Текст книги "Десять великих идей науки. Как устроен наш мир."

Автор книги: Питер Эткинз (Эткинс)

сообщить о нарушении

Текущая страница: 26 (всего у книги 31 страниц)

В описании пространства-времени, изложенном выше, существует очень большая проблема: в достаточно малом масштабе геометрии, по-видимому, не существует. Одной из грандиозных проблем современной физики является объединение общей теории относительности и квантовой теории (глава 7) в квантовую теорию гравитации. Несмотря на огромные усилия и несмотря на значительный прогресс, ученые еще не создали объединенной теории. В настоящее время такой теории, как «квантовая теория гравитации», не существует: на ее месте располагается множество умозрений, большая часть которых весьма спорна, выраженных с разными степенями математической изощренности. Однако, когда объединение будет достигнуто, все ожидают, что оно произведет революцию в наших представлениях о пространстве и времени, которая, вероятно, будет более мощной по своему воздействию, чем даже революции, вызванные появлением теории относительности и квантовой теории. Однако, несмотря на туманную природу современных научных представлений о квантовой теории гравитации, имеется несколько свойств, которые, как можно ожидать, она будет иметь.

Одно свойство проистекает из того факта, что, вопреки кажимости, мы приняли довольно-таки старомодный взгляд на природу пространства-времени, взгляд, в принципе мало отличающийся от ньютоновского понимания пространства как арены. Конечно, мы сделали описание более изощренным, объединив пространство и время и снабдив получившееся пространство-время неевклидовой геометрией, зависящей от присутствия массы. Но здесь все еще присутствует ощущение, что пространство-время является ареной действия, на которой разыгрываются все события, происходящие в мире. В квантовой теории гравитации это ощущение арены рассеется, а события сами по себе будут определять Вселенную. На самом деле, возможно, нет никакой арены: то, что мы принимаем за Вселенную, есть не более чем огромная сеть взаимосвязанных событий. При таком восприятии уравнение Эйнштейна превращается в утверждение о причинной структуре связей между событиями.

Вторым свойством квантовой теории гравитации является то, что в достаточно малом масштабе исчезает само понятие пространства-времени. То есть пространство-время больше нельзя рассматривать как континуум (причинно связанных событий), оно оказывается более похожим на пену (рис. 9.19). Наименьшим возможным пространственным промежутком, разделяющим события, является расстояние, которое мы раньше назвали планковской длиной, а наименьшим возможным промежутком времени между ними является тот, который мы назвали планковским временем.

Рис. 9.19.Если бы мы могли исследовать пространство-время при очень большом увеличении, мы увидели бы, что это не континуум, а нечто больше похожее на пену. В планковских масштабах длины и времени классическое понимание пространства-времени не пригодно. Никто в действительности не знает, что происходит в планковском масштабе, но прогресс в этой области имеет место, и он обещает произвести революцию в нашем способе восприятия того нечто, в котором мы обитаем.

Планковская длина составляет примерно 10 ⁻³⁵м, что на двадцать порядков меньше диаметра атомного ядра, поэтому неудивительно, что мы, существа чудовищного размера, обладающие очень грубыми возможностями восприятия, ошибочно принимаем пространство-время за континуум. Наименьшая поверхность, способная существовать в пространстве-времени, имеет площадь, близкую, к квадрату планковской длины, а наименьшая трехмерная область, которая может существовать, имеет объем, приблизительно равный кубу планковской длины. В общепринятых единицах планковское время соответствует 10 ⁻⁴³с, поэтому никакие два события не могут располагаться во времени ближе друг к другу. Даже процесс, занимающий миллисекунду, должен состоять из 10 ⁴⁰компонент. Никакие часы не могут тикать быстрее, чем 10 ⁴³раз в секунду.

Так же как существует абсолютный минимум температуры («абсолютный ноль») в обычной физике, квантовая теория гравитации показывает, что существует также и ее абсолютный максимум, около 10 ³²К. При этой температуре плавится само пространство-время. Большой Взрыв, ознаменовавший начало Вселенной, был, возможно, не столько драматическим огненным фейерверком, сколько космическими заморозками, которые вморозили пространство и время в последовавшее за ним бытие. Геометрия и все то, из чего для нас образуется этот мир, является вмороженным отпечатком причинности событий.

Глава десятая
Арифметика
Пределы разума

Бог создал целые числа, все остальное есть дело рук человека.

Леопольд Кронекер

Великая идея: если арифметика состоятельна, то она неполна.

Одним из тончайших творений человеческого ума является математика, ибо она не только представляет собой апофеоз рационального мышления, но и также образует позвоночный столб, который придает научным умозрениям достаточную четкость для сопоставления их с опытом. Научные гипотезы сами по себе желеобразны; для того чтобы их было можно подвергнуть проверке и встроить в сетку понятий, составляющих физическую науку, они нуждаются в жесткости математических формулировок. Широко распространено мнение, что математика не является наукой, поскольку она может, вольно или невольно, раскручивать Вселенные своих собственных дискурсов, Вселенные, для которых, если не считать требования логической строгости, нет необходимости иметь сколько-нибудь значительные связи с миром, в котором мы, как нам кажется, обитаем. Как таковая, математика в этой книге может казаться контрабандным товаром. Однако, поскольку она занимает центральное положение в научном методе мышления, математику приветствуют как дорогого гостя и отводят ей почетное место среди других наук. Более того, победное шествие абстракции в физических науках и шевеление абстракции в чреве биологии делают поиски места, где кончается математика и начинается наука, не только затруднительными, но и беспочвенными, похожими на попытку нанести на карту очертания утреннего тумана.

Существует еще одна, связанная, впрочем, с изложенной выше, причина, по которой оказывается уместным включить сюда математику. Наиболее продуктивные ученые, являясь личностями прагматичными и рассудительными, просто высоко ценят удивительную способность математики служить описанием физического мира и благодарны за то, что в их руках находится такое изысканное и могущественное интеллектуальное оружие. Но есть и такие, кто идет дальше благодарностей и приложений и желает знать, указывает ли этот плодотворный союз научного наблюдения и математического описания на более глубокое свойство математики, которое еще не совсем идентифицировано и, определенно, совсем еще не объяснено. Венгеро-американский физик-теоретик Юджин Пол (Jénó Pál) Вигнер (1902-95), столь много сделавший для формулирования математической теории симметрии и ее приложения к физическим проблемам, был озадачен замечательной способностью математики служить языком описания мира:

Чудесная возможность пользоваться языком математики для формулирования законов физики является волшебным даром, который мы не понимаем и которого не заслуживаем.

Эйнштейн высказал близкую мысль, когда заметил, что наиболее трудной для постижения чертой мира является то, что он постижим.

Я намереваюсь посвятить эту главу скорее разговорам о математике, чем изложению самой математики, или даже – исключая те места, где я сочту это уместным, или неуместным, но занимательным – истории идей, на которых математика выросла. Иными словами, я буду говорить о том, что, по их мнению, делают математики, когда они придумывают свои теоремы или решают свои уравнения. Я не буду касаться деталей того, что они делают, поэтому вам не придется проходить доказательство теоремы Пифагора или правила решения квадратных уравнений. Как таковая, эта глава больше касается философии математики, в частности математической онтологии, оснований этого предмета, чем техники, которую каждый из нас изучал либо с восхищением, либо с чувством отвращения и страха. С другой стороны, я намерен использовать эту главу для проверки обоснованности часто цитируемого, но все же пристрастного изречения Бертрана Рассела:

Чистая математика – это предмет, в котором мы не знаем, о чем мы говорим, и верно ли то, что мы говорим.

Я принимаю во внимание тот факт, что большинство моих читателей будет испытывать дискомфорт и, возможно, подавленность от воспоминаний о математике, или, по крайней мере, будет обеспокоено предвосхищением того, что потребуется для понимания подобной главы. Успокойтесь: это не учебник. Я собираюсь сосредоточиться на обворожительных фрагментах и буду заранее указывать места, которые можно, по крайней мере при первом чтении, перепрыгнуть, не теряя нити повествования. Более того, вам следует иметь в виду, что эта глава не является математической; это рассказ оматематике.

Мое последнее вводное замечание начертает еще одну перспективу для этой главы. Мы прошли через последовательность все возрастающих абстракций, наблюдая, как знакомые понятия растворяются в более могущественных понятиях, их сменивших. Математика является высшей точкой нашего путешествия, в которой абстракция является самой сутью: математика является чистой, голой, развоплотившейся абстракцией. А потому, нам следует ожидать необычайного могущества.

Фундаментальной трудностью математики является то, что она пытается оперировать натуральными числами, числами повседневного счета 0, 1, 2, 3, …, которые широко используются, но изначально не определены. Натуральные числа используются как  количественные числа, для обозначения номера предмета в наборе, и как порядковые числа, для упорядочения предметов в список. Это числа соответствуют различным понятиям, и в языке мы даем им разные названия: один, два, … для количественных чисел, и первый, второй, … для порядковых чисел. Большая часть того, что я должен сказать, будет относиться к натуральным числам в качестве количественных чисел.

Как мы вскоре увидим, с тех пор, как математики начали, в своей характерной глубокомысленной манере, размышлять о натуральных числах, стало очевидно, что удивительным является даже то, что мы вообще можем считать. Ведь этих чисел так мало (всего лишь бесконечность), и они столь редки, что с некоторой точки зрения удивительно, как древним людям удалось наткнуться на них в первый раз. Мы уже можем начать понимать некоторые из проблем, беспокоящих математиков даже на этой ранней стадии обсуждения. Например, действительно ли количественные числа продолжаются до бесконечности, или более верным, чем вечно марширующие без всякого пункта назначения числа, представлением является так называемая ультрафинитистская математика, в которой натуральные числа выдыхаются до того, как достигнут бесконечности? И поскольку, если быть честными, мы не способны непосредственно воспринимать бесконечность, можно ли полагаться на математические доказательства, содержащие обращения к бесконечности? Многие склонны отвечать на последний вопрос отрицательно, и делают все, чтобы не подпустить бесконечность на расстояние ближе вытянутой руки.

Если мы вернемся к начальным временам счета, когда бы они ни были, мы обнаружим глубокий резонанс с тем, что принимается в качестве счета сегодня (тема, которую мы исследуем позже). Счету в большой мере помогают счетные приспособления, такие как насечки на палочках, бусины четок, сотня бусинок мусульманских субха, используемых для повторения девяноста девяти атрибутов Аллаха (с одной дополнительной бусиной, отмечающей начало счета), шарики сухого навоза и столбики голышей (по латыни calculi,откуда произошло слово «калькуляция»). Универсальным портативным счетным прибором является человеческое тело с его различными выемками и выпуклостями. Островитяне Торресова пролива достигли в счете по телу 33 (мизинец правой ноги), проходя по пути 8 (правое плечо), 26 (правое бедро) и 28 (правая лодыжка), и установили для своего счета основание 33.

Человеческая рука, однако, гораздо более удобный инструмент счета, особенно когда человек полностью одет. Более того, рука обладает гибкостью и способна демонстрировать как количественные, так и порядковые числа: количественные числа показывают, выставляя соответствующее число пальцев одновременно, а порядковые числа демонстрируют, последовательно разгибая пальцы. Таким образом, счет «с основанием 10», как называют нашу общепринятую систему, является естественным следствием анатомии человека.

Хотя фундамент счета постепенно установился на основании 10, используемом сегодня почти всюду, были и остаются некоторые, отклонения. В языке апи, на котором говорят жители Новых Гебрид, счет ведется по основанию 5, и следы того же основания можно отыскать в некоторых языках Африки. Отголоски счета по основанию 12 обнаруживаются в употреблении нами дюжины. Вавилоняне предпочитали основание 60 по причинам, которые все еще остаются темными, и их выбор удержался в нашем способе деления времени и круга, с малыми «минутами» и вторичным (second) делением этих минут на секунды. Существует предположение, что шумеры Вавилона остановились на 60 (но без символа 0) в результате слияния двух культур, одна из которых использовала основание 10 (с простыми делителями 2 и 5), а другая основание 12 (с простыми делителями 2 и 3), с наименьшим общим произведением делителей (2×5) × (2×3) = 60. Основание 60 так никогда и не привилось в повседневном счете, поскольку требовалось выучить очень большое число обозначений для 60 различных чисел, необходимое для схемы (0, 1, …, 8, 9, ♦, ” , …, *[наше 59], 10[наше 60], 11, …). Латынь и французский несут следы основания 20, в undeviginti(19 = 20 − 1) и quatre-vingts(4 × 20 = 80) соответственно, и этот след можно различить в английском score(20) и датском tresinstyve(три раза по двадцать) для 60; основание 20 все еще используется у некоторых племен индейцев в Венесуэле, эскимосов Гренландии, айнов Японии и запотеков Мексики. Заслуживают жалости несчастные майя, чей астрономический календарь имел похожий на раковину символ для 0 и основание 20, но третий разряд («сотни») был основан на 18 × 20, вместо 20 × 20, четвертый разряд был основан на 18 × 20 × 20 и так далее. Вероятно, они пытались упростить астрономические вычисления, такие как 18 × 20 = 360, длина года у майя.

Однако счет на пальцах неудобен для ведения записей, и когда появились древние первовычислители и начали заниматься своим ремеслом, постоянное освоение различных сред физического мира медленно проявлялось в виде приспособлений для счета и записей сделок. Шумеры использовали довольно утонченную форму клинописных обозначений чисел, аттические греки ввели буквенные обозначения, с символами, подобными Δ (δεκα, дека) для 10 и M для 10 000 (μυριοι, муриои). До сих пор еще живы в качестве цифр повседневного пользования римские цифры. В дополнение к очевидным I, II, …, которые мы теперь записываем как 1, 2, …, немецкий историк Теодор Моммзен (1817-1903) умозаключил, что V (=5) представляет растопыренную ладонь, X (=10) – это сочетание двух ладоней, M (=1000) есть распад на части символа Φ, принявший вид (|), a D (=500) это буквально половина этого символа.

Знакомые нам «арабские» цифры, видимо, возникли в Индии в период времени до девятого века, возможно, как способ представления абака. Западные ученые назвали их «арабскими» потому, что в то время арабская наука преобладала, и пишущие обращались к ее авторитету. Происхождение форм начертания большинства цифр остается темным, но для 1 оно очевидно, 2 является, возможно, комбинацией двух горизонтальных штрихов, а 3 – трех. Человеческие существа, по-видимому, не способны определять на глаз число предметов, если оно более четырех, и, следовательно, цифры от 4 до 9, видимо, должны были возникнуть как сокращенные формы обозначения соответствующих наборов штрихов.

Эволюция наших современных символов может быть прослежена до их написания в Брахми, очень древней форме индийского письма обнаруженной в надписях Ашоки, третьего царя династии Маурья из Магадхи, который правил Индией от 273 до 235 г. до н.э. (рис. 10.1); само это письмо, по-видимому, произошло от западной семитской традиции как разновидность арамейского. Эти цифры предложил невосприимчивой Европе в конце десятого столетия монах Герберт Ауриллак (около 945-1003), ставший папой Сильвестром II в году, который обозначался многообещающей цифрой 1000, но, к разочарованию многих, так и не стал годом апокалипсиса. Мягкий напор нововведения не преодолел сопротивления консервативных церковников, которые предпочли прилепиться к классической римской традиции, несмотря на почти полную невозможность пользоваться ею в арифметике. Самое первое появление новых цифр зарегистрировано в Codex Vigilanus, который скопировал монах Вигила в монастыре Альбеда, Испания, в 976 г.

Рис. 10.1.Так называемые арабские цифры произошли от индийских символов, которые можно проследить до письма Брахми и далее, до более глубоких корней в семитской традиции. Верхняя строка показывает четыре цифры третьего века до н.э. из эдикта Ашоки, писанного на Брахми. Вторая строка показывает цифры третьего века н.э. из источника, найденного в штате Уттар Прадеш.

Ноль (zero, от арабского sifr, пустой) первоначально обозначался точкой, как и поныне обозначается в арабском письме. Символ бесконечности, ∞, как волк в ночи, прокрался в стан чисел, чтобы в нужный момент наброситься на них. Его впервые использовал в 1655 г. страдавший бессонницей Джон Уоллис (1616-1703), оксфордский математик и один из основателей Королевского общества, в своем Трактате о конических сечениях. Он выбрал этот символ для обозначения кривой, которую можно продолжать бесконечно, возможно, надеясь заснуть, продолжая ее.

Неприятности (то есть математика) начались, когда числа стали различными способами комбинировать. Когда мы начинаем манипулировать натуральными числами, используя такие операции, как вычитание и деление, когда изобретательный интеллект обременяет себя ношей практического опыта, мы порождаем числа, имеющие мало общего с количественными числами. Сперва мы рассмотрим символы для этих операций, а затем увидим, как, применяя их к натуральным числам, мы порождаем новые типы чисел; их сводка представлена на рис. 10.2, и, вероятно, будет полезно держать эту иллюстрацию в уме, читая последующий текст. В начальные для математики времена уравнения были «риторическими», в том смысле, что они сжато выражались словами. Гораздо большая ясность, а с большей ясностью и большие возможности для манипуляций, возникла после введения символов, определяющих операции.

Рис. 10.2.Здесь представлена сводка основных типов чисел, с которыми мы встречаемся в этой главе. Натуральные числа являются числами счета; их расширение на отрицательные значения порождает целые числа. Между целыми числами расположены рациональные числа, то есть числа, получаемые делением одного целого числа на другое. Гораздо большую плотность имеют иррациональные числа, которые нельзя получить таким способом. Действительные числа, состоящие из целых чисел, рациональных чисел и иррациональных чисел, соответствуют точкам, образующим прямую линию, уходящую в бесконечность в обоих направлениях. Алгебраические числа являются числами, которые можно получить в виде решений алгебраических уравнений, а трансцендентные числа являются числами, которые нельзя получить таким способом. Некоторые алгебраические числа рациональны, другие иррациональны; все трансцендентные числа иррациональны.

Знак сложения, «+», возможно, произведен от курсивного написания etи впервые появился в немецком манускрипте пятнадцатого века, а знак «−» для вычитания мог просто указывать на отделение. Знак умножения, «×», возможно, произошел от символа, использовавшегося для вычисления пропорций, которое включает перекрестные перемножения, и впервые появился в труде Clavis mathematicae, опубликованном в 1631 г. Уильямом Отредом (1574-1660), изобретателем раннего варианта логарифмической линейки. Немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716) счел, что знак × слишком легко спутать с x, и в 1698 г. предложил использовать вместо него простую точку, так чтобы a.bобозначало умножение  aна b. Он также предпочел для деления знак «:», но  сначала в шведском тексте 1659 г. для деления был использован символ «÷», ранее обозначавший вычитание.

Знак равенства, «=», образованный двумя горизонтальными линиями, был введен в The whetstone of witte (Оселок для ума)(1557) английским математиком Робертом Рэкодом (около 1510-58), который познакомил Англию с алгеброй, придумал популярные названия для учебников (включая The whetstone (Оселок), The grounde of artes (Основа искусств), для введения в арифметику, и The castle of knowledge (Твердыня знания)для учебника астрономии), но тем не менее умер в долговой тюрьме. Рэкод писал:

И чтобы избежать утомительных повторений этих слов «является равным», я буду рисовать, как часто уже делал это для облегчения работы, две параллельные линии одинаковой длины, так как нет двух вещей, которые были бы равны в большей мере.

Знакомый теперь знак Рэкода «=» вел долгие войны с «||» и различными обозначениями, основанными на ae, сокращении от aequalis, прежде чем наконец одержать триумфальную победу.

Сложение и умножение натуральных чисел порождают просто другие натуральные числа. Например, 2 + 5 = 7 есть натуральное число, а 2 × 5 = 10 еще одно натуральное число. Однако вычитание порождает новый класс чисел. Так, если мы вычтем 3 из 2, мы получим −1, что расширяет поле нашего дискурса от натуральных чисел до целых: …, −2, −1, 0, 1, 2, …. Отрицательные числа в момент их появления должны были очень озадачивать, поскольку людям, привыкшим лишь к пересчитыванию, было трудно понять, что такое «меньше, чем ничего». [48]48
  Отрицательные числа были известны древним индусам, которые понимали их как «долг», в отличие от «прибыли». – Прим. пер.


[Закрыть]

Хотя умножение натуральных чисел дает только натуральные числа, понятие умножения приводит к определению подкласса натуральных чисел, называемых простыми числами, то есть чисел, не являющихся произведением других натуральных чисел (кроме единицы и себя самого). Так, несколькими первыми простыми числами натурального ряда являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. Такое число, как 15, не является простым, так как может быть записано в виде 3 × 5; с другой стороны, 17 является простым числом, потому что его нельзя записать в виде произведения других натуральных чисел. Простые числа находились и продолжают находиться в центре повышенного внимания тех, кто заворожен числами, поскольку они, видимо, ведут себя во многом подобно фундаментальным «атомам» натуральных чисел: с точки зрения операции умножения они являются числами, из которых можно построить все остальные числа. Этот фундаментальный характер является сутью содержания фундаментальной теоремы арифметикиЕвклида, которая утверждает, что каждое представление натурального числа произведением простых чисел является единственным. Например, такое число, как 9 365 811, может быть выражено в виде произведения простых чисел только одним способом (в данном случае, как 3 × 7 ²× 13 ³× 29). Эта фундаментальная теорема является основой современных процедур кодирования, в которых используются произведения двух больших простых чисел, так что изучение простых чисел не является просто делом бесстрастной математики, а играет центральную роль в обеспечении безопасности коммерческих операций и приватности связей между отдельными людьми и армиями.

Многие свойства простых чисел уже известны, но некоторые предположения еще не доказаны (а, возможно, и неверны). Одним из точно установленных фактов, известным еще Евклиду, является то, что количество простых чисел неограниченно; простые числа продолжаются без конца. На сегодняшний день самым большим известным простым числом является 2 ^13466917− 1. Это число является примером простых чисел Мерсенна, простых чисел, имеющих форму 2 ^p− 1, где  pсамо есть простое число. Оно было обнаружено 14 ноября 2001 г. и потребовало бы для полной записи 4 миллиона цифр (более точно, 4 053 946), что соответствует примерно восьми книгам, размером с эту. Огромные простые числа, имеющие более чем тысячу знаков, называются «титаническими». Простые числа встречаются все реже и реже по мере их возрастания, но между любым заданным натуральным числом и его удвоением всегда найдется по крайней мере одно простое число. Например, вы можете быть уверены, что существует по крайней мере одно простое число между 1 миллиардом и 2 миллиардами; на самом деле, их миллионы. Некоторые простые числа группируются. Например, существует много «близнецов», то есть простых чисел, разность между которыми равна 2; например, 11 и 13 являются близнецами. Гипотеза о близнецах(только гипотеза) состоит в том, что существует бесконечное число близнецов, и поэтому близнецы, как и сами простые числа, продолжают встречаться без конца. Известными к настоящему времени самыми большими близнецами являются 33 218 925 × 2 ¹⁶⁹⁶⁹⁰− 1 и 33 218 925 × 2 ¹⁶⁹⁶⁹⁰+ 1 (эта пара обнаружена в 2002 г., и каждое из чисел записывается 51 090 цифрами).

Есть множество других весьма причудливых свойств простых чисел. Например, обладавший необычайным воображением польско-американский математик Станислав Улам (1909-84) обнаружил, что, если вы запишете все натуральные числа по спирали, так что 1 окажется в центре, 2 справа, 3 над 2, 4 над 1, 5 слева от 4 и так далее, и пометите все простые числа, то они будут иметь тенденцию попадать на диагональные линии (рис. 10.3). Улам использовал свое воображение и другими способами: вместе с Эдвардом Теллером он открыл, как инициировать взрыв водородной бомбы.

Рис. 10.3.Спираль Улама. Если записать все натуральные числа по спирали, как показано на вставке, и пометить простые числа, то они проявят тенденцию располагаться на диагональных прямых, как можно видеть, рассматривая черную зону с простыми числами, изображенными, подобно звездам, белыми точками. Мы нарисовали некоторые из диагоналей, чтобы показать их положение; вы могли бы различить и другие.

Хотя простые числа являются фундаментальными атомами умножения (так же, как 1 тривиально является фундаментальным атомом сложения), они, может быть, играют фундаментальную роль и в сложении тоже. В 1742 г. Кристиан Гольдбах (1690-1764), однажды оказавшийся учителем царя Петра II, в письме к прославленному математику Леонарду Эйлеру (1707-83) предположил, что каждое четное натуральное число, большее 2, является суммой двух простых чисел. Так, мы имеем 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 5 = 8, …, 47 + 53 = 100, …. Гипотеза Гольдбаха до сих пор не доказана, несмотря на приложение огромных усилий. Трудность, по-видимому, связана с тем фактом, что простые числа, произошедшие из концепции умножения, помещаются здесь в контекст сложения. Однако эта гипотеза может быть примером того, что постепенно выдвигается в центр сцены: она, возможно, не может быть доказана и поэтому, в некотором смысле, эта гипотеза может быть ни истинной, ни ложной. Гольдбах предположил также, что каждое нечетное натуральное число является суммой трех простых чисел. Это предположение частично доказал – доказательство справедливо лишь для больших чисел – в 1937 г. русский математик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983).

Деление одного натурального числа на другое также вводит новый класс чисел, называемых рациональными числами(от «рацио»; заслуживающее доверия качество таких чисел отражено в нашем привычно используемом термине «рациональный», обозначающем разумность, основанность на разуме); примеры между 0 и 1 включают 1/2 = 0,500 000 000… и 3/7 = 0,428 571 428 57…. Заметим, что десятичные формы рациональных чисел содержат либо бесконечно повторяющийся 0, либо бесконечно повторяющуюся конечную последовательность чисел.

Если вы начнете думать как математик, который идет дальше непосредственно воспринимаемого, ищет обобщений и исследует, куда они ведут, то вы почувствуете зуд от шевелящегося в вас вопроса: существуют ли числа, не содержащие повторяющихся последовательностей и поэтому не выражаемые в виде отношения натуральных чисел? Существование таких иррациональных чиселбыло впервые обнаружено пифагорейцами, чья целостная философия жизни в Кротоне (сегодня Кротон, находящийся в каблуке Италии, носит название Кротоне), основанная на гармонии рациональных чисел, запрете мочиться в сторону Солнца или чистить ногти во время жертвоприношения и на поддержании социального мира путем исключения из пищи бобов (практиковавшегося самим Пифагором, чему он обучился у египетских жрецов, среди которых однажды жил) [49]49
  Как же они были правы. Теперь мы знаем, что бобы богаты углеводами, которые наши ферменты переварить не могут, а бактерии E.coli, населяющие наш кишечник, могут; когда они их переварят, они освобождают большое количество двуокиси углерода и водорода, которые являются главным источником метеоризма.


[Закрыть], была ниспровергнута, когда обнаружилось, что квадратный корень из 2, √2, = 1,414 213 5… является иррациональным и не может быть получен с помощью деления одного натурального числа на другое. С тех пор многие другие числа были идентифицированы как иррациональные, среди них π = 3,141 59… (отношение окружности к диаметру круга, πвведено в качестве символа Эйлером в 1737 г., а иррациональность была установлена в 1767 г.) [50]50
  Значение πбыло вычислено до нескольких тысяч знаков. С 1589 места начинают повторяться и идут подряд четыре цифры 7, но сразу после этого они перемежаются другими цифрами.


[Закрыть], π ²(иррациональность установлена в 1794 г.) и  e= 2,718 28… (основание натурального логарифма). Иррациональность доказать трудно: например, хотя известно, что е ^πиррационально, все еще неизвестно, обладает ли этим свойством π ^e.

Рациональные и иррациональные числа, как положительные, так и отрицательные, включая ноль, называются действительными числами. Чтобы вообразить действительные числа, мы можем представить себе, что каждое число соответствует точке прямой, где самые большие числа находятся справа. Действительные числа, подобно точкам на прямой, простираются от минус бесконечности слева до плюс бесконечности справа и включают все возможные числа – целые, рациональные и иррациональные. Это соответствие действительных чисел с точками прямой явилась решающим шагом в осознании того, что геометрия – свойства различных линий, а значит, наборов точек, а значит, наборов действительных чисел – может рассматриваться, как ветвь арифметики. Мы не пойдем по этому пути в настоящей главе, но вам следует иметь в виду, что, хотя мы и будем сосредотачиваться на идеях, которые являются явно арифметическими, в скрытом виде они включают и другие области математики, такие как геометрия (рис. 10.4).

Рис. 10.4.У греков было абстрактное представление о пространстве, и поэтому они преуспели в геометрии. Здесь мы видим, как параболы, гиперболы и эллипсы (включая частный случай круга) можно рассматривать как наборы чисел, получаемые посредством сечений конуса в разных направлениях. Теперь мы знаем, благодаря пионерской работе Декарта, как связать эти формы с алгебраическими уравнениями, и поэтому можем видеть связи между геометрией пространства и арифметическими свойствами определенных наборов чисел.

На самом деле, арифметика даже более богата. В соответствии с чрезвычайно важной, но обманчиво краткой теоремой, которую доказал в 1915 г. немецкий математик Леопольд Лёвенгейм (1878-1957) и усовершенствовал в 1920 г. норвежец Альберт Тораф Сколем (1887-1963), система правил, подобных правилам арифметики, действует в любой области знания, которая может быть формализована в терминах набора аксиом. Если бы в школе вам говорили, что, согласно теореме Лёвенгейма-Сколема, вы, на самом деле, моделируете процесс вывода заключений из квантовой механики, теории естественного отбора и юриспруденции (постольку, поскольку эти области знания могут быть выражены в терминах аксиом), это могло бы смягчить утомление от узнавания, как извлекать квадратный корень и проделывать длинные упражнения на деление. То же самое верно относительно остальной части этой главы: хотя многое в ней будет читаться, как относящееся к арифметике, имейте в виду, что это в действительности относится к любой систематизированной области человеческого знания. Если уж это не захватывает дух, то я просто не знаю, чем вас пронять.