Текст книги ""Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1""

Полагаем, что x [0; ∞[. Тогда имеем:

(6)

где α =1/ l, l =1, 2, 4, ... и т.п.

Запишем (6) в следующем виде:

, (7)

где множители и унифицируются:

и т.д.

Значение . Например, l =1 и l =2 соответственно имеем:

, (8)

. (9)

Если вычисления выполняются при значениях x N, то формулы (8) и (9) имеют достаточно простой вид:

.

В тех случаях, когда x R / N, важно то, что вычисления выполняются только с натуральными показателями и унифицированными множителями:

a ^α –1 = a– 1; , и т.д. (если в этом есть необходимость в смысле достижения более высокой точности результатов вычисления); является дробной частью числа и практически вычислений не требует.

Сходимость метода очевидна:

.

В таблице 1 приведены результаты вычисления значений функции e ^x при различных величинах lи для сопоставления приведены некоторые данные по значениям функции e ^x из таблицы Брадиса.

Таблица 1

e ^x

Табличное значение

Вычисления по формуле (7), α =1/ l

l=1

l=2

l=4

l=8

l=16

e ^0,45

1,5683

1,7732

1,5838

1,5757

1,5711

1,5689

Точность вычислений, %

–

13,06

0,99

0,47

0,18

0,04

e ^1,45

4,2631

4,8201

4,3052

4,2828

4,2702

4,2639

Точность вычислений, %

–

13,04

0,97

0,46

0,17

0,02

e ^2,45

11,5882

13,1027

11,7001

11,6405

11,6074

11,5889

Точность вычислений, %

–

13,03

0,96

0,45

0,16

0,01

Данные таблицы показывают, что вычисление с точностью до трех верных знаков достигается, если взять α =1/16. Однако, достаточная для практического использования точность вычислений до 1% достигается при α =1/2, при α =1/4 точность вычислений не превышает 0,5%, учитывая, что мы берем приближенное значение числа e, эти результаты говорят о достаточно высокой эффективности рассмотренного метода приближенного вычисления функций.

Метод может быть рекомендован для использования при разработке программ для приближенных вычислений функций на лабораторных занятиях по информатике.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН

В.В. Корольский

г. Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический университет

Государственная политика реформирования системы высшего образования Украины, выдвинутая в национальной программе «Освіта: Україна ХХІ століття” в качестве главного требования выдвигает вооружение выпускников вузов начала ХХІ столетие методологией самостоятельной творческой научно-практической деятельности. Указанное требование направляет научную и учебно-методическую работу кафедр на расширение роли самостоятельной познавательной деятельности обучаемых в процессе изучения теории и овладения методами ее приложения к решению практических задач в рамках каждой учебной дисциплины и цикла родственных дисциплин в целом.

В контексте сказанного основной задачей преподавателя в его учебно-методической деятельности является не репродуцирование набора готовых знаний, а организация активной самостоятельной работы обучаемых. И, если до начала 90-х годов ХХ ст. по этому поводу можно дискутировать, то в современных условиях, когда количество научных дисциплин в учебных планах подготовки учителей математики и основ информатики выросло с 34% до 50% и значительный объем программного материала (до 50%) вынесен на самостоятельное изучение студентами, проблемы самостоятельной работы студентов (СРС) при изучении математических дисциплин становится не только в высшей мере актуальной, но и приобретает признаки дуальности.

С одной стороны, на кафедрах и факультете в целом необходимо организовать систему СРС, с другой стороны, необходимо студентов обучить методам самостоятельной работы при повседневном изучении теории и методов ее приложения для решения практических задач.

Рассмотрим условия, в которых необходимо искать решение проблемы организации и повышения эффективности СРС при изучении математических дисциплин на физико-математическом факультете (ФМФ):

в отличие от общеобразовательных школ, где практически единственной учебной формой является урок, в вузе учебные функции реализуются через лекции, практические и лабораторные занятия, консультации, коллоквиумы, зачеты и экзамены, курсовые и дипломные работы;

огромные усилия, затрачиваемые преподавателями вузов, в значительной мере не достигают поставленных учебных целей, потому, что в силу условий нет должного взаимодействия между преподавателями и отдельным студентом, то есть нет эффективной постоянно действующей обратной связи в подсистеме: “преподаватель ↔ студент”;

преподаватель в своей деятельности исходит, как правило, из закономерностей умственной деятельности, присущей, прежде всего, ему самому; в более продвинутых случаях он пытается поставить себя на место обучаемого. Но обучаемых много и он вынужден ориентироваться, в зависимости от целей изучаемой темы, на более сильных или на более слабых студентов, а чаще всего в этом случае его действия направлены на “образ” некоего среднего студента.

В силу указанных условий преподаватель не использует объективные (а в ряде случаев необходимо бы учитывать и субъективные) закономерности умственной деятельности студентов, а лишь ориентируются на их внешние проявления.

По нашему мнению, на данный момент времени ни физиология, ни психология, ни биология, ни другие соответствующие науки еще не раскрыли закономерностей умственной деятельности человека вообще и, в частности, в процессе обучения его в такой мере, чтобы дать педагогам действительно эффективный инструментарий для взаимодействия в учебном процессе с обучаемыми.

Касаясь проблемы изучения математики в условиях приоритета СРС и при отсутствии научно-обоснованных общих закономерностей познавательного процесса, мы приходим к мысли, что некоторые необходимые закономерности можно попытаться выявить экспериментальным путем в условиях реального учебного процесса на ФМФ.

Суть методики эксперимента в следующем. Предположим, нам требуется выявить закономерности познавательной деятельности студентов при изучении ими какой-либо темы из математического анализа. Предполагаем, что в некоторой мере характер этих закономерностей проявится: 1) в затратах реального временим каждым отдельно взятым студентом на усвоение темы; 2) в оценке качества усвоения теоретического материала темы; 3) в наличии у студента умений использовать теорию для решения стандартных примеров и задач; 4) в наличии у обучаемого знаний и умений решать творческие нестандартные задачи.

Естественно предположить, что рассматриваемые закономерности наиболее полно и отчетливо проявятся по затратам времени на все формы учебного процесса с акцентом на СРС. Такая постановка решения задачи основывается на следующей гипотезе: преподаватель может привести обучаемых в следующие рабочие состояния: 1) рецептивности (готовности к восприятию сообщаемых знаний); 2) репродуктивности (готовности воспроизвести определенный объем полученных знаний); 3) неполной самостоятельности (готовности применять освоенные знания для решения стандартных примеров и задач с помощью преподавателя или других наиболее успевающих студентов); 4) полной самостоятельности для решения задач, в том числе и творческого характера; 5) полной самостоятельности по изучению нового теоретического материала и применения его для решения примеров и задач.

Чтобы достичь уровней знаний каждого из названных рабочих состояний студентов, нужны соответствующие методы обучения и организации СРС: излагающий, руководящий, побуждающий. Не вдаваясь в подробности классификации и особенностей методов обучения (они общеизвестны), подчеркнем только то, что в большей мере нас интересует побуждающий метод, общими задачами которого являются: постановка задания на СРС; обеспечение СРС необходимой учебно-методологической литературой; разработка рекомендаций по изучению теории и ее применению для практических целей; постановка контрольных вопросов и ориентиров для самоконтроля студентами результатов своей самостоятельной работы и общего уровня и качества усвоения данной учебной темы.

Учитывая приоритетность в познавательном процессе собственной СРС необходимо, прежде всего, исследовать закономерности распределения времени студента на самостоятельное изучение отдельных тем и общего количества времени СРС на рабочую неделю, семестр.

Фактически речь идет о создании учебного процесса на ФМФ. Новая модель должна:

1) учитывать все виды учебных занятий, взятых в последовательности, которая в полной мере отвечает логике познания содержания каждой отдельной темы и всей математической дисциплины;

2) учитывать затраты времени обязательных аудиторных занятий;

3) учитывать затраты времени СРС по всем ее видам.

Если такая модель будет построена по всем темам учебной дисциплины, то появится возможность создания соответствующей модели целого курса, ряда курсов, а затем и всего учебного цикла математических дисциплин и впоследствии модели подготовки специалиста.

Нами разработана методика проведения контролирующего эксперимента и построения статистической модели познавательной деятельности студента при изучении математических дисциплин.

РОЗВИТОК ЗМІСТУ

ШКІЛЬНОГО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

О.В. Крайчук

м. Рівне, Рівненський державний гуманітарний університет

З огляду на важливість проблеми відбору змісту шкільної математичної освіти проведемо короткий огляд структури і змісту математичних програм, що діяли на Україні.

Основним недоліком структури і змісту шкільного курсу математики, що зберігався при всіх переглядах програм до 1964-1967 рр., була невиправдано велика затрата часу на вивчення арифметики (більше половини всього навчального часу, виділеного на математику), а також ізольованість курсів арифметики, алгебри і геометрії. У шкільному курсі математики вивчалися на той час такі предмети: арифметика, елементарна алгебра, елементарна геометрія, плоска тригонометрія. Зміст цих чотирьох предметів в основному відповідав тому рівню математичного пізнання, який був досягнутий людством до XVII століття. Суттєвим недоліком програми була відсутність необхідної пропедевтики найважливіших понять систематичного курсу алгебри і геометрії, що вивчалися, починаючи з VI класу. Наступність між курсами арифметики і алгебри, арифметики і геометрії проявлялась головним чином в оволодінні учнями необхідним для вивчення алгебри і геометрії технічним апаратом. Попередня підготовка до вивчення нового матеріалу або була зовсім відсутня, або була недостатньою. Внаслідок цього систематичні курси алгебри і геометрії фактично будувалися на порожньому місці. Учні з перших уроків алгебри і геометрії були вимушені засвоювати велике число нових, незвичних для них понять і методів міркувань.

Суттєвим недоліком цих програм була і мала кількість часу, відведеного на оволодіння курсами алгебри і геометрії. Протягом 5 років (VI–X класи) школярам потрібно було не тільки засвоїти великий за об’ємом теоретичний матеріал, але й оволодіти термінологією і символікою, технікою тотожних перетворень і геометричних побудов, методами розв’язування рівнянь, нерівностей і їх систем, різними випадками розв’язування трикутників, текстових задач і т.д.

Програма 1967 р., зберігаючи значне стабільне ядро курсу, багато чим відрізнялася від діючих раніше програм. Одним із її вихідних положень є забезпечення лінійного розвитку понять від І до Х класу, поступове включення в курс нових понять, забезпечення наступності між І–ІІІ та ІV–V класами. У І – V класах поряд із вивченням чисел і дій над ними розглядалися найпростіші алгебраїчні і геометричні поняття, що дозволяло вести систематичну підготовку дітей до вивчення курсів алгебри і геометрії з VI класу. Курс IV–V класів, що як і курс початкової школи, одержав назву “Математика”, був ідейно пов’язаний як із курсом І–ІІІ класів, так і з курсом VI класу. Багато традиційних питань (рівняння, нерівності, конкретні види функцій) при відповідній їх методичній обробці було введено у більш молодші класи. Це не тільки дозволило більш повніше задовольнити пізнавальні інтереси і можливості школярів, але й вивільнити у старших класах час для включення нового, багатого в ідейному відношенні матеріалу. У VI–VIII класах були збережені два предмети: алгебра та геометрія. У IX–X класах також вивчалися два предмети: алгебра і початки аналізу та геометрія.

Програма 1967 р. характеризується значним підсиленням функціональної лінії курсу і збагаченням його математичними методами при збереженні, як уже відмічалося вище, значного стабільного ядра курсу. Підсилення функціональної лінії проявлялось у пропедевтиці поняття функції починаючи з IV класу, у введенні цього поняття і відповідної термінології та символіки в VI класі (раніше ці поняття вводилися з VIII класу) із паралельним розглядом геометричних перетворень; у введенні в IX класі поняття похідної, а в X – інтеграла. У VII класі були введені елементи векторної алгебри, що завершувалися в IX класі вивченням скалярного добутку векторів, а з V класу послідовно розвивався координатний метод.

Включення в загальноосвітній курс математики елементів математичного аналізу дало можливість ознайомити учнів із важливими ідеями математики, на конкретних прикладах розкрити суть деяких практично важливих методів опису і дослідження засобами математики цілого ряду фізичних явищ. Застосування інтеграла до обчислення площ і об’ємів дозволило дати єдиний метод розв’язування таких задач. Таким чином, розширювалися уявлення учнів про аналітичні методи розв’язування геометричних задач.

Своєчасна підготовка в курсі математики апарату, необхідного для розгляду відповідних питань на уроках інших предметів, дозволила підвищити теоретичний рівень викладання і разом із тим підсилити прикладну орієнтацію шкільного курсу математики.

Базисна програма з математики 1981 р. складалася із двох розділів: вимоги до математичної підготовки школярів (задає обов’язковий рівень підготовки учнів з курсу математики); зміст навчання (фіксує стабільний мінімальний об’єм матеріалу для обов’язкового вивчення в школі) [1]. Основним завданням вивчення математики є забезпечення міцного і свідомого володіння учнями системою математичних знань і вмінь, потрібних у повсякденному житті і трудовій діяльності кожного члена суспільства, достатніх для вивчення суміжних дисциплін і продовження освіти. Особливістю організації навчального процесу є орієнтація на безумовне досягнення всіма учнями обов’язкового рівня математичної підготовки. Рівень обов’язкової математичної підготовки визначає її нижню межу, на базі якої повинен здійснюватися подальший математичний розвиток школярів.

У курсі математики IV–V класів систематично розвивається поняття числа, формуються вміння виконувати усно і письмово арифметичні дії над числами, перекладати практичну задачу на мову математики, проводиться підготовка учнів до вивчення систематичних курсів алгебри і геометрії. Курс будується на індуктивній основі із залученням елементів дедуктивних міркувань на наочно – інтуїтивному рівні; математичні методи і закони формулюються у вигляді правил.

Курс алгебри і початків аналізу IX–X класів характеризується змістовним розкриттям понять, тверджень і методів, які стосуються початків аналізу, з’ясування їх практичної значимості. При вивченні питань аналізу перевага надається використанню наочних міркувань, рівень строгості викладу визначається з урахуванням загальноосвітньої спрямованості вивчення початків аналізу і узгодження з рівнем строгості застосувань виучуваного матеріалу в курсах суміжних дисциплін. Характерною особливістю курсу є систематизація і узагальнення знань учнів, закріплення і розвиток умінь і навичок, сформованих при вивченні курсу алгебри, що здійснюється як при вивченні нового матеріалу, так і при проведенні узагальнюючого повторення курсу. Намічена тенденція до розширення інформації про число шляхом ознайомлення з комплексними числами та діями над ними.

Курсу геометрії IX–X класів притаманний систематизуючий і узагальнюючий характер, орієнтація на закріплення і розвиток умінь і навичок, сформованих у неповній середній школі. При доведенні теорем і розв’язуванні задач активно використовуються вивчені в курсі планіметрії властивості геометричних фігур, застосовуються геометричні перетворення, вектори і координати. Високий рівень абстрактності виучуваного матеріалу, логічна строгість систематичного викладу поєднується з високим ступенем наочності. Велике політехнічне значення має ознайомлення учнів із найважливішими геометричними тілами, вміння їх зображати, обчислювати їх об’єми і площі поверхонь.

Традиційний зміст навчання, що склався десятиліттями, забезпечує досить високий рівень математичної підготовки учнів. Проте зміни в галузі техніки, виробництва, освіти, комунікацій ставлять нові вимоги до математичної підготовки професійних кадрів і спонукають до переосмислення традиційного змісту. Так академік Колмогоров А.М. в статті “Современная математика в современной школе ”[2] відмітив у здійсненні ідеї модернізації шкільної математики дві різні тенденції:

1. Систематична побудова курсу на основі елементарних понять теорії множин з підпорядкуванням конкретних класів функцій загальному поняттю відображення, вивчення загальних властивостей бінарних відношень (рефлексивність, симетричність та антисиметричність, транзитивність), висування на перший план поняття групи і т.д.

2. Центр тяжіння переноситься на впровадження в шкільне викладання елементів дискретної математики (математична логіка, графи, теорія ймовірності і т.д.).

З огляду на це виникає потреба при відборі змісту шкільного курсу математики зменшити обсяг громіздких обчислень та перетворень і посилити дискретність та неперервність, функціональність, що дасть змогу адекватніше математизувати практичні ситуації, успішно опановувати сучасні інформаційні технології.

Науково-технічний прогрес нашого суспільства вносить суттєві зміни у зміст і характер учбової праці і відповідним чином відображається у вимогах до математичної освіти. Тому потрібний систематичний аналіз відповідності змісту і результатів навчання математики цілям освіти і внесення на цій основі необхідних змін у зміст навчального предмету та методику його вивчення. Аналіз розвитку шкільних курсів математики їх теоретичних основ, задумів і фактичних результатів модернізації дозволяє виділити наступні об’єктивні тенденції розвитку шкільної математики:

посилення загальноосвітньої ролі курсу, його гуманітаризація;

зростання теоретичного рівня викладеного матеріалу;

посилення прикладної та політехнічної спрямованості навчання.

Ці загальні тенденції реалізуються в змісті курсу і його структурі, в методах і формах навчання та відображаються у дидактичному забезпеченні курсу: у програмі, підручниках, методичних посібниках для вчителів, у технічних засобах навчання, у змісті і характері підготовки вчителів. Вказані тенденції не знаходяться у відношенні підпорядкованості і досить тісно пов’язані між собою. Їх комплексне врахування повинно сприяти гармонічному розвитку особистості.

У зв’язку із розвитком обчислювальної техніки все більшого значення у складних процесах проектування, організації управління, в екологічних, соціологічних дослідженнях, у вивченні лінгвістики і т.д. набувають математичні моделі. На відміну від закону, що має на даній стадії розвитку науки абсолютний характер і який як правило допускає свою перевірку, модель може давати лише наближене уявлення про досліджувану систему, причому одні і ті ж явища можуть бути описані різними моделями. Із усіх відомих моделей до змісту шкільного курсу математики найбільш підходять моделі фізичних, хімічних процесів, економічні моделі. Природно, що курс математики не може взяти на себе розгляд усіх уже відомих учням моделей і створення нових. Тут необхідні спільні зусилля вчителів математики і суміжних дисциплін. Введення в шкільний курс математики елементів математичного аналізу дозволило розширити число фізичних моделей, що вивчаються в школі. Проте увага учнів все ще не зосереджується на особливостях і значенні математичних моделей та математичного моделювання в цілому. Економічні моделі, що описують залежності між економічними змінними і цілями процесу, у школі, як правило не розглядаються. Проте ця галузь застосування математики повинна знайти своє відображення в шкільному курсі математики.

У цьому аспекті заслуговує також на явне виділення в курсах математики та деяких інших предметів (наприклад, у курсі економічної географії) проблема оптимізації розв’язків. На даний час лише намічений підхід до постановки даної задачі – знаходження екстремумів функцій. Разом із тим задачі на оптимізацію, що є в деякій мірі найпростішими задачами – моделями, доступні учням. У програмі також міститься весь необхідний апарат для постановки часткової задачі оптимізації розв’язку за допомогою методу лінійного програмування – системи лінійних рівнянь і нерівностей.

Виходячи із психологічного принципу відбору навчального матеріалу [5], програма з математики для старших класів загальноосвітньої середньої школи має відображати три рівні: гуманітарний, загальноосвітній та математичний. Причому математичний рівень може розподілятися на два відділи. В одному основна увага приділяється дедукції і функціональним залежностям між величинами, а в другому – індукції, комбінаторному аналізу, кореляційним залежностям, що виділяються і пізнаються емпірично і статистично.

От министерства просвещения СССР // Математика в школі. – 1981. – №4. – С. 7–15.

Колмогоров А.Н. Современная математика в современной школе // Математика в школе. – 1971. – № 6. – С. 8–10.

Совершенствование содержания образования в школе / Под. ред. И.Д. Зверева, М.П. Кашина. – М.: Педагогика, 1985. –272 с.

Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск: Вышейшая школа, 1986. – 414 с.: ил.

Крайчук О.В. До проблеми відбору змісту шкільного курсу математики / Педагогіка та психологія: Збірник наукових праць. – Вип. 19. – Ч. 1. – Харків: ХДПУ, 2001. – С. 102–106.

ВИКОРИСТАННЯ ЗАДАЧ ПРАКТИЧНОГО ЗМІСТУ НА

УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ

О.В. Крайчук ¹, Г.К. Мошковська ²

¹м. Рівне, Рівненський державний гуманітарний університет

²м. Рівне, Західне представництво Відкритого міжнародного університету розвитку людини “Україна”

Як відомо, математика – наука про абстрактні структури, які розглядають об’єкти досить загальної природи. У предмет її вивчення входять просторові форми і відношення реального світу, які мають такий рівень незалежності від змістовної основи, що можуть бути повністю абстраговані від неї в поняття, за допомогою яких можна суто логічно розвинути теорію. Такий підхід у дослідженні математичних закономірностей має перевагу, тому що основним методом розвитку математичних теорій є логічний висновок, який не спирається на експеримент.

Математичне моделювання зводиться не тільки до дослідження закономірностей у спрощеному числовому вигляді, а й у всій різноманітності їх кількісних розв’язків. Однак математика при цьому не може замінити методи і поняття тих конкретних наук, де їх застосовують. Математика завжди має прикладний, підпорядкований характер, тому математичне моделювання необхідно контролювати методами конкретних наук (фізики, хімії, економіки та ін.).

Розглянути підхід до побудови математичних теорій, крім позитивних, має й негативні риси. Маніпулюючи численними абстрактними поняттями, учні не завжди розуміють безпосередній зв’язок теорії з практикою. Під поняттям “практика” слід розуміти все те, що потребує цілеспрямованої фізичної та розумової діяльності людини.

Отже, за допомогою зв’язку навчання з життям вчитель повинен забезпечувати розуміння об’єктивності наукових теорій, озброювати учнів знаннями, які даватимуть можливість розв’язувати посильні практичні задачі. Для цього до структури навчального процесу входять різні види практичної діяльності та прикладного використання теоретичних положень.

Роль задач в процесі вивчення шкільного курсу математики важко переоцінити [1]. При вивченні математики в школі використовуються різні типи задач як за структурою так і за змістом. Значне місце в навчальному процесі займають і задачі практичного змісту – прикладні задачі.

Педагогічний досвід показує, що будь-яка прикладна задача, яку розв’язують на тому чи іншому етапі навчання, виконує різні функції, які за певних конкретних умов виступають явно або приховано.

Всі функції прикладних задач взаємопов’язані. Методично доцільно використовувати якомога більше задач, які виконують одночасно кілька функцій. Наприклад, важливим фактором формування наукового світогляду є те, що математичні формули, теореми, різні залежності створюються під впливом практики і потреб людини.

Крім того, одним із завдань викладання математики в школі є розвиток здібностей учнів до творчості. Тут теж у пригоді стають прикладні задачі, оскільки вони допомагають виховувати уміння застосовувати на практиці здобуті в процесі навчання теоретичні знання, розвивати конструкторські здібності учнів, тобто виробляти уміння встановлювати залежність, яка забезпечує взаємодію між складовими частинами приладів та механізмів, вибирати найраціональніші шляхи досягнення поставленої мети, готувати учнів до нових пошуків, розвивати в них почуття потреби творчого ставлення до навколишнього оточення.

Продемонструємо це на конкретних прикладах.

Так, при вивченні теми “Коло і круг” у 5 класі учням важко відрізнити ці два поняття. Тому важливо розмежовувати в їх свідомості ці геометричні фігури і сформувати чіткі уявлення про них у процесі виконання практичних вправ. Все це досягається шляхом виконання завдання на виготовлення малюнків, моделей, розфарбовування окремих елементів, тощо.

Учні із задоволенням виконують такі творчі завдання, разом з тим виробляють практичні навики щодо побудови кола.

Під час вивчення тем “Прямокутний паралелепіпед” (5 клас), “Піраміда” (6 клас) обов’язково спиратися під час бесід про історію виникнення плоских та об’ємних фігур, про використання людиною різноманітних форм у побуті та техніці. Тільки під час виконання практичних завдань під керівництвом учителя учні доходять висновку про кількість граней, вершин, ребер прямокутного паралелепіпеда, піраміди. Нові терміни школярі теж найкраще засвоюють і запам’ятовують у процесі виконання практичних вправ.

Задачі прикладного характеру мають важливе значення насамперед для виконання в учнів інтересу до математики за умови забезпечення мотивації навчання: кожне нове поняття чи положення повинне, по можливості, вводитися у задачах практичного характеру. Деякі з таких задач, які можна використовувати при вивченні окремих тем наведені нижче. Такі задачі переконують учнів у потребі вивчення нового теоретичного матеріалу і показують, що математичні абстракції виникають із задач, поставлених реальною дійсністю. Спочатку учнів зацікавлює розв’язування окремих задач, потім вивчення окремих тем, а з часом і вся наука.

Важливим і ефективним стимулом до розвитку і зміцнення учнівських інтересів є широке використання всіх можливостей для застосування на практиці здобутих теоретичних знань.

Узагальнюючий урок по темі “Похідна” можна провести у вигляді уроку-практикуму, на якому розглянути конкретне застосування похідної до розв’язування задач з різних галузей наук (фізики, геометрії, економіки і т.д.).

Урок-підсумок з теми “Інтеграл” рекомендую провести у вигляді семінарського заняття, на якому розглянути застосування інтеграла до розв’язування задач, виведення формул об’ємів і площ поверхонь. Завдяки цьому вивільняємо 3 уроки геометрії, які можна використати для розв’язування задач (наприклад, екзаменаційних).

На основі змісту прикладної задачі можна іноді не тільки продемонструвати практичне значення теоретичного матеріалу, а й глибше розкрити його і накреслити в загальних рисах ідею доведення теореми, оскільки для розв’язування окремих таких задач треба застосовувати не твердження, яке доводиться, а його доведення. Зокрема, щоб підвести учнів до доведення теореми Піфагора, можна поставити перед ними таку проблему: відомо, що брус, поперечним перерізом є прямокутник, має найбільшу міцність тоді, коли перпендикуляри, опущені з вершини цього прямокутника на його діагональ, ділять її на три рівні частини.

У зв’язку з цим виникають така задача практичного характеру:

Визначити найбільші розміри поперечного перерізу бруса найбільшої міцності, який можна випиляти з колоди заданого діаметра

Аналізуючи задачу, учні приходять до висновку, що невідомі розміри можна визначити, коли будуть відомі залежності між сторонами прямокутника, його діагоналями і проекціями сторін на діагональ. Далі, розглядаючи і вивчаючи теорему Піфагора, можна використати багатий історичний матеріал, цікаві задачі, які дають можливість практично 100% засвоєння цієї теореми учнями. Так, наприклад, при вивченні цієї теми можна використати урок – бенефіс на тему “Теорема Піфагора” [2].

Досвід переконує, що озброєння учнів міцними знаннями з усіх предметів, в тому числі і з математики, в сучасних умовах неможливе без використання у навчально-виховному процесі позакласної роботи. Практика показує, що для формування відповідного ставлення до навчання потрібні не випадкові позакласні заходи, а продумана система цієї роботи. Cаме при проведенні занять із позакласної роботи з математики відкривається можливість більш широкого, ніж в урочний час, використання задач практичного змісту, проведення математичних обчислень та обчислювальних експериментів практичного характеру. Тут є можливість використання завдань творчого характеру, при розв’язуванні яких учні не тільки закріплюють набуті математичні знання, але й здобувають навички практичного застосування математичних методів до розв’язування прикладних задач – задач практичного змісту.

Література:

Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. – М.: Учпедгиз, 1959. – 208 с.