Текст книги ""Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1""
Автор книги: Автор Неизвестен
Жанры:
Математика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 8 (всего у книги 11 страниц)
Ще одним питанням, яке безпосередньо стосується подій, є питання виконання дій над подіями, зокрема суми та добутку. Тут наявність синонімів має місце як для термінів так і для символів.
Символи
%
Поняття
Терміни
%
Кількість
С
%
Т
%
"або"
11,8
Сума подій
Сума
88,2
0
–
0
11,8
""
70,6
Об’єднання
52,9
1
23,5
1
35,3
"+"
94,1
2
76,5
2
52,9
"і"
11,8
Добуток подій
Добуток
76,5
0
–
0
11,8
""
70,6
Перетин
29,4
1
23,5
1
52,9
""
94,1
Суміщення
17,6
2
76,5
2
35,3
Ключовим поняттям стохастики є поняття ймовірності, розглядання якого може відбуватись за допомогою п’яти видів означень: інтуїтивне, класичне, статистичне, геометричне та аксіоматичне. Зупинимо свою увагу на статистичному (емпіричному) означенні. Як відомо, статистичне означення ймовірності базується на понятті частоти, якому властива як синонімічна, так і омонімічна сторона проблеми.
Поняття
Термін
%
Термін
Поняття
%
Частота
Частота
41,2
Частота
m-число появ деякої події при проведенні певної кількості випробувань
14,3
Частість
17,6
Відносна частота
41,2
m/n-відношення числа появ деякої події до загальної кількості випробувань
85,7
Статистична частота
11,8
При цьому автори можуть в межах одного збірника використовувати або два терміни (23,5%), або один (70,6%), або жодного (5,9%). Що ж стосується синонімізації символіки, то слід зазначити, що вона дійсно має місце і в підтвердження цих слів наведемо спектр символів, які застосовуються для позначення відносної частоти: P N{A}, P*(A), P n*(A), M/N, m/n, W(A), W n(A), n(A)/n, p k, n(A).
В цій статті ми зробили лише певну вибірку стохастичних понять та термінів (символів) для ілюстрації взаємної неоднозначності між ними. Що ж стосується нашого власного бачення розв’язання цієї проблеми, то ми вважаємо за необхідне, все ж таки ознайомити учнів по можливості з усім спектром термінів, але ж зосереджувати їх увагу лише на одному, який і використовувати в подальших поясненнях. Так в своїй педагогічній практиці серед вище перелічених термінів ми вважаємо за потрібне використовувати наступні: стохастичний експеримент; елементарні події; множина елементарних подій, яка може складатися лише з елементарних подій; повна група подій, до складу якої можуть входити лише несумісні події; достовірні події; рівносильні події; сума та добуток подій; відносна частота. Але ми не можемо стверджувати, що саме такий вибір є найоптимальнішим, так як саме зараз ця гіпотеза проходить практичну перевірку.
Комп’ютернО-ОРІЄНТОВАНА МЕТОДИКА
вивчення диференціальних рівнянь
В.І. Клочко
м. Вінниця, Вінницький державний технічний університет
Проблеми вивчення курсу вищої математики пов’язують із високим рівнем абстракції, складною логічною структурою означень, теорем, методів, а в останній період із браком навчального часу. Ці проблеми зумовлені в першу чергу особливостями математики як предмету, психологічними особливостями розумової діяльності студентів, рівнем методичного забезпечення процесу навчання.
Важливим фактором усвідомленого вивчення математики, підвищення інтересу, організації індивідуальної навчальної діяльності, скорочення непродуктивних витрат часу на допоміжні роботи, розвитку творчої активності та здібностей студентів, підвищення унаочнення, виразності, доступності навчального матеріалу, моделювання фізичних явищ, технологічних процесів є використання комп’ютерних технологій.
Серед математичних пакетів, які можуть бути використані на заняттях при вивченні теми “Диференціальні рівняння”, вибрано DERIVE, MathCAD, Maple, Mathematica. При вивченні ДР на спеціальностях будівельного, машинобудівельного напрямків можуть бути використані демонстраційні програми пакета BUDMECH [1], в якому мультиплікація ефективно ілюструє процеси вільних незатухаючих коливань, вільних коливань при урахуванні сил опору, коливання у випадку резонансу тощо. Отримання необхідних чисельних значень динамічних характеристик рухів матеріальної точки можна одержати за допомогою автоматизованої контролюючо-навчальної системи (АКНС) [1]. Проте за допомогою даних пакетів не можна організувати діяльність студента спрямовану на вивчення певних класів диференціальних рівнянь (ДР), аналіз, експеримент з процесом, який описується відповідними ДР. Реалізувати дану дидактичну задачу викладач може за допомогою пакетів Mathematica, MathCAD, Maple та інших. Мовою пакетів створюється програмний продукт, який реалізує процес розв’язання ДР, візуалізує розв’язок у вигляді анімації. Студент управляє процесом шляхом змінювання параметрів ДР. Так, програма DFMACH [2] унаочнює траєкторію руху м’яча, кинутого горизонтально і який відскакує від вертикальної стінки. Студент може прослідкувати різні траєкторії в залежності від заданих ним швидкості руху, маси, прискорення.
Взагалі кажучи, вибір того чи іншого пакета викладач узгоджує із спеціальною кафедрою.
Спочатку на прикладі застосування пакета DERIVE покажемо, як можна знайти загальний та частинний розв’язок ДР першого порядку. З цією метою завантажується файл ODE1.mth:
File/ Open/ODE1.mth/Open/# № /Edit/ відредагувати функцію.
Файл містить значну кількість функцій для розв’язання основних типів ДР, які передбачені програмою з курсу вищої математики. Наведемо деякі з них. Рівняння з відокремлюваним змінними y'=p( x) q( y) розв’язується за допомогою функції SEPARABLE_GEN(p,q,x,y,c) . Якщо розглядається задача Коші y'= p( x) q( y), y( x 0) =y 0, то вона розв’язується за допомогою функції SEPARABLE(p,q,x,y,x 0 ,y 0 ) .
Аналогічні функції дають можливість розв’язати ДР у повних диференціалах, однорідні, лінійні і інші типи. Нижче наведено приклади розв’язання ДР першого порядку за допомогою ODE1.mth.
При вивченні рівнянь з відокремлюваними змінними рекомендується функція SEPARABLE_GEN(p,q,x,y,c), причому, ДР необхідно звести до вигляду dy/dx=p( x) q( y) .Тобто, перш ніж застосовувати ту чи іншу функцію пакета, студент вимушений спершу визначити тип ДР, скориставшись методом наукового пізнання – класифікацією. При цьому студенти частіше спілкуються один з одним щодо предмету та процесу вивчення ДР. Розв’язок одержується у вигляді загального розв’язку або загального інтеграла Ф( x, y, c)=0. В деяких випадках за допомогою команди Solve/Algebraically , розв’язавши рівняння Ф( x, y, c)=0, можна одержати загальний розв’язок y=φ( x, c) або x=ψ( y, c).
Якщо за допомогою тієї чи іншої функції не вдається знайти розв’язок ДР, система повертає повідомлення «inapplicable»(не застосовується).
Інші функції системи дають можливість розв’язати ДР першого порядку спеціальних видів. Якщо в кінці імені функції стоїть слово GEN , то така функція повертає загальний розв’язок. Вказані функції також повертають загальний розв’язок, якщо початкові умови задано у символічному вигляді.
За допомогою деяких функцій можна подати графічне зображення розв’язків. Якщо розв’язок одержано у неявному вигляді, то за допомогою послуги SOLVE в деяких випадках можна знайти його у явному вигляді.
В системі Maple VДР розв’язуються за допомогою інструментального пакета DEtools . Проте на відміну від системи DERIVEв системі Maple Vреалізовано неявний підхід, тобто в системі DERIVEдля розв’язання звичайних ДР спершу необхідно визначити його тип, а потім застосувати відповідну функцію.
Функція розв’язання ДР пакета DEtools має таку структуру:
dsolve(deqns, vars, option),
де
deqns – одне рівняння або система, яка складається із систем ДР першого порядку; можуть бути задані початкові або крайові умови;
vars – змінні, відносно яких розв’язується рівняння;
option – параметр, який вказує на метод розв’язання: exact – аналітичний розв’язок (приймається за погодженням), explicit – розв’язок у явному вигляді, laplace – застосування перетворення Лапласа, series – розв’язок рівняння у вигляді степеневого ряду, numeric – чисельний метод розв’язування ДР.
Якщо знаходиться загальний розв’язок ДР першого або вищого порядку, то він містить константи, які мають вигляд _C1, _C2і т.д. Наведені константи можуть входити у розв’язок ДР, якщо за допомогою системи Maple Vрозв’язується задача Коші або крайова задача із меншою кількістю умов, ніж порядок ДР.
de:=diff(y(x),x)=-(3*x^2+6*x*y(x)^2)/(6*x^2*y(x)+4*y(x)^3);
dsolve(de,y(x));
dsolve({diff(y(x),x$2)+3*diff(y(x),x)-4*y(x)=0,y(0)=0, D(y)(0)=3} ,y(x));
dsolve({diff(y(x),x$2)+3*diff(y(x),x)-4*y(x)=0,y(0)=0},y(x))
Якщо розв’язок ДР знайдено у неявному вигляді, то в структуру входить параметр – С.
Функції системи Maple Vдають можливість шляхом заміни змінної зводити дане рівняння до рівнянь, метод розв’язання яких може бути відомим. Наведемо приклади перетворення ДР за допомогою засобів системи Maple V.
Приклад.Доведіть, що ДР x 3 y'–x 6 y 2 –(2 x–3) x 2 y+3 =0 за допомогою підстановки y=–u'/( x 3 u) зводиться до лінійного однорідного ДР зі сталими коефіцієнтами u''–2 u'–3 u=0 .
Вводиться ДР. Далі вводиться функція перетворення.
Функція Dchangevar(eqns,h) пакета DEtools виконує перетворення ДР, а за допомогою функції simplify спрощується вираз.
l:=simplify(Dchangevar(eqns,h));
Одержане рівняння розв’язується відносно старшої похідної.
diff(u(x),x$2)=solve(convert(l,equality),diff(u(x),x$2));
Отже, дане ДР зведено до рівняння зі сталими коефіцієнтами
u''– 2 u'– 3 u= 0 .
В окремих випадках система Mapleможе знайти особливий розв’язок ДР. Наприклад, ввівши команду
dsolve(sqrt(1+diff(y(x),x)^2)+x*diff(y(x),x)=y(x),y(x));
одержуємо два розв’язки ДР, загальний та особливий.
За допомогою додаткової процедури expandспрощується вираз особливого розв’язку.
> x^2=expand((-sqrt(1-y^2)/(sqrt(1/(y^2))*y))^2);
Доцільно дати завдання для самостійної роботи: пояснити реакції системи Maple Vна виконання програм:
а) with(DEtools): sys:=diff(x(t),t)=3.-2*y(t),diff(y(t),t)=2*x(t)-2*t:
dsolve({sys},{y(t),x(t)});
б) with(DEtools): sys:=diff(x(t),t)=3-2*y(t),diff(y(t),t)=2*x(t)-2*t:
dsolve({sys,x(0)=-6,y(0)=7.},{y(t),x(t)});
Одним із важливих понять теорії диференціальних рівнянь є поняття крайової задачі. Особливість методики вивчення теми полягає в тому, що студенти відносно самостійно за допомогою систем комп’ютерної математики (DERIVE, Matlab і інших) знаходять спосіб виконання предметно-пізнавальної дії для одержання потрібних результатів (зв’язків, числових характеристик параметрів, закономірностей). Крайові задачі зустрічаються в теорії електронних кіл, теорії управління, хімічній кінетиці та інших галузях науки і техніки. Тому знайомство із задачами прикладного змісту переконує студентів у необхідності оволодіння методами розв’язування крайових задач для звичайного диференціального рівняння. Прикладом може бути задача про математичне моделювання робочого процесу вібротраспортуючого пристрою, яке зводиться до розв’язування відповідного диференціального рівняння
y''+a( t)( y') 2 +b( t) y=d( t),
де a( t), b( t), d( t) – функції, що характеризують робочий процес, узгодження процесів, які змінюються повільно, та збурень, які швидко згасають.
Завданням для індивідуальної роботи може бути інша задача. Знайти реакцію системи стеження радіолокатора на вплив, що задається функціями x( t) =Asin( αt+φ), x( t) =α+βt+γt 2, x( t) =α+βt+γt 2 +μt 3тощо, дослідити систему стеження на стійкість, якщо її математична модель задається диференціальним рівнянням
y''( t) +ay'( t) +by( t) =x( t).
При розв’язуванні використовуються такі методи: метод характеристичного рівняння, варіації довільних сталих, операційний метод (лишки та інтеграл Дюамеля), сплайн-функції і інші.
Оволодіння новим матеріалом здійснюється у такій послідовності: за допомогою довідникових програм студенти можуть ознайомитись із задачами, при розв’язуванні яких необхідно знати методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь; викладач організовує роботу студентів з програмами, в яких моделюються відповідні фізичні процеси; розкриває зміст поняття крайової задачі звичайного диференціального рівняння; студенти будують інтерполяційні многочлени, за допомогою одного з пакетів одержують графіки розв’язків рівнянь та їх наближень базовими функціями.
Зміст поняття крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь формується шляхом аналізу математичної моделі. А зміст поняття наближеного розв’язку крайової задачі можна розкрити інтегруючи, наприклад, рівняння
y''–2 y=4 х 2ехр( х 2), у(–1) =у(1) = 0,
розв’язком якого є функція y=exp( x 2) –0.624(exp(1.41 x) +
+exp( –1.41 x)) .Наближений аналітичний розв’язок знаходиться, наприклад, у вигляді комбінації базових функцій: u 0( х) =0, u 1( х) =1 –x 2, u 2( х) =1– x 4, ...
y( x) =a(1 –x 2) +b(1 –x 4) .
Для інших базових функцій, а саме: v 0( х) =0, v 1( х) =1– x 2, v 2( х) =x 2(1 –x 2), ... , наближений розв’язок шукаємо у вигляді:
y( x) =a(1 –x 2) +bx 2(1 –x 2) .
За допомогою пакетів студенти будують наближені розв’язки. Якщо вибрана система функцій { u n ( x)}, то коефіцієнти a=0.4203, b=–0.6563 і наближений розв’язок отримаємо у вигляді: y=0.656 x 4 –0.42 x 2 –0.236. У випадку вибору системи функцій { v n ( x)}, коефіцієнти будуть: a=–3.0934, b=–0.1460, а наближений розв’язок: y=–0.146 x 4 –2.95 x 2 +3.096. Далі студенти будують графіки наближених аналітичних розв’язків та графік точного розв’язку. Візуальна оцінка отриманих розв’язків дає змогу зробити аналіз та висновки щодо вибору базових функцій та необхідності оцінювання похибки наближення.
Розглянемо застосування математичних комп’ютерних систем до виконання типових розрахунків
Задача. Знайти розв’язок крайової задачі
y''–4 y'+4 y=e 3 x , y(0)=0, y(1)=–2.
Метод Рітца. Даються вказівки щодо виконання завдання.
1. Запишіть відповідний функціонал
J( y)=, y(0)=0, y(1)=–2.
2. Виберіть базисні функції, наприклад:
a) u 1( x) =x, u 2( x) =x(1 –x), u 3( x) =x 2(1 –x), ...;
б) u 1( x) =x( x–1), u 2( x) =x 2( x–1) , ...;
в) u 1( x) =1– x 2, u 2( x) =1 –x 4, u 3( x) =1 –x 6, ...;
г) u 1( x) =x 2(1 –x), u 2( x) =x 3(1 –x) 2, u 3( x) =x 4(1 –x) 3, ...;
3. Запишіть перше наближення y 1( x) розв’язку y( x).
4. Завантажте комп’ютерну систему DERIVE, та виконайте вказані дії.
5. Побудуйте графік функцій y( x). Порівняйте його із графіками наближених розв’язків y 1( x) і y 2( x).
Задача. Спрощена модель системи стеження радіолокатора може бути сформульована у вигляді ДР [2]:
x''( t) +a 1 x'( t) +a 2 x( t) =f( t) .(1)
Завдання типового розрахунку полягає в оцінюванні різниці вхідного і вихідного сигналів f( t) –x( t) і порівнянні різних форм вхідного сигналу f( t): f 1( t)= Asin( αt+φ), f 2( t) =b 0 +b 1 t+b 2 t 2, f 3( t) =b 0 +b 1 t+b 2 t 2 +b 3 t 3, якщо x(0)=0, x'(0)=0. Розглянути також випадки апроксимації функції f( t) многочленами, сплайн-функціями, якщо відомі значення функції f(0), f(1), f(2), f(3).
Поглибити рівень засвоєння розділу ДР другого порядку і теми в цілому можна за рахунок застосування знаково-символьних засобів, які розрізняються своїми характеристиками, що дозволяє формувати уміння виділяти відношення форми і змісту об’єкта.
Розглянемо приклад розв’язування завдання типового розрахунку, із використанням різних методів розв’язування диференціального рівняння та різних комп’ютерних математичних систем. Нехай рівняння (1) має вигляд:
x''( t) +3 x'( t) +5 x( t)=4sin3 t, x(0)=0, x'(0)=0 (2)
Розв’язання задачі (2) спершу здійснюється методом невизначених коефіцієнтів у відповідній послідовності з використанням пакету DERIVE. Далі студентам дається завдання для самостійної роботи: Зробити перевірку одержаного результату, скориставшись, наприклад, програмою пакета Maple:
with(DEtools):
dsolve({diff(x(t),t$2)+3*diff(x(t),t)+5*x(t)=4*sin(3*t),x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t));
Використовуються також інші методи. Метод варіації довільних сталих доцільно реалізувати за допомогою пакету DERIVE. Метод інтегрального перетворення Лапласа у такій послідовності (система Maple):
– перший етап
знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;
розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;
застосувати функцію оберненого перетворення Лапласа invlaplace .
– другий етап
знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;
розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;
застосувати лишки до знаходження оригіналу.
Доцільно ознайомити студентів із методом інтеграла Дюамеля, оскільки вони набули до цього уміння застосовувати перетворення Лапласа і цей етап реалізує закріплення матеріалу.
Оскільки результати спостережень за вхідним сигналом є наближеними, то у типовому розрахунку передбачається використання методу апроксимації, який реалізується у такій послідовності.
а) Метод найменших квадратів.
Відомі спостереження в точках f(0)=4sin(0) =0, f(1)=4sin(3)=0.5644798, f(2)=4sin(6)=–1.1176616, f(3)=4sin(9)=1.6484734, рівняння розв’язується за умови, що вхідним впливом є функція
f( t) =P 3( t) =a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3
– інтерполяційний многочлен третього степеня. Функцію P 3( t) знаходимо за методом найменших квадратів.
б) Кусково-лінійна апроксимація.
Розв’яжемо рівняння (1), у випадку, коли вхідний сигнал задається кусково-лінійною функцією f( t) =x 4( t):
в) Наближення інтерполяційними сплайнами.
Розв’яжемо рівняння (2), у випадку, коли вхідний сигнал задається сплайн-функцією f( t)= x 3( t), тобто кубічним сплайном .
Завдання для самостійної роботи
Використати інші із розглянутих методів розв’язання диференціального рівняння з правою частиною (сплайн-функції).
Поява сучасних комп’ютерів та математичних комп’ютерних систем створили умови для використання у навчальному процесі більшої кількості наближених методів та ознайомлення студентів із сучасними наближеними аналітичними методами розв’язування ДР, зокрема, методом відомого українського математика Дзядика В.К. (1919-1998).
Метод дає можливість на заданому проміжку будувати многочлени, які з високою точністю наближають шуканий розв’язок, особливо у випадку, коли коефіцієнтами лінійного диференціального рівняння (ДР) є многочлени. Розглянемо застосування методу на прикладі деяких класів ДР.
Без використання математичних комп’ютерних систем типу Mathematicа завершити обчислення можна лише в найпростіших випадках. Використаємо пакет Mathematicа 4.0 при розв’язуванні задачі Коші [4]. Якщо розв’язується задача
y''+3 y'+5 y=–x 3 +2 x 2, y(0)=1, y'(0)=–1, (3)
наближений розв’язок рівняння шукаємо у вигляді многочлена, наприклад, четвертого степеня. Розв’язок має вигляд
Нижче наведено графіки відхилення та відносної похибки точного і наближеного розв’язків рівняння (3).
Наближений розв’язок рівняння Бесселя у вигляді степеневого ряду знаходиться за допомогою системи Mapleтак. Програма мовою системи має вигляд.
Order:=10:dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-1)*y(x)=0,y(x),series);
Наближення загального розв’язку система записує таким чином
Проте загальний розв’язок система повертає і у звичній формі:
dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-k^2)*y(x)=0,y(x));
Як ми уже бачили, моделі деяких процесів описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Особливо це стосується дослідження систем автоматичного управління, які описуються нелінійними математичними моделями. Тому для одержання характеристик динамічної системи часто перетворюють рівняння. Одним із методів перетворення рівнянь є метод лінеаризації. Він полягає у послідовному перетворенні нелінійного рівняння, в результаті чого одержується лінійне рівняння, яке відповідає заданому нелінійному. Розглядають повну лінеаризацію, коли рівняння зводиться до такого, в якому міститься менша кількість нелінійностей або спрощені нелінійності – наприклад, коли функція y=e х заміняється першими членами ряду Тейлора 1 +x+0.5 x 2.
Приклад . Знайти методом лінеаризації наближений розв’язок системи ДР, яка є варіантом моделі розвитку популяції
де x( t), y( t) – кількість жертв та хижаків, α>0, β<0, γ<0, δ>0.
Початкові умови x(0) =x 0, y(0) =y 0.
Замінимо нелінійну задачу лінійною в околі стаціонарної точки, де dx/dt=0, dy/dt=0. Це точка з координатами x s =–γ/δі
y s =–α/β. Праві частини рівнянь системи подамо у вигляді формули Тейлора в околі стаціонарної точки M( x s , y s ), обмежившись лінійними членами.
f( x, y) =f( M) +df/dx( M)( x–x s ) +df/dy( M)( y–y s ) +...
Тоді αx+βxy=βx s ( y–y s ), γy+δxy=δy s ( x–x s ), а лінеаризована система набуває вигляду
Можна зробити висновок про те, що поведінка розв’язку заданої системи у певному розумінні близька до розв’язку лінеаризованої системи ДР і, що на основі цього можна робити певні висновки та припущення щодо досліджуваного процесу. Наприклад, що фазові траєкторії в околі стаціонарної (особливої) точки є концентричними, що коливання в системі «хижак–жертва» є нестійкими.
Розглянута методика проведення заняття демонструє студентам доцільність використовування комп’ютерів з метою ефективнішого засвоєння матеріалу; сприяє формуванню у студентів навичок використання пакетів, вмінь правильно аналізувати практичні задачі; переконує студента у необхідності оволодіння теоретичними знаннями; студенти набувають досвід використання таких методів наукового пізнання, як аналіз, порівняння, узагальнення та інше; активізує навчально-пізнавальну діяльність студентів.
Баженов В.А., Гранат С.Я., Шишков О.В. Будівельна механіка. Комп’ютерний курс: Підручник. – К.:, 1999. – 584 с.
Клочко В.І. Застосування нових інформаційних технологій навчання при вивченні курсу вищої математики у технічному вузі: Навч. метод. посібн. – Вінниця: ВДТУ, 1997. – 64 с.
Лотюк Ю.Г. Використання НІТН математики на прикладі розв’язування лінійного диференціального рівняння першого степеня з поліноміальними коефіцієнтами методом Дзядика // Вісник ВПІ. – 2001. – №3. – С. 122-129.
ДЕЯКІ ПРОБЛЕМИ РЕАЛІЗАЦІЇ
АЛГОРИТМІЧНОГО ПІДХОДУ У НАВЧАННІ
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
О.М. Коломієць
м. Черкаси, Черкаський державний університет
ім. Б. Хмельницького
Розв’язування геометричних задач, як показує практика, викликає значно більше утруднень в учнів, в порівнянні з розв’язуванням алгебраїчних задач. Процес розв’язування геометричних задач важче піддається структуруванню, через це до таких задач складніше складати схеми та алгоритми розв’язування. Крім того, не достатньо розкритою залишається сутність поняття алгоритмічного підходу до навчання розв’язування геометричних задач.
Для того, щоб розкрити певною мірою зміст цього поняття, зупинимось на деяких його трактуваннях, що зустрічаються у методичній літературі.
За І.Г. Габовичем, реалізація алгоритмічного підходу – це “ефективний метод навчання учнів розв’язування задач, який заснований на використанні при відшуканні плану розв’язування задачі деяких результатів, отриманих при розв’язуванні так званих базових задач” 2, 3. Під результатами розуміються ті математичні факти, які встановлюються в ході розв’язування базової задачі. Такий підхід, на думку І.Г. Габовича, дозволяє учням швидко знайти план розв’язування інших, більш складних задач. Базовими вважаються задачі на доведення, результат яких є залежності, що часто і ефективно використовуються в розв’язуванні інших геометричних задач. Поряд з терміном “базові задачі” І.Г. Габович використовує ще й термін “алгоритмічні відомості”, вкладаючи в нього аналогічний зміст.
Для прикладу розглянемо дві задачі.
Задача 1. Навколо кола описана рівнобічна трапеція з бічною стороною l, одна з основ якої дорівнює а. Знайти площу трапеції.
Задача 2. Довести, що якщо в чотирикутник вписане коло, то суми довжин протилежних сторін рівні.
Слідуючи за І.Г. Габовичем, другу задачу потрібно вважати базовою для першої задачі.
З.І. Слєпкань 4 у термін “базові задачі” вкладає дещо інший зміст. Вона виходить з тих міркувань, що для навчання учнів розв’язування геометричних задач важливо виділяти не тільки математичні факти, а й прийоми та методи розв’язування. Найчастіше вони подаються у вигляді правил, схем, вказівок. Базовими вважаються такі задачі, алгоритм або схема розв’язання яких застосовні для розв’язування деякого класу задач. Такі задачі часто виступають в ролі окремих етапів розв’язування більш складних задач. Нерідко до них застосовують назву “підзадачі”. Наприклад, у розв’язанні задачі “Дано вершини трикутника А(1;1), В(4;1), С(4;5). Знайдіть косинуси кутів трикутника” задача “Знайти кут між двома заданими векторами” виступає в ролі підзадачі.
Згідно З.І. Слєпкань, сутність алгоритмічного підходу до навчання розв’язування задач найтісніше пов’язана із застосуванням саме таких базових задач, які виступають опорами у процесі навчання. Оволодіння учнями такими задачами є важливим завданням навчання математики, оскільки використання алгоритмічного підходу вносить раціональність та економічність у мислення, допомагає розв’язувати творчі задачі.
На нашу думку, треба відрізнити два смисли, в яких застосовується термін “базова задача”. У термін “базова задача” доцільно вкладати смисл “задача, у результаті розв’язання якої встановлюється математичний факт, що часто використовується у розв’язанні інших задач”. Тоді, за смислом “задача, яка є зразком застосування певного прийому чи способу розв’язування” доцільно закріпити термін “ опорна задача”.
Взаємозв’язок між опорними та базовими задачами можна зобразити так, як показано на рис. 1.
Рис. 1.
Задачі можна поділити на чотири типи:
Задачі, які є важливими своїм результатом – базові задачі. Наприклад, такою є задача: “Довести, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам”.
Задачі, важливі застосованим в них прийомом, схемою розв’язання – опорні задачі. Наприклад, задача: “Поділити даний відрізок на 5 рівних частин” демонструє виконання алгоритму поділу відрізка на nрівних частин при n=5, а задача: “З довільної точки Мкатета ВСпрямокутного трикутника АВСопущено перпендикуляр MDна гіпотенузу AB. Довести, що MAD= MCD” подає зразок застосування прийому, заснованого на використанні допоміжного кола.
Задачі, які є одночасно базовими та опорними. Наприклад, такою є задача: “В трикутнику АВСпроведена медіана АМ. Довести, що ”.
Задачі, які не є ні базовими, ні опорними. Прикладом таких задач є будь-яка задача на обчислення.
Фактори, що відносять задачу до опорної або базової: існування класу задач на її застосування; частота використання схеми розв’язання або математичного факту відповідно у задачах, поданих у шкільному підручнику.
Так, задача: “Довести, що коли діагоналі паралелограма перпендикулярні, то цей паралелограм – ромб ” є базовою як для учнів загальноосвітніх шкіл, так і для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики, а задача: ”У трикутнику АВСпроведено медіани АА 1, ВВ 1, СС 1. Доведіть, що ” є базовою тільки в класах з поглибленим вивченням математики. Отже, поняття опорної та базової задачі не є абсолютними. Вважати задачу опорною або базовою чи не вважати їх такими, залежить від змісту курсу геометрії та способів його подання, реалізованих в тому чи іншому підручнику.
У шкільних підручниках базові та опорні задачі не виділяються. Більшість базових задач – це факти, подані авторами підручників в теоретичних відомостях, хоча частина важливих фактів включена в задачний матеріал підручника. На жаль, деяких важливих базових задач в підручнику не має.
У шкільних підручниках демонструються деякі прийоми розв’язування серед розв’язаних авторами задач. Однак, для якісного навчання учнів не достатньо просто записати розв’язання опорної задачі, важливими є вказівки по застосуванню прийому, виділення ідеї розв’язання, запис схеми розв’язання. Такий підхід реалізовано, наприклад, у підручнику [1].
У методичній літературі підбірки задач та вправ на відпрацювання методів та прийомів зустрічаються не часто. До того ж в них не завжди враховується диференціація завдань.
При вивченні конкретної теми організувати введення учнями опорними задачами можна двома шляхами, назвемо їх відповідно репродуктивний та частково-пошуковий.
Репродуктивний шлях введення опорних задач.
Вчитель може сам ознайомити учнів з прийомом розв’язування задачі, продемонструвати його застосування на прикладі задачі, виділивши її як опорну, разом з учнями скласти алгоритм (схему) її розв’язання, записати основну ідею методу, прийому, а потім розв’язати задачі на застосування прийому.
Частково-пошуковий шлях введення опорних задач.
Учні під керівництвом вчителя розв’язують певну кількість задач з даної теми, виділяють ідею та етапи їх розв’язання. Якщо це задачі, що демонструють деякий прийом, то вибирають одну з них як опорну задачу та записують схему її розв’язання. Якщо ж це задачі, що розв’язуються за деяким алгоритмом, то записують задачу в загальному вигляді, узагальнену задачу приймають за опорну задачу, записують алгоритм її розв’язання.
Базові задачі можна вводити на уроці у такий самий спосіб.
Репродуктивний шлях введення базових задач.
Вчитель може сам виділити базові задачі, визначити основну ідею їх розв’язання, а потім розв’язувати задачі з їх застосуванням.
Якщо спосіб розв’язування базової задачі має ситуативне значення (план чи схема розв’язання не використовується надалі), тобто вона не є опорною, витрачати час на її доведення в класі не доцільно. В такому випадку збережений час краще використати на розв’язування інших задач з її застосуванням.
Частково-пошуковий шлях введення базових задач.
Учні під керівництвом вчителя розв’язують певну кількість задач з даної теми, виділяють базову задачу, розв’язують задачі з їх застосуванням.
Вибір того чи іншого шляху введення у навчальному процесі опорних чи базових задач залежить від значущості задачі, від відведеного часу на вивчення даної теми, від рівня навченості учнів. Однак, незалежно від вибраного шляху необхідно звернути увагу учнів на важливість опорної чи базової задачі, на її застосовність при розв’язанні інших задач. Іншими словами, використання опорних і базових задач повинно бути цілеспрямованим. Головною метою вчителя у навчанні розв’язування геометричних задач має бути навчання розпізнавання та застосування базових й опорних задач при розв’язуванні геометричних задач.
При підготовці до ознайомлення учнів з опорними та базовими задачами даної теми учителю доцільно попередньо їх виділити, скласти алгоритми розв’язання опорних, а при необхідності й базових задач та підібрати задачі на їх використання. Доцільно включати не тільки задачі з шкільного підручника, а й з інших джерел, зокрема матеріалів математичних олімпіад. Аналіз задач зручно заносити в таблиці (див. табл. 1; табл. 2).
