Текст книги "Хаос. Создание новой науки"
Автор книги: Джеймс Глейк
сообщить о нарушении
Текущая страница: 16 (всего у книги 22 страниц)
При исследовании одномерного процесса нет необходимости прибегать к эксперименту. Достаточно просто установить, что числа, которые больше 1, ведут к бесконечности, чего нельзя сказать о всех остальных. Но для изучения формы в двух измерениях комплексной плоскости с помощью процесса итерации знать уравнение, как правило, недостаточно. В отличие от традиционных геометрических форм, таких как окружности, эллипсы и параболы, система Мандельбро не допускает никаких сокращенных вариантов. Определить, какая форма подходит к каждому конкретному уравнению, удается только методом проб и ошибок. Именно он привел исследователей к неизведанным землям, скорее путем Магеллана, чем дорогой Евклида.
Такое объединение вселенной форм с миром чисел говорило о разрыве с прошлым. Новые геометрии всегда начинаются с того, что кто-нибудь пересматривает базовый постулат. Предположим, говорит ученый, что пространство определенным образом искривлено, —и в результате получается странная пародия на Евклида, геометрия Римана – Лобачевского, которая стала основой общей теории относительности. Дальше – больше… Допустим, что пространство может иметь четыре измерения, пять или даже шесть… Вообразим, что число, выражающее измерение, может представлять собой дробь… Представим, что геометрические объекты можно закручивать, растягивать, завязывать узлами… Пусть их можно определить не решением определенного уравнения, а итерацией его с помощью петли обратной связи.
Джулиа, Фато, Хаббард, Барнсли, Мандельбро – все эти математики изменили правила создания геометрических форм. Картезианский и Евклидов методы превращения уравнений в кривые знакомы любому, кто изучал геометрию в средней школе или находил точку на карте по двум координатам. В стандартной геометрии кроме уравнения необходим также и набор чисел, которые ему удовлетворяют, тогда решения уравнения вроде x² + y² = 1 образуют форму, в данном случае – окружность. Другим простым уравнениям соответствуют иные фигуры: эллипсы, параболы, гиперболы конических сечений и даже более сложные формы, порождаемые дифференциальными уравнениями в фазовом пространстве. Но когда геометр прибегает к итерации, вместо того чтобы решать уравнение, последнее преобразуется из описания в процесс, из статического объекта в динамический. Подставив исходное число в уравнение, мы получим новое число, которое, в свою очередь, даст еще один результат, и так далее. Соответствующие им точки перепрыгивают с места на место. Точка наносится на график не тогда, когда она удовлетворяет уравнению, а тогда, когда она генерирует определенный тип поведения. При этом один из них может представлять собой устойчивое состояние, а другой – неуправляемое стремление к бесконечности.
До компьютерной эры даже Джулиа и Фато, понимавшие, какие возможности таит в себе новый тип построений, не могли превратить его в науку. С появлением вычислительных машин «геометрия проб и ошибок» получила право на жизнь. Хаббард изучил Ньютонов метод, последовательно рассчитывая поведение точек. Мандельбро первоначально рассматривал свою систему аналогичным образом, применяя компьютер для перехода от одной точки на плоскости к другой. Конечно, он исследовал не все точки – время и возможности компьютера ограничены. Ученый использовал решетку точек, нечто вроде координатной сетки. Более частая решетка давала более точную картину, но требовала более трудоемких вычислений. Впрочем, рассчитать систему Мандельбро довольно просто. Весь процесс сводится к итерации в комплексной плоскости выражения z→ z² + c. Нужно лишь, взяв число, умножить его на самое себя и прибавить первоначальное его значение.
Освоившись с новым способом исследования форм при помощи компьютера, Хаббард рискнул применить для рассмотрения динамических систем методы комплексного анализа, чего раньше не делали. Он чувствовал, что некая внутренняя связь объединяет различные разделы математики. Хаббард также знал, что будет недостаточно лишь увидетьмножество Мандельбро. Он хотел добиться полной ясности. В конце концов он заявил, что это ему удалось.
Если бы граница была просто фрактальной – в духе причудливых картин Мандельбро, тогда каждое последующее изображение более или менее походило бы на предыдущее. Принцип внутреннего подобия при различных масштабах позволил бы предугадать, что мы увидим в электронный микроскоп на следующем уровне увеличения. Вместо этого каждый взгляд в глубины системы Мандельбро приносил все новые сюрпризы. Мандельбро, желая применить свой термин «фрактал» к новому объекту, начал беспокоиться о том, что определил это понятие слишком узко. При достаточном увеличении выяснилось, что система приблизительно повторяет свои же элементы – крошечные, похожие на жучков объекты, отделявшиеся от основной формы. Однако, еще более увеличив изображение, исследователь убеждался, что эти молекулы не во всем соответствуют друг другу, – всегда появлялись новые формы, похожие на морских коньков или на вьющиеся ветви оранжерейных растений. Фактически ни один фрагмент системы точно не походил на другой при любомувеличении.
Обнаружение «плавающих» молекул сразу же повлекло за собой дополнительные трудности. Являлось ли множество Мандельбро связанным, похожим на континент с выдававшимися вперед полуостровами? Или оно походило на рассеянное скопление, где основной объект окружали мелкие островки? Ответ на этот вопрос выглядел далеко не очевидным. Знания о множествах Джулиа мало что давали, поскольку их графические образы носили двоякий характер: одни представляли собой целые формы, другие смахивали на скопление пылинок. Эти мельчайшие частицы, будучи фрактальными, обладали особым свойством: они не составляли единого целого: каждая отделена от другой зоной пустого пространства. В то же время ни одна «пылинка» не выглядит обособленной; заметив одну, можно всегда найти и расположенную произвольно близко группу частиц. Мандельбро, разглядывая свои картины, постепенно понимал, что с помощью компьютерного эксперимента ему не удается ответить на основной вопрос. Его внимание сосредоточилось на частичках, «парящих» вокруг основной формы. Некоторые из них пропадали, другие, удивительно похожие, наоборот, появлялись. Они, казалось, не зависели друг от друга, но, возможно, были связаны между собой линиями, столь тонкими, что решетка уже найденных точек никак не могла уловить их.
Доуди и Хаббард блестяще использовали свою новую математику, чтобы доказать, что каждая плавающая молекула на самом деле «висит» на филигранной нити, которая связывает ее с другими молекулами. В итоге получается хрупкая паутинка, ведущая от крошечных частиц к основному объекту, – «дьявольский полимер», говоря словами Мандельбро. Математики доказали, что в каждом сегменте – не имеет значения, где он находится и насколько он мал, – при увеличении «компьютерным микроскопом» обнаружатся новые молекулы, каждая из которых будет напоминать систему в целом и одновременно чем-то отличаться от нее. Каждая новая молекула будет обладать собственными спиралями и выступающими частями, похожими на языки пламени, и в них также неизбежно обнаружатся новые молекулы, еще меньшие, такие же бесконечно разнообразные, всегда подобные, но никогда – полностью идентичные. Это можно назвать чудом миниатюризации: каждая новая деталь является вселенной, цельной и многоликой.
«Все в высшей степени геометрическое, причем преобладают решения, продиктованные прямыми линиями, – сказал Хайнц Отто Пайтген, рассуждая о современном искусстве. – В частности, творения Джозефа Альберса, пытавшегося истолковать соотношение цветов, в сущности являли собой квадраты различных оттенков, размещенные один на другом. Такие вещи пользовались большой популярностью, но сейчас, взглянув на них, мы понимаем, что их время миновало. Людей такое уже не привлекает. В Германии строятся огромные жилые кварталы в стиле модерн, но все выезжают оттуда, никто не желает в них селиться. Как мне кажется, общество сегодня имеет веские причины для настороженного отношения к некоторым нашим взглядам на природу». Пайтген помогал посетителю выбирать увеличенные изображения некоторых участков системы Мандельбро, множеств Джулиа и других итерационных процессов, оформленные в изысканной цветовой гамме. В своем небольшом кабинете в Калифорнии он демонстрировал слайды, огромные плакаты и даже календарь с изображением системы Мандельбро. «Глубокий энтузиазм вызывает эта изменившаяся перспектива рассмотрения окружающего мира. Каков верный взгляд на природный объект? Скажем, что важнее всего в дереве? Прямая ли это линия или фрактальный образ?» Тем временем в Корнелле Джону Хаббарду пришлось столкнуться с коммерческими реалиями. Когда математический факультет одолели просьбами выслать изображения системы Мандельбро, он понял, что должен подготовить образцы и составить что-то вроде прайс-листа. В его вычислительных машинах хранились десятки уже просчитанных объектов, готовых к немедленной демонстрации. Организовать показ ему помогали аспиранты, помнившие все технические детали. Все же наиболее эффектные картины, отпечатанные с большим разрешением и ярко расцвеченные, распространяли двое немцев – Пайтген и Питер Рихтер, трудившиеся вместе с группой ученых из Университета Бремена при надежной поддержке одного из местных банков.
Пайтген и Рихтер – математик и физик – обратились в своих исследованиях к системе Мандельбро, которая стала для них кладезем идей, питавших современную философию искусства, оправданием новой роли эксперимента в математике, а также средством популяризации сложных систем. Они опубликовали множество сверкавших глянцем каталогов и книг, которые показали всему свету галерею компьютерных образов. Рихтер пришел к изучению сложных систем из физики, миновав попутно химию, а затем и биохимию, где изучал биологические осцилляции. В серии статей, посвященных иммунной системе и окислению глюкозы, он сообщал, что колебания часто управляют динамикой процессов, которые традиционно рассматривались как статические по причине того, что живые системы не так-то легко изучать в режиме реального времени. Рихтер прикрепил к своему подоконнику хорошо смазанный двойной маятник, «комнатную динамическую систему», сконструированную по его заказу в университетской мастерской. Время от времени ученый запускал систему, задавая хаотические неритмичные движения, которые он мог имитировать с помощью компьютера. Зависимость от начальных условий оказалась настолько сильной, что гравитационное притяжение единственной дождевой капли в миле от места проведения опыта спутывало движение в пределах пятидесяти-шестидесяти полных оборотов, что занимало около двух минут. Многоцветные графические рисунки Рихтера, где изображалось фазовое пространство его маятника, указывали на зоны смешения периодичности и хаоса. Ученый использовал аналогичную графическую технику для изображения идеализированных участков намагничивания в металле, а также для изучения системы Мандельбро.
Его коллеге Пайтгену изучение феномена сложности давало шанс заложить в науке оригинальные традиции. «Начав сегодня трудиться в удивительной новой области, такой как эта, талантливый ученый сумеет предложить нетривиальные решения через несколько дней, через неделю или спустя месяц», – заметил Пайтген. Предмет его изучения не был еще структурирован. «В структурированной области, – продолжал он, – есть изученное, есть неизученное, и есть то, что уже пытались изучить, но не смогли. Здесь же приходится работать над проблемой, о которой известно лишь одно: она такая, какая есть. И она, разумеется, должна быть сложной, иначе ее бы уже давно разрешили».
У Пайтгена не было того предубеждения, с которым большинство математиков относились к компьютерным экспериментам. Само собой разумелось, что стандартные методы доказательств в конечном счете должны привести к точному результату, иначе это будет не математика. Графический образ на экране обретал законное право на существование, будучи истолкован на языке теорем и доказательств. И все-таки генерирование такого изображения уже само по себе изменяло эволюцию дисциплины. Как полагал Пайтген, компьютерные исследования позволили ученым избрать более естественную стезю развития науки. Математик вправе на время абстрагироваться от требования точности доказательства и, подобно физику, следовать туда, куда приведут его эксперименты. Огромная производительность компьютерных вычислений и визуальные ключи к интуитивным ощущениям избавляют ученых от блуждания в потемках. Открыв неизвестные тропы и оконтурив новые объекты, математик может вернуться к традиционному доказательству. «Сила математики в точности, – отметил Пайтген. – Она дает нам возможность продолжать ту линию мысли, в которой мы абсолютно уверены. На том стояли и будут стоять математики. Но почему бы не обратить внимания на феномены, которые сейчас могут быть поняты лишь отчасти? Более точное знание о них, возможно, добудут грядущие поколения. Бесспорно, точность важна, но не до такой степени, чтобы отказаться от изучения того, что нельзя доказать сейчас».
К началу 80-х годов персональные компьютеры уже выполняли расчеты достаточно точно, что позволяло строить красочные изображения системы Мандельбро. Многочисленные любители быстро обнаружили, что разглядывание их при максимальном увеличении дает четкое ощущение увеличивающегося масштаба. Сравнивая систему Мандельбро с планетой, можно сказать, что персональный компьютер способен показать всю ее, или элементы размером с города на планете, или детали, соразмерные со зданиями, отдельными комнатами в них, книгами на полках, письмами в ящиках стола, бактериями в воздухе или даже атомами различных веществ. Люди, рассматривая такие картины, замечали, что при любом масштабе обнаруживались схожие образы и одновременно каждый масштаб обладал своими особенностями. Подобные микроскопические ландшафты генерировались одним набором строчек компьютерного кода (*).
Граница находится там, где программа для системы Мандельбро идет на множество компромиссов, а ее скорость замедляется более всего. На указанном рубеже, когда сто, или тысяча, или десять тысяч итераций не приносят результата, программа все еще не может дать определенного ответа на вопрос, входит ли определенная точка в пределы системы или нет. Кто знает, что принесет миллионная итерация? Поэтому программы, которые строят самые захватывающие изображения системы с наиболее детальным увеличением, выполняются на мощных универсальных вычислительных машинах или компьютерах с параллельной обработкой данных, где тысячи индивидуальных процессоров производят одни и те же вычисления в аналогичном порядке. Граница располагается там, где точки медленнее всего ускользают от притяжения системы, будто балансируя между двумя соревнующимися аттракторами, один из которых располагается в нуле, а другой – на бесконечности.
Когда ученые, закончив с системой Мандельбро, обратились к изображению реальных физических явлений, свойства границы вышли на передний план. Происходящее на рубеже между двумя аттракторами в динамической системе служит своего рода отправной точкой, определяющей ход множества широко известных процессов, начиная от разрушения материалов и заканчивая принятием решений. Каждый аттрактор в такой системе, подобно реке, имеет свой «бассейн», свою «площадь водосбора», и каждый такой «бассейн» заключен в определенные границы. В начале 80-х годов для группы наиболее влиятельных физиков самым многообещающим разделом математики и физики оказалось изучение границ фрактальных бассейнов.
Упомянутый раздел динамики исследует не конечное и устойчивое поведение системы, а механизм «выбора» между двумя возможными вариантами. Система, подобная модели Лоренца – а она сегодня считается уже классической, – включает в себя лишь один аттрактор, обнаруживает одну модель поведения, преобладающую в момент достижения системой состояния покоя. В данном случае аттрактор является хаотическим. Другие системы способны в конечном устойчивом состоянии демонстрировать нехаотическое поведение, но могут испытывать более одного стабильного состояния. Исследование границ фрактальных бассейнов было исследованием систем, которые способны достигнуть одного из нескольких нехаотических конечных состояний. Оно приводило к вопросу о том, как предсказать каждоеиз этих состояний. Джеймс Йорк, пионер в изучении данного феномена, предложил моделировать их с помощью воображаемой игры в пинбол – разновидность бильярда, где вашим партнером выступает механическое устройство с рукояткой на пружине. Оттянув рукоятку, мы освобождаем ее, чтобы направить шар на игровое поле. Сконструированный с углом наклона автомат обычно имеет резиновые бортики и электрические толкатели, которые сообщают шару огромную энергию. Такой толчок весьма важен, так как энергия передается резким, мощным импульсом. Простоты ради представим себе, что в нижней части воображаемого автомата нет резиновых бортовых лент, а только две наклонные плоскости для шара, по одной из которых он и выходит на поле.
Мы играли в детерминистский пинбол: автомат не испытывает вибраций, и лишь один параметр обусловливает направление движения шарика – начальное местоположение поршня. Предположим, машина устроена так, что при незначительном смещении поршня шар всегда катится в правую лунку, а при большом – в левую. В промежуточном состоянии поведение системы становится сложным: шар довольно долго прыгает от одного амортизатора к другому, прежде чем угодить в ту или другую лунку.
Предположим, что мы строим график, отображающий зависимость результата от начального положения поршня. График представляет собой линию. Положение поршня, при котором шар попадает в правую лунку, обозначим красной точкой, в левую – зеленой. Что мы можем выяснить об этих аттракторах как функции начальной позиции?
Граница оказывается фрактальной системой, не обязательно внутренне подобной, но с бесчисленным количеством деталей. Некоторые участки линии будут сплошь красными или сплошь зелеными. Другие при увеличении обнаружат вкрапления красного внутри зеленого и наоборот. При каких-то положениях поршня небольшие сдвиги не имеют значения, однако есть и такие, при которых даже произвольно малое изменение смешает цвета.
Добавление второго измерения означает ввод второго параметра, второй степени свободы. Например, в случае с автоматом для игры в пинбол можно принять во внимание эффект от изменившегося угла наклона игрового поля. Здесь обнаружится своего рода «колебательная сложность» – сущее наказание для инженеров, которые отвечают за проверку устойчивости реальных систем, обладающих более чем одним параметром, в частности энергетических сетей и ядерных станций, в 80-х годах ставших объектами исследований вдохновленных хаосом ученых. При одном значении параметра Aпараметр Bдолжен порождать упорядоченное поведение с последовательными участками стабильности. Инженеры могут проводить исследования и составлять графики того типа, какой предполагает их подготовка, ориентированная на линеаризацию результатов. И все же не исключено, что где-то поблизости прячется другое значение параметра A, существенно влияющее на параметр B.
Йорк демонстрировал на конференциях изображения границ фрактальных бассейнов. Некоторые из них описывали вынужденное поведение маятников, завершавшееся одним из двух конечных состояний. Как хорошо знали слушатели, такой маятник – весьма многоликий и хорошо известный в повседневной жизни осциллятор. «Никто не может утверждать, что я обманул систему, выбрав маятник, – с улыбкой говорил Йорк. – Подобные вещи мы наблюдаем в природе повсюду, однако их поведение в корне отличается от описанного в литературе. Это фрактальное поведение беспорядочного типа». Картины походили на фантастические водовороты белого и черного цветов, словно кухонный миксер остановился, не до конца смешав ваниль и шоколад для пудинга. Для создания подобных изображений компьютер просчитал решетку размером тысяча на тысячу точек, каждая из которых представляла конкретное начальное положение маятника, и графически отобразил результат, обозначив точки белым или черным цветом. На картине проявились бассейны притяжения, деформированные в соответствии с законами движения Ньютона, и обозначилась граница. Как правило, более трех четвертей всех показанных на экране точек находилось на пограничной черте.
Исследователям и инженерам эти изображения преподали хороший урок, послужив одновременно и предостережением, – слишком часто поведение сложных систем прогнозируют исходя из ограниченных данных. Наблюдая за системой, которая функционировала нормально, оставаясь в узких рамках нескольких параметров, инженеры надеялись экстраполировать результат более или менее линейным образом на необычное поведение. Но исследование границы фрактальных бассейнов продемонстрировали, что рубеж между состояниями покоя и возмущения куда сложнее, чем кто-либо мог себе представить. «Вся энергетическая сеть Восточного побережья является колебательной системой, по преимуществу стабильной. Нас интересует, что произойдет, если потревожить ее, – объяснял Йорк. – Необходимо знать, что представляет собой граница. Большинство даже не имеет понятия, как она выглядит».
Границы фрактальных бассейнов адресовали ученых к важнейшим дискуссионным вопросам теоретической физики. В этом смысле фазовые переходы являлись своего рода отправными пунктами. Пайтген с Рихтером рассмотрели одну из наиболее изученных разновидностей – намагничивание и размагничивание материалов. Полученные ими картины границ обнаруживали удивительнейшую сложность, начинавшую казаться вполне естественной. Изображение напоминало головки цветной капусты с причудливым рисунком выпуклостей и борозд. По мере изменения параметров и увеличения деталей очертания становились все более и более неупорядоченными, пока вдруг в глубине зоны возмущения не появилась знакомая, сплющенная у полюсов, форма, усеянная ростками: система Мандельбро, где каждый завиток и каждый атом располагались на своем месте. «Возможно, стоит поверить в магию», – писали ученые, осознав, что перед ними предстало очередное доказательство всеобщности.
Рис. 8.2. Границы фрактальных бассейнов. Даже когда долгосрочное поведение динамической системы не является хаотическим, хаос может появиться на границе двух типов устойчивого поведения. Зачастую динамическая система характеризуется более чем одним состоянием равновесия, как, например, маятник, который может остановиться, притянувшись к одному из двух магнитов, встроенных в его основание. Каждое состояние равновесия является аттрактором. Граница между двумя аттракторами может быть сложной, но спокойной (слева), или же сложной, но не плавной. В высшей степени фрактальная россыпь белых и черных фрагментов (справа)есть диаграмма маятника в фазовом пространстве. Система, несомненно, достигнет одного из возможных устойчивых состояний. Для некоторых начальных условий результат вполне предсказуем. Черное есть черное, а белое является белым. Но вблизи границы прогнозировать что-либо уже невозможно.
Майкл Барнсли пошел по иному пути: мысли его обратились к формам, созданным самой природой. Особенно его занимали образы, исходившие от живых организмов. Он экспериментировал с множествами Джулиа, а также с другими процессами, постоянно отыскивая способы генерации еще большей изменчивости. В итоге он обратился к неупорядоченности как к основе неизвестных ранее методов моделирования естественных форм. Рассуждая о новой технике в статьях, ученый именовал ее «глобальным построением фракталов посредством систем итерированных функций», а в разговоре отзывался о своем изобретении как об «игре хаоса».
Чтобы сыграть в такую игру, необходим компьютер с графическим пакетом программ и генератором случайных чисел, но в принципе будет достаточно листа бумаги и монетки. Выбираем на листе начальную точку – неважно, где именно. Придумываем два правила – для орла и для решки. Правила указывают, каким образом откладывать новые точки, например: «Переместиться на два дюйма на северо-восток» или «Приблизиться на 25 % к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки, когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, как сдающий карты прячет первые несколько карт при новой сдаче, то обнаружится, что «игра хаоса» воспроизводит не случайное поле или разбросанные точки, а форму, проявляющуюся все более и более четко по мере продолжения игры.
Основное предположение Барнсли звучало так: множества Джулиа и другие фрактальные формы, хотя и считаются по справедливости итогом детерминистского процесса, обладают второй равнозначной ипостасью как предел неупорядоченного процесса. Ради сравнения ученый предложил представить, к примеру, карту Великобритании, нарисованную мелом на полу комнаты. Топографу со стандартным набором инструментов будет весьма непросто измерить площадь всех изгибов, хотя бы тех же фрактальных береговых линий. Но вообразите, что мы подбрасываем в воздух одно за другим зернышки риса, которые в беспорядке ложатся на пол, а затем подсчитываем количество зерен, оказавшихся в пределах контура карты. Со временем результат начинает приближаться к площади интересующих нас форм, как предел случайного процесса. Говоря на языке динамики, формы Барнсли оказались аттракторами.
«Игра хаоса» использовала фрактальные характеристики некоторых изображений, то их качество, что они могли быть созданы из малых копий основной картины. Выбор правил для случайной итерации позволяет уловить основополагающую информацию о той или иной форме, а сама итерация правил выдает эти же данные обратно независимо от масштаба. В указанном смысле чем более фрактальной является форма, тем более простыми окажутся соответствующие принципы. И Барнсли быстро обнаружил, что может воспроизвести все ставшие уже классическими фракталы из книги Мандельбро. Техника последнего представляла собой бесконечную последовательность построений и совершенствований: скажем, для создания снежинки Коха или ковра Серпински нужно, удалив линейные сегменты, заменить их точно определенными фигурами. Применяя вместо этого «игру хаоса», Барнсли создавал изображения, казавшиеся вначале лишь расплывчатыми карикатурами, но со временем вырисовывавшиеся все более четко. Вместо процесса усовершенствования, в котором не возникло необходимости, использовался лишь один набор правил, с помощью которого в итоге и воплощалась нужная форма.
Барнсли и его коллеги начали безудержно конструировать всякие изображения, многообразные формы, напоминавшие изогнутые капустные листья, налет плесневых грибков и брызги грязи. Ключевым стал теперь вопрос о том, как повернуть процесс вспять, как вывести набор правил для заданной формы. Ответ, названный ученым «теоремой коллажа», оказался настолько простым, что заставлял подозревать подвох. Для начала следует изобразить на экране дисплея форму, которая вас интересует. (Барнсли, будучи давним любителем папоротников, выбрал для первых опытов один из них.) Затем, используя «мышь» в качестве указки, нужно устлать первоначальную форму ее уменьшенными копиями, позволяя им, если необходимо, чуть накладываться друг на друга. В высшей степени фрактальную фигуру можно легко покрыть ее копиями, с менее фрактальной дело пойдет сложнее, но как бы то ни было, в принципе каждую форму можно устлать ее миниатюрными копиями.
«Если образ достаточно сложен, правила также будут непростыми, – пояснял Барнсли. – С другой же стороны, если объект заключает в себе скрытый фрактальный порядок – основное наблюдение Бенуа заключается в том, что множество явлений в природе не обладают им, – тогда с помощью нескольких правил его можно расшифровать. В данном случае модель окажется более занимательной, чем та, что создана при помощи Евклидовой геометрии. Известно же, что, взглянув на краешек листа, мы не увидим прямых линий». Его первый папоротник, созданный на небольшом персональном компьютере, точно соответствовал изображению в книге, хранимой ученым с детских лет. «Этот образ ошеломлял своей достоверностью. Любой биолог без труда идентифицирует его».
Барнсли с удовлетворением констатировал, что в некотором смысле природа играет в «игру хаоса», только на свой лад. «Информации, которую несет в себе спора, хватает лишь для кодирования одного вида папоротника, – замечал ученый. – Таким образом, существует предел его совершенству. Не удивительно, что нам удается отыскать равноценную краткую информацию для описания папоротников. Было бы странно, если бы дела обстояли иначе».
Но являлась ли случайность необходимой? Хаббард, также размышлявший о параллелях между системой Мандельбро и биологическим кодированием информации, выходил из себя при одном упоминании о том, что такие процессы зависимы от вероятности. «В системе Мандельбро нет ничего случайного, – возражал он, – как нет его ни в одном из явлений, которые я исследую. Не думаю также, что возможность неупорядоченности имеет прямое отношение к биологии, где любая случайность и хаотичность равносильны смерти. Все здесь в высшей степени структурировано. Исследуя вегетативное размножение растений, вы видите, что порядок, в котором распускаются листья на ветках, всегда один и тот же. Система Мандельбро подчиняется необычайно точной схеме, не оставляя места случаю. Я подозреваю, что когда кто-нибудь наконец-то выяснит, как устроен мозг, ко всеобщему изумлению обнаружится, что существует кодовая схема для конструирования этого органа, непостижимо четкая. Сама же идея случайности в биологии весьма призрачна».
Впрочем, метод Барнсли отводит случайности скромную роль инструмента. Использование его дает детерминистские и предсказуемые результаты. Наблюдая за вспыхивающими на экране точками, невозможно догадаться, где появится следующая, – это зависит от того, как ляжет «монетка» внутри компьютера. И все же почему-то мерцание всегда остается внутри границ, очерчивающих нужную форму на дисплее. В этом отношении назначение случайности обманчиво. «Она отвлекает внимание, – разъяснял Барнсли. – Случай важен для получения образов определенного инвариантного размера, существующих на фрактальном объекте. Сам же объект не зависит от случайности. Со 100-процентной вероятностью мы снова и снова рисуем то же изображение. Случай снабжает нас важными данными, исследуя фрактальные объекты с помощью собственного алгоритма. Нечто подобное происходит, когда мы, войдя в незнакомую комнату, перескакиваем взглядом с предмета на предмет и получаем достаточное представление о самой комнате. Она такова, какова она есть. Объект существует невзирая на то, что нам приходится предпринимать».
