовили два великих француза – Ферма и Паскаль; в своих работах они подошли вплотную к открытию дифференциального и интегрального исчисления.

НЕБЫЛИЦА О ТОМ, КАК НЬЮТОН РАЗГАДАЛ ЗАГАДКУ ДВИЖЕНИЯ

 
Планеты, вороны, телеги, кометы,
Коты, водопады, слоны и моржи,
Пловцы, бегуны, тараканы, кареты,
Медведицы, реки, ужи и ежи —
 
 
Однажды все замерли, полные грусти,
Пытаясь загадку движенья понять.
Кто всю карусель эту снова запустит?
Кто миру движенье подарит опять?
 
 
И тут проходил мимо Ньютон случайно,
Увидел, что мир почему-то застыл,
Немного подумал, и как бы нечаянно
Загадку движения он разрешил.
 
 
Планеты, вороны, телеги, кометы,
Коты, водопады, слоны и моржи,
Пловцы, бегуны, тараканы, кареты,
Медведицы, реки, ужи и ежи —
 
 
Все снова помчались, пошли, побежали,
Кто влево, кто вправо, кто вверх, кто вперёд!
Вороны кричали, колёса визжали,
А Ньютона сразу толкнул пешеход.
 

КТО КОГО ВИДИТ В ЗЕРКАЛЕ?

Через четверть часа тропинка привела Алису к опушке леса, но прежде чем войти в лес, Алиса остановилась.

– А вдруг там водятся дикие звери? – спросила она себя.

Ответа не последовало, и Алиса задала новый вопрос:

– Может, лучше вернуться?

– Нет, – сразу же ответила себе Алиса. – Во-первых, идти вперёд интересней, чем назад, а во-вторых, как же я узнаю, кто такие Ха-Ха и Ах-Ах!

И Алиса вступила в лес. Она шла и прислушивалась: не слышно ли рычания диких зверей? И вдруг её настороженное ухо уловило звуки человеческого голоса. Или это были два голоса?

Тут лес расступился, и Алиса вышла на большую поляну. Посреди поляны два маленьких толстеньких человечка о чём-то спорили, широко размахивая руками. Человечки были очень похожи и к тому же повторяли движения друг друга.

– Это один человек разговаривает со своим отражением в зеркале! – догадалась Алиса.

Ей захотелось познакомиться со странным человечком, но он был такой маленький, что Алиса боялась его испугать.

– Хорошо бы мне уменьшиться раза в три, – подумала Алиса и... с трудом удержала блюдо, которое стало вдруг величиной с пол-Алисы!

– Я уменьшилась, а блюдо осталось таким же, как было, – сразу поняла Алиса.

Она прислонила блюдо к дереву, отошла на несколько шагов и увидела в блюде себя в полный рост.

– Мы с тобой тоже можем побеседовать, – предложила Алиса своему отражению, и они обе поправили прически. – Ты точно такая же, как я, и поэтому будешь во всём соглашаться со мною. Это, конечно, приятно, но, знаешь, немного скучновато! – Тут Алиса снова посмотрела на странного человечка. – А ведь он-то спорит со своим отражением! Пойду узнаю: о чём они спорят? Отходя от зеркального блюда, Алиса увидела, что её отражение тоже начало отходить куда-то вглубь.

– До встречи на этом же самом месте! – помахав рукой, сказала Алиса, и отражение приветливо ответило ей.

Подходя к человечку, Алиса с удивлением обнаружила, что зеркало повторяет его движения не совсем точно. А когда она подошла поближе, то увидела, что отражение пытается у человечка что-то отобрать!

– С таким зеркалом я бы побоялась связываться, – подумала Алиса и вдруг догадалась, в чём дело.

– Это всё-таки два человека! – воскликнула она. – Но как они похожи друг на друга!

Человечки мигом прекратили возню, а предмет, из-за которого они готовы были подраться, со звоном упал на траву.

– Это мы-то похожи?! – в один голос вскричали они.

– Очень похожи, – подтвердила Алиса. – Таких похожих людей я не встречала ни разу в жизни!

– Но ведь у нас же нет ничего одинакового! – воскликнул один из человечков.

– Совсем ничего! – добавил другой. Приглядевшись, Алиса увидела, что у человечков, действительно, всё разное. И вообще, выглядели они более чем странно!

У каждого из них, например, было по одному башмаку с большим бантом, только у одного человечка башмак был на левой ноге, а у другого – на правой. Каждый человечек был одет в свитер, но у одного левая половина свитера была красная, а правая – синяя, а у другого наоборот: левая – синяя, а правая – красная. У одного из человечков на свитере большими белыми буквами было вышито «Ха-Ха», а у другого – «Ах-Ах». И, наконец, у каждого человечка было по синяку на лбу, но у одного – слева, а у другого – справа!

И всё-таки, посмотрев на человечков внимательнее, Алиса нашла, что у них общего.

– Вы оба в точности одного роста! – воскликнула она.

Человечки тут же померились ростом – Алиса оказалась права!

Тогда они удивлённо посмотрели сначала друг на друга, а потом на Алису.

– Почему у каждого из вас башмак только на одной ноге? – решила продолжить разговор Алиса.

– Наши старые башмаки совсем износились... – начал объяснять один из человечков.

– Ой! – перебил его другой. – Я не забыл!

– Вот видишь, – укоризненно сказал первый. – А ведь сегодня твоя очередь!

– Не бегу! – отозвался второй и тут же умчался.

– Какой-то он немного странный, – заметила Алиса, проводив взглядом убежавшего человечка.

– Мой братец Ах-Ах всегда всё переворачивает наоборот, – объяснил оставшийся человечек (судя по имени, вышитому на свитере, это был Ха-Ха).

– Он так любит обманывать? – удивилась Алиса.

– Совсем не любит, – отозвался Ха-Ха. – Это у него просто от упрямства!

– Как же вы его понимаете? – спросила Алиса.

– Всё, что говорит Ах-Ах, я переворачиваю обратно, только и всего! – со смехом ответил Ха-Ха.

– Но если вы с братом так хорошо понимаете друг друга, из-за чего же вы спорили? – поинтересовалась Алиса.

– Из-за подарков, – ответил Ха-Ха. – У нас сегодня общий день рождения.

– Поздравляю! – сказала Алиса. – Так вы, наверное, не могли поделить подарки?

– Почему не могли? – удивился Ха-Ха. – Я подарил Ах-Аху свою погремушку, а он мне – свои часы.

– Вам повезло больше, – заметила Алиса. – Часы лучше, чем погремушка.

– Смотря какие часы и какая погремушка, – возразил Ха-Ха. – Ах-Аху моя погремушка понравилась, а мне его часы – нет!

– Почему? – удивилась Алиса.

Вместо ответа Ха-Ха нагнулся, поднял предмет, из-за которого братья спорили, и протянул его Алисе.

Это были часы. Однако таких странных часов Алиса не видела никогда! Все цифры, за исключением нуля и восьмерки, были написаны наоборот, и к тому же числа на циферблате шли в обратном порядке: после перевёрнутого числа «12» шло перевёрнутое «11», потом «10»... и так до «1».

Пока Алиса рассматривала часы, минутная стрелка сдвинулась, и Алиса увидела, что стрелка движется не по «часовой стрелке», а в противоположную сторону!

– Ну скажи, зачем мне такие часы? – спросил Ха-Ха. – Я пытался вернуть их обратно, но Ах-Ах ни за что не хотел их брать!

– Возвращать подарок не очень хорошо, – заметила Алиса.

– Я надеюсь, что Ах-Ах подарит мне тогда что-нибудь другое, – признался Ха-Ха.

– А куда он побежал? – спросила Алиса.

– К Шляпнику, – ответил Ха-Ха. – Я же тебе начал рассказывать: наши старые башмаки совсем износились...

– Но разве Шляпник шьёт башмаки? – перебила Алиса. – По-моему, он шьёт шляпы!

– Вот мы и заказали ему шляпы для ног, – сказал Ха-Ха.

– Шляпы для ног? – не поверила своим ушам Алиса.

– А почему бы и нет? – рассмеялся Ха-Ха, видя изумление Алисы. – Разве нельзя снять мерку с ноги и сшить для неё шляпу?

– Так вот почему у них на башмаках такие банты! – поняла Алиса. – Это, оказывается, не башмаки, а шляпы для ног...

– Сначала мы заказали Шляпнику только одну пару, – продолжал Ха-Ха, – потому что хотели проверить, как он шьёт шляпы для ног – дело это для него оказалось новым!

– И эту одну пару вы разделили на двоих? – спросила Алиса, показывая на одну обутую ногу Ха-Ха.

– Мы всё делим на двоих, – ответил Ха-Ха. – Так вот, шляпы оказались очень удобными, и мы заказали вторую пару – сейчас Ах-Ах за ней и побежал!

– Тогда надо было дать ему и второй башмак... то есть, шляпу для второй ноги, – заметила Алиса. – В шляпе на одной ноге бежать неудобно!

Вместо ответа Ха-Ха покатился со смеху.

– Не понимаю, что я сказала смешного? – обиделась Алиса.

– Если бы Ах-Ах надел на вторую ногу эту шляпу, – пояснил Ха-Ха, показывая на свою обутую ногу, – бежать ему было бы намного неудобнее!

– Почему? – не поняла Алиса.

– Эта шляпа на целых два размера меньше его ноги, – сказал Ха-Ха.

– У вас и Ах-Аха разный размер ног? – догадалась Алиса.

– У каждого из нас разный размер, – ответил Ха-Ха.

– Что это значит? – не поняла Алиса.

– У меня правая нога больше, чем левая, а у Ах-Аха – наоборот, – пояснил Ха-Ха. – Мы заказали сначала меньшую пару – мне досталась шляпа на левую ногу, а Ах-Аху – на правую. Но вторую пару шляп для ног мы никак не можем получить!

– Почему? – спросила Алиса.

– Шляпника почему-то уже целую неделю нет дома, – развёл руками Ха-Ха. – Мы с братом бегаем к нему каждый день – сегодня как раз очередь Ах-Аха.

– Шляпник всё это время был в гостях у Мартовского Зайца! – рассмеялась на этот раз Алиса. – Они пили чай.

– Всю неделю? – поразился Ха-Ха.

– У Зайца часы остановились, – объяснила Алиса, и Ха-Ха снова расхохотался.

– Но теперь часы пошли опять, – сказала Алиса, – так что Шляпник, наверное, уже вернулся домой.

– Значит, Ах-Ах принесёт, наконец, вторую пару шляп для ног! – обрадовался Ха-Ха.

И тут у Алисы родилась прекрасная мысль.

– Я думаю, что Ах-Ах далеко не убежал, – сказала она, пряча улыбку.

– Убежал! – уверенно возразил Ха-Ха. – Он даже в одной шляпе бегает быстро!

– А мне кажется, что он сейчас вон под тем деревом, – сказала Алиса. – Хотите, я вам его покажу?

– Не может быть! – воскликнул Ха-Ха. – Идём!

И Алиса повела Ха-Ха к зеркальному блюду, которое стояло у дерева на краю поляны.

Как только Ха-Ха увидел в блюде своё отражение, он бросился к нему с кулаками:

– Ах-Ах! Что ты здесь делаешь? Почему ты не побежал к Шляпнику? Это нечестно! Сейчас я тебе...

«Ах-Ах», конечно, тоже бросился навстречу Ха-Ха. Раздался звонкий удар, и Ха-Ха сел на траву, потирая лоб, на котором вспухала новая шишка. Блюдо после удара гудело.

– Не ной! – сердито сказал Ха-Ха, глядя в блюдо. – Сам виноват! И не передразнивай меня! – вскричал он и снова бросился к блюду, но на этот раз Алиса успела его удержать.

– Это не Ах-Ах, – смеясь, сказала она. – Я просто пошутила: это ваше собственное отражение в зеркале!

– Не знаю я никакого зеркала! – кипятился Ха-Ха. – Смотри, – показал он в блюдо, – у него даже на свитере написано, что это Ах-Ах!

Тут Алисе пришла в голову новая мысль: она протянула Ха-Ха часы – подарок Ах-Аха и предложила:

– Если вы уверены, что это Ах-Ах, попробуйте вернуть ему эти часы!

Ха-Ха взял часы и, изумленный, застыл перед блюдом: он увидел, что Ах-Ах держит часы с обычным, правильным циферблатом!

– Вот за этот подарок я скажу тебе спасибо! – обрадовался Ха-Ха. – А свои часы возьми всё-таки обратно...

Ха-Ха и «Ах-Ах» протянули часы друг другу, но часы «случайно» столкнулись. Ха-Ха поднял свои часы выше, но «Ах-Ах» сделал то же самое, и часы опять столкнулись. Ха-Ха протягивал часы то левее, то правее, но часы неизменно сталкивались друг с другом!

– Какой ты неловкий! – с чувством упрекнули, наконец, друг друга Ха-Ха и «Ах-Ах».

Алиса от души посмеялась, наблюдая эту сцену, и решила объяснить Ха-Ха, что такое отражение в зеркале.

– Пусть он увидит моё отражение, – подумала она. – Ведь оно-то в точности такое же, как я сама!

Алиса стала рядом с Ха-Ха и показала на блюдо.

– Смотрите! – сказала она. – Теперь там появилось и моё отражение.

– Кто-то там действительно появился, – подтвердил Ха-Ха, вглядываясь в блюдо, – но это не ты!

– Ну как же не я, – мягко возразила Алиса. – У той девочки точно такие же глаза, волосы, платье...

– Она действительно очень похожа на тебя, – согласился Ха-Ха, – но всё-таки она – не ты! Смотри: у тебя родинка на левой щеке, а у неё – на правой, – Ха-Ха перевёл глаза с блюда на Алису и обратно. – Да и бант у тебя и у неё завязан по-разному!

– И всё-таки это мое отражение, – убеждала Алиса. – Оно повторяет все мои движения! Смотрите: я поднимаю правую руку...

– А она поднимает левую! – вскричал Ха-Ха, показывая на блюдо. – Я же говорю: она – не ты!

Алиса с удивлением обнаружила, что Ха-Ха прав: девочка в зеркальном блюде действительно отличалась от неё! Тогда Алиса сказала:

– Сейчас я высуну язык, и она тоже высунет язык!

– Да она просто издевается над тобой! – возмутился Ха-Ха, глядя в блюдо на девочку с высунутым языком, но в это время послышался голос Ах-Аха:

– Ха-Ха! Где ты? Ха-Ха!

Ха-Ха недоуменно уставился на блюдо, не зная, чему верить – глазам или ушам? Голос Ах-Аха громко кричал: «Ха-Ха! Ха-Ха!», но сам Ах-Ах молча стоял перед ним, и выражение лица у него было растерянное и даже глуповатое.

– Смотрите! – смеясь, показала Алиса на поляну, по которой бегал Ах-Ах, ища брата.

Ха-Ха несколько раз перевел изумленный взгляд с блюда на поляну и обратно. С каждым разом его взгляд становился всё более осмысленным, и, наконец, стал озорным: Ха-Ха понял, в чём дело!

Он тут же спрятался за блюдо и попросил Алису:

– Позови его сюда!

– Ах-Ах! – крикнула Алиса и помахала рукой. – Ха-Ха здесь!

Ах-Ах помахал в ответ и направился к Алисе. Он был уже в двух башмаках-шляпах и ещё один башмак-шляпу держал в руке.

– Где же Ха-Ха? – спросил Ах-Ах, подойдя к Алисе.

– Вот он, – показала она на блюдо.

– Откуда ты взял шляпы для ног? – удивился Ах-Ах, посмотрев на свое отражение в блюде.

– Угадай! – предложил Ха-Ха из-за зеркального блюда.

Этот ответ привел Ах-Аха в полное замешательство: он видел, что Ха-Ха говорит, не раскрывая рта!

– А если не угадаешь, – продолжал, не раскрывая рта, «Ха-Ха», – ты заберёшь свои часы обратно! Согласен?

Ах-Ах немного подумал и махнул рукой:

– Не согласен!

– Значит, согласен, – вскричал Ха-Ха, выскакивая из-за блюда и протягивая часы Ах-Аху.

Изумлению Ах-Аха не было границ! Наконец, он догадался потрогать рукой Ха-Ха и своё собственное отражение. И тогда сразу стало ясно, какой из двух Ха-Ха настоящий: один был мягкий и тёплый, а другой протягивал навстречу Ах-Аху руку с пальцами, твердыми и холодными, как металл!

Когда Ах-Ах разобрался, в чём дело, все трое расхохотались. А потом Ха-Ха стал рассказывать Ах-Аху, как он дрался со своим собственным отражением и пытался обменяться с ним часами. Рассказывая, Ха-Ха всё показывал. Никогда в жизни Алиса так не смеялась!

Когда все успокоились, братья с Алисой стали перед зеркальным блюдом – Алиса в середине, а братья по сторонам.

– Почему всё-таки твоё отражение похоже на тебя, а мы с Ах-Ахом превращаемся друг в друга? – спросил Ха-Ха.

– Зеркало меняет местами «лево» и «право», – сказала Алиса, вспомнив, как она поднимала правую руку, а её отражение – левую. – У меня левая и правая стороны почти одинаковы, а у каждого из вас левая сторона похожа на правую сторону другого, и наоборот.

– Это, наверное, большая редкость, когда левая сторона такая же, как правая? – предположил Ха-Ха, с уважением глядя на Алису.

– Скорее наоборот, – взглянув по сторонам, отозвалась Алиса. – Смотрите – так устроено всё вокруг: деревья, листья, цветы, бабочки... – Тут её осенила поразительная догадка, и она воскликнула: – Вот почему мир, который виден в зеркале, так похож на настоящий!

– И всё-таки «зеркальный мир» не совсем такой, как наш, – заметил Ха-Ха. – Нормальные часы превращаются в зеркале в такие часы, какие мне пытался всучить в подарок мой братик. Кстати, – обратился он к Ах-Аху, – неужели в день рождения ты оставишь меня без подарка?

Ах-Ах вздохнул и вытащил из-под свитера книгу.

– Не бери, – сказал он, протягивая книгу Ха-Ха. – Это моя нелюбимая книга. В ней совсем нет картинок.

Ха-Ха с радостью принял подарок. Но когда он раскрыл книгу, лицо его вытянулось. Алиса заглянула через плечо Ха-Ха и увидела, что в книге много картинок, но слова и даже буквы совершенно непонятные.

– Как же я буду её читать? – растерянно листал книгу Ха-Ха. – Неужели только картинки смотреть?

Вдруг Алиса заметила, что на одной из картинок нарисован человек, который ест, держа вилку в левой руке.

– Наверное, он левша, – решила Алиса, но тут она вспомнила о странных часах Ах-Аха!

– Вы сможете эту книгу и читать! – воскликнула она, обращаясь к Ха-Ха.

– Как? – удивился тот.

Алиса взяла у него книгу и, раскрыв ее, поднесла к зеркальному блюду. В блюде отразилась страница с обычным текстом, а человек, нарисованный на картинке, «переложил» вилку в правую руку!

Ха-Ха просиял, но не надолго.

– А как я буду читать эту книгу, когда ты уйдёшь? – грустно спросил он. – Ты ведь унесёшь блюдо с собой...

– Я бы оставила блюдо вам, – сказала Алиса, – но это королевская награда!

В этот момент на поляну, запыхавшись, выбежал Белый Кролик.

– Мы уже опаздываем! – закричал он, увидев Алису. – Вот-вот начнётся приём у Королевы Червей, а мы ещё здесь! Если мы опоздаем, мы можем остаться без королевской награды!

– Королева Червей даёт награды всем гостям? – удивилась Алиса.

– Не всем, – уклончиво ответил Белый Кролик. – Но зато это очень хорошие награды!

– Я оставлю блюдо вам, – сказала Алиса, повернувшись к братьям. – У меня должны быть свободными руки, – подумала она. – Ведь иначе я не смогу принять награду Королевы Червей, и она обидится!

Белый Кролик тоже посмотрел на братьев – посмотрел очень внимательно: окинул их взглядом с головы до ног (особенно внимательно он посмотрел почему-то на ноги).

– Королева Червей очень добрая, – сказал вдруг Ах-Ах. – Она никогда не приказывает рубить гостям головы!

– Поэтому будь начеку! – добавил Ха-Ха.

– Довольно странная доброта, – подумала Алиса. – И почему я должна быть начеку?

Она хотела спросить об этом, но Белый Кролик очень торопил её. Алиса попрощалась с братьями и вместе с Белым Кроликом побежала по тропинке.

Скоро они выбежали к лесному озеру. Алисе показалось, будто посреди леса лежит огромное зеркало: деревья отражались так чётко, что их отражения трудно было отличить от настоящих деревьев. Если не считать, конечно, того, что одни деревья росли вверх, а другие – вниз!

– Значит, зеркало может менять местами не только «лево» и «право», но «верх» и «низ» тоже! – мелькнуло в голове у Алисы.

Но подумать об этом как следует она не успела, потому что Белый Кролик повёл её к берегу. Там их уже ждала маленькая лодочка.