Текст книги "Хаос. Создание новой науки"
Автор книги: Джеймс Глейк
сообщить о нарушении
Текущая страница: 4 (всего у книги 22 страниц)
Медали Филдза Смэйл был удостоен за выдающиеся исследования в области топологии – раздела математики, который начал развиваться в XX веке, достигнув особого расцвета в 50-е годы. Предметом топологии являются те свойства и качества, которые остаются неизменными (или инвариантными) при деформации геометрических фигур путем скручивания, сжатия или растяжения. Очертания и величина фигур – квадратные они или круглые, большие или маленькие – для топологии не столь важны, так как могут быть изменены деформацией. Для тополога представляет интерес другое: есть ли на поверхности фигуры разрывы или отверстия, не имеет ли она форму узла. Предмет исследования топологии не одно-, дву– и трехмерные поверхности, как в Евклидовой геометрии, а многомерные пространства, не поддающиеся отчетливому визуальному представлению. Объекты топологии подобны геометрическим телам на растягивающейся листовой резине, и рассматривает она не столько количественные, сколько качественные характеристики, т. е. раскрывает структуру в целом, не вдаваясь в измерение ее параметров. Смэйл разрешил одну из основных, имеющих длинную историю задач топологии – так называемую проблему Пуанкаре для пятимерного пространства и пространств большей размерности. Благодаря этому он встал в один ряд с выдающимися собратьями по ремеслу. Тем не менее в 60-х годах Смэйл, оставив топологию, вступил на неизведанную почву – занялся динамическими системами.
Возникновение топологии и теории динамических систем восходит еще ко временам Анри Пуанкаре, который считал эти дисциплины двумя сторонами одной медали. На рубеже веков Пуанкаре, последним из великих математиков, применил геометрию для описания законов движения в физической. Вселенной. Пуанкаре раньше всех осознал проблему хаоса. Его работы содержат смутные указания на возможную непредсказуемость, столь же трудноуловимую, как и в исследованиях Лоренца. Однако после смерти французского математика топологию ожидал расцвет, а динамические системы – забвение. Само понятие вышло из употребления. Предмет, на который обратил свое внимание Смэйл, назывался теорией дифференциальных уравнений. Последние использовались для описания изменений системы во времени, причем, в согласии с господствующей традицией, объекты рассматривались «локально». Подразумевалось, что инженер или физик примет во внимание лишь один набор параметров, передающих движение в данный момент времени. Смэйл, как и Пуанкаре, стремился исследовать явления в глобальном масштабе, желая постигнуть все богатство возможностей сразу.
Любая совокупность уравнений, описывающих динамическую систему (в частности, уравнения Лоренца), позволяет установить определенные начальные параметры. В случае с тепловой конвекцией, например, один из заданных параметров характеризует вязкость жидкости. Значительные изменения исходных данных могут повлечь за собой ощутимые перемены в системе, скажем, расхождение между пребыванием системы в стабильном состоянии и ее периодическими колебаниями. Однако физики предположили, что слабые изменения способны вызвать лишь незначительное расхождение в числовых данных, но никак не в качественном поведении системы.
Увязав топологию и динамические системы, ученые получили бы возможность использовать некую форму для наглядного представления всего разнообразия моделей поведения систем. Если система сравнительно проста, эта форма очертаниями может напоминать изогнутую поверхность. Сложные системы обладают множеством измерений. Точка на поверхности описывает состояние системы в определенный момент времени. По мере развития системы во времени точка передвигается через всю поверхность, описывая на ней своеобразную траекторию. Легкий изгиб формы соответствует изменению параметров системы, повышению вязкости жидкости или небольшому увеличению движущей силы маятника. Приблизительно одинаковые формы свидетельствуют о приблизительно одинаковом поведении. Если форма доступна зрительному представлению, систему можно решить.
Когда Смэйл обратился к динамическим системам, топологией, как и вообще математикой, занимались люди, относившиеся с пренебрежением к прикладному применению математических знаний. Физика и топология – дисциплины, родственные по происхождению. Однако математики начисто забыли об этом, изучая очертания фигур ради них самих. Смэйл, будучи до мозга костей математиком, разделял общее заблуждение, полагая, впрочем, что кое-что в топологии может обогатить и физику. Того же мнения держался в начале XX века Пуанкаре.
Так случилось, что первый шаг в новой области Смэйл сделал в неверном направлении. Он предложил закон, гласивший примерно следующее: система может вести себя беспорядочно, но подобное поведение не является устойчивым.Устойчивость – «устойчивость по Смэйлу», как иногда называли ее математики, – представляла собой решающее свойство. Устойчивым именовалось такое поведение системы, которое не могло измениться только в силу крохотной флуктуации одного из численных параметров. Любая система обнаруживает как упорядоченное, так и хаотичное поведение. Уравнения, которые описывают стоящий вертикально на острие грифеля карандаш, математически весьма удачно решаются, если центр тяжести карандаша располагается прямо над точкой опоры. Однако поставить карандаш в такое положение нельзя, поскольку оно нестабильно, – едва заметные колебания выводят систему из равновесия. С другой же стороны, шарик, лежащий в лунке, там и останется. Даже если его слегка потревожить, шар вернется в прежнюю позицию. Согласно гипотезе Смэйла, любое поведение системы, фактически доступное регулярному наблюдению, должно являться устойчивым, так как небольшие помехи и изменчивость в реальных системах неизбежны, а мы никогда не знаем точных параметров. Если вам необходима модель, физически реальная и одновременно противостоящая незначительным изменениям, то такая модель, по мнению большинства физиков, определенно является устойчивой.
Зима 1959 г. принесла Смэйлу, находившемуся тогда в Рио-де-Жанейро, плохие новости. Вскоре после Рождества в дом, где он обитал с женой и двумя малышами, принесли письмо от коллеги. Высказанная Смэйлом догадка пролила свет на целую группу устойчивых дифференциальных уравнений, но не более того. С точки зрения Смэйла, к любой хаотичной системе можно было приближаться сколь угодно близко, используя выделенный им класс уравнений, но в этом он ошибался. В письме его коллега сообщал, что многие системы вовсе не так понятны, как представлялось Смэйлу. В доказательство автор письма приводил систему, где сосуществовали хаос и устойчивость. И эта система была вполне «крепкой»! Слегка потревожив ее, можно было заметить, как появляются непрогнозируемые черты, а ведь в реальности в любую природную систему вторгается посторонний шум. Устойчивая, но поражающая своей необычностью… Смэйл с недоверием вчитывался в строки письма, однако через некоторое время убедился в правоте коллеги.
Хаос и неустойчивость – понятия, смысл которых еще не отлился в чеканные формулировки, – вовсе не синонимы. Хаотичная система вполне может демонстрировать устойчивость, если определенное ее иррегулярное качество продолжает существовать вопреки незначительным помехам, о чем наглядно свидетельствовала система Лоренца (Смэйл и услышит о ней лишь годы спустя). Открытый Лоренцем хаос при всей своей непредсказуемости являлся столь же устойчивым, как шарик в лунке. Можно добавить шум в эту систему, покачать, хорошенько разболтать ее, помешать движению внутри нее – все равно, когда возмущение уляжется и мимолетные факторы исчезнут, словно замирающее эхо в глубоком каньоне, система вновь вернется к своему прежнему беспорядочному состоянию. Локально она непредсказуема, глобально – устойчива. Реальные же динамические системы вели себя, повинуясь куда более сложному набору правил, чем можно вообразить. Пример, который содержался в адресованном Смэйлу послании, являл собой другую простую систему, открытую более тридцати лет назад, но незаслуженно забытую. Эта система – колеблющаяся электрическая цепь, по сути своей маятник, нелинейный и подвергаемый, подобно качелям, периодическому воздействию силы.
Если быть еще более точным, речь шла о вакуумной лампе, сконструированной в 20-е годы голландским инженером-электронщиком Балтазаром ван дер Полем. Современный студент-физик легко разберется в поведении такого осциллятора, взглянув на экран осциллографа, но ван дер Поль, за неимением последнего, был вынужден изучать собственное изобретение, прислушиваясь к изменениям тональности звука в телефонных наушниках. Из раза в раз изменяя силу подаваемого электротока, он, к своему удовольствию, обнаружил в поведении системы некий порядок: будто взбегая по лестнице, тон «перепрыгивал» от частоты к частоте. Но однажды голландец заметил кое-что очень странное: звуки в наушниках стали иррегулярными. Изобретатель затруднялся объяснить, что происходит в лампе. Впрочем, это его не слишком беспокоило. «Порой посторонние шумы, которые мы слышим в телефонных наушниках, сигнализируют о резком переходе к более низкой частоте, – отмечал он в письме в журнал „Нейчур“. – Они носят вспомогательный характер». Ван дер Поль входил в число ученых, имевших представление о хаосе, пусть и смутное, однако он не смог бы облечь свои идеи в форму специальных терминов. Создатели вакуумных ламп считали блокирование частоты делом весьма важным. Для людей же, пытавшихся проникнуть в природу сложного, гораздо интереснее был «посторонний шум», исходивший от взаимодействия токов высокой и низкой частот.
Хотя гипотеза Смэйла не подтвердилась, она дала новое направление его исследованиям сложных динамических систем. Ряд математиков по-новому оценили возможности осциллятора ван дер Поля. Смэйл приложил их выводы к неизвестной области. Единственным его осциллографом был мозг, но этот мозг довели до совершенства годы изучения топологической Вселенной. Смэйл досконально разобрался в спектре активности осциллятора, в его, по выражению физиков, фазовом пространстве. Любое состояние системы, зафиксированное в определенный момент времени, раскрывалось в одной точке фазового пространства. Все данные о положении или скорости системы содержались в координатах указанной точки. По мере изменения системы точка меняла свои координаты в фазовом пространстве, вычерчивая траекторию.
Фазовое пространство простой системы, вроде маятника, вероятно, представляет собой прямоугольник. Угол колебаний маятника в заданный момент времени определяет положение точки на оси восток – запад, а его скорость – на оси север – юг. Для маятника, стабильно качающегося взад и вперед, траектория в фазовом пространстве напоминает петлю, закручивающуюся вновь и вновь, по мере того как система раз за разом проходит через те же состояния.
Рис. 2.1. Построение изображений в фазовом пространстве. Традиционные временные последовательности (вверху)и траектории в фазовом пространстве (внизу)используются как два вида наглядного отображения одних и тех же данных и поведения системы в течение длительного периода времени. Первая (слева)система сходится в одной точке фазового пространства, что подразумевает стабильное состояние. Вторая периодически повторяет саму себя, образуя циклическую орбиту. Третья также обнаруживает периодическое повторение, но в более сложном, «вальсовом» ритме, демонстрируя цикл с тремя волнами. Четвертая хаотична.
Вместо того чтобы наблюдать за траекторией, Смэйл сосредоточился на изучении целостного пространства в момент изменения системы, например во время увеличения движущей силы. При этом он сконцентрировал свои размышления на некой геометрической сущности, абстрагировавшись от сути физической. Смэйл анализировал топологические трансформации в фазовом пространстве, т. е. такие преобразования, как растяжение и сжатие. Иногда эти преобразования несли в себе прямой физический смысл. Так, рассеивание и потеря энергии на трение наглядно отображались тем, что очертания системы в фазовом пространстве сжимались, словно опадающий воздушный шар, сокращаясь в итоге до точки, в которой система окончательно останавливалась. Смэйл понял, что для воспроизведения всей неупорядоченности осциллятора ван дер Поля в фазовом пространстве необходимо использовать новый комплексный набор трансформаций, и быстро превратил идею о зрительном представлении глобального поведения системы в неизвестную ранее модель. Его изобретение – овладевший умами образ хаоса – представляло собой структуру, известную под названием подковы.
Рис. 2.2. Подкова Смэйла. Такая топологическая трансформация заложила весьма простую основу толкования хаотичных свойств динамических систем: пространство растягивается в одном направлении, сжимается в другом, а затем перегибается. При повторении операции образуется нечто вроде структурированного беспорядка, подобного тому, который мы получаем, сворачивая пирожные из слоеного теста. Две точки, оказавшиеся рядом в конце преобразований, вначале могли находиться далеко друг от друга.
Чтобы представить себе упрощенный вариант подковы Смэйла, вообразите прямоугольник, а затем совместите верхнюю и нижнюю его стороны. Получится брусок, который надо согнуть буквой «С», а потом выровнять концы, чтобы получилась подкова. Подкову нужно встроить в новый прямоугольник и повторить преобразования: сжатие, свертывание и выравнивание.
Описанная выше процедура напоминает работу кондитера, который ловко растягивает сладкую жирную массу, сворачивает ее вдвое, вновь вытягивает, и так снова и снова, пока конфета не приобретет изящную продолговатую форму и сахарные завитки внутри нее не станут повторять друг друга самым причудливым образом. Смэйл создал свою подкову, минуя несколько стадий топологического преобразования. Отвлекшись от математики, можно отметить, что подкова – точный и зримый образ «сильной зависимости от начальных условий», которую Лоренц откроет несколькими годами позже. Выберите две соседние точки в начальном пространстве – и не угадаете, где именно они окажутся после сгибания и скручивания пространства.
Первоначально Смэйл надеялся объяснить поведение всех динамических систем с помощью операций вытягивания и сжатия, не прибегая к сгибанию, по крайней мере к такому, которое сильно подорвало бы устойчивость системы. Однако это преобразование оказалось необходимым и дало возможность описать резкие перемены в динамическом поведении объекта. Подкова Смэйла стала первой в ряду новых геометрических форм, благодаря которым математики и физики многое узнали о движении. Это изобретение – детище топологии, а не физики – казалось несколько искусственным для прикладных целей, однако оно послужило отправным пунктом для дальнейших изысканий. В 60-е годы Смэйл создал в Беркли исследовательскую группу из молодых математиков, разделявших его взгляд на нетрадиционное изучение динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты их работы удостоились внимания представителей других, не столь далеких от практики дисциплин. Когда это все же случилось, физики поняли, что Смэйл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру, и заговорили о наступлении золотого века науки.
«Происходит самая эпохальная смена парадигм из всех, какие я видел» – так прокомментировал происшедшее Ральф Абрахам, коллега Смэйла, впоследствии профессор математики в отделении Калифорнийского университета.
«Когда я начал свою профессиональную деятельность в сфере математики в 1960 г., совсем не так давно, последняя в современном ее варианте полностью – именно полностью– отвергалась даже самыми передовыми физиками, прибегавшими в своих исследованиях к математике. Дифференциальная динамика, глобальный анализ, разнообразные виды планирования, дифференциальная геометрия – почти всё предали забвению, и это лишь через пару лет после открытий Эйнштейна, высоко ценившего математическую науку! Можно сказать, что брак между математикой и физикой завершился разводом уже в 30-х годах – ученые двух областей, ничего не обсуждая между собой, презирали друг друга. Матфизики (а встречались и такие) не позволяли своим выпускникам посещать занятия математиков: Оставьте математику! Мы сами научим вас всему, что нужно знать. Они лишь извратят ваше мышление!Тогда шел 1960 год. Через восемь лет ситуация коренным образом изменилась». Физики, астрономы, биологи – все осознавали, что стоят на пороге новых открытий.
Одна из загадок космоса – Большое Красное Пятно на Юпитере. Овальной формы, огромное, оно кружится, словно гигантский вихрь, и никогда не останавливается… Взглянув на снимки, переданные «Вояджером-2», каждый узнает хорошо знакомое проявление турбулентности, правда, невиданного доселе, вселенского масштаба. Пятно – одна из давно известных достопримечательностей Солнечной системы, «налитое кровью око средь завитков нахмуренных бровей», как описал его Джон Апдайк. Но что же это такое? Через двадцать лет после Лоренца Смэйл и другие ученые, по-новому взглянув на различного свойства природные токи, поняли, что атмосфера Юпитера подбрасывает им загадку, достойную того, чтобы на ней испытать возможности науки о хаосе. Три столетия подряд лучшие умы бились над разгадкой этой тайны, но чем больше узнавали, тем меньше понимали. Астрономы обнаружили Пятно вскоре после того, как Галилей направил свои телескопы на крупнейшую из планет Солнечной системы. Роберт Хук увидел это образование еще в начале XVII века, Крети изобразил таинственный феномен на полотне (работа хранится в картинной галерее Ватикана). Окраска Пятна проясняла не многое. Однако телескопы совершенствовались, и новое знание порождало новые гипотезы и теории, буквально наступавшие на пятки друг другу. Вот лишь некоторые из них.
Теория извержения лавы.В конце XIX века ученые представляли себе Пятно как огромное озеро лавы, вытекающей из кратера вулкана или же из отверстия, которое образовалось в твердой коре после падения на поверхность планеты одного из спутников Юпитера.
Теория зарождения Луны.Один немецкий ученый, напротив, предположил, что загадочное Пятно связано с формированием новой юпитерианской луны.
Теория яйца.Когда обнаружилось, что Пятно слегка перемещается по направлению к теневой стороне планеты, в 1939 г. возникла гипотеза о более или менее твердом образовании, которое плавает в атмосфере, подобно тому как яйцо плавает в воде. Варианты этой теории, в том числе идея о дрейфующем скоплении газа (водорода или гелия), высказывались на протяжении десятилетий.
Теория газового столба.В XX веке вскрылась и другая новая деталь: хотя Пятно перемещается, сдвиг никогда не бывает значительным. В 60-х годах родилось предположение, что Пятно – вершина бьющего из недр газового столба, который, вероятно, берет свое начало в одном из кратеров.
Когда в полет отправился «Вояджер», большинство астрономов посчитали, что загадка Пятна разрешится сразу, ведь они наконец смогут взглянуть на космическую диковину вблизи. И что же? «Вояджер» передал много полезной информации, но она не решила проблемы. На фотографиях Юпитера, полученных в 1978 г., буйствовали могучие ветры, закручивались в спирали красочные вихревые токи, но самым впечатляющим зрелищем оказалось Пятно, подобное урагану [2]2
В Северной Америке ураганами принято называть тропические циклоны. (Примеч. ред.)
[Закрыть], система кружащихся водоворотом течений. Пятно располагалось в стороне от облаков, в зоне восточно-западных ветров, опоясывающих планету. Гигантский ураган – вот первое, что приходило на ум, но в силу определенных причин это объяснение никуда не годилось. Земными ураганами движет тепло, высвобождающееся при конденсации влаги и выпадении дождя. Совсем иные силы приводят в движение Пятно. Ураганы, как и циклоны, перемещаются против часовой стрелки в северном полушарии Земли и по часовой стрелке – в полушарии южном, подобно всем бурям, происходящим на нашей планете. Если судить по указанному признаку, Пятно представляет собой антициклон. И наконец, даже самые разрушительные ураганы длятся лишь несколько дней, а не миллионы лет…
Изучая полученные космическим аппаратом снимки, астрономы также пришли к выводу, что Юпитер являет собой не твердое тело с тончайшей, как у Земли, атмосферной оболочкой, а жидкую сферу. Если Юпитер и имеет твердое ядро, то оно весьма удалено от поверхности. Пятая от Солнца планета оказалась гигантским наглядным пособием для изучения динамики жидкостей. И на поверхности этого жидкого тела монотонно кружилось Пятно, которому совсем не мешал царивший вокруг хаос.
Пятно стало тестом на образное мышление. Чего только не узнавали в нем исследователи… Специалисты по динамике жидкостей, считавшие турбулентность случайным явлением, шумом, не могли объяснить, как в самом сердце ее возник этот островок стабильности. «Вояджер» вдвойне усложнил задачу, показав то, чего не разглядишь с земли в самый мощный телескоп. Увеличение масштаба быстро выявило элементы неупорядоченности, в частности зарождение и затухание вихрей в течение дня или даже часов. Тем не менее тайна Пятна оставалась тайной. Что давало ему жизнь? Что удерживало почти на одном и том же месте?
В архивах НАСА – а их существует около полудюжины в США – хранятся снимки, полученные с космических аппаратов. В начале 80-х годов неподалеку от городка Итака, где расположены Корнеллский университет и один из таких архивов, работал Филипп Маркус, молодой астроном, интересовавшийся также прикладной математикой. Получив данные наблюдений с космического корабля, он, среди немногих в США и Великобритании, занялся моделированием Пятна. Специалистам, не связанным гипотезой о чудовищном урагане, не пришлось долго искать аналогий. Взять, например, Гольфстрим, течение в западной части Атлантики. Оно также изгибается и разветвляется, в нем зарождаются небольшие волны, закручивающиеся в петли, а затем в кольца; поодаль от основного течения они образуют медленные продолжительные антициклонические водовороты. Напрашивалась и параллель с довольно специфическим явлением, известным в метеорологии как блокировка. Феномен блокировки имеет место, когда область высокого давления находится на значительном расстоянии от берега и медленно, неделями или месяцами, меняет направление, отклоняясь от оси восток – запад. Он искажает модели глобального прогнозирования погоды, но одновременно обнаруживает черты долговечной упорядоченности, подавая метеорологам слабую надежду.
Маркус часами изучал фотографии из архивов НАСА, великолепные изображения, полученные на аппаратуре шведской фирмы «Хассельблад», которая запечатлела и людей на Луне, и турбулентность на Юпитере. Универсальность законов Ньютона позволила Маркусу составить программу для решения задачи, которую он формулировал как поиск закономерностей поведения массы плотного водорода и гелия, напоминающей незажженную звезду. Юпитер вращается быстро, период его вращения составляет приблизительно десять земных часов. Это вращение порождает направленную в сторону мощную силу Кориолиса, которая толкает назад человека, идущего сквозь вихрь. Именно такая сила и подпитывает Пятно.
В отличие от Лоренца, который использовал маломощный компьютер для составления приблизительных графиков погоды, Маркус располагал гораздо более широкими возможностями, чтобы создавать потрясающе красочные картины. Сначала он сделал лишь эскизы, поскольку происходящее вырисовывалось весьма смутно. Затем ученый изготовил слайды и собрал все компьютерные изображения в некое подобие анимационного фильма. Увиденное обернулось открытием: модель кружащихся вихрей в ярких синих, красных и желтых цветах срасталась в овал, как две капли воды похожий на Большое Красное Пятно, чей образ был запечатлен космическим аппаратом и хранился теперь в НАСА. «Вы видите эту огромную отметину, купающуюся, словно моллюск, в мелких хаотичных течениях, которые, в свою очередь, вбирают в себя энергию, подобно губке! – восклицал ученый. – Вы видите эти крошечные волокнистые структуры в море хаоса на заднем плане!»
Пятно представляло собой самоорганизующуюся систему, порожденную и регулируемую теми же нелинейными эффектами вращений, которые создают непредсказуемый беспорядок вокруг него. Это был образчик стабильного хаоса.
Еще старшекурсником Маркус изучал традиционную физику, осваивал теорию линейных уравнений и ставил эксперименты, пытаясь с их помощью решить сложные проблемы, которые приводили к уравнениям нелинейным. Свой подкоп под крепостные стены научной традиции он вел втайне, поскольку не полагалось выпускнику тратить драгоценное время на возню с нелинейными уравнениями, которые все равно не имеют решения. Помня об этом, Маркус относился к своим исследованиям как к хобби и не вдруг узрел в них нечто такое, что можно было рассматривать как знамение хаоса. Когда же это случилось, он замер на миг в восхищении и воскликнул: «Вот здорово! Как вам понравится такой маленький беспорядок?» Этот вопрос был адресован реальному миру, сиречь коллегам и учителям, а мир ответил: «Да не волнуйся ты так! Это всего лишь погрешность эксперимента».
Но в отличие от большинства физиков Маркус отлично усвоил уроки Лоренца, состоявшие в том, что детерминистская система может демонстрировать не одно только периодическое поведение. Он понимал, что необходимо искать неупорядоченность, заключающую в себе структурированные фрагменты. Маркус рассматривал загадку Большого Красного Пятна, сознавая, что сложная система может породить турбулентность и организованность одновременно. Он чувствовал в себе силы для созидания в новой области науки, которая нашла особое применение компьютерам, и был готов причислить себя к новому типу ученых. Они, эти ученые, были не столько астрономами, не столько физиками или прикладными математиками, сколько специалистами по хаосу.
