Текст книги "Хаос. Создание новой науки"
Автор книги: Джеймс Глейк
сообщить о нарушении
Текущая страница: 11 (всего у книги 22 страниц)
Система вроде сферического кластера слишком запутанна, чтобы подходить к ней столь прямолинейно, как к вопросу о трех телах. Однако динамику кластера можно изучить, прибегнув к некоторым хитростям. Вполне допустимо, в частности, рассматривать единичные звезды, путешествующие в пространстве, в некотором усредненном гравитационном поле с определенным центром тяготения. Время от времени две звезды подойдут друг к другу достаточно близко, и в таком случае каждое из взаимодействующих тел следует рассматривать уже по отдельности. Астрономы поняли, что сферические кластеры вообще не должны являться устойчивыми: внутри них обычно образуются так называемые бинарные звездные системы, в которых звезды парами перемещаются по небольшим компактным орбитам. Когда с подобной системой сталкивается третья звезда, одна из трех, как правило, получает резкий толчок. Со временем энергия, полученная ею благодаря такому взаимодействию, достигнет уровня, достаточного для того, чтобы звезда набрала скорость, позволяющую вырваться из кластера. Таким образом одно из тел покидает систему, а пространство кластера после этого слегка сжимается. Когда Энон выбрал кластер темой своей докторской диссертации, он произвольно предположил, что сферическое звездное скопление, изменив свой масштаб, останется внутренне подобным. Произведя расчеты, ученый получил потрясающий результат: ядро кластера «сплющится», приобретая кинетическую энергию и стремясь к бесконечно плотному состоянию. Подобное трудно было вообразить. Да и данные исследования кластеров, полученные к тому времени, не подтверждали этот вывод. Однако теория Энона, впоследствии названная гравитационно-термальным коллапсом, постепенно овладевала умами ученых.
Ободренный результатом и готовый к неожиданностям, весьма вероятным в научной работе, астроном занялся более легкими вопросами динамики звезд. Он попытался применить математический подход к давно известным задачам. Посетив в 1962 г. Принстонский университет, Энон впервые получил доступ к компьютеру и, подобно Лоренцу в Массачусетском технологическом институте, начал моделировать орбиты звезд вокруг их центров тяжести. В рамках разумного упрощения галактические орбиты можно рассматривать как орбиты планет, но с одним лишь исключением: центром гравитации здесь является не точка, а трехмерный диск.
Энон пошел на компромисс. «Для большей свободы исследований, – говорил он, – забудем на мгновение, что проблема взята из астрономии». Хотя ученый не упомянул об этом, «свобода исследования» частично означала возможность использования компьютера. Объем памяти его вычислительной машины, весьма тугодумной, был в тысячу раз меньше, чем у персональных компьютеров, появившихся двадцать пять лет спустя. Но, как и другие специалисты, позднее работавшие над проблемами хаоса, Энон полагал, что упрощенный подход себя полностью оправдает. Концентрируясь лишь на самой сути своей системы, он сделал открытия, которые можно было применить и к другим, более сложным системам. Спустя несколько лет расчет галактических орбит все еще считался «забавой теоретиков», тем не менее динамика звездных систем превратилась в объект скрупулезных и дорогостоящих исследований. К ней обратились в основном те, кого интересовали орбиты частиц в ускорителях и стабилизация плазмы в магнитном поле.
За период около 200 миллионов лет звездные орбиты в галактиках обретают три измерения, уже не образуя эллипсов совершенной формы. Реально существующие трехмерные орбиты наглядно представить так же непросто, как и воображаемые конструкции в фазовом пространстве. Это побудило Энона прибегнуть к приему, сравнимому с составлением схем Пуанкаре: ученый вообразил, что на одном конце галактики вертикально расположили плоский лист таким образом, чтобы каждая орбита, подобно лошади, минующей на скачках финишную черту, проходила сквозь него. Энон отмечал точку, в которой орбита пересекала плоскость, и прослеживал движение точки от одной орбиты к другой.
Энон отмечал точки вручную, но многие специалисты, применявшие подобную технику, уже работали с компьютером, наблюдая, как точки вспыхивают на экране, словно фонари, зажигающиеся один за другим с наступлением сумерек. Типичная орбита начиналась с точки в левом нижнем углу изображения, затем, при следующем обороте, точка на несколько дюймов смещалась вправо, новый оборот слегка отклонял ее вправо и вверх и т. д. Поначалу распознать какую-либо форму в этой россыпи было трудно, однако когда количество точек переваливало за 10–12, начинала вырисовываться кривая, напоминающая своими контурами очертания яйца. Последовательно появляющиеся точки фактически образовывали вокруг кривой окружность, но, поскольку они не появлялись на том же самом месте, со временем, когда количество их возрастало до сотни или тысячи, кривая очерчивалась четко.
Описанные орбиты нельзя назвать полностью регулярными, так как они никогда с точностью не повторяются. Однако не будет ошибкой считать их предсказуемыми и далекими от хаотичных, ибо точки никогда не возникают внутри кривой или вне ее. Вернувшись к развернутому трехмерному изображению, можно отметить, что кривые рисуют контур тороида, или бублика, а схема Энона – его поперечное сечение. До поры до времени ученый лишь наглядно изображал то, что его предшественники считали уже доказанным, – периодичность орбит. В обсерватории Копенгагена почти двадцать лет, с 1910 по 1930 г., астрономы тщательно наблюдали и просчитывали сотни орбит, однако их интересовали лишь периодичные. «Я, как и другие в то время, был убежден, что все орбиты должны характеризоваться регулярностью», – вспоминал Энон. Однако, вместе со своим студентом-дипломником Карлом Хейльсом, он продолжал рассчитывать многочисленные орбиты, неуклонно увеличивая энергетический уровень своей абстрактной системы. И вскоре ему открылось нечто совершенно новое.
Сначала яйцеобразная кривая стала изгибаться, принимая более сложные очертания и образуя восьмерку. Затем она разбилась на несколько отдельных форм, напоминавших петлю (каждая орбита изгибалась петлей). Далее, на более высоких уровнях энергии, произошла еще одна внезапная метаморфоза. «Настала пора удивляться», – писали исследователи. Некоторые из орбит обнаружили такую нестабильность, что точки беспорядочно «скакали» по всему листу бумаги. В отдельных местах еще просматривались кривые, а кое-где точки уже не складывались в линии. Изображение впечатляло: очевидный законченный беспорядок, в котором ясно проглядывали остатки стабильности. Все вместе рисовало контуры, наводившие астрономов на мысли о неких «островках» или «гряде островов». Они пытались работать на двух разных компьютерах, пробовали иные методы интегрирования, но результаты упрямо не изменялись, и ученым оставалось только изучать и размышлять.
Рис. 5.5. Орбиты вокруг центра галактики. Пытаясь осмыслить траектории, описываемые звездами в пространстве галактики, М. Энон рассматривал пересечения орбит с плоскостью. Получавшиеся в итоге образы зависели от общего количества энергии в системе. Точки стабильной орбиты постепенно формировали непрерывную кривую, а на других уровнях энергии обнаруживалась сложная структура – смесь хаоса и упорядоченности, представленная зонами разброса точек.
Основываясь на собственных числовых данных, Энон и Хейльс предположили наличие глубокой структуры в полученных изображениях. Они выдвинули гипотезу, что при сильном увеличении появится все больше и больше мелких островков и, возможно, так будет продолжаться до бесконечности. Ощущалась острая необходимость в математическом доказательстве. «Однако рассмотрение вопроса с точки зрения математики казалось не таким уж легким».
Энон обратился к другим вопросам, однако четырнадцать лет спустя, узнав о странных аттракторах Давида Руэлля и Эдварда Лоренца, астроном заинтересовался ими. В 1976 г. он уже работал в обсерватории Ниццы, расположенной высоко над уровнем Средиземного моря, на Большом Карнизе, и там услышал рассказ заезжего физика об аттракторе Лоренца. Гость, по его словам, пытался с помощью различных уловок прояснить изящную «микроструктуру» аттрактора, не добившись, впрочем, ощутимого успеха. Энон решил, что займется этим, хотя диссипативные системы и не входили в сферу его интересов («иногда астрономы относятся к ним с опаской – уж слишком они беспорядочны»).
Ему показалось разумным сконцентрироваться только на геометрической сущности объекта исследования, абстрагируясь от его физического происхождения. Там, где Лоренц и другие ученые применяли дифференциальные уравнения, описывающие непрерывные изменения в пространстве и времени, Энон использовал разностные, которые можно было рассматривать во времени раздельно. По его глубокому убеждению, ключом к разгадке являлись повторяющиеся операции растягивания и свертывания фазового пространства – те самые, что имитируют действия кондитера, который раскатывает тесто для пирожных, складывает его, затем, вновь раскатав, опять складывает, формируя таким образом хрупкую многослойную структуру. Энон, изобразив овал на листе бумаги и решив растянуть его, избрал для этой операции алгоритм, согласно которому каждая точка овала смещалась в новое положение на фигуре, которая аркой поднималась над центром. Выполняемая процедура была похожа на построение карты – точка за точкой овал превращался в «арку». Затем Энон начал вторую операцию – на сей раз сжатие, которое сдвигало внутрь бока арки, делая ее уже. А третье преобразование вернуло узкой фигуре ее прежние размеры, и она точно совпала с первоначальным овалом. Для целей вычисления все три построения могли быть объединены в одной-единственной функции.
По духу преобразования Энона повторяли идею «подковы» Смэйла. Вычисления, которых требовала вся процедура, отличались такой легкостью, что их можно было без труда выполнить на счетной машинке. Каждая точка имеет две координаты: x, обозначающую ее положение на горизонтальной оси, и y, задающую положение на оси вертикальной. Чтобы вычислить новое значение переменной x, необходимо взять предыдущее значение y, прибавить к нему 1 и вычесть предыдущее значение xв квадрате, умноженное на 1,4. Для расчета значения yнужно умножить предыдущее значение xна 0,3. Таким образом, получаем: x новое= y+ 1–1,4 x²; y новое= 0,3 x. Энон почти наугад выбрал начальное положение и, взяв калькулятор, начал откладывать точки, одну за другой, пока их число не достигло нескольких тысяч. Затем с помощью компьютера ІВМ-7040 он быстро просчитал координаты пяти миллионов точек. Подобная операция доступна любому, поскольку здесь требуется лишь персональный компьютер с графическим дисплеем.
Сначала казалось, что точки беспорядочно «прыгают» по экрану, производя такой же эффект, что и сечение Пуанкаре, которое изображает трехмерный аттрактор, «блуждающий» туда-сюда по поверхности дисплея, но достаточно быстро проглядывает отчетливый контур, искривленный, словно плод банана. Чем дольше выполняется программа, тем больше появляется деталей. Кажется, что части рисунка имеют даже толщину. Однако в дальнейшем последняя распадается на две отчетливые линии, которые, в свою очередь, расходятся на четыре: две идут рядом, а две другие удалены друг от друга. Увеличив изображение, заметим, что каждая из четырех упомянутых линий включает в себя две и так далее, до бесконечности. Как и аттрактор Лоренца, аттрактор Энона обнаруживает бесконечное движение в обратном направлении, словно нескончаемая вереница матрешек, вложенных одна в другую.
Рис. 5.6. Аттрактор Энона. Несложная комбинация складывания и растяжения породила аттрактор, легко просчитываемый, но тем не менее плохо понимаемый математиками. С появлением тысяч и миллионов точек возникает все больше и больше деталей. То, что кажется одной линией, при увеличении оказывается парой. Потом выясняется, что линий уже четыре. И все же невозможно предсказать, останутся ли две последовательно появившиеся точки рядом или расположатся далеко друг от друга.
Скрытая деталь – одни линии внутри других – в своей законченной форме может быть обнаружена в серии изображений, сделанных при все большем и большем увеличении. Однако сверхъестественное воздействие странного аттрактора можно ощутить и по-иному, наблюдая зарождение состоящей из точек формы, возникающей словно призрак из тумана. Появляющиеся точки столь беспорядочно «разбегаются» по поверхности экрана, что присутствие в их множестве какой-либо структуры, не говоря уже о столь запутанной и хрупкой, кажется невероятным. Любые последовательно обнаруживаемые точки находятся произвольно далеко друг от друга, так же как любые две точки в начале турбулентного потока располагаются рядом. Задав любое количество точек, невозможно предугадать, где появится следующая. Можно лишь предположить, что она будет находиться где-то в пределах аттрактора.
Точки с такой степенью случайности «разбредаются» перед глазами, а узор кажется столь эфемерным, что о принадлежности наблюдаемой формы к аттракторам поневоле забываешь. Эти очертания – отнюдь не любая траектория, описываемая динамической системой; по отношению к данной траектории все остальные сходятся в одну точку. Именно поэтому выбор начальных условий не имеет ровно никакого значения. Пока начальная точка лежит вблизи аттрактора, следующие несколько точек будут необычайно быстро сходиться к аттрактору.
Когда в 1974 г. Давид Руэлль приехал к Голлабу и Суинни в их скромную лабораторию, то обнаружилось, что теория и эксперимент у нее связаны весьма слабо. Актив был таков: немного математики, довольно смелой, но сомнительной в техническом отношении; один цилиндр с турбулентной жидкостью, поведение которой не особо примечательно, но явно противоречит общепринятой теории. Ученые провели всю первую половину дня за обсуждением исследований, а потом Суинни и Голлаб вместе с женами уехали в отпуск в Адирондакские горы, где у четы Голлаб был домик. Они не видели странный аттрактор своими глазами и не постигли многое из того, что происходит на пороге турбулентности, но были твердо убеждены, что Ландау ошибся, а Руэлль гораздо ближе подошел к истине.
Странный аттрактор, этот фрагмент мироздания, ставший зримым благодаря компьютеру, начинался как простая вероятность. Он лишь отмечал собой ту сферу, куда не удалось проникнуть богатому воображению многих ученых XX века. Когда вычислительные машины сделали свое дело, специалисты поняли, что полученное изображение, словно лицо давно знакомого человека, мелькало везде: в мелодии турбулентных потоков, за флером подернувших небо облаков. Природа была обуздана. Казалось, беспорядок введен в русло, разложен на узоры, в которых подспудно угадывался общий мотив.
Прошли годы, и признание феномена странных аттракторов подготовило благодатную почву для революции в изучении хаоса, дав тем, кто занимался расчетами, ясную программу исследований. Странные аттракторы стали искать везде, где в явлениях природы ощущалась неупорядоченность. Многие утверждали, что основой погоды на планете Земля служит не что иное, как странный аттрактор. Другие, сведя воедино миллионы цифр из сводок фондовых бирж и обработав их на компьютерах, вглядывались в результаты в надежде обнаружить аттрактор и там.
В середине 70-х годов такие открытия еще принадлежали будущему. Тогда никто не увидел аттрактора в итогах проведенного опыта, а ведущие к нему тропы застилал туман. Странный аттрактор наполнял математическим содержанием неизвестные дотоле основные характеристики хаоса, в частности «сильную зависимость от начальных условий». «Смешение» являлось другим свойством, имеющим смысл, скажем, для конструктора реактивных двигателей, интересующегося оптимальной комбинацией топлива и кислорода, но никто не знал, как измерять такие характеристики, привязывая к ним числа. Странные аттракторы казались фрактальными, т. е. их истинная размерность была дробной. Никто не знал, как измерить ее или как использовать результаты подобных измерений для решения реальных задач инженерии.
Самое же главное – никто не мог сказать, приоткроют ли странные аттракторы завесу тайны над нелинейными системами. Все еще казалось, что, в отличие от систем линейных, легко решаемых и классифицируемых, нелинейные системы не поддаются классификации – не найти двух похожих. Ученые уже подозревали наличие у них общих свойств, но когда дело доходило до замеров и вычислений, каждая нелинейная система оказывалась вещью в себе. Постижение одной из них совершенно ничего не давало для проникновения в другую. Аттрактор Лоренца раскрывал стабильность и скрытую структуру системы, которая при другом подходе казалась совершенно неструктурированной. Но каким образом эта двойная спираль могла помочь специалистам изучать объекты, не имеющие к ней никакого отношения? Никто не знал.
Все равно ученые ликовали. Открыватели новых форм поступались строгостью научного стиля. Руэлль писал: «Я не упомянул об эстетическом воздействии странных аттракторов. Эти клубки кривых и рои точек вызывают порой в воображении пышные фейерверки или загадочные галактики, иногда напоминают причудливо-странное буйство растений. Перед нами огромное царство неоткрытых форм и неведомого совершенства».
Глава 6
Всеобщность
Повторение этих линий несет золото;
Построение этого круга на земле
Несет ураганы, бури, громы и молнии.
К. Марло.Трагическая история доктора Фауста
В нескольких десятках метров от вершины водопада кажется, будто плавно текущий поток предугадывает падение с огромной высоты: вода, содрогаясь, ускоряет свой бег, и, словно крупные пульсирующие вены, в потоке проступают отдельные струи. Неподалеку от потока стоит Митчелл Файгенбаум. Слегка вспотевший в своем пиджаке спортивного покроя и вельветовых брюках, он попыхивает сигарой. Ученый вышел прогуляться с друзьями, но они поторопились уйти вперед, к тихим заводям вверх по течению. Вдруг Файгенбаум начинает быстро вертеть головой, будто болельщик на турнире по пинг-понгу. «Можно сосредоточиться на чем угодно, на островке водяной пены, на любом объекте. Если быстро поворачивать голову, можно разглядеть всю внезапно ставшую различимой структуру поверхности и как бы почувствовать ее внутри себя… – Он делает очередную затяжку. – Впрочем, любой, кто хоть немного понимает в математике, при взгляде на бурную воду, или на облака, клубящиеся одно над другим, или на море во время шторма чувствует, что на самом деле не знает ровным счетом ничего».
Порядок среди хаоса…Так звучит старейший речевой штамп из языка науки. Идея скрытого единства и общей скрытой формы в природе занимала многих и роковым образом вселяла напрасные надежды в чудаков и псевдоученых. Когда Файгенбаум в 1974 г. впервые появился в Национальной лаборатории Лос-Аламоса, через год после того как ему исполнилось тридцать, он знал лишь одно: если физики собираются заняться этим вопросом, им, конечно, понадобится некая практическая основа, способ воплощения идей в вычислениях. Начало этой работы виделось весьма туманно.
Файгенбаума пригласил на работу Питер Каррутерс, спокойный, добродушный с виду ученый-физик, прибывший в 1973 г. из Корнелла, чтобы возглавить теоретический отдел. Первым делом он уволил нескольких сотрудников (Лос-Аламос, в отличие от университетов, не обеспечивает свой персонал должностями на постоянной основе) и заменил их молодыми, подававшими надежды учеными, которых сам же и выбрал. Каррутерс – исследователь, взявший на себя управленческие функции, – был весьма амбициозен, но по собственному опыту знал, что настоящую науку нельзя планировать наперед.
О Файгенбауме его шеф говорил так: «Если бы где-нибудь в верхах, в Вашингтоне, вы заявили: „Турбулентность стоит нам поперек дороги, нам необходимо глубже изучить ее, ибо незнание сводит на нет шансы на прогресс во многих областях“, тогда, конечно, вы набрали бы большую команду и получили финансирование плюс мощный компьютер, способный выполнять объемные программы. И, весьма вероятно, вы ни к чему бы не пришли. И вот вместо всего, о чем я упомянул, у нас есть этот тихий парень. Разумеется, и ему иногда нужны совет и поддержка, но он делает преимущественно все сам». Каррутерс и Файгенбаум не раз обсуждали феномен турбулентности, но с течением времени шеф потерял былую уверенность. Он не совсем понимал, куда клонятся исследования его подчиненного. «Мне казалось, что он решил свернуть дело и обратиться к другим вопросам, но он занимался все той же проблематикой. Ею интересовались во многих научных дисциплинах – именно данным аспектом нелинейных систем. Сейчас уже никто не стал бы утверждать, что верной предпосылкой для их изучения является подготовка в области физики элементарных частиц, теории квантового поля и „групп перенормировки“. Никто даже не подозревал, что необходимо владеть общей теорией стохастических процессов и фрактальными структурами. Митчелл шел по правильному пути. Он предпринял верные действия в нужное время, более того – сделал свою работу первоклассно. Никаких частностей. Было найдено решение для всей проблемы».
Файгенбаум, приехав в Лос-Аламос, был глубоко убежден, что науке, в которой он работал, не удалось проникнуть в сложнейшую область нелинейных проблем. И несмотря на то что он еще ничего не открыл, его интеллект казался многим поразительным. Файгенбаум знал и часто со свойственным ему искусством применял наиболее спорные методы математического анализа, новую технологию вычислений на компьютере, ставившую в тупик большинство его коллег. Ему удалось сохранить веру в некоторые романтические идеи XVIII в., казавшиеся далекими от науки. Он надеялся создать дисциплину, которая стала бы новой, и начал с того, что, отбросив в сторону мысли о сложности реального мира, обратился к самым простым нелинейным уравнениям, какие только мог найти.
Тайны Вселенной впервые заявили о себе четырехлетнему Митчеллу Файгенбауму после войны, через посредство радиоприемника в гостиной его родителей в Бруклине. Его ошеломляла одна мысль о том, что музыка звучит без всяких видимых причин. Это было совсем не то что граммофон. Уж в граммофонах-то Митчелл разбирался! Бабушка разрешала ему запускать проигрыватель на все семьдесят восемь оборотов.
Отец Митчелла, химик по образованию, работал в управлении Нью-Йоркского порта, затем перешел в компанию «Клэрол». Мать преподавала в городской муниципальной школе. Митчелл сначала решил выучиться на инженера-электрика – в Бруклине они зарабатывали неплохо. Затем понял, что предмет его интереса – радио – относится скорее к области физики. Файгенбаум принадлежал к тому поколению физиков, которое выросло во внешних районах Нью-Йорка и достигло больших высот, пройдя через известные муниципальные средние школы (в данном случае школу Самуэла Дж. Тилдена), а затем через Городской колледж.
Получить в Бруклине по-настоящему хорошее образование мог только человек, способный искусно лавировать между миром интеллекта и обыденностью. Мальчик рос невероятно общительным, поэтому, как ему казалось, в детстве его почти не обижали. Однако, осознав, что может и хочет учиться, он стал все больше и больше отдаляться от друзей. Обычные разговоры его уже не интересовали. Правда, был такой момент (случилось это во время последнего года обучения в колледже), когда юноша спохватился: молодость проходит. Митчелл сделал попытку восстановить контакт с окружающими. Он тихо сидел в кафетерии, прислушиваясь к болтовне студентов, и постепенно заново постиг почти всю науку общения с людьми.
Он закончил колледж в 1964 г. и продолжил образование в Массачусетском технологическом институте, где в 1970 г. получил докторскую степень, защитив диссертацию по физике элементарных частиц. Затем прошли четыре бесплодных года в Корнелльском университете и в Политехническом институте Виргинии. Бесплодными они были в смысле публикации работ на общепринятые темы, что представляло немалую важность для молодого университетского ученого: от постдокторантов ожидали в основном написания статей. Время от времени руководитель интересовался у Файгенбаума, как продвигаются дела с той или иной проблемой, и слышал в ответ: «А, это! Мне все понятно».
Каррутерс – ученый, способный на многое, – гордился своим умением отыскивать таланты. Он искал даже не интеллект, а какое-то творческое начало, подобное секрету некой потаенной железы, и всегда вспоминал случай с Кеннетом Вильсоном, еще одним застенчивым физиком из Корнелла, который, как всем казалось, не открыл абсолютно ничего. Между тем каждый, кому удавалось разговорить тихоню, убеждался, что Вильсон видит физику насквозь. Когда встал неизбежный вопрос о заключении бессрочного контракта с Кеном Вильсоном, тех, кто поставил на его скрытый интеллектуальный потенциал, оказалось большинство. Контракт заключили – и последовал взрыв: не две, не три, а целый поток работ буквально хлынул из-под пера Вильсона. Среди них оказалась и та, что принесла ему в 1982 г. Нобелевскую премию.
Вклад Вильсона в физику, наряду с работами двух других исследователей, Лео Каданоффа и Майкла Фишера, явился важнейшей предпосылкой теории хаоса. Каждый из троих, работая самостоятельно, по-своему представлял происходящее при фазовых переходах. Они изучали поведение вещества вблизи точки, где оно переходит из одного состояния в другое: из жидкого в газообразное, из немагнитного в магнитное. Фазовые переходы – своеобразные границы, разделяющие две области существования материи, – в математическом плане характеризуются как в высшей степени нелинейные феномены. Ровное и предсказуемое поведение вещества в одной из фаз обычно мало что дает для понимания переходов в целом. Горшок с водой в печи нагревается вполне стабильно до тех пор, пока не дойдет до точки кипения. Потом изменение температуры замедляется, и на уровне молекулярного взаимодействия жидкости и газа происходит нечто весьма загадочное.
Когда Каданофф занимался этим вопросом в 60-х годах, фазовые переходы ставили ученых в тупик. Представьте себе процесс намагничивания металлического бруска: по мере того как брусок переходит в магнитное состояние, он должен как бы определиться со своей ориентацией, которую выбирает произвольным образом. Этот выбор должна повторить каждая крошечная частица металла. Но как?
В процессе выбора атомы металла должны обмениваться друг с другом определенной информацией. С точки зрения Каданоффа, указанное сообщение наиболее наглядно может быть описано на языке масштабов. В сущности, он предположил, что металл разделен на небольшие ячейки, каждая из которых сообщается со своими ближайшими соседками, причем подобное сообщение можно описать так же, как и взаимодействие любого атома с близлежащими. Отсюда вытекает необходимость масштаба. Наиболее удобно рассматривать металл как фракталоподобную модель, состоящую из ячеек различных размеров.
Теперь для полного воцарения идеи масштабирования требовались математический аппарат и детальное исследование реальных систем. Каданофф чувствовал, что взялся за нелегкое дело, но зато открыл мир изумительной красоты, рожденной универсальностью неписаных природных законов. Универсальность была налицо. Ведь такие, казалось бы, не связанные друг с другом феномены, как кипение жидкостей и намагничивание металлов, подчинялись одним и тем же правилам.
Кеннет Вильсон проделал немалую работу, связавшую все экспериментальные факты воедино в рамках теории «групп перенормировки». Он обеспечил физиков эффективным методом реальных вычислений характеристик реальных систем. Метод перенормировки, появившийся в физике в 40-х годах как раздел квантовой теории, сделал возможным расчеты взаимодействия электронов и протонов. Главной трудностью таких вычислений (как, впрочем, и тех, которые занимали Каданоффа и Вильсона) являлась бесконечность некоторых величин. Борьба с ней была занятием суетным и малоприятным, и Ричард Фейнман, Джулиан Швингер, Фримен Дайсон и другие физики ввели понятие о перенормировке, чтобы освободиться от бесконечностей.
Лишь намного позже, в 60-х годах, Вильсон докопался до причин успеха идеи перенормировки. Как и Каданофф, он размышлял над принципами масштабирования. Определенные характеристики (такие, например, как масса частицы) всегда считались постоянными, как и масса любого предмета, встречающегося нам в повседневной жизни. Принцип масштабирования быстро распространился благодаря тому, что трактовал величины вроде массы отнюдь не как постоянные. Масса и подобные ей характеристики в процессе перенормировки варьируются как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения в зависимости от масштаба, в котором их рассматривают. Эта идея, казавшаяся полной нелепостью, была точным аналогом рассуждений Мандельбро о геометрических формах и береговой линии Великобритании (о том, что их длину невозможно измерить вне зависимости от масштаба). Здесь присутствовала определенная доля относительности. Местоположение наблюдателя – близко ли он, далеко ли, на берегу моря или на космическом спутнике – влияло на результат. Мандельбро также заметил, что наблюдаемые при переходе от одного масштаба к другому перемены подчиняются определенным закономерностям, далеким от произвольности. Изменчивость общепринятых измерений массы или длины говорила о том, что фиксированной остается некая величина иного типа. В случае с фракталами такой величиной было фрактальное измерение – инвариант, который можно рассчитать и использовать в качестве инструмента для дальнейших вычислений. Допущение, что масса может варьироваться в зависимости от масштаба, означало, что математики могут различить феномен подобия невзирая на масштаб явления.
Таким образом, когда возникает необходимость в трудоемких вычислениях, группы перенормировки Вильсона предлагают иной маршрут следования в дебрях сложных проблем. До этого единственным способом изучения в высшей степени нелинейных процессов являлась так называемая теория пертурбаций. Теория эта предполагает, что нелинейная проблема близка к определенной линейной задаче, которая может быть решена, и отстоит от нее лишь на расстояние небольшого «возмущения». Разрешив линейную задачу, мы должны прибегнуть к сложному набору операций с так называемыми диаграммами Фейнмана. Чем точнее нам нужно решить нелинейную задачу, тем больше таких громоздких диаграмм необходимо построить. Если повезет, расчеты приведут нас к решению, но удача – увы! – имеет привычку ускользать всякий раз, когда вопрос особенно интересен. Файгенбаум, как и любой молодой ученый, занимавшийся в 60-х годах физикой частиц, долгими часами строил вышеупомянутые диаграммы. В конечном счете он бросил это занятие, убедившись, что теория пертурбаций скучна, однобока и мало что объясняет. Зато он проникся симпатией к группам перенормировки Вильсона. Они, допуская внутреннее подобие, позволяли устранить некоторые сложности.
