Текст книги ""Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1""

Автор книги: Автор Неизвестен

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 11 страниц)

Процес навчання – це цілеспрямована послідовна взаємодія, в ході якої вирішуються задачі освіти, виховання та загального розвитку. Сучасна дидактика підкреслює, що задачі учбового процесу не можна звести лише до формування знань, умінь і навичок. Реформування загальної середньої освіти передбачає методологічну переорієнтацію процесу навчання з інформативної форми на розвиток особистості навчаємого, індивідуально-диференційований підхід до навчання та контролю учбових досягнень навчаємих. Сьогодні перед вчителями поставлені завдання пов’язані з оновленням змісту навчання та його інформації, модернізації форм та методів навчання. Сьогодні, коли йдеться про високий рівень навчальних досягнень, то насамперед, маємо на увазі вміння в основному самостійно отримувати нові знання без яких неможливо працювати по-новому. Немає сенсу говорити, що саме освіта є тим фундаментом, на якому створюється та функціонує вся система підготовки майбутнього вчителя. В цьому контексті приоритетним безумовно є ланка середньої освіти. Саме тут свідомість учнів не тільки наповнюється різноманітною інформацією, але внаслідок діяння вчителя у свідомості учня формуються вміння оперувати інформацією, що повідомляється вчителем. Від якісних та кількісних властивостей таких вмінь залежать ефективність і продуктивність подальшого спеціального навчання, в тому числі і в ланці вищої освіти. Тобто вчитель повинен бути не тільки найефективнішим транслятором знань, але й психологом, який активно й цілеспрямовано впливає на характер функціонування свідомості та самосвідомості учнів. Для всіх спеціальностей інших професій, в процесі професіональної діяльності яких виникають елементи навчального та виховного процесів, останні не відіграють домінантної ролі, в той час як для вчителя, педагога навчання і виховання – єдина й головна задача. Саме тому, вчитель не тільки не має права зменшувати масиви своїх знань, умінь, але навпаки, зобов’язаний постійно підіймати планку професійної компетентності.

Саме тому необхідно вести розмову не тільки за процес набуття знань майбутніми вчителями, а краще за систему навчання педагогічній майстерності. Майбутній вчитель, студент повинен постійно вдосконалювати свої знання, вміти добувати їх шляхом самостійної роботи. Одним з головних чинників, які впливають на ефективність освіти можна вважати управління якістю підготовки спеціалістів, зокрема – вчителя математики. Практично керувати якістю підготовки майбутніх вчителів математики можна за допомогою такої методики, яка дозволяє враховувати весь комплекс сучасних вимог до професії вчителя математики.

Серед усіх учбових предметів, які вивчають студенти фізико-математичних факультетів педінститутів, курс шкільної математики та методики її викладання найбільш тісно пов’язаний з їх майбутньою професійною діяльністю. Основними методичними принципами проведення такого курсу ми вважаємо такі:

вивчення будь якої теми починати з розглядання відповідних питань шкільного курсу математики;

при розгляданні кожного питання вказувати той мінімум знань та вмінь, який повинен бути досягнутий учнями, а також той рівень, який можна вважати вищим для учнів шкіл та вважати обов’язковим досягнення кожним студентом цього рівня; вищим рівнем складності вважати такі вправи, які пропонуються на факультативних заняттях, вступних екзаменах, також такі вправи, які потребують поглибленої математичної підготовки;

особливу увагу приділяти розв’язанню задач, типових для шкільного курсу математики (під типовими задачами розуміємо задачі з даної теми, для розв’язання яких використовуються такі методи притаманні таким розв’язанням);

якщо задача розв’язується декількома способами, обговорити кожен з них;

пропонувати студентам методичні завдання: сформулювати у явному виді основні алгоритми шкільного курсу, відібрати вправи для формування алгоритму, виділяти базові знання та вміння учнів; пропонувати вивчити різні методи розв’язання вправ; розв’язувати методичні завдання – вчитель намітив деякий шлях розв’язання задачі, а учень пропонує інший, якою може бути реакція вчителя, визначити, чи є помилки у розв’язанні та які;

при розв’язанні вправ особливу увагу приділяти пошуку розв’язання , у явному вигляді виділяти ті міркування, які застосовуються при розв’язанні.

Вважаємо, якщо ці загальні положення використовувати як основу організації учбової діяльності студентів на заняттях, то вони забезпечать у деякій мірі, їх методичну підготовку. Зауважимо, що така робота є основною для подальшого постійного підвищення кваліфікації вчителя математики.

Так, наприклад при розв’язанні рівнянь, які містять змінну під знаком модуля застосовуються такі методи:

1. Розв’язати рівняння (початковий рівень):

| х–4|=1

1 спосіб: піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

| х–4| ²=1 ²,

х ²–8 х+15=0.

Коренями цього рівняння є х ₁=5; х ₂=3.

2 спосіб: За означенням модуля

або

або

Також знаходимо х ₁=5; х ₂=3.

3 спосіб: можливий також і графічний розв’язок.

2. Розв’язати рівняння:

| х–2| + | х–1| = х–3.

Ясно, що х–3>0, тоді і х–2>0 та х–1>0 і дане рівняння рівносильно системі

Ця система немає розв’язків.

3. Розв’язати рівняння:

| х+5| + | х–3| = 10.

При розв’язуванні цього рівняння можна скористатися методом розбивання на проміжки, але доцільно застосувати такі міркування, які роблять розв’язок красивішим : умову прикладу пере формулювати таким чином – знайти на числовому промені такі точки х, що сума відстаней від них до точок з координатами –5 та 3 відповідно, дорівнює 10. Якщо такі точки є, то вони лежать поза інтервалом (–5;3) і якщо таку відстань позначити через d, то маємо: d +d+8 = 10; d= 1. Отже, х ₁=–5–1= –6; х ₂=3+1= 4. Такі міркування мають загальний характер; так якщо

| х+5 | + | х–3 | = а,

то d + d+8 = а; d= ;

При а=8, рівняння має безліч коренів, які належать проміжку [–5;3]. При а>8 рівняння має тільки два корені. При а<8 рівняння розв’язків не має. Зауважимо, що такі міркування цілком придатні і для розв’язку та доведення нерівностей.

4. Довести, що для любого дійсного х:

| х–2| + | х–6| ≥4.

Тут треба довести, що для всіх точок х, сума відстаней від точок з координатами 2; 6 відповідно не менше за чотири.

Ясно, якщо точка лежить поза інтервалу (2;6), то сума відстаней від неї до точок з координатами 2;6 більше за чотири, а якщо точка належить (2;6), то сума відстаней дорівнює 4. Тому для довільного х:

| х–2| + | х–6| ≥4.

Немає різниці у підходах до розв’язування і таких задач:

5. Розв’язати рівняння : | х–1| – | х–2| = 1,

.

6. Довести, що для будь якого х: | х+4|–| х–1|≤5.

Більш складним є розв’язання нерівностей:

7. Довести, що || х+1| – | х–1|| ≤ 2 для будь-якого х, але ця нерівність рівносильна системі:

або

а далі ясно.

Цікавим для обговорення є і такий метод розв’язання рівняння:

8. Розв’язати рівняння:

| 7–2 х| = | 5–3 х| + | х+2 |.

З того, що 7–2 х=(5–3 х)+( х+2) і | а+ b| = | а| + | b|, якщо ab≥0, слідує, що (5–3 х)( х+2)≥0, або –2 ≤х≤; тобто відрізок [–2; 1] є розв’язком цього рівняння.

Зрозуміло, що немає такої окремої “модульної” математики, але обговорення методів розв’язання та пошуку розв’язків задач такого типу безперечно повинно бути здійсненим на заняттях з шкільного курсу математики, бо саме воно й забезпечує методичну копичку майбутнього вчителя.

ВДОСКОНАЛЕННЯ МЕТОДИКИ

ВИКЛАДАННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ СТУДЕНТІВ ЕКОНОМІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

О.М. Вілігурська

м. Луцьк, Волинський інститут економіки та менеджменту

Згадується вислів М.В.Ломоносова “Математику вчити вже тому потрібно, що вона розум впорядковує”. Ці слова неодноразово підтверджуються реаліями життя, адже не можна здобути економічної освіти, не опанувавши ґрунтовно основ математичних знань.

З метою дослідження рівня знань студентів груп ОА-1а, ОА-1б, МО-1а, МО-1б, ОА-2, МО-2а, МО-2б були проведені спеціально розроблені контрольні роботи з вищої математики (спеціальність “Менеджмент організацій”) та математики для економістів (спеціальність “Облік і аудит”). Комплекти завдань підібрані з урахуванням типових програм курсів. Вони передбачали використання стандартних алгоритмів розв’язування.

Контрольні роботи висвітлили, які питання розділів є для студентів найбільш важкими, які помилки є типовими, а які випадковими.

Вони показали, що, наприклад, при вивченні розділу “Лінійна алгебра” типовими помилками для груп МО є:

1) при розкриванні визначника за стовпцем або рядком не завжди враховуються знаки алгебраїчних доповнень;

2) при розв’язуванні системи рівнянь методом Крамера не на належне місце ставиться стовпець вільних членів при обчисленні D _x , D _y , D _z ;

3) при розв’язуванні методом Гауса використовують при обрахунках не потрібний, а вище розташований рядок, в результаті чого псується вже досягнуте;

4) при знаходженні оберненої матриці не враховують знаків алгебраїчних доповнень;

5) при обчисленні оберненої матриці ділять приєднану матрицю не на | A|, а на (–1).

Для групи ОА найбільш характерними є помилки 1) та 4).

Випадковими помилками є для МО:

1) помилки в обрахунках;

2) неправильний вибір деяких чисел при складанні мінорів елементів;

3) при знаходженні оберненої матриці інколи забувають, що вихідну матрицю треба транспонувати.

Для груп ОА найбільш характерними є помилки 1) та 3).

При вивченні розділу “Аналітична геометрія в просторі та на площині” для груп МО найбільш типовими помилками були:

1) неврахування знаку модуля в формулах пошуку відстаней та об’ємів, в результаті чого може бути отриманий від’ємний результат;

2) при пошуку площі трикутника через векторний добуток в кінці забувають врахувати множник ½;

3) неправильне винесення множників з-під кореня;

4) неправильно рахують координати векторів;

5) роблять помилки у визначенні A, B, C, Dв неповному рівнянні площини.

Випадковою помилкою при вивченні цього розділу було не записування вільного члена в чисельнику формули відстаней від точки до прямої або площини.

Для груп ОА відповідно типовими є помилки 1) та 3), а випадковою помилкою було неврахування додатності квадратів від’ємних чисел.

При вивченні розділу “Ряди” типовими помилками для груп МО були:

1) неправильне утворення n+1-го елемента при застосуванні ознаки Д’Аламбера;

2) неправильне скорочування різних факторіалів в чисельниках та знаменниках;

3) помиляються в ознаці порівняння – при якому kузагальнений гармонійний ряд є збіжним, при якому – ні;

4) заміна коренями інших ступенів в ознаці Коші;

5) використання не тієї ознаки;

6) не повністю досліджують на умовну збіжність, забувають використати ознаку Лейбніца;

7) не дописують, що ряд збігається саме абсолютно;

8) неправильно роблять висновок, при якому qв ознаках Д’Аламбера та Коші ряд є збіжним.

Випадковими помилками є описки типу: “Область збіжності ряду – інтервал (–1; –9]”.

Для групи ОА типовими є помилки 6), 7), 8), а випадковими є помилки типу “”, інколи студенти не впізнавали другу чудову границю .

При вивченні розділу “Невизначений інтеграл” групою ОА-2 типовими помилками є:

1) неправильне записування знаменника дробу 3-го типу при інтегруванні дробово-раціональних виразів;

2) неправильне застосування табличних інтегралів;

3) подавання інтегралу добутку як добутку інтегралів;

4) не враховується знак “мінус” при пошуку площі криволінійної трапеції, якщо фігура або її частини знаходяться нижче осі ОX.

Частою випадковою помилкою є недописування Cпри знаходженні невизначених інтегралів.

На нашу думку, основними недоліками, які заважають найбільш продуктивному навчанню, є недостатня кількість годин практичних занять і відсутність годин на індивідуальні заняття, слабкий рівень шкільної підготовки, неповна забезпеченість студентів навчальною літературою.

Для подолання труднощів пропонується врахування і можливе усунення вище перерахованих факторів, а також використання умовного поділу студентів на групи за рівнем знань, більш індивідуальна робота саме з цими групами: давати можливість і сильним рухатись при вивченні з властивою їм швидкістю, і слабким дотягуватись до середнього рівня. Наприклад, на початку навчання першою парою можна провести контрольну роботу для заміру залишкових шкільних знань. За її результатами студенти умовно поділяються на групи – слабкі, середні, сильні. На другій парі сильним і середнім на картках даються індивідуальні завдання, що відповідають їхньому рівню підготовки, а викладач працює зі слабкими студентами. В процесі роботи з’ясовується найбільш незрозумілі питання, робиться крок до “підтягування” слабких студентів до середнього рівня. На наступній парі сильні знову працюють індивідуально, викладач працює з “середніми”, а слабкі пишуть контрольну роботу свого рівня. Далі чергуються методики другої та четвертої пари, а на останньому занятті проводиться контрольна робота для всіх (з урахуванням рівня). Крім того, слабким пропонується протягом семестру розв’язати 30 стандартних задач, деякі з яких обов’язково входять в їхню останню контрольну.

Важливе місце відводиться підготовці викладачем студента до інсайту, “ага-розв’язку”. Необхідно давати можливість розкритись здібностям всіх студентів в групі без виключення.

ПРОГРАММА ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ФУНКЦИИ

ГРИНА ДЛЯ БИСПИНОРНОГО УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

Л.А. Витавецкая

г. Одесса, Одесский государственный экологический

университет

Функция Грина (ФГ) играет важную роль в аппарате математической физики. Ее построение в аналитическом или численном виде является ключевым моментом при решении целого ряда задач как нерелятивистской, так и релятивистской квантовой теории поля [1-4]. Целью нашей работы является построение компактного численного алгоритма вычисления функции Грина релятивистского биспинорного уравнения Дирака с центральным несингулярным потенциалом и комплексной энергией и его реализация в виде комплекса программ с использованием метода Иванова-Ивановой (см. напр. [3]).

Искомая ФГ определяется как решение неоднородного уравнения Дирака (УД):

(1)

где – Дираковский гамильтониан [2]:

(2)

где ζ– энергетический параметр, V( r) – центральный потенциал. В теории стационарных состояний ζ– действительное число 0< ζ<∞. Математический смысл ζ-энергия частицы в виртуальном состоянии. В задачах рассеяния возникает необходимость рассматривать ФГ с комплексным параметром ζ[3, 4]. Традиционный подход вычисления ФГ УД с центральным потенциалом связан с выделением радиальной и угловой частей. Для радиальной части используется парциальное разложение, записанное в виде произведения так называемых регулярной и нерегулярной функций Уиттекера Mи W. Далее для Wи Mиспользуется разложение в ряд Тейлора, который суммируется в отдельном блоке программы. Такой подход имеет два существенных недостатка: вычисление функции Уиттекера в отдельном блоке увеличивает размерность вычислительной процедуры и ряд Тейлора для больших rобладает плохой сходимостью. В нашем подходе, основывающемся на методе Иванова-Ивановой (см. напр. [3]) искомые трудности отсутствуют.

После выделения радиальной части ФГ ключевой становится задача решения неоднородного радиального УД с широким интервалом изменения параметра ζ. Радиальное уравнение в матричном виде

Здесь χ– квантовое число Дирака. Для угловых частей известны точные аналитические выражения, в которых учтено суммирование по моментным проекциям виртуальных состояний [2]. Радиальную часть ФГ можно стандартно выразить в виде комбинации двух фундаментальных решений однородного уравнения Дирака. С помощью фундаментальных решений элементы G ^ij ФГ представляются в виде:

Здесь fи g– большая и малая компоненты функции Дирака, N– нормировочный множитель. Знак “~” применяется для обозначения второго фундаментального решения. Для конкретизации задачи предполагаем, что частица движется в сферически симметричном кулоновском потенциале. В таком приближении ее состояние определяется значениями главного квантового числа, полным моментом и четностью. Соответствующие биспиноры имеют стандартный вид [2]:

Здесь – шаровой спинор, g( r) и f( r) – радиальные функции Дирака, которые удовлетворяют системе уравнений:

Вид радиальных функций, естественно, зависит от вида потенциала V( r). Для регулярного при r→0 V( r), при r→∞ переходящего в чисто кулоновский, при каждом значении ζ, æсуществуют решения двух типов (см. [3] и ссылки там):

а) регулярное при r→0

æ<0 : æ>0

б) сингулярное при r→0

æ<0 æ>0

Вычислительные трудности всей задачи связаны в основном с вычислением второго фундаментального решения, для чего использован метод Иванова-Ивановой [3]. Вся вычислительная процедура сведена к решению одной системы обыкновенных ДУ (для численного интегрирования применяется схема Рунге-Кута) и реализована в виде комплекса программ (для Fоrtran Power Station 4.0) для РС Pentium II.

Литература

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М., 1989.

Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. – М., 1979.

Ivanov L.N., Ivanova E.P., Knight L. // Phys. Rev. A. – 1993. – V.48. – P. 436.

Glushkov A.V., Ivanov L.N. // Phys. Lett. A. – 1992. – V. 170. – P. 33.

НОВІ МЕТОДИ СУЧАСНОЇ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

І ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ:

ДЕЯКІ НАУКОВІ ТА МЕТОДИЧНІ АСПЕКТИ

О.В. Глушков, С.В. Малиновська

м. Одеса, Одеський державний екологічний університет

В сучасній математичній фізиці значний розвиток та широкі застосування отримав математичний апарат опису нелінійних квантових систем, який базується на операторній теорії збурень (ТЗ) (див. [1]) та S–матричному адіабатичному формалізмі Гелл-Мана та Лоу (див. напр.[2]). Особливо значні результати можуть бути отримані при його застосуванні в розв’язанні задач взаємодії складних систем із зовнішніми полями. Викладання цього апарату, як правило, потребує високого навчально-методичного та наукового рівня. Нижче ми розглянемо питання його викладання та застосування в наукових задачах на прикладі розв’язання задачі взаємодії “квантова система – зовнішнє поле”.

Мета – отримати основні характеристики – лінії радіаційного поглинення, які варто описувати на підставі техніки моментів  _m. Розглядається взаємодія квантової, наприклад, атомної системи (КС) з когерентним випромінюванням (КВ). Відомі розв’язки подібної задачі для випадку гармонічного КВ, але для сильних (стохастичних тощо) полів задача ще досить далека від свого послідовного розв’язання. Взаємодію КС-КВ можна описувати потенціалом:

V( r, t)= V( r)  d f(   ₀) [ ₀ t+  ₀ n],

де n– ціле число. Умова  d f ² ()=1 нормує потенціал V( rt) на певну енергію. Функцію f() візьмемо в гаусовій формі: I exp [ –ln2 (/D) ²]. Далі для рівня  КС розраховується Im частина енергетичного зсуву Е як функція центральної частоти імпульсу КВ  ₀. Шукана функція має форму резонансу. Кожен резонанс можливо пов’язати з певним переходом КС «-р», в якому поглинається « k» фотонів (, n– дискретні рівні в спектрі КС). Для резонансу розраховуються моменти ліній:

 p| k) =   d Im E _{ () (  –  p  / k) / N, (1)}

 _m=   d Im E _{ () (  –  p  / k) ^m/ N,}

де   d Im E _{ – нормуючий фактор;  p  – положення незсунутої лінії КС переходу – p; ( pa| k) – зсув лінії при k–фотонному поглинанні;  p = p + k p| k). Моменти  1,  2и  3визначають відповідно зсув лінії, її дисперсію та асиметрію. Для розрахунку  m необхідно провести розклад E в ряд ТЗ: E  =  E  ^{( 2k )}( 0). З цією метою використовуємо адіабатичну формулу Гелл-Мана та Лоу для енергетичного зсуву:}

 E _: E _= gln _| S _(0,| g)| _| ^{g = 1}.

де S _– матрица розсіювання. Визначення S-матриці у виді ряду ТЗ індукує розклад для  E _{ :}

 E _{ ( 0)=i( k 1, k 2,..., k n ) I  ( k 1, k 2,..., k n ), (2)}

I _{ ( k 1, k 2,..., k n ) = S  ^{( kj )},}

S _ ^{( m )}= (-1) ^m t ₁... t _m  _| V ₁ V ₂... V _m |  _,

V _j = exp (1 H ₀ t _j ) V( rt _j ) exp (-1 H ₀ t _j ) exp ( t _j ). (3)

де H– оператор Гамільтону КС; a( k ₁, k ₂,..., k _n ) – чисельні коефіцієнти. Матричні елементи S _ ^{( m )}представляють 2 ^m доданків відповідно двом доданкам V ^в (3). В кожному є m-кратне інтегрування по часу та m-кратне сумування по КВ імпульсам. В I _ ( k ₁,  k ₂, ..., k _n ) є крім кінцевих при 0 доданків всі можливі степені розбіжності від 1/ до 1/ ^m. Більш сильні ніж 1/ розбіжності природно компенсуються у кожному наближенні ТЗ. У двох перших наближеннях ТЗ при обмеженні одним членом розкладу по D ²для  E _{ ( 0) маємо:}

 E _( ₀) =  {2 S _ ⁽²⁾+ 4 S _ ⁽⁴⁾– 2 S _ ⁽²⁾ S _ ⁽²⁾+

( k+1) [ S _ ^{(2 k + 2)}– S _ ^{(2 k )} S _ ^{(2 k )}]

Далі сумування по КВ імпульсу замінюється інтегруванням, оскільки результат не залежить від точки відліку, і нарешті, I _ ( k ₁,  k ₂,..., k _n ) є ( L+2 k+1)–кратній інтеграл по ( L+2 k) часовим змінним та частоті КВ. Інтеграл по КВ частоті має вигляд:

  d ₀ F( ₀)=  { n _j  ₀–  _{pj }– iq _j )} ^-1

{– n _s  ₀–  _{ps }– iq _s )} ^-1( ₀–  _{p }/ k) ^m d ₀.

( n, q(  0) – цілі числа; p _j , p _s – індекси віртуальних станів КС, по яким проводиться ) та подамо у виді суми внесків окремих полюсів:

  d ₀ F( ₀)=  i( ₀) _

 ₀= _{pj }– iq _j  / n _j

–  i( ₀)

 ₀=- _{ps }– iq _s / n _s

Вирази для моментів мають остаточний вигляд:

( p | k) = { D/k ( k+ 1)} [ E( p,  _{p }/ k) – E(,  _{p }/ k)],

 ₂= D ²/k

 ₃= {4D ³/ [ k( k+ 1)]} [ E( p,  _{p }/ k) – E(,  _{p }/ k)],

E( j, _{p }/ k)=0,5 _jpi V _pij [ +]

Чисельний розрахунок шуканих характеристик може бути проводиться на підставі обчислювального комплексу “Superstructure” [3–6].

Література

Glushkov A.V., Ivanov L.N. DC Strong-Field Stark-Effect: consistent quantum-mechanical approach // J. Phys.B: At. Mol. Opt. Phys. – 1993. – Vol. 26, N 16. – P. L379–L386.

Glushkov A.V., Ivanov L.N. Radiation Decay of Atomic States: atomic residue and qauge noninvariant contributions// Phys. Lett.A. – 1992. – Vol. 170, N1. – P. 33–37.

Glushkov A.V., Ambrosov S.V. etal, Resonances in Quantum Systems in strong external fields: Consistent Quantum Approach // J. Techn. Phys. – 1997. – Vol. 38, N 2. – P. 215-218.

Glushkov A.V., Prepelitsa G.P et al, QED Theory of Nonlinear Interaction of Complex Atomic Systems with Laser field. Multiphoton Resonances // J. Techn. Phys. – 1997. – Vol. 38, N2. – P. 219-224.

Malinovskaya S.V. S-matrix formalism in the calculation of oscillator strengths, radiation and autoionization widths for complex atoms and multicharged ions // Науковий вісник Ужгородського університету. Серія фіз.-мат. – 2000. – Т. 8, Ч. 2. – С. 387-391.

Glushkov A.V., Vitavetskaya L.A. Accurate QED perturbation theory calculation of the structure of heavy and superheavy elements atoms and multicharged ions with account of nuclear size effect and QED corrections // Науковий вісник Ужгородського університету. Серія фіз.-мат. – 2000. – Т. 8, Ч. 2. – С. 321-326.

НЕЙРОСЕТЕВОЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ И МЕТОДИКЕ

ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И ТЕСТИРОВАНИЕ

РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

А.В. Глушков ¹, О.Ю. Хецелиус ¹, И.И. Шумлянский ²

¹г. Одесса, Одесский государственный экологический

университет

²г. Одесса, Одесская национальная академия связи

им. А.С. Попова

В современной теории и методике преподавания математики одной из ключевых проблем, на наш взгляд, является построение оптимальной, высоко эффективной модели обучающего процесса, приводящего в результате к подготовке высококвалифицированных специалистов с высоким уровнем как образовательного интеллекта, так и способностями не только анализировать, но и творчески созидать, включая возможности экспертных оценок. Одним из эффективных подходов к созданию оптимальных моделей обучающего процесса, на наш взгляд, следует считать нейросетевой. В последнее десятилетие наука о нейросетях получила значительное развитие (см. напр., [1–3]), причем долгое время основной акцент делался на изучение нейросетевых алгоритмов в технических динамических системах. Лишь в последние годы появились работы по развитию нейросетевого моделирования в социологии, политологии и др. гуманитарных дисциплинах. Цель нашей работы состоит в развитии нейросетевых моделей в теории и методике преподавания математики [4] и обеспечении на их основе оптимальной стратегии учебного процесса.

Ниже рассмотрен аспект моделирования обучающего процесса на основе системного, нейросетевого подхода с выяснением возможностей реализации резонансно-стохастического эффекта в обучении. В качестве полезной аналогии здесь уместно рассмотреть некоторые аспекты динамики нелинейных нейрокибернетических систем (см. [1–4]). В последние годы интерес к динамике нелинейных систем резко вырос в связи с открытием и экспериментальным подтверждением целой группы принципиально новых и достаточно парадоксальных эффектов (см. [4–8]). Речь идет, например, о том, что формально наличие источников шума в нелинейных динамических системах может индуцировать принципиально новые режимы функционирования, которые не могут быть реализованы в отсутствие шума. Причем, индуцируются более упорядоченные режимы, приводящие к образованию регулярных структур, увеличивающие степень когерентности, вызывающие рост усиления и увеличения отношения сигнал/шум и т.д. Среди указанных эффектов особое место занимает феномен стохастического резонанса [4–8]. Суть дела состоит в том, что отклик нелинейной системы на внешний сигнал при определенных условиях может заметно усиливаться с ростом интенсивности шума в системе. Нас интересует поиск условий в процессе обработки, скажем, математической информации, при которых процесс обучения или обработки будет наиболее эффективным и оптимальным. В качестве основополагающего модельного нейросетевого алгоритма можно использовать модифицированный [4] и в определенном смысле улучшенный известный алгоритм обучения с обратным распространением ошибок для многослойных нейрокибернетических систем [1–4]. При этом в отличие от стандартной технической нейросетевой модели состояния нейронов описываются уже не двумя значениями ±1, а принимают значения в интервале между 0 и 1. Для изучения возможности реализации режима стохастического резонанса в системе наглядно провести рассмотрение на примере нейронной сети вида [1,4]:

s _i ( t+ t)=sgn[ Kh( t) – ( t) –f _m (  t)],

h _i ( t) =J _ij ¹ s _j ( t).

где ( t) – -коррелированный шум с интенсивностью D.

Более сложный вариант сети задается формулами типа:

Y _i =sgn ( W _{ij 1,… jr} x _i x _{j 1…} x _jr ).

Известно, что спектры сигналов, обрабатываемых биологическими системами, являются достаточно сложными (как правило апериодическими). В случае апериодического сигнала, не имеющего пиков в спектре, обычно используемые меры (коэффициент усиления, отношение сигнал/шум, распределение времен переходов) являются либо неприменимыми, либо неэффективными. Естественно, такой подход не совсем уместен в теории преподавания. Величины, характеризующие передачу шумового сигнала через систему, могут быть рассчитаны на основе взаимных корреляционных функций (или взаимных спектральных плотностей) между входом и выходом системы [9]. Если предположить, что входной сигнал s( t), действующий на систему, порождает случайный процесс на выходе x( t) и считать, что s( t) и x( t) являются стационарными случайными процессами, можно ввести взаимную корреляционную функцию процессов s( t) и x( t), которая определяется как

,

где – двумерная совместная плотность вероятности процессов s( t) и x( t). Взаимная спектральная плотность есть преобразование Фурье взаимной корреляционной функции:

.

Введём в рассмотрение функцию когерентности Г( ω), которую определим следующим стандартным образом:

.

Эта величина изменяется [0, 1] и характеризует степень когерентности процессов s( t), x( t) на частоте ω. Как известно, важнейшей характеристикой динамических систем является восприимчивость χ( ω, D), где D– интенсивность внутреннего шума. Предполагая далее достаточную слабость сигнала s( t) и, что s( t) есть гауссов стационарный случайный процесс, статистически независимый от внутреннего шума системы, статистические характеристики отклика системы на воздействие s( t) могут быть вычислены с помощью теории линейного отклика. Для взаимной спектральной плотности имеем

.

Спектральная плотность на выходе имеет вид:

,

где – спектральная плотность невозмущенной системы в отсутствие сигнала. В свете сказанного, функцию когерентности в приближении линейного отклика можно представить:

.

Легко понять, что функция когерентности всегда меньше 1 и зависит от интенсивности внутреннего шума D. Предварительные тесты работы обучающего процесса, связанного с усвоением материала по геометрии показывают, что когерентность входа и выхода может быть оптимальна при определённом уровне шума [10]. При увеличении времени корреляции сигнала когерентность входа и выхода увеличивается. Таким образом, в системе принципиально возможным оказывается реализация режима стохастического резонанса с высоким уровнем усвоения входной информации.

Литература

Neural Networks for Computing, Ed. J. Denker. – N-Y.: AIP Publ., 2000.

Neural Computers, Eds. R. Eckmiller, C. Malsburg. – Berlin: Springer, 1998.

Нейроинформатика и ее приложения. Под ред. Горбаня А.Н. – Красноярск: Изд. КГТУ, 1995. – 229 с.

Glushkov A.V., Ambrosov S.V., Khetcelius O.Yu. Self-Leaning and thinking mashines approaches in modern education & science: Art-psychics and learning process results. – OSEU, Odessa-2001.

McNamara B., Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance // Phys. Rev. A. – 1989. – Vol. 39. – P. 4854–4869.

Jung P. Threshold devices: Fractal noise and neural talk// Phys. Rev. E. – 1994. – Vol. 50. – P. 2513–2522.

Collins J., Chow C., Imhoff T. Aperiodic stochastic resonance in excitable systems // Phys. Rev. E. – 1995. – Vol. 52. – P. R3321–R3324.

Inchiosa M.E., Bulsara A.R. Non-linear dynamic elements with noisy sinusoidal forcing: Enhancing response via non-linear coupling // Phys. Rev. E. – 1995. – Vol. 52. – P. 327–339.

Gammaitoni L., Martinelli M., Pardi L. Observation of stochastic resonance in bistable electron-paramagnetic-resonance systems // Phys. Rev. Lett. – 1991. – Vol. 67. – P. 1799-1802.

Анищенко В.С., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. – 1999. – Т. 169. – №1. – С. 7-38.

Амбросов С.В., Глушков А.В., Хецеліус О.Ю. Матеріали Всеукраїнської наук.-мет. конференції “Проблеми і шляхи удосконалення фундаменталізації і профілізації підготовки фахівців-випускників вищих технічних навчальних закладів”. – Київ, 2000.

Назад к карточке книги ""Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1""